剖析折疊本質(zhì) 構(gòu)建基本模型 把握問題關(guān)聯(lián) 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選剖析折疊本質(zhì)構(gòu)建基本模型把握問題關(guān)聯(lián)摘要：把正方形折疊使得頂點(diǎn)落在一條邊上，這個圖形中蘊(yùn)含著豐富的關(guān)系，從幾何圖形的結(jié)構(gòu)入手，剖析折疊本質(zhì)，建立折疊前后基本圖形的特征以及彼此聯(lián)系，理清結(jié)構(gòu)、看透內(nèi)涵、找準(zhǔn)突破口，最終形成解題經(jīng)驗(yàn).平時堅(jiān)持這樣的訓(xùn)練，這將對學(xué)生的幾何直觀將會大有裨益！關(guān)鍵詞：折疊；正方形；轉(zhuǎn)化；核心素養(yǎng)引言：折疊問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)問題，備受命題老師的青睞，主要考查學(xué)生空間想象、觀察、動手操作以及幾何推理，綜合性強(qiáng)、思維要求高.解決折疊問題的關(guān)鍵在于，還原折疊過程，理解折疊問題的本質(zhì)——全等變換，洞察折疊中的“變”與“不變”，以及折疊帶來的圖形重組后的新信息，在解決問題時有意識的還原折疊過程，讓圖形中的各種關(guān)系顯現(xiàn)出來，正如華羅庚所說：“善于退，足夠的退，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的訣竅.”.本文對一類正方形折疊為背景的圖形多方位分析，理清圖形實(shí)質(zhì)，探究拓展，一圖多問、一圖多變，通過3個例題的應(yīng)用加強(qiáng)幾何推理經(jīng)驗(yàn)的積累，從而提升學(xué)生的解題能力.一、圖形分析如圖1，正方形ABCD，邊長AB=a，點(diǎn)MN分別為邊ADBC上的點(diǎn)，連接MN，將四邊形DCNM沿著MN折疊至EFNM，若點(diǎn)D恰好落在邊AB上點(diǎn)E處，點(diǎn)C落到點(diǎn)F，EF交BC于點(diǎn)G.A M D A M D A M DE E EHBGFNCBGNCBG

F圖3NCABHM為矩H

F圖2圖1結(jié)論1（正方形十字架結(jié)構(gòu)）連接DE，則MN^DEMN=DE;分析：如圖2，由折疊易知MN^DE,過點(diǎn)M作MH^BC，則四邊形12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選形，段從而MH=AB=AD,可證DMHN@DDAEASA(),則MN=DE,即MN^DEMN=DE.【評析】解題時常常將折痕MN轉(zhuǎn)化為DE，在RtDAE中進(jìn)行求解.結(jié)論2（正方形夾半角結(jié)構(gòu)）如圖3，連接DG,則DEDG=45o.分析：圖形的折疊問題本身就是“軸對稱”的全等變換，由折疊性質(zhì)可知MN為線DE的中垂線，ME=MD,從而DMED=DMDE，又因?yàn)檎郫B得出DMEF=DMDC=90o,所以DDEF=DEDC,而AB//CD,可知DEDC=DAED，即DAED=DDEF,DE為DAEF的角平分線，過點(diǎn)D作DH^EF,則DH=DA,從而RtDAE@DRtDHEHL(),RtDCG@DRtDHGHL(),DEDG=DEDH+DGDH 1

=DADC2=45o.【評析】正方形夾半角結(jié)構(gòu)中易得EG=AE+GC,平時解題后要善于總結(jié)，仔細(xì)琢磨結(jié)構(gòu)，反思其用途，成為今后解題的重要思維源泉.結(jié)論3如圖4，連接DFCE,則DF=CE.DAMDEOBGNCEHPG，而ED=DE,F

圖4圖5分析：由折疊可知FE=CD，據(jù)結(jié)論2分析知=DEDCDDEF從而DFED@DCDESAS()，所以DF=CE.22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選結(jié)論4隨著點(diǎn)E的移動，DBEG的周長保持不變，始終為2a.DBEG的面積有最大值，當(dāng)BE=BG時，SDBEG最大值=3(-22)a2.分析：如圖3，由結(jié)論2可知，HE=AEHG=CG,所以DBEG的周長等于BE+BG+EG=BE+BG+HE+HG=(BE+EA)(BG+GC)=BA+BC=2a，SDBEG=S正方形ABCD-2SDDHE-2SDDHG=a2-2SDDEG，轉(zhuǎn)化為求DDEG的最大值，觀察DDEG含有定高（DH=a），定角（DEDG=45o）特殊結(jié)構(gòu).AE如圖5，將DDEG單獨(dú)分離出來，作DDEG的外接圓O，連接ODOGOE,由圓周角DEDG=45o,可知圓心角DEOG=90o，過圓心O作OP^EG，設(shè)半徑OD=r，則OP=2r，EG=2r，2根據(jù)點(diǎn)到線垂線段最短可知OP+OD3DH，即2

2r+3a,解得r3(2-2)a，當(dāng)且僅當(dāng)DOP共線時取得最小值，此時=CG,所以EG=2r3(22-2)a，SDDEG 1

=×EGDH231×(22-2)aa×=(2-1)a2，2則SDBEG=a2-2SDDEG￡a2-2(2-1)a2=(3-22)a2.【評析】周長定值的說明也可利用三角形相似性質(zhì)，根據(jù)折疊知DA=DMEG=DB=90o,不妨設(shè)AE=xAM=y，則BE=-xEM=DM=-y，在RtAEM中，由勾股定理可得y=a2-x2，CDAEM=AM,即x+(a-y)+=- yx，2aCDEBGBECDEBG所以CDEBG=a2-x2=a2-x2=2a，這里計算稍顯繁雜，但是這對“一線三直角”相似ya2-x22a32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選三角形在解題時值得關(guān)注.對于定高定角問題，輔助圓也是解決此類最值的有效工具，利用斜大于直的思想確定最值.HG結(jié)論5隨著點(diǎn)E的移動，CDGNF=BEEM=AE+CN.分析：如圖3，由折疊可知FN=CNEF=DC=AB,根據(jù)結(jié)論2分析可知，=CGAE=HE，所以CDGNF=GF+GN+FN=GF+GC=GF+GH=HF,而BE=AB-AEHF=EF-EH,所以CDGNF=HF=BE,由圖2得MD=HC=HN+NC=AE+NC,根據(jù)折疊可知ME=MD,即ME=AE+NC.AMDAMD45°ERE45°RB G

F圖6NCB45°圖7結(jié)論6如圖6，連接對角線BD交折痕MN于點(diǎn)R，連接ER，則DERB=DAEM.分析：圖6可簡化為圖7，由折疊可知DMER=DADB=45o，邊AB上DMER=DABD=45o,聯(lián)想“一線三等角”結(jié)構(gòu)，可知DAER=DAEM+DMER=DERB+DABD，所以DERB=DAEM.【評析】涉及到DERB的三角函數(shù)問題，不需直接構(gòu)造直角三角形，一般往往轉(zhuǎn)化為RtAEM中，快速建立關(guān)系，值得關(guān)注.這與求折痕MN一般轉(zhuǎn)化為DE的策略有異曲同工之妙.42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選二、結(jié)論應(yīng)用例1（2016年江蘇.徐州卷）如圖8，將邊長為6的正方形紙片ABCD對折，使AB與DC重合，折痕為EF，展平后，再將點(diǎn)B折到邊CD上，使邊AB經(jīng)過點(diǎn)E，折痕為GH，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為M，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為N，求折痕GH的長.AGNEDMBFHC圖8得解析：根據(jù)題意可得AE=DE=3,，由結(jié)論4分析易連接BM，識別正方形折疊中十字架結(jié)構(gòu)，折痕GH轉(zhuǎn)化為BMDDEM周長為12，設(shè)CMx=,則DM=-x，EM=12-DE-DM=12-3-(6-x)=+x，在RtDEM中，勾股定理得DE2+DM2=EM2,即23+(6-x)

2=(3+x)

2，解得x=2，在RtBCM中，勾股定理得BC2+CM2=BM2,所以BM=BC2+CM2=62+22=210.根據(jù)正方形十字架結(jié)構(gòu)，GH=BM=210.另解：設(shè)CM=x，由折疊知，MH=BH=-CH,在RtCHM中，由勾股定理得CH2+CM2=HM2,解得CH=-x2，12由折疊可知DHME=DB=90o,易得一線三直角相似RtHCM:RtMDE,52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選所以HC CM=DE,即3-x2x，解得=2,12xx=（舍去），DM=6-x3CM即可，目標(biāo)明確，從而BM=BC2+CM2=210,根據(jù)正方形十字架結(jié)構(gòu)，GH=BM=210.【評析】將目標(biāo)折痕GH轉(zhuǎn)化為線段BM，解題目標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段方便尋找解題策略.例2如圖9，正方形ABCD，邊長AB=9，點(diǎn)MN分別為邊ADBC上的點(diǎn)，連接MN，將四邊形DCNM沿著MN折疊至EFNM，使得點(diǎn)D落在邊AB上點(diǎn)E處，點(diǎn)C落到點(diǎn)F，EF交BC于點(diǎn)G.（1）若AE=3，求CN的長.（2）連接DEDF，求DE+DF的最小值.AMDAMDAMDEEEBGFNCBQGFNCC'BGFNC圖11圖9圖10解析：（1）解法1：由題意可得DMAE:DEBG:DNFG,由折疊可設(shè)AM=x，則MD=ME=-x，在RtMAE中，勾股定理得AE2+AM2=ME2,即32+x2=(9-x)

2，解得x=4，利用相似可得BG 9=2,EG 15=2,所以GF=EF-EG=3,2再利用相似求得NF=2,從而CN=NF=2.解法2：雙勾股，設(shè)CN=x，在RtBNE中，EN2=BE2+BN2,在RtDCN中，DN2=CD2+CN2,由折疊知MN為DE的中垂線，則NE=ND,62022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選所以62+(9-x)

2=92+x2，解得x=2，均為動點(diǎn)），不屬于將軍飲即CN=2.解法3：如圖10，由結(jié)論5知：EM=AE+CN.過點(diǎn)M作MQ^BC,可得QC=MD=5,QN=AE=3,所以CN=QC-QN=2.（2）DE+DF屬于一定（點(diǎn)D為定點(diǎn)）、兩動（點(diǎn)EF馬（一動點(diǎn)兩定點(diǎn)）問題，需要轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)一動點(diǎn)的將軍飲馬類型，由上述結(jié)論4知：DF=CE,.,連接CE,則CE=CE,95.所以DE+DF=DE+CE如圖11，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C'3CD=95,當(dāng)且僅當(dāng)DEC'共線時取得最小值從而DE+DF=DE+CE【評析】平面幾何中線段計算常用策略勾股定理法、三角函數(shù)法以及相似法，對于折疊前后位置的圖形折痕具有垂直平分對應(yīng)點(diǎn)連線，勾股定理建立方程是很有效的數(shù)學(xué)模型，假設(shè)所求線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇合適的直角三角形用勾股定理列出方程求解，但往往也會出現(xiàn)較繁雜的計算，如能挖掘圖中存在的一些特殊圖形關(guān)系，可簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算，如本題的正方形十字架結(jié)構(gòu).例3如圖12，正方形ABCDAB=4,點(diǎn)EF分別在邊ABCD上，將正方形沿著EF折疊，點(diǎn)A恰好落在邊BC上點(diǎn)H處，折痕EF與對角線AC交于點(diǎn)P,連接HP.已知AE=3，求sinDCPH.BHCBHCCQE

PEEPDA圖12 GDFAFGBA圖14DG

F圖13解析：由折疊可知AE=DEAP=HP;DEHP=DBAC=45o，將圖11簡化為圖12，72022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選從而RtBEH為確定的可解三角形，BE=1,HE=3,BH=HE2-BE2=22，想法1：如圖13，過點(diǎn)H作HG^AC，在RtCHG中，可知CH=-22,CG=HG=22-2,設(shè)AP=HP=x，從而PG=AC-CG-AP=42-(22-2)-x=22+-x，在RtDPG中，由勾股定理得HG2+PG2=HP2，即(22-2)

2+(22+-x)

2=x2，解得x=62-6，在RtHPG中：sinDCPH=HG=22-2 1=3.HP62-6想法2：由結(jié)論6可知：DHPC=DBHE.由折疊可知HE=AE=3,DEHP=DEAC=45o，從而DHCP=DEHP=45o,聯(lián)想“一線三等角”結(jié)構(gòu)，可知DBHP=DHCP+DHPC=DEHP+DBHE，所以DHPC=DBHE.在RtBHE中，sinDBHE=BE 1=,EH3即sinDHPC=sinDBHE 1=3.【評析】折疊為背景的圖形變換題目應(yīng)牢牢抓住折疊的本質(zhì)即軸對稱性，保持了折疊前后對應(yīng)線段、對應(yīng)角度的不變性，想法1是從問題直接目標(biāo)入手，將目標(biāo)角構(gòu)造在直角三角形中，將折疊與直角三角形的相關(guān)計算建立聯(lián)系，利用勾股定理解三角形進(jìn)而求出目標(biāo)角的三角函數(shù)值，計算較為復(fù)雜，需要有強(qiáng)大的運(yùn)算能力作保障.想法2是有意識將目標(biāo)角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，觀察圖形由折疊得到DEHP=DEAC=DHCP=45o,聯(lián)想到“一線三等角”中角的處理策略這一經(jīng)驗(yàn)易得：DHPC=DBHE，從而將目標(biāo)角構(gòu)造在確定的RtBHE中，計算十分簡便.此法需要有一定“經(jīng)驗(yàn)積累”和轉(zhuǎn)化意識，考查學(xué)生直觀想象能力和邏輯推理能力.82022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選本題還可改變設(shè)問：如圖14，延長FE交CB的延長線于點(diǎn)Q，求線段QB的長.解析：由點(diǎn)Q的形成，關(guān)注到折痕EF，如圖13連接AH，根據(jù)折疊性質(zhì)可知EF垂直平分AH，即點(diǎn)Q在線段AH的垂直平分線上，連接AQ，易得DQAB=DEHB,從而DQBA:DEBH,所以QB=AB,即QB= 14，解得QB=2.EBBH22另解：由以上可知sinDQAB=sinDEHB 1=3，即QB 1QA=3,又點(diǎn)Q在線段AH的垂直平分線上知：QA=QH,從而QB 1QH=3，即QB=2. 【評析】圖形的折疊，牢牢抓住折痕具有垂直平分對應(yīng)點(diǎn)連線這一重要性質(zhì)，學(xué)會觀察圖形、分析問題、轉(zhuǎn)化問題，形成解決折疊問題的思維方法.三、教學(xué)思考題海無涯，方法和策略是關(guān)鍵！中考備考階段，對于難點(diǎn)突破、效率提升、能力培養(yǎng)以及素養(yǎng)提升需要老師進(jìn)行精心培育和指導(dǎo)，依托解題活動來訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，通過問題載體，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.本文通過對一類以正方形折疊為背景的圖形剖析以及考題應(yīng)用的分析這一典型問題的處理，積累了豐富經(jīng)驗(yàn)，在分析和解決這一類問題過程中感悟轉(zhuǎn)化思想，體會折疊中的不變的規(guī)律和方法，逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、抽象模型等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，這些是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的.正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022