2022黑龍江省哈爾濱市第三中學高三第一次模擬考試數(shù)學（理）（word版）

2022年哈三中第一次高考模擬考試數(shù)學試卷（理工類）第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B2.已知為虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D3.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】C4.等差數(shù)列中，為其前n項和，，則的值為（）A.18 B.19 C.180 D.190【答案】D5.為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等共5名志愿者將兩個吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安裝在學校的體育廣場，每人參與且只參與一個吉祥物的安裝，每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝．若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C6.人們把最能引起美感的比例稱為黃金分割．黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為稱為黃金分割比．人們稱底與腰之比為黃金分割比的三角形為最美三角形，它是一個頂角為的等腰三角形，由此我們可得（）A. B. C. D.【答案】A7.已知是定義在R上的偶函數(shù)，是的導函數(shù)，當時，，且，則的解集是（）A. B.C. D.【答案】B8.直線與圓有兩個不同交點的一個必要不充分條件是A B. C. D.【答案】C9.已知一個幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖為等腰三角形，則該幾何體的體積為（）A. B. C.2 D.【答案】B10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A.的最小正周期為B.是圖象的一個對稱中心C.是圖象的一條對稱軸D.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，即可得到函數(shù)的圖象【答案】B11.已知雙曲線的左右焦點分別為，，A為雙曲線右支上一點，設(shè)，，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B12.已知實數(shù)a，b滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】A第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，滿足，，，則實數(shù)的值為______．【答案】或14.橢圓內(nèi)，過點且被該點平分的弦所在的直線方程為______．【答案】15.關(guān)于圓周率，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計的值：先請120名同學，每人隨機寫下一個x、y都小于1的正實數(shù)對，再統(tǒng)計x、y兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形時的數(shù)對的個數(shù)m，最后再根據(jù)m來估計的值．假如統(tǒng)計結(jié)果是，那么的估計值為______．【答案】3.216.對于正整數(shù)n，設(shè)是關(guān)于x的方程：的實根，記，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則______；若，為的前n項和，則______．【答案】①.1②.506三、解答題：共70分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．（1）求內(nèi)角B的大??；（2）已知的面積為，，，求線段BM的長．【答案】（1）（2）【解析】【小問1詳解】解：因為，所以所以由正弦定理邊化角得：，因為，所以，即，因為，所以.【小問2詳解】解：因為的面積為，，所以，所以，因為，所以，所以，所以，即為直角三角形，因為，所以，所以.18.如圖所示的四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面ABCD，點O，M，E分別是AD，PC，BC的中點，，．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件證得及即可推理作答.(2)由給定條件可得點到平面的距離是點到平面的距離的，再借助三棱錐等體積法轉(zhuǎn)化求解即得.【小問1詳解】在中，，為的中點，則，又平面平面，平面平面，平面，于是得平面，而平面，則，又底面是正方形，，分別是，的中點，即，因，平面，所以平面.【小問2詳解】因為的中點，則點到平面的距離是點到平面的距離的，如圖，

因此，，所以三棱錐的體積為.19.北京時間2022年2月6日，中國女足在0-2落后的情況下，最終以3-2逆轉(zhuǎn)絕殺韓國女足，時隔16年再次問鼎亞洲之巔，成為亞洲唯一一支亞洲杯九冠王球隊，為此全民又掀起了足球熱潮．為了響應習總書記關(guān)于深化足球體制改革，大力發(fā)展青少年足球，落實到每個地區(qū)每一所學校的號召，哈三中成立了校足球隊，其中守門員2人，前鋒4人，中場10人，后衛(wèi)6人，其中每個前鋒射門的平均命中率都是，每個中場球員射門的平均命中率都是，每個后衛(wèi)射門的平均命中率都是，且每位隊員射門是否命中相互獨立．（1）為了備戰(zhàn)一場友誼賽，現(xiàn)從前鋒、中場、后衛(wèi)中各隨機選一人組成一個射門訓練小組，該小組每個人射門一次為一輪訓練，若該小組三人均射進則獎勵3個哈三中百年校慶紀念版?；眨糁挥袃扇松溥M則獎勵1個?；?，其他情況不獎勵，設(shè)隨機變量表示該小組一輪訓練所得的?；諗?shù)，求的分布列及數(shù)學期望；（2）為了強化隊員們的射門能力，現(xiàn)從前鋒、中場、后衛(wèi)隊員中隨機選3人進行射門特訓，求這3個人里中場球員的人數(shù)比前鋒人數(shù)多的概率．【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學期望是（2）【解析】【分析】（1）首先由題意可知，再根據(jù)題意分別求概率，列分布列和數(shù)學期望；（2）首先列舉3個人里中場球員的人數(shù)比前鋒人數(shù)多的事件，再求概率.【小問1詳解】由條件可知，，，；分布列如下：013；【小問2詳解】設(shè)事件是3人中有3人是中場，，事件是3人中有2人都是中場，，事件是3人中1人是中場，2人是后衛(wèi)，,所以3個人里中場球員的人數(shù)比前鋒人數(shù)多的概率.20.已知拋物線，F(xiàn)為其焦點，O為原點，A，B是E上位于x軸兩側(cè)的不同兩點，且．（1）求證：直線AB恒過一定點；（2）在x軸上求一定點C，使F到直線AC和BC的距離相等；（3）在（2）的條件下，當F為的內(nèi)心時，求重心的橫坐標．【答案】（1）證明見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消得：，，，結(jié)合向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解直線的方程，推出結(jié)果．（2）在x軸上求一定點C，使F到直線AC和BC的距離相等即平分，即直線與直線關(guān)于軸對稱，根據(jù)斜率和為零，從而可得結(jié)果；（3）設(shè)，，直線AB與軸交于N，由題意可得，坐標化，結(jié)合點在拋物線上可得點的坐標，從而得到結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消得：，則，，由得：，所以：或（舍去），即，所以直線的方程為，所以直線過定點．【小問2詳解】由（1）知，直線過定點可設(shè)直線的方程為，此時，，設(shè)x軸上定點C坐標為，要使F到直線AC和BC的距離相等，則平分，即直線與直線關(guān)于軸對稱，故，即，∴，∴，∴對任意恒成立，∴，，故在x軸上有一定點C，使F到直線AC和BC的距離相等；【小問3詳解】設(shè)，，直線AB與軸交于N，∵F為的內(nèi)心，∴，∴，即，又，∴，同理，∴是方程的兩個根，∴，∴三角形重心的橫坐標為.21.已知函數(shù)．（1）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)a的值；（2）當時，設(shè)函數(shù)的兩個極值點為，且，求證：．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)是函數(shù)極值點，可得，即可求得，注意檢驗；（2）根據(jù)函數(shù)的兩個極值點為，且，可得，要證，即證，即證，判斷導函數(shù)的單調(diào)性，則只要證即可，構(gòu)造函數(shù)，證明其最小值大于0即可.【小問1詳解】解：，因為是函數(shù)的極值點，所以，解得，此時，令，則，當時，，所以函數(shù)在上遞減，即函數(shù)在上遞減，又，所以當時，，當時，，所以是函數(shù)的極值點，所以；【小問2詳解】證明：，因為函數(shù)的兩個極值點為，且，所以，兩式相減得，要證，即證，即證，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，則要證，只要證即可，即證，即，由，則，得，令，則，因為，所以，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上遞增，所以，當時，，證明即可，即證明，因為，所以，則要證明，只需要證明即可，即證明，即證明，因為，所以，又，所以，則不等式得證，即．【點睛】本題考查了函數(shù)的極值點問題，考查了不等式的證明問題，考查了學生的數(shù)據(jù)分析能力和轉(zhuǎn)換思想，計算量很大，綜合性很強，難度很大.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的方程為，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求曲線C的極坐標方程；（2）若已知射線與曲線C交于點M，與直線l交于點N，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角的正弦和余弦公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)的關(guān)系式、直角坐標與極坐標互化公式進行求解即可；（2）利用直角坐標方程通過代入法求出兩點坐標，利用兩點間距離公式進行求解即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】由（1）可知：曲線C的方程為：，射線的方程為：，代入中，得，或（舍去），所以，把代入中，得，所以，因此.選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù)．（1）當時，求不等式的解集；（2）若時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【