線性系統(tǒng)理論離散線性系統(tǒng)理論

線性系統(tǒng)理論離散線性系統(tǒng)理論第1頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六為系統(tǒng)的輸入解耦零點(diǎn)；稱(chēng)滿(mǎn)足為系統(tǒng)的輸出解耦零點(diǎn)；的定義11.1.1對(duì)于系統(tǒng)（11.1.5）

我們稱(chēng)滿(mǎn)足的11.1離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述11.1.1離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第2頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六11.1.2

脈沖傳遞函數(shù)矩陣

脈沖傳遞函數(shù)矩陣為的有理分式矩陣，并且通常只討論為真的和嚴(yán)格真的情況，因?yàn)榉钦娴膶⒉痪哂幸蚬?，即?huì)出現(xiàn)還沒(méi)有加入輸入作用而已產(chǎn)生輸出響應(yīng)的現(xiàn)象，這是不符合一般的物理可實(shí)現(xiàn)性的。稱(chēng)滿(mǎn)足的為系統(tǒng)的傳輸零點(diǎn)。

第3頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六11.2

離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析

從數(shù)學(xué)角度看，線性離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析，歸結(jié)為對(duì)時(shí)變的線性差分方程或定常的線性差分方程進(jìn)行求解。第4頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第5頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六.令，則由已知和，從式（11.2.1）求得(為給定問(wèn)題的時(shí)間區(qū)間末時(shí))11.2.2線性離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律定義11.2.1矩陣差分方程和

第6頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六的解陣和分別稱(chēng)為線性時(shí)變離散系統(tǒng)和線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。第7頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六和線性定常離散系統(tǒng)定理11.2.1令和分別為線性時(shí)變離散系統(tǒng)

的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則其表達(dá)式分別為

第8頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六所描述的線性時(shí)變離散系統(tǒng)，其狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為

和

其中

定理11.2.2對(duì)于式第9頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六所描述的線性時(shí)變離散系統(tǒng)，其狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為

或

其中，是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。定理11.2.3對(duì)于

或

第10頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六11.3

線性連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)間離散化11.3.1實(shí)現(xiàn)方法下圖是將連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)化為離散時(shí)間系統(tǒng)的一種典型情況。受控對(duì)象是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，其狀態(tài)，輸出和輸入都是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)向量?？刂蒲b置由數(shù)模轉(zhuǎn)換器、數(shù)字計(jì)算機(jī)、模數(shù)轉(zhuǎn)換器構(gòu)成。它只能輸入離散時(shí)間變量，并輸出離散時(shí)間變量，其中離散時(shí)間序列。第11頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第12頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六11.3.3

基本結(jié)論定理11.3.1給定線性連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)則其在基本假設(shè)下的時(shí)間離散化模型為

并且兩者的系數(shù)矩陣間存在如下的關(guān)系式：

第13頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六其中，為采樣周期；是連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，第14頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理11.3.2在前述基本假設(shè)下，線性連續(xù)定常系統(tǒng)的時(shí)間離散化模型為其中

第15頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六推論11.3.1時(shí)間離散化不改變系統(tǒng)的時(shí)變性或定常性，即時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)離散化后仍為時(shí)變系統(tǒng)，而定常連續(xù)系統(tǒng)離散化后仍為定常系統(tǒng)。推論11.3.2不管連續(xù)系統(tǒng)矩陣或是否為非奇異，但離散化系統(tǒng)的矩陣或?qū)⒁欢ㄊ欠瞧娈惖?。推?1.3.3對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)間離散化系統(tǒng)，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必是非奇異的。第16頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六稱(chēng)為是穩(wěn)定的，如果對(duì)于任給的11.4離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性11.4.1離散時(shí)間系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性定義11.4.1離散線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及任何非負(fù)整數(shù)，存在使當(dāng)時(shí)，有

對(duì)于所有成立。第17頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六，使得當(dāng)無(wú)關(guān)）及任意非負(fù)整數(shù)稱(chēng)為是一致漸近穩(wěn)定的，如果它是一致穩(wěn)定的，同時(shí)對(duì)每個(gè)稱(chēng)為是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的，同時(shí)存在一個(gè)定義11.4.2離散系統(tǒng)的平衡點(diǎn)時(shí)，有

定義11.4.3離散系統(tǒng)

的平衡點(diǎn)，存在一個(gè)（與和及一（與無(wú)關(guān)），使當(dāng)?shù)?8頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六時(shí)，對(duì)于所有，有

對(duì)于所有成立。定義11.4.4離散系統(tǒng)

的平衡點(diǎn)稱(chēng)為是指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在一，且對(duì)每個(gè)，存在使當(dāng)時(shí)有

對(duì)于所有成立。第19頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第20頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六稱(chēng)為是大范圍一致漸近穩(wěn)定的，如果1.它是一致穩(wěn)定的；2.方程的解是一致有界的；3.對(duì)任何時(shí)趨于零。定義11.4.8

該離散系統(tǒng)的平衡點(diǎn)稱(chēng)為是大范圍穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的，并且方程的每個(gè)解當(dāng)定義11.4.7

該離散系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，任何及存在（與無(wú)關(guān)），使得當(dāng)時(shí)，有

對(duì)于所有成立。第21頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定義11.4.9離散系統(tǒng)

的平衡點(diǎn)稱(chēng)為是大范圍指數(shù)穩(wěn)定的。如果存在，并對(duì)任何，存在，使當(dāng)時(shí)，有

對(duì)于所有成立。第22頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理11.4.1（離散系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定判據(jù)）對(duì)于離散系統(tǒng)

11.4.2離散時(shí)間系統(tǒng)的Lyapunov主穩(wěn)定性定理如果存在一個(gè)相對(duì)于的標(biāo)量函數(shù)，且對(duì)任意滿(mǎn)足：1.為正定的；3.當(dāng)時(shí)有

則原點(diǎn)平衡狀態(tài)，即為大范圍漸近穩(wěn)定。2.負(fù)定；第23頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第24頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

時(shí)，系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)，即推論11.4.1對(duì)于離散系統(tǒng)（11.4.1）

設(shè)，則當(dāng)收斂，即對(duì)所有，有

為大范圍漸近穩(wěn)定。第25頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六的最小多項(xiàng)式的單根。2.其唯一平衡狀態(tài)是Lyapunov意義下穩(wěn)定的充要條件是，定理11.4.3對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)（11.4.5）有：1.其每一個(gè)平衡狀態(tài)的幅值均等于或小于1，且幅值等于1的那些特征值是11.4.3線性離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定的全部特征值第26頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第27頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第28頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

一致漸近穩(wěn)定的充要條件是對(duì)于任何一致有界、一致對(duì)稱(chēng)正定的階的對(duì)稱(chēng)矩陣，如果存在定義11.4.10設(shè)為一，使得對(duì)于所有的均成立

便稱(chēng)矩陣為一致有界、一致正定的。定理11.4.5離散時(shí)變性系統(tǒng)

矩陣Lyapunov差分矩陣方程

第29頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第30頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由式（11.4.12）定義，則多項(xiàng)式

11.4.4Schur-Cohn判據(jù)

定理11.4.6

（Schur-Cohn判據(jù)）已知由式（11.4.11）表出的多項(xiàng)式為Schur的充要條件是

此處規(guī)定。第31頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六11.5

離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)器11.5.1能控性和能達(dá)性第32頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第33頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第34頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

其中，定理11.5.4（定常離散系統(tǒng)的秩判據(jù)）當(dāng)為定常時(shí)，線性離散系統(tǒng)（11.5.1）為完全能控的充要條件是

為系統(tǒng)的維數(shù)。第35頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六推論11.5.2考慮單輸入定常離散系統(tǒng)

其中，為維狀態(tài)向量；為標(biāo)量輸入；假定為非奇異。當(dāng)系統(tǒng)為完全能控時(shí)，可構(gòu)造如下的控制

使在步內(nèi)將任意狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的原點(diǎn)上。第36頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六的任意非零初態(tài)定義11.5.2如果對(duì)初始時(shí)刻，都存在有限時(shí)刻，且可由上的輸出唯一地確定則稱(chēng)系統(tǒng)在時(shí)刻是完全能觀測(cè)的。

第37頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理11.5.5（時(shí)變離散系統(tǒng)的Gram矩陣判據(jù)）線性時(shí)變離散系統(tǒng)（11.5.15）

為完全能觀的充要條件是，存在有限時(shí)刻，在時(shí)刻，使如下定義的Gram矩陣

為非奇異的。第38頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理11.5.6（定常離散系統(tǒng)的秩判據(jù)）線性時(shí)變離散系統(tǒng)

為完全能觀的充要條件是

或

第39頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六為標(biāo)量輸出。當(dāng)系統(tǒng)完全能觀測(cè)時(shí)，可只利用推論11.5.3考慮單輸出定常離散系統(tǒng)

其中，為維狀態(tài)向量；步內(nèi)的輸出值而構(gòu)造出任意的非零狀態(tài)第40頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六11.5.4規(guī)范分解與規(guī)范型

定理11.5.7定常線性系統(tǒng)

代數(shù)等價(jià)于下述按能控性結(jié)構(gòu)分解的規(guī)范型

第41頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期六其中，維能觀分狀態(tài)向量，即按能觀性結(jié)構(gòu)分解的規(guī)范型

為維能控分狀態(tài)向量