信號與系統(tǒng)(第十章Z-變換)

1、信號與系統(tǒng) A (Signals and Systems) 第十章：第十章：Z Z變換變換 本章內容本章內容1. 雙邊雙邊Z變換及其收斂域變換及其收斂域ROC。2. ROC的特征，各類信號的的特征，各類信號的ROC，零極點圖。，零極點圖。3. Z反變換，利用部分分式展開進行反變換。反變換，利用部分分式展開進行反變換。5. 常用信號的常用信號的Z變換，變換，Z變換的性質。變換的性質。6. 用用Z變換表征變換表征LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)函數，系統(tǒng)，系統(tǒng)函數，LTI系統(tǒng)系統(tǒng) 的的Z變換分析法，系統(tǒng)的級聯與并聯型結構。變換分析法，系統(tǒng)的級聯與并聯型結構。 4. 由零極點圖分析系統(tǒng)的特性。由零極點圖分析系統(tǒng)的特

2、性。7. 單邊單邊Z變換，增量線性系統(tǒng)的分析。變換，增量線性系統(tǒng)的分析。 Z 變換與拉氏變換相對應，是離散時間傅立葉變換與拉氏變換相對應，是離散時間傅立葉變換的推廣。變換的推廣。 Z 變換的基本思想、許多性質及其變換的基本思想、許多性質及其分析方法都與拉氏變換有相似之處。當然，分析方法都與拉氏變換有相似之處。當然，Z 變變換與拉氏變換也存在著一些重要的差異。換與拉氏變換也存在著一些重要的差異。10.0 引言引言 (Introduction)10.1 雙邊雙邊 Z 變換變換 當當 時，時， 即為離散時間傅立葉變換。即為離散時間傅立葉變換。這表明：這表明：DTFT就是在單位圓上進行的就是在單位圓上

3、進行的Z變換。變換。1r jze()( ) ( )jnj nnnX rex n r ex n rF( )( )nnX zx n zjzre其中其中 是一個復數。是一個復數。一一. .雙邊雙邊Z變換的定義變換的定義:可見：對可見：對 做做 Z 變換就等于對變換就等于對 做做DTFT。 因此，因此，Z 變換是對變換是對DTFT的推廣的推廣。( )x n( )nx n r二二. Z變換的變換的收斂域（收斂域（ROC）：）：Z變換與變換與DTFT一樣存在著收斂的問題。一樣存在著收斂的問題。1. 并非任何信號的并非任何信號的Z變換都存在。變換都存在。2. 并非并非Z平面上的任何復數都能使平面上的任何復數

4、都能使 收斂。收斂。 Z平面上那些能使平面上那些能使 收斂的點的集合，就收斂的點的集合，就構成了構成了 的的收斂域收斂域（ROC）。）。( )X z( )X z( )X z例例1.( )( )nx na u n11( )1nnnX za zaz時收斂時收斂za當當 時，時， ROC包括了單位圓。包括了單位圓。1a 1()1jjX eaeza單位圓單位圓1 1ImReZ平面平面a a此時，此時， 的的DTFT存在。存在。( )x n( )|()jjz eX zX e顯然有顯然有例例2.( )( )x nu n101( )1nnX zzz1z 此時，此時，ROC不包括單位圓，所以不包括單位圓，所以

5、不能不能簡單地簡單地從從 通過將通過將 得到得到 。( )X zzje()jX eImReZ平面平面1 1（例（例2的的ROC）1()(2)1jjkX eke 例例3.( )(1)nx na un 11( )nnnnnnX za za z111111a za zaz a a 1 1ReZ平面平面單位圓單位圓ImzaROC:例例4.1( )( )( )2(1)2nnx nu nun 10111( )( )221111 212nnnnnnX zzzzz1ROC:22z 一般情況下，一般情況下， 的的ROC是是 Z 平面上一個平面上一個以以原點為中心的圓環(huán)。原點為中心的圓環(huán)。( )X z2 21/2

6、1/2Z平面平面ImRe單位圓單位圓結結 論：論：1）Z變換存在著收斂問題，不是任何信號都存變換存在著收斂問題，不是任何信號都存在在Z變換，也不是任何復數變換，也不是任何復數Z都能使都能使 收斂。收斂。( )X z( )X z( )X z( )x n2）僅僅由）僅僅由 的表達式不能唯一地確定一個信的表達式不能唯一地確定一個信號，只有號，只有 連同相應的連同相應的ROC一道，才能與信一道，才能與信號號 建立一一對應的關系。建立一一對應的關系。3）Z變換的變換的ROC，一般是，一般是Z平面上以原點為中平面上以原點為中心的環(huán)形區(qū)域。心的環(huán)形區(qū)域。4）如果）如果 ，則其，則其ROC是各個是各個 的的R

7、OC的公共部分。若沒有公共區(qū)域則表明的公共部分。若沒有公共區(qū)域則表明 的的Z變換不存在。變換不存在。( )( )iix nx n( )ix n( )x n( )X z( )X z5）當）當 是有理函數時，其是有理函數時，其ROC的邊界總是的邊界總是由由 的極點所在的圓周界定的。的極點所在的圓周界定的。6）若）若 的的ROC包括單位圓，則有包括單位圓，則有( )X z()( )|jjz eX eX z三三. . 的幾何表示的幾何表示零極點圖：零極點圖：( )X z()( )( )( )()iippzzN zX zMD zzz( )X z 如果如果 是有理函數，將其分子多項式與分是有理函數，將其分

8、子多項式與分母多項式分別因式分解可以得到：母多項式分別因式分解可以得到： 由其全部的零、極點即可確定出由其全部的零、極點即可確定出 ，最多，最多相差一個常數因子相差一個常數因子 。( )X zM 如果在零極點圖上同時標出如果在零極點圖上同時標出ROC，則由該，則由該零極點圖可以唯一地確定一個信號。零極點圖可以唯一地確定一個信號。 因此，若在因此，若在 Z 平面上表示出平面上表示出 的的全部零、全部零、極點，即構成極點，即構成 的幾何表示的幾何表示零極點圖。零極點圖。( )X z( )X z 零極點圖對描述零極點圖對描述LTI系統(tǒng)和分析系統(tǒng)和分析LTI系統(tǒng)的特系統(tǒng)的特性，具有重要的用途。性，具有

9、重要的用途。1. 的的ROC是是Z平面上以原點為中心的環(huán)平面上以原點為中心的環(huán)形區(qū)域。形區(qū)域。( )X z10.2 Z 變換的變換的ROCROC的特征：的特征：0z z 3. 有限長序列的有限長序列的ROC是整個有限是整個有限Z平面（可平面（可能不包括能不包括 ，或，或 ）。）。( )X z2. 在在ROC內，內， 無極點。無極點。4. 右邊序列的右邊序列的ROC是某個圓的外部，但可能是某個圓的外部，但可能不包括不包括 。z ( )x n1Nn1( )( )nn NX zx n z由由 ， ，有，有若若 ，則有，則有0ROCzr10( )nn Nx n r 10rr則則如果如果 ，110101

10、( )( )()nnnn Nn Nrx n rx n rr( )x n設設 是右邊序列，定義于是右邊序列，定義于 ， 1,N11001( )()nNn Nrx n rr 1ROCzr 當當 時時, ,由于由于 的展開式中有若干個的展開式中有若干個Z 的正冪項，此時的正冪項，此時 不能為不能為 。10N z( )X z5. 左邊序列的左邊序列的ROC是某個圓的內部，但可能是某個圓的內部，但可能不包括不包括 。0z 若若 ， ，則有，則有0ROCr 10rr110101( )( )()NNnnnnnrx n rx n rr11001( )()NnNnrx n rr 1ROCr 當當 時，由于時，由

11、于 的展開式中包括有的展開式中包括有Z的的負冪項，所以負冪項，所以 Z 不能為零。若不能為零。若 是有理函數，是有理函數，則則ROC必是最內部極點的內部。必是最內部極點的內部。10N ( )X z( )X z6. 雙邊序列的雙邊序列的Z變換如果存在，則變換如果存在，則ROC必是一必是一個環(huán)形區(qū)域。個環(huán)形區(qū)域。例例1.( )x n ,01,nanN0a 0,其他其他n11101( )1()NNNNNnnNna zzaX za zazzza極點：極點：za（一階）（一階）0z （N1階）階）零點：零點：2jkNzae(0,11)kN jIm z Re z(8)N aa0 0(1)N ROC:0z

12、在在 處，零極點抵消，使有限處，零極點抵消，使有限 Z平面內平面內無極點。無極點。za例例2.( ),0nx nbb( )( )(1)nnx nb u nb un 11( ),1nb u nzbbz1111(1),1nb unzbb z 在在 時，兩部分的收斂域無公共部分，時，兩部分的收斂域無公共部分，表明此時表明此時 不存在。不存在。1b ( )X zb b1/b1/bZ平面平面ImRe01b時，時，ROC為為1/bzb例例3.111( )1(1)(1 2)3X zzz1/32ReIm0 0(2)在有限在有限Z平面上極點平面上極點總數與零點總數相同總數與零點總數相同零點：零點：121,23z

13、z0z （二階）（二階）極點：極點：若其若其ROC為：為：12z 則則 為右邊序列，且是因果的，為右邊序列，且是因果的，但其傅立葉變換不存在。但其傅立葉變換不存在。( )x n時時 是左邊序列，且是反因果的，是左邊序列，且是反因果的，其傅立葉變換不存在。其傅立葉變換不存在。213z ( )x n 時時 是雙邊序列，其傅立葉變是雙邊序列，其傅立葉變換存在。換存在。3123z( )x nROC是否包括是否包括 ，是，是 是否反因果的標志。是否反因果的標志。0z ( )x nz ( )x nROC是否包括是否包括 ，是，是 是否因果的標志。是否因果的標志。10.3 Z-反變換反變換()( )jnj

14、nnX rex n r e21( )()2njj nx n rX reed21( )()2jnj nx nX rer ed令令 ，則，則jzrejdzjre djzd一一. .Z-反變換：反變換： 當當 從從 時，時，Z沿著沿著ROC內半徑為內半徑為 r 的圓的圓變化一周。變化一周。021. 部分分式展開法：部分分式展開法：1( )1iiiAX za z11( )( )2ncx nX z zdzj其中其中 C 是是 ROC 中逆時針方向的中逆時針方向的圓周。圓周。二二. . 反變換的求取：反變換的求?。? )X z當當 是有理函數時，可將其展開為是有理函數時，可將其展開為部分分式部分分式步驟步

15、驟 ：1. 求出求出 的所有極點的所有極點 ； 2. 將將 展開為部分分式；展開為部分分式；( )X zia( )X z3. 根據總的根據總的ROC，確定每一項的，確定每一項的ROC；4. 利用常用變換對和利用常用變換對和Z變換變換性質求出每一性質求出每一項的反變換。項的反變換。 例：例：111536( )11(1)(1)43zX zzz1143z將將 展開為部分分式有：展開為部分分式有：( )X z11( )( )( )2( )(1)43nnx nu nun 1112( )111143X zzz1ROC2ROC1ROC :| 1/4z 2ROC :| 1/3z 2. 冪級數展開法冪級數展開法

16、: :（長除法）（長除法）由由 的定義，將其展開為冪級數，有的定義，將其展開為冪級數，有 ( )X z( )()( 1)nX zxn zxz12(0)(1)2)(nx n zxxzxz 展開式中展開式中 項的系數即為項的系數即為 。當。當 是是有理函數時，可以通過長除的方法將其展開為有理函數時，可以通過長除的方法將其展開為冪級數。冪級數。nz( )x n( )X zv 由于由于右邊序列右邊序列的展開式中應包含無數多個的展開式中應包含無數多個Z的負冪項，所以要的負冪項，所以要按降冪長除。按降冪長除。v 由于由于左邊序列左邊序列的展開式中應包含無數多個的展開式中應包含無數多個Z的正冪項，所以要的正

17、冪項，所以要按升冪長除。按升冪長除。v 對對雙邊序列，先要將其分成對應信號的右邊雙邊序列，先要將其分成對應信號的右邊和左邊的兩部分，再分別按上述原則長除。和左邊的兩部分，再分別按上述原則長除。例：例： 111536( )11(1)(1)43zX zzz1143z 冪級數展開法的缺點是當冪級數展開法的缺點是當 較復雜（含較復雜（含多個極點時）難以得出多個極點時）難以得出 的閉式。的閉式。( )X z( )x n1112( )111143X zzz1ROC2ROC1ROC :| 1/4z 2ROC :| 1/3z 所以所以前一項按降冪長除，后一項按升冪長除前一項按降冪長除，后一項按升冪長除。 冪級

18、數展開法適合用來求解非有理函數形冪級數展開法適合用來求解非有理函數形式式 的反變換。的反變換。( )X z3. 留數法：留數法：111( )( )Res( ),2nnicix nX z zdzX z zzj是是C內的極點。內的極點。iz1( )Res( ), niix nX z zz 是是C外的極點。外的極點。iz0n 時，時，1( )Res( ), niix nX z zz是是C內的極點內的極點。iz0n 時，時，對有理函數的對有理函數的 由留數定理有：由留數定理有：( )X z 當當ROC包括包括 時，時，Z 變換在單位圓上的情變換在單位圓上的情況就是況就是 ，因此也可以利用零極點圖對其，

19、因此也可以利用零極點圖對其進行幾何求值。進行幾何求值。1z ()jX e10.4. 由零極點圖對離散時間傅立葉變換由零極點圖對離散時間傅立葉變換幾何求值幾何求值 其方法與拉氏變換時完全類似：其方法與拉氏變換時完全類似： 考查動點在單位圓上移動一周時，各極點矢考查動點在單位圓上移動一周時，各極點矢量和零點矢量的長度與幅角變化的情況，即可量和零點矢量的長度與幅角變化的情況，即可反映系統(tǒng)的頻率特性。反映系統(tǒng)的頻率特性。例例1. 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)( )(1)( )y nay nx n( )( )nh na u n11( ),1H zzaaz當當 時，時，ROC包括單位圓。包括單位圓。1a 1()1jj

20、H eae12()/jH eVV a a1V2V jeRe zjIm z1 1顯然，顯然， 取決于取決于 的變化。的變化。11,V ()jH e2V v當當 時，時，01a()jH e當當 時，時， 有最小值。有最小值。隨隨 呈單調變化。呈單調變化。()jH e0()jH e在在 處，處， 有最大值。有最大值。0.95a 0.5a 幅頻特性幅頻特性0.95a 相頻特性相頻特性一階系統(tǒng)的頻率特性：一階系統(tǒng)的頻率特性：01av當當 時，時，10a a a1V2V jeRe zjIm z1 1()jH e0.5a0.95a0 0幅頻特性幅頻特性20.5a0.95a相頻特性相頻特性 越小，極點靠原點越

21、近，系統(tǒng)的頻率響越小，極點靠原點越近，系統(tǒng)的頻率響應越平緩，系統(tǒng)的帶寬越寬；此時應越平緩，系統(tǒng)的帶寬越寬；此時 衰減衰減越快，越快， 上升越快。上升越快。a( )h n( )s n 越大，極點靠單位圓越近，系統(tǒng)頻響越越大，極點靠單位圓越近，系統(tǒng)頻響越尖銳，頻響的極大值越大，系統(tǒng)帶寬越窄，尖銳，頻響的極大值越大，系統(tǒng)帶寬越窄，相位的非線性程度越厲害。相位的非線性程度越厲害。a可以看出：可以看出：例例2. 二階系統(tǒng)：二階系統(tǒng)：sin(1)( )( )sinnnh nru n01,0r（系統(tǒng)欠阻尼）（系統(tǒng)欠阻尼）2( )2 cos(1)(2)( )y nry nr y nx n1221( )1 2

22、cosH zrzr z極點：極點：1,2jzre零點：零點：0z （二階）（二階） 考查動點在單位圓上移動一周時，各極點考查動點在單位圓上移動一周時，各極點矢量和零點矢量的長度與幅角的變化情況，矢量和零點矢量的長度與幅角的變化情況，即可得到二階系統(tǒng)的頻率特性。即可得到二階系統(tǒng)的頻率特性。1V2V jejIm z1 13V Re z 當當 從從 時，在靠近時，在靠近 處頻率響處頻率響應會出現極大值。應會出現極大值。0 若若r越接近于越接近于1， 的峰值越尖銳。由于的峰值越尖銳。由于極點遠離原點，極點遠離原點， 和和 的變化速率越慢。的變化速率越慢。()jH e( )h n( )s n 隨著隨著r

23、減小，極點逐步靠近原點，頻率響應趨減小，極點逐步靠近原點，頻率響應趨于平坦，而于平坦，而 和和 的變化速率會加快。的變化速率會加快。( )h n( )s n幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性二階系統(tǒng)的頻率特性：二階系統(tǒng)的頻率特性：01,0r 當極點很靠近單位圓當極點很靠近單位圓時，也可以從零極點圖時，也可以從零極點圖粗略確定系統(tǒng)的帶寬。粗略確定系統(tǒng)的帶寬。4 更一般的情況，二階系統(tǒng)也可能更一般的情況，二階系統(tǒng)也可能 有兩個實數極點，此時系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。有兩個實數極點，此時系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。其特性相當于兩個一階系統(tǒng)級聯的結果。其特性相當于兩個一階系統(tǒng)級聯的結果。（二階系統(tǒng)具有重階實數極點的情

24、況）（二階系統(tǒng)具有重階實數極點的情況） Z變換的許多性質與變換的許多性質與DTFT的性質相似，其推的性質相似，其推 論方法也相同。這里主要討論其論方法也相同。這里主要討論其ROC的變化。的變化。11( )( )x nXz1ROC:R22( )( )x nXz2ROC: R則則1212( )( )( )( )ax nbx naXzbXzROC：包括：包括12RR10.5 Z變換的性質變換的性質1. 線性：線性：v 如果在線性組合過程中出現零極點相抵消，如果在線性組合過程中出現零極點相抵消，則則ROC可能會擴大?？赡軙U大。2. 時移：時移：但在但在 和和 可能會有增刪?？赡軙性鰟h。ROC:R0

25、z z v 由于信號時移可能會改變其因果性，故會由于信號時移可能會改變其因果性，故會使使ROC 在在 ， 有可能改變。有可能改變。0z z ( )( )x nX zROC: R若若00()( )nx nnX z z則則3. Z域尺度變換：域尺度變換：( )( )x nX zROC:R若若00( )( /)nz x nX z z0ROC: z R則則zR時時 收斂，故收斂，故 時，時， 收斂。收斂。 ( )X z0| /|z zR0( /)X z z0zz R當當 時，即為時，即為移頻特性移頻特性。00jze 若若 是一般復數是一般復數 ，則，則 的零的零極點不僅要將極點不僅要將 的零極點逆時針

26、旋轉一個角的零極點逆時針旋轉一個角度度 ，而且在徑向有，而且在徑向有 倍的尺度變化。倍的尺度變化。0z000jzr e0( /)X z z( )X z00r1/21/202r 014. 時域反轉：時域反轉：( )( )x nX zROC: R若若1()()xnX zROC:1/ R( (收斂域邊界倒置收斂域邊界倒置) )則則v 信號在時域反轉，會引起信號在時域反轉，會引起 的零、極點的零、極點分布按倒量對稱發(fā)生改變。分布按倒量對稱發(fā)生改變。( )X z即：即： 與與 的的零極點呈共軛倒量對稱零極點呈共軛倒量對稱。( )X z1()X zv 如果如果 是是 的零的零/ /極點極點, ,則則 就是

27、就是 的零的零/ /極點。由于極點。由于 也是也是 的零的零/ /極點，因此極點，因此iz1/iz1()X z( )X ziz( )X z1/iz也是也是 的零的零/ /極點。極點。1()X z則則 的的ROC為為1()X z223zizizRe0 0jIm*1/iz1/iz例：例：( )X z的的ROC為為1322z若若5. 時域內插時域內插:( )( )x nX zROC: R 若若( )kx n ( / )x n k0n為為 的整數倍的整數倍k其它其它n則則( )()kkx nX z1ROC:kR( )( )( )()nrkkkk nnrXzxzx r zX z證明：證明：6. 共軛對稱

28、性：共軛對稱性：v當當 是實信號時，是實信號時， ，于是，于是有有( )x n*( )( )x nx n*( )()X zXz表明表明如果如果 有復數零極點，必共軛成對出現。有復數零極點，必共軛成對出現。( )X z( )( )x nX zROC:R若若*( )()x nXzROC:R則則12RRROC包括包括 如果在相乘時出現零極點抵消的情況則如果在相乘時出現零極點抵消的情況則ROC可能會擴大?？赡軙U大。1212( )()( )( )mnnx nxm x nnm zx 1212( )( )( )( )mmx m Xz zXz Xz該性質是該性質是LTI系統(tǒng)系統(tǒng)Z變換分析法的理論基礎。變換分

29、析法的理論基礎。1212( )( )( )( )x nx nXz Xz則則7. 卷積性質：卷積性質：11( )( )x nXz1ROC : R若若22( )( )xnXz2ROC : R8. Z域微分：域微分：例例1. 1( )ln(1)X zazza 利用該性質可以方便地求出某些非有理函利用該性質可以方便地求出某些非有理函數數 的反變換，或具有高階極點的的反變換，或具有高階極點的 的的反變換。反變換。( )X z( )X z( )( )x nX zROC: R若若( )( )dX znx nzdz ROC:R則則111( )()(1)( )1ndX zazzaau nnx ndzaz11(

30、)()(1)()(1)nnax nau na u nnn 21( )1dX zazdzaz例例2：11 2( )(1)azX zazza11( )1na u nazza211 21()1(1)dazdzazaz 11 2( )(1)d X zazzdzaz( )( )nx nna u n9. 初值定理：初值定理：則則(0)lim( )zxX z( )x n( )( )x nX z若若 是因果信號，且是因果信號，且 12( )(0)(1)(2)X zxxzxz( )nx n zzlim( )(0)zX zx時有時有顯然當顯然當證明：證明：將將 按定義式展開有：按定義式展開有：( )X z10.

31、終值定理終值定理 ： 若若 是因果信號，且是因果信號，且 ， 除了在除了在 可以有一階極點外，其它極點均可以有一階極點外，其它極點均在單位圓內，則在單位圓內，則 ( )x n( )( )x nX z( )X z1z1(1)( )limzzX z( )limnx n證明：證明：(1)( )zX z在單位圓上無極點在單位圓上無極點( )0,x n 0,n ( )X z 除了在除了在 可以有可以有 單階極點外，其它極點均在單位圓內，單階極點外，其它極點均在單位圓內， 1z 1111(1)( ) (1)( )limlim (1)( )limzzmnnmnzX zx nx n zx nx n(1)(1)

32、( (0)( 1)lim(0)mxxx mxxmx(1)( )limlimmnx mx n 這其實表明：如果這其實表明：如果 有終值存在，則其終有終值存在，則其終值等于值等于 在在 處的留數。處的留數。( )x n( )X z1z 1(1)( )Res( ),1limzzX zX zZ平面上極點位置與信號模式的關系示意圖平面上極點位置與信號模式的關系示意圖10.6 常用信號的常用信號的Z變換對變換對10.7 利用利用Z變換分析與表征變換分析與表征LTI系統(tǒng)系統(tǒng) 一一. .系統(tǒng)特性與系統(tǒng)特性與 的關系的關系: :( )H z（自學）（自學）Some Common Z-Transform Pair

33、sAnalysis and Characterization of LTI Systems Using Z-Transforms( )H z( )h n()jH e LTI系統(tǒng)的特性可以由系統(tǒng)的特性可以由 或或 描述，因描述，因而也可以由而也可以由 連同連同ROC來表征。來表征。( )H zz 1. 因果性：因果性：如果如果LTI系統(tǒng)是因果的，則系統(tǒng)是因果的，則 時時 有有 所以所以 , 的的ROC是最外部極點的是最外部極點的外部，外部， 并且包括并且包括 。 ( )0,h n 0n 稱為稱為系統(tǒng)函數。系統(tǒng)函數。系統(tǒng)的特性應該在系統(tǒng)系統(tǒng)的特性應該在系統(tǒng)函數中有所表現。函數中有所表現。( )H

34、z2. 穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：若若LTI系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)穩(wěn)定，則 ， 即即 的的DTFT存在，表明單位圓在存在，表明單位圓在 的的ROC內。內。( )nh n ( )h n( )H z( )H z即即 的的ROC必包括單位圓。必包括單位圓。二二. LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的Z變換分析法：變換分析法： 因此，因此，因果穩(wěn)定的因果穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)其系統(tǒng)其 的全部極的全部極點必須位于單位圓內，反之亦然。點必須位于單位圓內，反之亦然。當當 是關是關于于 Z 的有理函數時，因果性要求的有理函數時，因果性要求 的分子階的分子階數不能高于分母階數。數不能高于分母階數。( )H z( )H z( )H z1） 由由 求得求

35、得 及其及其 。 2） 由系統(tǒng)的描述求得由系統(tǒng)的描述求得 及其及其 。( )x n1ROC:R( )H z2ROC: R( )X z分析步驟：分析步驟：三三. 由由LCCDE描述的描述的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的 :( )H z00()()NNkkkka y nkb x nk對方程兩邊做對方程兩邊做Z變換可得：變換可得：3） 由由 得出得出 并確定它并確定它 的的ROC包括包括 。4） 對對 做反變換得到做反變換得到 。( )( )( )Y zX z H z12RR( )y n( )Y z( )Y z由差分方程描述的由差分方程描述的LTI系統(tǒng)，其方程為系統(tǒng)，其方程為00( )( )NNkkkkkka

36、z Y zb zX z00( )NkkkNkkkb zH za z是一個有理函數。是一個有理函數。( )H z的的ROC需要通過其它條件確定，如：需要通過其它條件確定，如：1.系統(tǒng)的因果性或穩(wěn)定性。系統(tǒng)的因果性或穩(wěn)定性。 2.系統(tǒng)是否具有零初始條件等。系統(tǒng)是否具有零初始條件等。例：例：由下列差分方程做出網絡結構，并求其系由下列差分方程做出網絡結構，并求其系統(tǒng)函數統(tǒng)函數 H(z) 和單位脈沖響應和單位脈沖響應 h(n)。)3(8) 1(5)()() 1 (nxnxnxny解：由方程可得解：由方程可得)()851 ()(31zXzzzY31851)(zzzH)3(8) 1(5)()(nnnnhFI

37、R)(nx1z1z1z158)(ny)() 3() 2(3) 1(3)() 2(nxnynynyny)()()331 (321zXzYzzz31)1 (1)(zzH)()2)(1(21)(nunnnh解：由方程可得解：由方程可得利用利用Z變換的性質可得變換的性質可得IIR)(nx1z1z1z)(ny331 一一. . 系統(tǒng)互聯的系統(tǒng)函數系統(tǒng)互聯的系統(tǒng)函數: :1( )Hz2( )Hz1R2R12( )( )( )H zHz HzROC包括包括12RR10.8 系統(tǒng)函數的代數屬性與方框圖表示系統(tǒng)函數的代數屬性與方框圖表示System Function Algebra and Block Diag

38、ram Representations1. 級聯：級聯：12( )( )( )H zHzHzROC包括包括12RR3. 反饋聯接：反饋聯接：2. 并聯：并聯：1( )X z( )X z1( )Hz( )G z1R2R( )Y z 由系統(tǒng)框圖可由系統(tǒng)框圖可列出如下方程：列出如下方程：1( )H z2( )H z1R2R1( )( )( ) ( )XzX zY z G z11( )( )( )Y zXz H z11( )( )( )( ) ( )X z H zY z H z G z11( )( )1( )( )HzH zHz G zROC：包括：包括12RR 由由LCCDE描述的描述的LTI系統(tǒng)，

39、其系統(tǒng)函數為有系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數為有理函數，可將其因式分解或展開為部分分式。理函數，可將其因式分解或展開為部分分式。二二. LTI系統(tǒng)的級聯與并聯結構：系統(tǒng)的級聯與并聯結構：1 .級聯型：級聯型：10011001( )1NkkNkkNkkkkkb zbzH zaza z12201212101211Nkkkkkbzzazz/2010( )NkkbHza 其中其中 是二階（或一階）系統(tǒng)函數。是二階（或一階）系統(tǒng)函數。( )kHz由此即可得由此即可得系統(tǒng)的級聯型結構系統(tǒng)的級聯型結構：將將 因式分解，在無重階零極點時可得因式分解，在無重階零極點時可得( )H zN為偶數時為偶數時D DD DD DD D

40、( )x n00ba1121112112N22N12N22N( )y nLTI系統(tǒng)的級聯型結構系統(tǒng)的級聯型結構0110( )1NkkkbAH zaz/2010( )NkkbHza2. 并聯型：并聯型： 將將 展開為部分分式，在無重階極點時有展開為部分分式，在無重階極點時有( )H z1/20011210121Nkkkkkbrr zazzN為偶數時為偶數時DD( )x n112122N12N( )y n00/baDD12Nr02Nr01r11rLTI系統(tǒng)的并聯型結構系統(tǒng)的并聯型結構10.9 單邊單邊Z變換：變換：一一. 單邊單邊Z變換：變換：0( )( )nnzx n z 單邊單邊Z變換是雙邊變

41、換是雙邊Z變換的特例，也就是因果變換的特例，也就是因果信號的雙邊信號的雙邊Z變換。因此單邊變換。因此單邊Z變換變換 的的ROC一定是最外部極點的外部，并且包括一定是最外部極點的外部，并且包括 。 ( ) z| z 所以在討論單邊所以在討論單邊Z變換時變換時,不再強調其不再強調其ROC。它它的反變換也一定與雙邊的反變換也一定與雙邊Z變換的反變換一致。變換的反變換一致。11( )( )2ncx nz zdzj 如果信號如果信號 不是因果序列，則其雙邊不是因果序列，則其雙邊Z變變換換 與單邊與單邊Z變換變換 不同。不同。( )x n( )X z( ) z例例1: ( )( )nx na u n對其做

42、雙邊對其做雙邊Z變換有：變換有：11( )1X zazza顯然顯然( )( )zX z11( )1zazza對其做單邊對其做單邊Z變換有：變換有：例例2. 1( )(1)nx nau n對其做雙邊對其做雙邊Z變換有：變換有：1( )1zX zazza對其做單邊對其做單邊Z變換有：變換有：110( )1nnnazazazza 這是因為這是因為 在在 的部分對雙邊的部分對雙邊Z變換起變換起作用，而對單邊作用，而對單邊Z變換不起作用所致。變換不起作用所致。( )x n0n 只要只要所涉及的信號是因果信號，所涉及的信號是因果信號，單邊單邊Z變換變換除了時移特性與雙邊除了時移特性與雙邊Z變換略顯不同外，其它變換略顯不同外，其它性質與雙邊性質與雙邊Z變換的情