【高中數(shù)學(xué)】一元線性回歸模型及其應(yīng)用 課件 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘法估計學(xué)習(xí)目標主題一主題二精講精練課堂練習(xí)授課過程課堂小結(jié)1．結(jié)合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法，會使用相關(guān)的統(tǒng)計軟件．2．針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預(yù)測．學(xué)習(xí)目標：主題1

一元線性回歸模型基礎(chǔ)預(yù)習(xí)初探

生活經(jīng)驗告訴我們，兒子的身高與父親的身高不僅線性相關(guān)，而且還是正相關(guān)，即父親的身高較高時，兒子的身高通常也較高.為了進一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表所示(身高單位cm).編號1234567891011121314父親身高174170173169182172180172168166182173164180兒子身高176176170170185176178174170168178172165182利用前面表示數(shù)據(jù)的方法，以橫軸表示父親身高、縱軸表示兒子身高建立直角坐標系，再將表中的成對樣本數(shù)據(jù)表示為散點圖.可以發(fā)現(xiàn)，散點大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兒子身高和父親身高線性相關(guān).

利用統(tǒng)計軟件，求得樣本相關(guān)系數(shù)為r≈0.886，表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高.

思考?根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎?

在上表的數(shù)據(jù)中,存在父親身高相同而兒子身高不同的情況.例如，第6個和第8個觀測父親的身高均為172cm，而對應(yīng)的兒子的身高為176cm和174cm；同樣在第3，4個觀測中,兒子的身高都是170cm,而父親的身高分別為173cm,169cm.可見兒子的身高和父親身高之間不是函數(shù)關(guān)系，也就不能用函數(shù)模型刻畫.編號1234567891011121314父親身高174170173169182172180172168166182173164180兒子身高176176170170185176178174170168178172165182散點圖中的散點大致分布在一條直線附近，表明兒子身高和父親身高這兩個變量之間有較強的線性相關(guān)關(guān)系，因此我們可以用一次函數(shù)來刻畫父親身高對兒子身高的影響，而把影響兒子身高的其他因素，如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣等作為隨機誤差，得到刻畫兩個變量之間關(guān)系的線性回歸模型.其中，隨機誤差是一個隨機變量.用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機誤差，假定隨機誤差e的均值為0，方差為與父親身高無關(guān)的定值σ2，則它們之間的關(guān)系可以表示為我們稱(1)式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.(1)用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機誤差，則它們之間的關(guān)系可以表示為我們稱(1)式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.(1)其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機誤差.模型中的Y也是隨機變量，其值雖然不能由變量x的值確定，但是卻能表示為bx+a與e的和(疊加)，前一部分由x所確定，后一部分是隨機的.如果e=0，那么Y與x之間的關(guān)系就可用一元線性函數(shù)模型來描述.

思考?

為什么要假設(shè)E(e)=0，而不假設(shè)其為某個不為0的常數(shù)?因為誤差是隨機的，即取各種正負誤差的可能性一樣，所以它們均值的理想狀態(tài)應(yīng)該為0.如果隨機誤差是一個不為0的常數(shù)α，則可以將α合并到截距項a中，否則模型無法確定，即參數(shù)沒有唯一解.另外，如果α不為0，則表示存在系統(tǒng)誤差，在實際建模中也不希望模型有系統(tǒng)誤差，即模型不存在非隨機誤差.(1)

對于父親身高x和兒子身高Y的一元線性回歸模型(1),可以解釋為父親身高為xi的所有男大學(xué)生身高組成一個子總體，該子總體的均值為bxi+a，即該子總體的均值與父親的身高是線性函數(shù)關(guān)系.而對于父親身高為xi的某一名男大學(xué)生，他的身高yi并不一定為bxi+a，它僅是該子總體的一個觀測值，這個觀測值與均值有一個誤差項ei=yi－(bxi+a).思考?你能結(jié)合具體實例解釋產(chǎn)生模型(1)中隨機誤差項的原因嗎?在研究兒子身高與父親身高的關(guān)系時，產(chǎn)生隨機誤差e的原因有：(1)除父親身高外，其他可能影響兒子身高的因素，比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時間等；(2)在測量兒子身高時，由于測量工具、測量精度所產(chǎn)生的測量誤差；(3)實際問題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，可以利用一元線性回歸模型來近似這種關(guān)系，這種近似也是產(chǎn)生隨機誤差e的原因.1.說明函數(shù)模型與回歸模型的區(qū)別，并分別舉出兩個應(yīng)用函數(shù)模型與回歸模型的例子。

解析：函數(shù)模型刻畫的是變量之間具有的函數(shù)關(guān)系，是一種確定性的關(guān)系.回歸模型刻畫的是變量之間具有的相關(guān)關(guān)系，不是一種確定性關(guān)系，即回歸模型刻畫的是兩個變量之間的隨機關(guān)系.

舉例：路程與速度的關(guān)系、正方體體積與邊長的關(guān)系可以應(yīng)用函數(shù)模型刻畫，體重與身高的關(guān)系、冷飲銷量與氣溫的關(guān)系可以用回歸模型刻畫。精講精練：2.在一元線性回歸模型（1）中，參數(shù)b的含義是什么？

解：在一元線性回歸模型（1）中，參數(shù)b為斜率參數(shù)，參數(shù)b的含義是父親的身高每增加1cm，兒子的身高平均增加bcm.(1)3.將圖中的點按父親身高的大小次序用折線連起來，所得到的圖像是一個折線圖，可以用這條折線圖表示兒子身高和父親身高之間的關(guān)系嗎？

解析：不能.一是父親的身高與兒子的身高之間是隨機關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系；二是這組數(shù)據(jù)僅是總體的一個樣本，不一定能很好地描述兩個變量之間的關(guān)系.有的同學(xué)可能會想，可以采用測量的方法，先畫出一條直線，測量出各點到直線的距離，然后移動直線，到達一個使距離的和最小的位置.測量出此時的斜率和截距，就得到一條直線．主題2

參數(shù)的最小二乘法估計基礎(chǔ)預(yù)習(xí)初探有的同學(xué)可能會想，可以在散點圖中選則這樣的兩點畫一條直線，使得直線兩側(cè)點的個數(shù)基本相同，把這條直線作為所求直線．如圖所示.還有的同學(xué)會想，在散點圖中多取幾對點，確定出幾條直線的方程，再分別求出這些直線的斜率、截距的平均數(shù)，將這兩個平均數(shù)作為所求直線的斜率和截距．如圖.同學(xué)們不妨去實踐一下，看看這些方法是不是真的可行.上面這些方法雖然有一定的道理，但比較難操作，我們需要另辟蹊徑.先進一步明確我們面臨的任務(wù):從成對樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，用數(shù)學(xué)的方法刻畫“從整體上看,各散點與直線最接近”.

通常，我們會想到利用點到直線y=bx+a的“距離”來刻畫散點與該直線的接近程度，然后用所有“距離”之和刻畫所有樣本觀測數(shù)據(jù)與該直線的接近程度.我們設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個變量的n對樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1)，(x2,y2），…，(xn

,yn),由yi=bxi+a+ei(i=1，2，…，n)，得|yi?(bxi+a)|=|ei|.由yi=bxi+a+ei(i=1，2，…，n)，得|yi?(bxi+a)|=|ei|.顯然|ei|越小，表示點(xi，yi)與點(xi，bxi+a)的“距離”越小，即樣本數(shù)據(jù)點離直線y=bx+a的豎直距離越小，如圖所示.特別地，當ei=0時，表示點(xi，yi)在這條直線上.來刻畫各樣本觀測數(shù)據(jù)與直線y=bx+a的“整體接近程度”.

因此可以用這n個豎直距離之和在實際應(yīng)用中，因為絕對值使得計算不方便，所以人們通常用各散點到直線的豎直距離的平方之和刻畫“整體接近程度”.

在上式中，xi，yi

(i=1，2，…，n)是已知的成對樣本數(shù)據(jù)，所以Q由a和b所決定，即它是a和b的函數(shù).這個和當然越小越好.

所以我們?nèi)∈筈達到最小的a和b值,作為截距a和斜率b的估計值.Q越小越好.

下面利用成對樣本數(shù)據(jù)求使Q取最小值的a和b.

上式是關(guān)于b的二次函數(shù)，因此要使Q取得最小值，當且僅當b的取值為

時，Q達到最小.綜上，當a,b的取值為

我們將

稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線，這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫最小二乘法．

相應(yīng)的經(jīng)驗回歸直線如圖所示.

顯然不一定，因為還有其他影響兒子身高的因素，父親的身高不能完全決定兒子的身高.不過,我們可以作出推測,當父親的身高為176cm時,兒子身高一般在177cm左右.實際上，如果把這所學(xué)校父親身高為176cm的所有兒子身高作為一個子總體，那么177cm是這個子總體均值的估計值.

分析模型可以發(fā)現(xiàn)，高個子父親有生高個子兒子的趨勢，但一群高個子父親的兒子們的平均身高要低于父親們的平均身高，例如

矮個子父親有生矮個子兒子的趨勢，但一群矮個子父親的兒子們的平均身高要高于父親們的平均身高，例如

根據(jù)模型，父親身高為多少時，長大成人的兒子的平均身高與父親身高一樣？你怎么看這個判斷？

例如，對于前表中的第6個觀測，父親身高為172cm，其兒子身高的觀測值為y6=176cm，預(yù)測值

類似地，可以得到其他殘差，如下表所示殘差是隨機誤差的估計結(jié)果，通過對殘差的分析可判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面的工作稱為殘差分析.編號父親身高/cm兒子身高觀測值/cm兒子身高預(yù)測值/cm殘差/cm1174176174.9431.0572170176171.5874.4133173170174.104?4.1044169170170.748?0.7485182185181.6553.3456172176173.2562.7357180178179.977?1.9778172174173.2560.7359168170169.9090.09110166168168.231?0.23111182178181.655?3.65512173172174.104?2.10413164165166.553?1.55314180182179.9772.023為了使數(shù)更加直觀，用父親身高作為橫坐標，殘差作為縱坐標，可以畫出殘差圖，如下圖所示.觀察殘差表可以看到，殘差有正有負，殘差的絕對值最大是4.413.觀察殘差的散點圖可以發(fā)現(xiàn)，殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說明殘差比較符合一