最小二乘法介紹

最小二乘法介紹第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六用示波器顯示二極管的伏安特性

用UJ31型電位差計校正電表靈敏電流計的特性研究

霍爾效應(yīng)電子射線的電偏轉(zhuǎn)和磁偏轉(zhuǎn)

應(yīng)變式非平衡電橋?qū)嶒炇静ㄆ鹘榻B最小二乘法線性擬合第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六一、實驗預(yù)習(xí)要求：掌握原理、實驗內(nèi)容，寫出預(yù)習(xí)報告。預(yù)習(xí)報告內(nèi)容包括：實驗名稱、實驗?zāi)康摹嶒炘?、實驗?nèi)容及數(shù)據(jù)表格。物理實驗課基本程序?qū)嶒灢僮鲗嶒瀳蟾鎸嶒烆A(yù)習(xí)第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六二、實驗操作及觀測要求：正確操作，認(rèn)真觀測。實驗數(shù)據(jù)必須由教師檢查簽字。三、寫實驗報告實驗報告內(nèi)容：實驗名稱、實驗?zāi)康?、實驗原理、實驗?nèi)容、數(shù)據(jù)記錄和處理、實驗結(jié)論、實驗討論。要求：版面工整，圖表規(guī)范，結(jié)果正確，討論認(rèn)真。用實驗報告紙寫報告，交報告及時。物理實驗課基本程序?qū)嶒灢僮鲗嶒瀳蟾鎸嶒烆A(yù)習(xí)第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六一、平時實驗考核1、每個實驗項目一考核，給出成績。2、每個實驗項目分三段進(jìn)行考核，一般實驗預(yù)習(xí)20％，實驗操作40%，實驗報告40%。二、期末考試實驗操作考試(60%)和簡答題(40%)三、期末總成績平時成績、實驗報告成績、期末考試成績按比例計算物理實驗課的考核辦法第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六基本的數(shù)據(jù)處理方法有列表法作圖法逐差法最小二乘法第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六列表法列表法是實驗中常用的記錄數(shù)據(jù)、表示物理量之間關(guān)系的一種方法。1.列表法的特點（1）記錄和表示數(shù)據(jù)簡單明了；（2）便于表示物理量之間對應(yīng)關(guān)系；（3）便于隨時檢查數(shù)據(jù)是否合理，及早發(fā)現(xiàn)問題，提高數(shù)據(jù)處理效率等。2.列表的要求（1）欄目清楚，項目分明。（2）寫明表的序號和名稱，標(biāo)明物理量、單位及數(shù)量級。（3）表中所列數(shù)據(jù)應(yīng)是正確反映結(jié)果的有效數(shù)字。（4）注明測量日期、說明和必要的實驗條件。第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六3.列表舉例表1伏安法測100電阻數(shù)據(jù)表

2008/2/10注：（1）電壓表量程7.5V，精度等級1.0。（2）電流表量程50mA，精度等級1.0。（3）常溫常壓條件下測量。（4）采用電流表外接法。第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六作圖法作圖法是將測量數(shù)據(jù)之間的關(guān)系及其變化情況作成圖線直觀地表示出來，并且通過所作圖線求解未知量或經(jīng)驗方程，是一種最常用的粗略的數(shù)據(jù)處理方法。1.作圖法的優(yōu)點（1）能夠直觀地反映各物理量之間的變化規(guī)律，幫助找出合適的經(jīng)驗公式。（2）可從圖上用外延、內(nèi)插方法求得實驗點以外的其它點。（3）可以消除某些恒定系統(tǒng)誤差。（4）有取平均、減小隨機(jī)誤差對結(jié)果的影響的作用。2.作圖要求作圖對于初學(xué)著是一種困難的科學(xué)技巧，必須認(rèn)真遵守作圖規(guī)則，才能繪制出合格的圖線。第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六（1）根據(jù)各變量之間的變化規(guī)律，選擇相應(yīng)類型的坐標(biāo)紙。鼓勵使用優(yōu)秀的軟件，如Origin,Excel計算機(jī)繪圖。（2）正確選擇坐標(biāo)軸的比例和標(biāo)度。（3）注明圖名，坐標(biāo)軸代表的物理量、單位和數(shù)值的數(shù)量級。（4）測量數(shù)據(jù)點應(yīng)采用比較明顯的標(biāo)志符號，如“△、×、○、

、□”等，不能用“·”。（5）變化規(guī)律容易判斷的曲線平滑連線，曲線不必通過每個實驗點，但應(yīng)均勻分布在曲線兩邊；難以確定規(guī)律的曲線可以用折線連接。第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六逐差法逐差法是為了改善實驗數(shù)據(jù)結(jié)果，減小誤差影響而引入的一種實驗及數(shù)據(jù)處理方法。1.逐差法的應(yīng)用條件（1）自變量等間隔變化，y=f(x)，xi+1-xi=c

。（2）函數(shù)關(guān)系可以寫為多項式關(guān)系：y=a0+a1x+a2x2+a3x3+……2.逐差法的應(yīng)用（1）逐項逐差－－判斷函數(shù)關(guān)系對函數(shù)y=f(x)，測得測量列：xi（i=1,2,…,n）、yi（i=1,2,…n）若yi+1－yi＝Δi，基本相等，函數(shù)關(guān)系為：y=a0+a1x。第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六（2）隔項逐差－－求取物理量例如：對下表伏安法測量電阻的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，應(yīng)用逐差法求電阻值。表1伏安法測100電阻數(shù)據(jù)表

2008/2/10注：電壓表量程7.5V，精度等級1.0；電流表量程50mA精度等級1.0是否可以利用逐項求差法?第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六利用逐差法求取物理量，可以充分利用數(shù)據(jù)，消除一些定值系統(tǒng)誤差，減小隨機(jī)誤差的影響，但必須采用隔項逐差方法，否則會失去效果。數(shù)據(jù)分為兩組，隔3項逐差，再取平均。即：第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六在∑νi2=最小的條件下求出的未知量的值，是未知量的最佳值。最小二乘法是應(yīng)用最小二乘法原理處理數(shù)據(jù)的方法。最小二乘法原理建立在數(shù)理統(tǒng)計理論基礎(chǔ)上的一個數(shù)學(xué)原理，被廣泛地應(yīng)用于許多學(xué)科領(lǐng)域。如數(shù)據(jù)處理中的實驗曲線的擬合、經(jīng)驗公式的確定等。最小二乘法應(yīng)用非常廣泛，不僅適用于線性函數(shù)，也可應(yīng)用于非線性函數(shù).但一些非線性的問題也可以轉(zhuǎn)化為線性問題，所以我們只討論一元線性函數(shù)的最小二乘法。一、最小二乘法原理ν

i為殘差，定義為線性函數(shù)的最小二乘法第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六二、一元線性函數(shù)的最小二乘法直線方程一般可表示為從數(shù)學(xué)上看，要求和，似乎只要測量兩次，得和即可。由可求出和但是實際上是行不通的。如果只考慮的誤差，那么從圖１可見，作出直線的斜率和截距的差別很大。由此可見測量的次數(shù)太少是不行的，只要增加測量次數(shù)可以解決問題。

第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)y=bx+a，測得x1，x2……xn和

y1，y2……yn，求a、b。根據(jù)測量數(shù)據(jù)可以得到一組觀測方程：一般情況下，觀測方程個數(shù)大于未知量的數(shù)目時，a和b的解不能確定。因此，現(xiàn)在的問題是如何從觀測方程中確定a和b的最佳值，這就需要采用最小二乘法。假定最佳方程為：y=b0x+a0，其中a0和b0是最佳系數(shù)。為了簡化計算，設(shè)測量中x方向的誤差遠(yuǎn)小于y方向，可以忽略，只研究y方向的差異。殘差方程組為：第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六根據(jù)上式計算出最佳系數(shù)a0和b0，得到最佳方程為：y=a0+b0x一般計算器上都有上述計算功能，計算很方便。第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六必須指出，任何一組觀測值都可以通過上式得到系數(shù)和，也就是說和之間存在線性函數(shù)關(guān)系是預(yù)先設(shè)定好的，因此這種關(guān)系是否可靠需要驗證?？梢酝ㄟ^相關(guān)系數(shù)來描述兩個變量、的線性關(guān)系的明顯程度。是絕對值的數(shù)，越大，說明兩個變量的線性關(guān)系越明顯。若，說明與間線性相關(guān)強(qiáng)烈；，說明實驗數(shù)據(jù)點分散，與無線性關(guān)系；(或）表示隨增加而增加（或隨增加而減?。┑?8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計理論，對于一定的n值，要大于某一臨界值時，才可以認(rèn)為存在線性關(guān)系，下表中給出了各n值對應(yīng)的值。n34567890.99980.9900.9590.9170.8740.8340.798n101112131415160.7650.7350.7080.6840.6610.6410.623n1718192021220.6060.5900.5750.5610.5490.537第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六三、最小二乘法應(yīng)用舉例為確定電阻隨溫度變化的關(guān)系式，測得不同溫度下的電阻如表一。試用最小二乘法確定關(guān)系式：R=a+bt。

表一電阻隨溫度變化的關(guān)系t/℃19.025.030.136.040.045.150.0R/Ω76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10解：1.列表算出：2.寫出a、b的最佳值滿足方程第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六nt/℃R/Ωt2/℃2Rt/Ω℃119.176.303651457225.077.806251945330.179.509062400436.080.8012962909540.082.3516003294645.183.9020343784750.085.1025004255n=7

=245.3

=566.00

=9326

=20044第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六3.寫出待求關(guān)系式：用Excel可以很方便的求出擬合方程例第22頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六四、非線性問題變換成線性問題