淺談高中數(shù)學(xué)核心思想 論文

淺談高中數(shù)學(xué)核心思想

摘要：很多學(xué)生在進(jìn)入高一之后會(huì)出現(xiàn)一些很奇怪的現(xiàn)象，初中數(shù)學(xué)成績(jī)明明很好，到了高一卻一落千丈。課堂上老師講的都能聽(tīng)懂，一到做題就感到無(wú)從下手。這些問(wèn)題一直困擾著很多學(xué)生，其中一個(gè)很重要的原因就是沒(méi)有真正地掌握數(shù)學(xué)思想，從而沒(méi)有訓(xùn)練出高中數(shù)學(xué)所需要的數(shù)學(xué)思維。所以對(duì)于這一問(wèn)題，教師要給學(xué)生多進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的訓(xùn)練，讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。本文將通過(guò)舉例說(shuō)明高中數(shù)學(xué)中幾類(lèi)基本的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，以供參考。 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)思維；分類(lèi)討論；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)與方程；轉(zhuǎn)化與化歸

引言：分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與劃歸是高中數(shù)學(xué)中的四個(gè)基本的思想。在數(shù)學(xué)中，尤其是高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，相比數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，數(shù)學(xué)思想方法往往具有更高的地位和層次，數(shù)學(xué)思想是通過(guò)人們長(zhǎng)期實(shí)踐摸索出來(lái)用于解決問(wèn)題的一種認(rèn)識(shí)，屬于思維的范疇，用于對(duì)問(wèn)題的提出、分析、計(jì)算和解決。數(shù)學(xué)的目的是解決問(wèn)題，然而現(xiàn)在的大多數(shù)學(xué)生拿著一道題目，老想著用自己做過(guò)的題型去“復(fù)制”，一味地追求所謂的“模板”，當(dāng)遇到有些難度或者沒(méi)做過(guò)類(lèi)似題型時(shí)，往往就“卡殼”甚至束手無(wú)策了?，F(xiàn)階段，數(shù)學(xué)思想方法在高考中越來(lái)越受到重視，特別是中檔題或難題這些用以考查思維能力的試題題目，解答過(guò)程中無(wú)一不包含著重要的數(shù)學(xué)思想。這些現(xiàn)象都表明以往的生搬硬套已經(jīng)不再適用于現(xiàn)在的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，必須要鍛煉自己應(yīng)用數(shù)學(xué)思想去解決問(wèn)題的意識(shí)，培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維和眼光，提高自己的數(shù)學(xué)能力。一、數(shù)學(xué)思想的含義及運(yùn)用1.分類(lèi)討論思想有時(shí)候一個(gè)問(wèn)題之所以顯得較為復(fù)雜，是因?yàn)槠渲邪恍┎淮_定的因素，例如：函數(shù)解析式中的參數(shù)，方程有多個(gè)解、三角函數(shù)的周期性等。分類(lèi)討論思想就是根據(jù)所研究對(duì)象因受到某種不確定因素的影響產(chǎn)生了多種情況，從而將其分成不同的情況進(jìn)行分析解決，從而將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)“化整為零，各個(gè)擊破”的策略?xún)?yōu)化解題思路，從而降低難度。分類(lèi)討論思想是高中數(shù)學(xué)中的一種計(jì)較常見(jiàn)的思想，它對(duì)于人的思維發(fā)展有著很大的促進(jìn)作用，在歷年的高考試題中它都會(huì)被做為一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容來(lái)考查。例：求函數(shù)f(x)x2mx1在區(qū)間3,1[]上的最值.【問(wèn)題分析】 （1）本題考查含參二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，因?yàn)榻馕鍪街泻袇?shù)，所以本題會(huì)出現(xiàn)多種情況，進(jìn)而想到用分類(lèi)討論思想來(lái)解決；（2）由于參數(shù)在一次項(xiàng)系數(shù)中，所以會(huì)對(duì)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸產(chǎn)生影響，而恰恰二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸又能影響到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而影響到函數(shù)的最值點(diǎn)，所以本題應(yīng)通過(guò)討論對(duì)稱(chēng)軸的位置來(lái)解決；（3）對(duì)于圖像開(kāi)口向上的二次函數(shù)，當(dāng)一點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸的水平距離越大時(shí)，該點(diǎn)處的函數(shù)值越大，反之則越小。所以討論最大值時(shí)，應(yīng)分為對(duì)稱(chēng)軸在給定區(qū)間中點(diǎn)的左側(cè)或右側(cè)兩種情況來(lái)討論；討論最小值時(shí)，應(yīng)分對(duì)稱(chēng)軸在給定區(qū)間的左側(cè)，內(nèi)部，右側(cè)三種情況來(lái)討論。這樣一來(lái)，如果把最大值與最小值放在一起來(lái)考慮，就會(huì)把對(duì)稱(chēng)軸的位置分為四種情況：①區(qū)間左側(cè)；②區(qū)間左端點(diǎn)與中點(diǎn)之間；③區(qū)間中點(diǎn)與右端點(diǎn)之間；④區(qū)間右側(cè)?！窘獯疬^(guò)程】)時(shí)，解：①當(dāng)m 2(]1,即m[,2最大值為f(3)m10，最小值為f)1(m2；②當(dāng)m22,1(]即m[,42)時(shí)，最大值為f(3)m10，最小值為f(m)m21；24③當(dāng)m2(3,2]即m[,64)時(shí)，最大值為f)1(m2，最小值為f(m)m21；24④當(dāng)m 2(,3)即m(,6)時(shí)，最大值為f)1(m2，最小值為f(3)m10；2.數(shù)形結(jié)合思想“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！边@是我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)的話。在數(shù)學(xué)中，代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，在很多情況下，二者可以相互轉(zhuǎn)化，相互促進(jìn)。恩格斯是如此來(lái)定義數(shù)學(xué)的：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！彼裕瑪?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的發(fā)展的必然產(chǎn)物，是世間萬(wàn)事萬(wàn)物的和諧統(tǒng)一。數(shù)形結(jié)合思想就是在研究問(wèn)題的過(guò)程中，把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考查，主要考查二者之間的相互轉(zhuǎn)化與相互促進(jìn)作用，根據(jù)具體情況，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，用代數(shù)運(yùn)算的方法得出一些幾何里的結(jié)論，或者把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何的問(wèn)題，利用幾何圖形的直觀性化簡(jiǎn)代數(shù)運(yùn)算中比較繁瑣的過(guò)程，二者互相取長(zhǎng)補(bǔ)短，使得一個(gè)繁雜的問(wèn)題變得比較簡(jiǎn)單。數(shù)形結(jié)合思想在解決集合，函數(shù)，方程與不等式，向量等問(wèn)題中都發(fā)揮著很大的作用，尤其是在解析幾何中，更是體現(xiàn)得淋漓盡致。歷年高考中對(duì)這方面的考查都很多，比如圓錐曲線一般都會(huì)占到20分左右，因此熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是非常重要的。C2例：已知一個(gè)動(dòng)圓P與兩個(gè)定圓都外切，定圓C1(:x4)2y2100，定圓(:x4)2y24，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程?！締?wèn)題分析】

此題是解析幾何中的一道關(guān)于軌跡方程的問(wèn)題，如果直接運(yùn)用方程求解的方法將會(huì)非常麻煩，而如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過(guò)在平面直角坐標(biāo)系下畫(huà)出圖形，利用“形”的直觀就可以很簡(jiǎn)便地求出“數(shù)”的問(wèn)題?！窘獯疬^(guò)程】解：設(shè)動(dòng)圓的圓心為P(x,y)，半徑是，由題可知定圓C1的圓心是(0,4)，半徑是10；定圓C2的圓心是(0,4)，半徑是2；如上圖所示，動(dòng)圓P與定圓C1是內(nèi)切關(guān)系，所以|C1P|10r，與定圓C2是外切關(guān)系，所以|C2P|r2，所以|C1P||C2P|12|C1C2|，所以點(diǎn)P的軌跡是橢圓。易知c4，a6，所以b2a2c220，動(dòng)圓P圓心的軌跡方程是x2 2y201。363.函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程是數(shù)學(xué)中解決問(wèn)題的兩大利器。方程思想是利用已知數(shù)與未知數(shù)建立等量關(guān)系，通過(guò)設(shè)未知數(shù)列方程，然后求值從而達(dá)到解決問(wèn)題的方法。方程思想常用于幾何動(dòng)點(diǎn)類(lèi)型的問(wèn)題中，將變化的量設(shè)為未知數(shù)，從而達(dá)到動(dòng)中有靜、靜中有動(dòng)、以靜制動(dòng)的效果。函數(shù)是研究變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，函數(shù)思想就是利用變化量變化時(shí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)分析和解決問(wèn)題，通過(guò)已知的數(shù)量特征及關(guān)系建立函數(shù)表達(dá)式，然后用函數(shù)知識(shí)去解決問(wèn)題的方法。函數(shù)思想的關(guān)鍵就是構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)知識(shí)主要體現(xiàn)在函數(shù)的增減性、最大值和最小值、等，高中階段要熟練掌握基本初等函數(shù)的具體特性。例：（2022·全國(guó)·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36p，且3￡￡33，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）A．é 81ê?18,4ùú?B．éê?27814 , 4ùú?C．éê?27644 , 3ù

ú?D．[18,27]【問(wèn)題分析】

設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，進(jìn)而表示出體積之后，再利用之前的關(guān)系把所有的未知量全部轉(zhuǎn)化為側(cè)棱長(zhǎng)，最終把正四棱錐的體積轉(zhuǎn)化為關(guān)于側(cè)棱長(zhǎng)的函數(shù)，利用求導(dǎo)的方法得出函數(shù)的單調(diào)性與最值點(diǎn)，最終確定體積的取值范圍。【解答過(guò)程】

∵球的體積為36p，所以球的半徑R=3,設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，高為，則l2=2a2+h2，32=2a2+(3-h)2,=1l?4-l6?所以6h=l2，2a2=l2-h2所以正四棱錐的體積V 1=3Sh1

=′34a2′h2

=′3(l2-l4)′l23669?

è36÷，?所以V 1￠=9?

?4lè3-l5? 1÷?

=9l3?24?è-l2?

÷，

?6664，當(dāng)3￡￡26時(shí)，V￠>0，當(dāng)26<￡33時(shí)，V￠<0，所以當(dāng)l=26時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為3又l=3時(shí)，V=27，l=33時(shí)， 81V=4,4所以正四棱錐的體積V的最小值為27，4所以該正四棱錐體積的取值范圍是éê?27644 ， 3ù

ú?.故選：C.4.轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在分析和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，使用整體、換元等方法將原有問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一種更為簡(jiǎn)潔的問(wèn)題，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種數(shù)學(xué)方法。更具體的來(lái)說(shuō)就是將待解決或尚未解決的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化或再轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題，或者歸結(jié)為一個(gè)已為人們所熟知的具有既定方法或程序的問(wèn)題，最終得到問(wèn)題解決的思想方法。主要包含以下四個(gè)方面：1.化繁為簡(jiǎn)；2.化難為易；3.化未知為已知；4.化大為小。比如有時(shí)候可以把問(wèn)題中某些比較繁瑣的部分看成一個(gè)整體，利用換元法的思想使問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔一些。例：已知x,yR且2x3y23x，那么（）xy0A.xy0B.xy0C.xy0D.【分析】如果從函數(shù)的角度來(lái)思考，不等式左右兩邊都是二元函數(shù)，但是目前學(xué)生只學(xué)習(xí)過(guò)一元函數(shù)，為此先把不等式化為2x3x2y3y，使得兩邊都先化為一元函數(shù)，此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)是一樣的，于是可以構(gòu)造函數(shù)f(x)2x3x，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把不等式問(wèn)題化歸為函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題?！窘獯疬^(guò)程】解：原式通過(guò)移項(xiàng)可得2x3x2y3y，即2x3x2y3(y).構(gòu)造函數(shù)f(x)2x3x.因?yàn)閥2x是R上的增函數(shù)，y3x是R上的減函數(shù)，根據(jù)“增-減=增”的原則可得f(x)2x3x是R上的增函數(shù).所以2x3x2y3(y)即可化為f(x)f(y)，所以xy即xy0，故選B.二、課堂教學(xué)中對(duì)高中數(shù)學(xué)核心思想的培養(yǎng)教師在教學(xué)中應(yīng)重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，除了要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能，還應(yīng)該重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生將代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形的互相結(jié)合的思想，遇