通信原理 第3節(jié)-第3章-1 通信原理

通信原理第3章隨機過程.第3章隨機過程3.1隨機過程的基本概念什么是隨機過程？隨機過程是一類隨時間作隨機變化的過程，它不能用確切的時間函數描述?？蓮膬煞N不同角度看：角度1：對應不同隨機試驗結果的時間過程的集合。

隨機過程與通信系統的關系?通信系統中的信號和噪聲具有一定的隨機性介入系統的干擾和噪聲、信道特性的起伏也是隨機變化的在移動通信中，電磁波的傳播路徑不斷變化，接收信號也是隨機變化的通信中的信源、噪聲、信號傳輸特性都可以使用隨機過程來描述.第3章隨機過程【例】n臺示波器同時觀測并記錄這n臺接收機的輸出噪聲波形樣本函數i(t)：隨機過程的一次實現，是確定的時間函數。隨機過程：

(t)={1(t),2(t),…,n(t)} 是全部樣本函數的集合。n臺接收機性能完全相同工作條件也相同.第3章隨機過程角度2：隨機過程是隨機變量概念的延伸。在任一給定時刻t1上，每一個樣本函數i(t)都是一個確定的數值i(t1)，但是每個i(t1)都是不可預知的。在一個固定時刻t1上，不同樣本的取值{i(t1),i=1,2,…,n}是一個隨機變量，記為

(t1)。換句話說，隨機過程在任意時刻的值是一個隨機變量。因此，我們又可以把隨機過程看作是在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。這個角度更適合對隨機過程理論進行精確的數學描述。.第3章隨機過程角度1：對應不同隨機試驗結果的時間過程的集合。角度2：隨機過程是隨機變量概念的延伸。深度剖析：角度1是每臺整個時間為單位打包出一個結果，然后延伸到n臺角度2為固定一個時間內，n臺結果對應n個固定值，然后延伸到整個時間t圖示.第3章隨機過程3.1.1隨機過程的分布函數設

(t)表示一個隨機過程，則它在任意時刻t1的值

(t1)是一個隨機變量，其統計特性可以用分布函數或概率密度函數來描述。隨機過程

(t)的一維分布函數：隨機過程

(t)的一維概率密度函數： 若上式中的偏導存在的話。.第3章隨機過程隨機過程

(t)的二維分布函數：隨機過程

(t)的二維概率密度函數： 若上式中的偏導存在的話。隨機過程

(t)的n維分布函數：隨機過程

(t)的n維概率密度函數：為什么要引入二維?一維無法描述兩個不同時間的關系.第3章隨機過程3.1.2隨機過程的數字特征均值（數學期望）： 在任意給定時刻t1的取值

(t1)是一個隨機變量，其均值 式中f(x1,t1)－

(t1)的概率密度函數 由于t1是任取的，所以可以把t1

直接寫為t，x1改為x，這樣上式就變?yōu)橐晃兜南氪_定隨機過程中的n維分布函數或分布是十分困難的，通信系統中只需要一些特殊的數字特征就足夠使用。.第3章隨機過程

(t)的均值是時間的確定函數，常記作a(t)，它表示隨機過程的n個樣本函數曲線的擺動中心:a(t).第3章隨機過程方差 方差常記為2(t)。這里也把任意時刻t1直接寫成了t。 因為 所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機過程在時刻t對于均值a(t)的偏離程度。均方值均值平方.第3章隨機過程相關函數

式中，

(t1)和

(t2)分別是在t1和t2時刻觀測得到的隨機變量。可以看出，R(t1,t2)是兩個變量t1和t2的確定函數。協方差函數 式中a(t1

)a(t2

)－在t1和t2時刻得到的

(t)的均值

f2(x1,x2;t1,t2)－

(t)的二維概率密度函數。.第3章隨機過程相關函數和協方差函數之間的關系 若a(t1)=a(t2)=0，則B(t1,t2)=R(t1,t2)互相關函數 式中(t)和(t)分別表示兩個隨機過程。 因此，R(t1,t2)又稱為自相關函數。隨機過程均值為0.第3章隨機過程3.2平穩(wěn)隨機過程3.2.1平穩(wěn)隨機過程的定義定義： 若一個隨機過程(t)的任意有限維分布函數與時間起點無關，也就是說，對于任意的正整數n和所有實數，有 則稱該隨機過程是在嚴格意義下的平穩(wěn)隨機過程，簡稱嚴平穩(wěn)隨機過程。

.第3章隨機過程性質： 該定義表明，平穩(wěn)隨機過程的統計特性不隨時間的推移而改變，即它的一維分布函數與時間t無關： 而二維分布函數只與時間間隔=t2–t1有關：數字特征： 可見，（1）其均值與t無關，為常數a； （2）自相關函數只與時間間隔有關。.第3章隨機過程數字特征： 可見，（1）其均值與t無關，為常數a； （2）自相關函數只與時間間隔有關。 把同時滿足（1）和（2）的過程定義為廣義平穩(wěn)隨機過程。顯然，嚴平穩(wěn)隨機過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。 在通信系統中所遇到的信號及噪聲，大多數可視為平穩(wěn)的隨機過程。因此，研究平穩(wěn)隨機過程有著很大的實際意義。.第3章隨機過程3.2.2各態(tài)歷經性問題的提出：我們知道，隨機過程的數字特征（均值、相關函數）是對隨機過程的所有樣本函數的統計平均，但在實際中常常很難測得大量的樣本，這樣，我們自然會提出這樣一個問題：能否從一次試驗而得到的一個樣本函數x(t)來決定平穩(wěn)過程的數字特征呢?回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經性”（又稱“遍歷性”）。具有各態(tài)歷經性的過程，其數字特征（均為統計平均）完全可由隨機過程中的任一實現的時間平均值來代替。下面，我們來討論各態(tài)歷經性的條件。.第3章隨機過程各態(tài)歷經性條件 設：x(t)是平穩(wěn)過程(t)的任意一次實現（樣本）， 則其時間均值和時間相關函數分別定義為： 如果平穩(wěn)過程使下式成立 則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經性。.第3章隨機過程“各態(tài)歷經”的含義是：隨機過程中的任一次實現都經歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統計平均（均值或自相關函數等）時，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實現的“時間平均”值代替過程的“統計平均”值即可，從而使測量和計算的問題大為簡化。具有各態(tài)歷經的隨機過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。在通信系統中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經條件。.第3章隨機過程

[例3-1]設一個隨機相位的正弦波為 其中，A和c均為常數；是在(0,2π)內均勻分布的隨機變量。試討論(t)是否具有各態(tài)歷經性。

【解】(1)先求(t)的統計平均值： 數學期望.第3章隨機過程自相關函數令t2–t1=，得到可見，(t)的數學期望為常數，而自相關函數與t無關，只與時間間隔有關，所以(t)是廣義平穩(wěn)過程。.第3章隨機過程(2)求(t)的時間平均值 比較統計平均與時間平均，有 因此，隨機相位余弦波是各態(tài)歷經的。.第3章隨機過程3.2.3平穩(wěn)過程的自相關函數平穩(wěn)過程自相關函數的定義：同前平穩(wěn)過程自相關函數的性質—(t)的平均功率—的偶函數—R()的上界 即自相關函數R()在=0有最大值。—(t)的直流功率

表示平穩(wěn)過程(t)的交流功率。當均值為0時，有R(0)=2。.第3章隨機過程3.2.4平穩(wěn)過程的功率譜密度定義：對于任意的確定功率信號f(t)，它的功率譜密度定義為式中，FT(f)是f(t)的截短函數fT

(t)所對應的頻譜函數.第2章確知信號2.2.4功率信號的功率譜密度定義：首先將信號s(t)截短為sT(t)，-T/2<t<T/2

sT(t)是一個能量信號，可以用傅里葉變換求出其能量譜密度|ST(t)|2，由巴塞伐爾定理有 (2.2-41)將定義為信號的功率譜密度P(f)，即.第3章隨機過程對于平穩(wěn)隨機過程(t)，可以把f(t)當作是(t)的一個樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應看作是對所有樣本的功率譜的統計平均，故(t)的功率譜密度可以定義為.第3章隨機過程功率譜密度的計算維納-辛欽關系 非周期的功率型確知信號的自相關函數與其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關系對平穩(wěn)隨機過程同樣成立，即有 簡記為 以上關系稱為維納-辛欽關系。它在平穩(wěn)隨機過程的理論和應用中是一個非常重要的工具，它是聯系頻域和時域兩種分析方法的基本關系式。.第2章確知信號2.3.2功率信號的自相關函數定義： (2.3-10)性質：當=0時，自相關函數R(0)等于信號的平均功率： (2.3-11)功率信號的自相關函數也是偶函數。周期性功率信號：自相關函數定義：

(2.3-12)

R()和功率譜密度P(f)之間是傅里葉變換關系：.第3章隨機過程在維納-辛欽關系的基礎上，我們可以得到以下結論：對功率譜密度進行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率： 上式從頻域的角度給出了過程平均功率的計算法。各態(tài)歷經