2022-2023學(xué)年新疆烏魯木齊市米東區(qū)四校聯(lián)考高三3月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷

烏魯木齊市米東區(qū)四校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期三月月考理科數(shù)學(xué)試題總分150分考試時間120分鐘一、單選題（共12小題每題5分共60分）1．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2．下列說法錯誤的是()A．如果一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5，那么這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是5B．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于其中每一個數(shù)據(jù)C．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)有可能相同D．一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)有且只有一個3．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．4．某同學(xué)過18歲生日時，訂了一個三層的蛋糕．已知該蛋糕三層均為高相等的圓柱形，且自上而下，三層蛋糕的半徑分別為7，10，14．若該蛋糕的總體積為3450，則所需要長方體包裝盒的體積至少為（

）A．23520 B．7840 C．15880 D．192805．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．6．當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．17．在正三棱柱中,,則與平面所成的角的正弦值為A． B． C． D．8．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗方式為：弧田面積(弦矢矢2)，弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有弧長為，半徑等于4米的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積約是（

）()A．6平方米 B．9平方米 C．12平方米 D．15平方米9．有一個圓錐與一個圓柱的底面半徑相等，圓錐的母線與底面所成角為，若圓柱的外接球的表面積是圓錐的側(cè)面積的6倍，則圓柱的高是其底面半徑的（

）倍A． B． C． D．10．已知雙曲線的左、右頂點分別為，點是雙曲線上與不重合的動點，若，則雙曲線的離心率為()A． B． C．4 D．211．函數(shù)在上的最小值為-2，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．12．已知函數(shù)的最大值為，則等于()A． B． C． D．二、填空題（共16分）13．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，為中點，則__________、14．已知點，，若圓與以線段為直徑的圓相外切，則實數(shù)的值是__________．15．平面內(nèi)有12個點,其中有4個點共線,此外再無任何3點共線,以這些點為頂點,可得_____個不同的三角形.16．在中，，為的中點，，則面積的最大值為______.三、解答題（共74分，請根據(jù)答題卡題號及分值在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效。）17．已知數(shù)列中，，且求證：數(shù)列是等差數(shù)列；令，求數(shù)列的前n項和．18．如圖，四棱錐的底面是正方形，垂直于底面，.（1）若是的中點，證明：平面；（2）求三棱錐的體積.19．哈爾濱紅腸已有近百年歷史，是哈爾濱特產(chǎn)，也是黑龍江特產(chǎn)的代表，深受廣大民眾的喜愛，哈爾濱紅腸是用大興安嶺的老果木熏制而成的，因此它除了肉香還會散發(fā)著濃郁的果木香.某調(diào)查機(jī)構(gòu)從年齡在歲的游客中隨機(jī)抽取100人，對是否有意向購買哈爾濱紅腸進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表：年齡/歲抽取人數(shù)182225278有意向購買紅腸的人數(shù)81722244(1)若以年齡40歲為分界線，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為購買哈爾濱紅腸與人的年齡有關(guān)？年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)總計有意向購買哈爾濱紅腸的人數(shù)無意向購買哈爾濱紅腸的人數(shù)總計(2)用樣本估計總體，用頻率估計概率，從年齡在的所有游客中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中打算購買哈爾濱紅腸的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．已知拋物線：上一點到焦點的距離為4，動直線交拋物線于坐標(biāo)原點O和點A，交拋物線的準(zhǔn)線于點B，若動點P滿足，動點P的軌跡C的方程為．（1）求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求動點P的軌跡方程；（3）以下給出曲線C的四個方面的性質(zhì)，請你選擇其中的三個方面進(jìn)行研究：①對稱性；②范圍；③漸近線；④時，寫出由確定的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．21．已知函數(shù).（1）判定函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，證明：.22．已知點是平面直角坐標(biāo)系中異于原點的一個動點，過點且與軸垂直的直線與直線交于點，且向量與向量垂直.（1）求點的軌跡方程；（2）設(shè)位于第一象限，以為直徑的圓與軸相交于點，且，求的值.23．已知x，y，z均為正實數(shù)，且．證明：（1）；（2）．理科數(shù)學(xué)月考答案1．C2．B3．B4．A5．C6．B7．C8．B9．A10．D11．C12．B13．14．15．16．17．（1）見解析（2）【分析】（1）由兩邊同除以，化簡整理，即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求出，再由錯位相減法，即可求出結(jié)果.【解析】（1）因為數(shù)列中，，所以，即；因此，數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列；（2）因為，所以，由（1）可得；所以；又?jǐn)?shù)列的前n項和為，所以①則②①②得，整理得18．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）先證明，，再根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可證結(jié)論；（2）在平面內(nèi)過作交于，可證平面，再根據(jù)四棱錐的體積公式計算可得結(jié)果.【解析】（1）∵平面，∴.又∵是正方形，∴.∵，∴平面.∵平面，∴.又，是的中點，所以.又∵，平面.（2）在平面內(nèi)過作交于，所以且平面，所以三棱錐的體積為.又∵三棱錐的體積等于三棱錐的體積，∴三棱錐的體積等于.19．(1)列聯(lián)表見解析，有97.5%的把握認(rèn)為購買哈爾濱紅腸與人的年齡有關(guān)．(2)分布列見解析，．【分析】（1）根據(jù)調(diào)查表即可完成列聯(lián)表，再通過比較的觀測值與5.024的大小關(guān)系，即可判斷；（2）根據(jù)題意可知，，即可得到分布列以及數(shù)學(xué)期望．(1)由題可知，年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)總計有意向購買哈爾濱紅腸的人數(shù)255075無意向購買哈爾濱紅腸的人數(shù)151025總計4060100的觀測值，所以有97.5%的把握認(rèn)為購買哈爾濱紅腸與人的年齡有關(guān)．(2)由題意可知，從年齡在的所有游客中隨機(jī)抽取1人，打算購買哈爾濱紅腸的概率為，所以，即．所以，X的分布列為0123.20．（1）；（2）；（3）見解析．【分析】(1)根據(jù)拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離列式求解即可.(2)求出的坐標(biāo),利用動點P滿足,求出動點P的軌跡C的方程即可.(3)根據(jù)(2)中所得的方程直接得出結(jié)論即可.【解析】(1)由題意,,所以所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè),則與拋物線方程聯(lián)立,可得,即,與聯(lián)立,可得.因為,所以,所以,故,.消去可得(3)由,可得①因為,,故關(guān)于軸對稱；②范圍：,則.即又當(dāng)時,,故,即或.故,③因為分母為,故漸近線④當(dāng)時,因為,所以由確定的函數(shù)為,即,當(dāng)時,單調(diào)遞減；當(dāng)時,單調(diào)遞增故在上遞減,在上遞增.綜上所述,①關(guān)于軸對稱②,③漸近線④時,由確定的函數(shù)在上遞減,在上遞增21．（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）詳見解析.【分析】（1）求出，進(jìn)而求出的解，即可求出結(jié)論；（2）由（1）得，要證不等式，只需證，即證，根據(jù)的單調(diào)性，只需證，構(gòu)造函數(shù)，即可證明結(jié)論.【解析】（1），當(dāng)，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）令，則，故在上是增函數(shù)，，故，又，由得，且在區(qū)間上，若，則由在區(qū)間上遞減得，，若，則由，且在是增函數(shù)，，化為.綜上可得.22．（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)，可利用坐標(biāo)表示出，，由垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程，整理得到所求的軌跡方程；（2）根據(jù)角度關(guān)系可確定直線方程，代入拋物線方程可求得點坐標(biāo)，由兩點間距離公式可求得結(jié)果.【解析】（1）設(shè)，則，，，，，點的軌跡方程（2）由題意知：，，，直線傾斜