實踐數(shù)學(xué)教學(xué)公理的幾個切入點

實踐數(shù)學(xué)教學(xué)公理的幾個切入點

近來，我國老一輩數(shù)學(xué)教育專家陳振宣先生振臂一呼、旗幟鮮明地提出了數(shù)學(xué)教學(xué)公理[1]，這是數(shù)學(xué)教學(xué)“減負(fù)增效”[2]的一劑良方。數(shù)學(xué)教學(xué)公理的要義是，興趣作為一種情感智力因素（過去的提法是非智力因素）很大程度上影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果。教學(xué)實踐表明，教師的專業(yè)素養(yǎng)、教師的教學(xué)智慧、數(shù)學(xué)語言與表達能力、數(shù)學(xué)的情感態(tài)度、教師的知識廣博程度、教師的研究能力和成果、教師的人格魅力，都會感染學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。因此可以說，興趣是學(xué)習(xí)最好的老師，老師則是學(xué)生興趣最好的調(diào)動者。本文談?wù)剬嵺`數(shù)學(xué)教學(xué)公理的幾個切入點，作為對數(shù)學(xué)教學(xué)公理的注解，一、教學(xué)引入環(huán)節(jié)趣引，激發(fā)學(xué)生興趣如果教師時常能夠結(jié)合學(xué)生的心理特點和數(shù)學(xué)能力的最近發(fā)展區(qū)，用講故事、打比方、引詩詞、說成語、提問題的方式引入新的概念或研究對象，往往能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，激活學(xué)生的思維。當(dāng)然，這樣引入的要求是引入過程必須是有效的、簡短的、有針對性的，避免學(xué)生被旁枝末節(jié)干擾。比如，學(xué)習(xí)“映射”時教師提出問題：奇數(shù)集與偶數(shù)集相比，哪個元素多？奇數(shù)集與整數(shù)集相比，哪個元素多？圓與線段相比，哪條曲線上面的點多？這些問題，總是能夠激發(fā)學(xué)生興趣與思考，教師順勢就能引入“映射”的概念了。再比如，學(xué)習(xí)“極限”時教師可以提出問題：0.9與1哪個大？也可以引入李白的詩篇：“故人西辭黃鶴樓，煙花三月下?lián)P州。孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見長江天際流”，后兩句描繪的孤帆漸行漸遠(yuǎn)的意境就蘊含了極限思想。甚者還可以講故事：“一個誤人沙漠的人身上只帶了一個燒餅，為了維持下去，他規(guī)定自己每天只吃剩存的燒餅的一半，即第一天吃個，第二天吃個，第三天……，請問他的生存法則能夠幫他逃過劫難嗎？”回答是：不能。原因是他雖然每天都有燒餅吃，但畢竟每天可吃的量越來越少，最終難以支撐。我們可以看一看，燒餅可吃的量最終如何發(fā)展下去？回答是：接近零?！@就是極限。又比如，引入“球面距離”時提出問題：將長度適宜的一根橡皮筋的兩端固定在籃球的兩個點處，觀察橡皮筋繃緊時，得到的圓弧半徑是多少？它是球面上兩點間的最短距離嗎？通過對這個問題的分析，自然而然就獲得了結(jié)論：球面上兩點間的最短距離，就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做這兩點的球面距離，這種引入遠(yuǎn)比直接向?qū)W生拋出球面距離的定義要好。這樣的例子舉不勝舉。二、問題理解環(huán)節(jié)趣解，激發(fā)學(xué)生興趣學(xué)生對于許多問題的理解，甚至許多教師對于問題的講解，往往是隔靴搔癢，越講越糊涂，課堂氣氛令人尷尬。有時，如果教師能夠采用趣解的方式講解，問題理解起來就能入木三分。筆者曾記得自己的小學(xué)時代，部分同學(xué)理解“加法的交換律”有點困難，老師便講起了“朝三暮四”的典故，會心一笑之后，同學(xué)們的疑惑竟然全部釋然。筆者在高中教學(xué)中也積累了許多趣解的案例。比如，研究不等式時，與糖水濃度聯(lián)系起來：往糖水中加糖，糖水更甜；理解“平面向量基本定理”時，教師娓娓道來：從向量的線性組合中“抽象”出系數(shù)來，作為向量的坐標(biāo)，這就好比修辭學(xué)中的“借代”，用系數(shù)（坐標(biāo)）代表線性組合；“切割線定理”的應(yīng)用時，教師即興引入唐代詩人王之煥的千古名篇：“白日依山盡，黃河入海流。欲窮千里目，更上一層樓?！辈⒅v到：“要看到千里之遠(yuǎn)，只要登上三米高的一樓即可”——學(xué)生大笑。教師順勢問：“如果地球的半徑是6400公里，那么到底要登到多高呢？”學(xué)生困惑、沉默、思考。兩分鐘之后教師提示：“可否把地球的截面看成圓？”學(xué)生豁然開朗：“哦，用切割線定理……”接著畫出圖形，開始演算（答案是約19.5公里，當(dāng)然這個問題用勾股定理解答也很好）。[3]三、在錯誤辨析中喚醒學(xué)生的興趣幫助學(xué)生糾正錯誤認(rèn)識，剖析錯誤原因，可以讓學(xué)生在頓悟中喚醒學(xué)習(xí)興趣。問題1-1為什么“邊邊角”不能判定三角形全等？圖1類似的問題有：問題1-2為什么“一組對邊相等和一組對角相等”不能判定平行四邊形？這個問題的反例如圖2所示：四邊形不是平行四邊形（四邊形是平行四邊形）。圖2高中階段則可以對問題1-1作更為一般的研究：問題1-3已知a、b、A（A為銳角），解三角形ABC?討論。與bsinA的大小，不難獲得下面圖3所示的結(jié)論：圖3問題2在空間中，給出以下4個命題：①兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形；②四邊相等的四邊形是菱形；③四邊相等且四角相等的四邊形是正方形；④三個角為直角的四邊形是矩形。其中真命題的個數(shù)是()。A.0個B.1個C.2個D.3個這些命題在平面上都真。能否推廣到空間呢？關(guān)鍵是看會不會出現(xiàn)反例。如圖4，將平行四邊形沿對角線折起，此時兩組對邊仍相等，而它是空間四邊形，故命題①假。同理，命題②假。如圖4，將菱形AB-CD沿對角線AC折到一定程度時，∠DAB=∠B=∠D=∠BCD，此時四邊相等且四角相等，而它是空間四邊形，故命題③假。如圖5，將正方形的頂點A抬高至點，保證⊥面ABCD，由三垂線定理，，空間四邊形中有三個直角，故命題④假。本題選A?？臻g基本概念與平面基本概念有顯著差別，適時地進行對比，既可以幫助學(xué)生糾正錯誤認(rèn)識、建立正確的空間概念，又能喚醒他們的學(xué)習(xí)興趣。圖4圖5四、總結(jié)解題口訣，變苦學(xué)為樂學(xué)學(xué)生的解題活動，幾乎天天都在進行；獲得一套有效的解題方法，則是師生們孜孜以求的事情。筆者曾與連續(xù)幾屆的學(xué)生摸索出幾句“高中數(shù)學(xué)的解題口訣”[4]，在學(xué)生中產(chǎn)生了強烈反響：以上口訣按解題步驟分為三步，一是“審題、構(gòu)思”，二是“動筆求解”，三是“檢驗、作答”?？谠E適合高中數(shù)學(xué)的大小題型，只不過小題全過程在草稿上進行而已眾所周知，要很好地解答數(shù)學(xué)題，考出好成績，絕非一朝一夕之功，即便自己有了“口訣”，也是如此。因此還要補充四句：速度齊天，要靠鍛煉，沉著冷靜，高分出現(xiàn)。五、與學(xué)生共克難關(guān)，激發(fā)學(xué)生興趣教師們總有這樣的體會：眾難之處，必有文章。面對教學(xué)難點，教師若能及時出現(xiàn)，幫助學(xué)生總結(jié)規(guī)律，既能與學(xué)生共克難關(guān)，又能激發(fā)學(xué)生興趣。比如，排列組合綜合應(yīng)用問題中有一類“分組、分配”的問題，由于其問題形式、解答形式變化多端，理解、應(yīng)用起來頗感棘手、錯誤頻發(fā)，教師可以與學(xué)生共同探討，獲得這一類問題的統(tǒng)一結(jié)論[5]。根據(jù)筆者的經(jīng)歷，教師可以引導(dǎo)學(xué)生首先意識到：①這一類問題涉及前后兩方面的事情：先前將全部元素分成若干組（我們稱之為“分組”，暫不涉及人），有的還需在此基礎(chǔ)上將“元素組”分配給若干人（我們稱之為“分配”，人數(shù)與元素組數(shù)相同）；②其中“分組問題”又分為“均勻分組”和“非均勻分組”兩類。所謂“均勻分組”，是指分出的各組元素的個數(shù)相等，在計算其分組方法數(shù)時總數(shù)應(yīng)除以r?。ㄆ渲衦是“均勻分組”的組數(shù)）。例如將3n個元素平均分成3組，每組n個元素，其分法總數(shù)為。還有所謂“局部均勻分組”，是指分出的若干組元素的個數(shù)相等，在計算其分組方法數(shù)時總數(shù)應(yīng)除以r!（其中r是元素個數(shù)相同的組數(shù)）。例如，將3n+1個元素分成“n,n,n+1”3組，分法數(shù)應(yīng)為。然后獲得此類問題的統(tǒng)一結(jié)論：將此類問題按照乘法原理，認(rèn)定為“先分組后分類”的模型，解法如下：①第一步，分組時區(qū)分“均勻分組”（包括“局部均勻分組”）和“非均勻分組”。凡“均勻分組”，其分組方法數(shù)為“既選又除”（除以r!，其中r是“均勻分組”的組數(shù)，“局部均勻分組”中r指“均勻分組”的組數(shù)）；凡“不均勻分組”，其分組方法數(shù)為“只選不除”。②第二步，考慮是否將分組結(jié)果再分配給人，若否，則計數(shù)結(jié)果到第一步停止；若是，則再考慮是否將各元素組做全排列（乘以r!或，其中r是元素組數(shù)即人數(shù)），按乘法原理得出問題的答案。一言以蔽之，“先分組后分類”模型應(yīng)用的關(guān)鍵是：搞清分組是否均勻、搞清分組后是否需要再分配。再比如，數(shù)列求和問題一直是高考的熱點問題，并常與函數(shù)、不等式知識進行交匯，表現(xiàn)形式有兩種：一是求和的精確值；二是求和的近似值（估計和式的上、下界）。2002年全國高考、2003年全國春季高考（安徽卷）、2004年全國高考（西部地區(qū)使用）都以數(shù)列求和估計作為壓軸題，引人注目。2004年筆者與學(xué)生一道獲得了破解這三道題的一個基本方法[6]：“用無窮遞縮等比數(shù)列所有項的和估計部分和”，具體說來就是：設(shè)無窮遞縮等比數(shù)列首項，公比q(0＜q＜1)，則其部分和小于所有項的學(xué)生掌握了這一基本方法，碰到此類問題就不再“心發(fā)虛、腳發(fā)軟”了。又比如，均值不等式的使用是一個學(xué)習(xí)難點，筆者從最常用的均值不等式出發(fā)，為學(xué)生介紹4個使用技巧”[7]，就能很好地幫助同學(xué)們熟悉并掌握其簡單使用。這4個技巧是：①簡單累加累乘，即無需分組，優(yōu)先考慮對原有各組分別使用均值不等式，再做累加累乘即可；②重新分組，即需將原有各組打亂、重新分組，化為第①類問題；③一分為二，即將不等式一邊的各項平均拆成兩項，兩兩輪流搭配分組，此后化為第①類問題；④添加對立面，即有時僅僅對不等式一邊進行各種變換達不到目的，可以考慮添加不等式另一邊所有項，我們形象地稱之為“添加對立面”。六、引導(dǎo)學(xué)生體會成功的喜悅教師現(xiàn)在能夠普遍認(rèn)同，引導(dǎo)學(xué)生體會成功的喜悅是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的有效途徑之一。比如，在高中教學(xué)中有這樣一道題：設(shè)p＞0，q＞0，且求證p+q≤2。有趣的是，