2022屆黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）2

2022屆黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知全集為，集合，則（）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】先求出集合B，再根據(jù)交集定義即可求出.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可；【詳解】解：，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A.3．與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的傾斜角為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出直線(xiàn)的斜率,然后根據(jù)兩直線(xiàn)垂直斜率之間的關(guān)系,可以求出與它垂直的直線(xiàn)的斜率,最后利用斜率與傾斜角之間的關(guān)系式,求出傾斜角即可.【詳解】解：由,所以該直線(xiàn)的斜率為,設(shè)與它垂直的直線(xiàn)的斜率為，所以有,設(shè)與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的傾斜角為,則有,所以故選：D4．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，可求出參數(shù)m的值，方法一，可根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出的值；方法二，可由拋物線(xiàn)的定義，根據(jù)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線(xiàn)的距離相等，得出結(jié)論.【詳解】拋物線(xiàn)的焦半徑求解法一：由題意可知，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則，解得，即，且，所以.故選：D．法二：由題意可知，拋物線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則，解得，即，則由拋物線(xiàn)的定義可得，.故選：D．5．已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則其前13項(xiàng)之和為（）A．21 B．26 C．36 D．39【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式即得.【詳解】∵等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴，∴.故選：D.6．已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B．0 C． D．2019【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出，再根據(jù)已知條件得出是以4為周期的函數(shù)，即可求出.【詳解】因?yàn)槭嵌x在的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以，解得，又，則，所以，所以是以4為周期的函數(shù)，所以.故選：A.7．關(guān)于函數(shù)，有下列命題①其最小正周期為；②其圖像由向右平移個(gè)單位而得到；③圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；④在為單調(diào)遞增函數(shù)；⑤其圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)則其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)依次判斷即可得出.【詳解】①的最小正周期為，故①正確；②由向右平移個(gè)單位可得，故②錯(cuò)誤；③，所以圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故③正確；④當(dāng)時(shí)，，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得單調(diào)遞增，故④正確.⑤，所以圖像不關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故⑤錯(cuò)誤.綜上，正確的個(gè)數(shù)為3個(gè).故選：C.8．等軸雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，，則的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．8【答案】B【分析】設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，求出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，利用，得到A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)等軸雙曲線(xiàn)的方程為．，①拋物線(xiàn)，，，．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為．設(shè)等軸雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)，，，則，．將，代入①，得，等軸雙曲線(xiàn)的方程為，即，的實(shí)軸長(zhǎng)為．故選：．9．已知點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在軸上的射影是,點(diǎn)坐標(biāo)為,則的最小值是A． B．4 C． D．5【答案】A【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)定義，將所求最小值轉(zhuǎn)化為的最小值；再利用三角形三邊關(guān)系得到三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取最小值，求解的長(zhǎng)度得到最值.【詳解】由拋物線(xiàn)方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為由拋物線(xiàn)定義可知：，即根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)即本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)中的距離之和的最值問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是建立合適的不等關(guān)系，常用方式是利用三角形三邊關(guān)系建立不等關(guān)系.10．已知雙曲線(xiàn)－=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上,且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線(xiàn)的離心率e的最大值為A． B． C．2 D．【答案】A【分析】先設(shè)P的坐標(biāo)（x，y），焦半徑得丨PF1丨＝ex+a，丨PF2丨＝ex﹣a，根據(jù)|PF1|＝4|PF2|，進(jìn)而可得e的關(guān)于x的表達(dá)式．根據(jù)p在雙曲線(xiàn)右支，進(jìn)而確定x的范圍，得到e的范圍．【詳解】設(shè)P（x，y），由焦半徑得丨PF1丨＝ex+a，丨PF2丨＝ex﹣a，∴ex+a＝4（ex﹣a），化簡(jiǎn)得e＝，∵p在雙曲線(xiàn)的右支上，∴x≥a，∴e≤，即雙曲線(xiàn)的離心率e的最大值為.故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)雙曲線(xiàn)定義的靈活運(yùn)用．求解雙曲線(xiàn)的離心率問(wèn)題的關(guān)鍵是利用圖形中的幾何條件構(gòu)造的關(guān)系,處理方法與橢圓相同,但需要注意雙曲線(xiàn)中與橢圓中的關(guān)系不同．求雙曲線(xiàn)離心率的值或離心率取值范圍的兩種方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齊次關(guān)系式,將用表示,令兩邊同除以或化為的關(guān)系式,解方程或者不等式求值或取值范圍．11．已知函數(shù)．若關(guān)于的方程，有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫(huà)出圖象，由此求得的取值范圍.【詳解】畫(huà)出圖象如下圖所示，由圖可知，的取值范圍是.故選：B12．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262~公元前190年）的著作《圓錐曲線(xiàn)論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)，，圓，在圓上存在點(diǎn)滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)求出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)題意可得兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，根據(jù)圓心距大于或等于半徑之差的絕對(duì)值小于或等于半徑之和，解不等式即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)，，，所以即，所以，可得圓心，半徑，由圓可得圓心，半徑，因?yàn)樵趫A上存在點(diǎn)滿(mǎn)足，所以圓與圓有公共點(diǎn)，所以，整理可得：，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D.二、填空題13．若，且___________.【答案】【分析】根據(jù)向量平行求出，即可求出，再求出模即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，所以，所?故答案為：.14．過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為5，則___________.【答案】7【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)定義即可求出.【詳解】由拋物線(xiàn)方程可得，則由拋物線(xiàn)定義可得.故答案為：7.15．已知是的直徑，M是圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，、的斜率分別為、，則（∵）類(lèi)比到橢圓中，是過(guò)橢圓（）中心的弦，M是橢圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，、的斜率分別為、，則______【答案】【分析】由題設(shè)若則，設(shè)結(jié)合斜率的兩點(diǎn)式可得，再由點(diǎn)在橢圓上即可求的值.【詳解】由題設(shè)，結(jié)合橢圓的對(duì)稱(chēng)性，若，則，設(shè)，∴，，故，∵，，∴兩式相減得：，即，∴.故答案為：三、雙空題16．如圖的多面體中，為矩形，平面，，，通過(guò)添加一個(gè)三棱錐可以將該多面體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，那么，添加的三棱錐的體積為_(kāi)_____．補(bǔ)形后的直三棱柱的外接球的表面積為_(kāi)_____．【答案】；.【分析】添加的三棱錐為直三棱錐，且體積為直三棱柱體積的，由已知條件求出直三棱柱體積可得添加的三棱錐的體積；外接球的球心即為側(cè)面的中心，由勾股定理可得球的半徑從而得到球的表面積.【詳解】如圖添加的三棱錐為直三棱錐，可以將該多面體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，因?yàn)槠矫?，，，所以，直三棱柱的體積為，添加的三棱錐的體積為；如圖，分別取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為的中點(diǎn)，在直三棱柱中，平面，平面，即，所以上下底面為等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即為點(diǎn)，連接，即為球的半徑，因?yàn)?，，所以，所以外接球的表面積為.故答案為：①；②.四、解答題17．已知數(shù)列中，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解；（2）由，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解.(1)解：因?yàn)椋傻脭?shù)列為公差為的等差數(shù)列，又因?yàn)?，解得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)解：由，可得，又由，所以的前項(xiàng)和．18．如圖，是正方形，是正方形的中心，底面是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，交于，連接，證明即可；（2）求出到平面的距離，利用即可求出.(1)連接，交于，連接，則在中，分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?2)因?yàn)?，是正方形，所以，因?yàn)榈酌?，所?則到平面的距離，則.19．某養(yǎng)殖基地養(yǎng)殖了一群牛，圍在四邊形的護(hù)欄內(nèi)(不考慮寬度)，知，現(xiàn)在計(jì)劃以為一邊種植一片三角形的草地，為這群牛提供糧草，.（1）求間的護(hù)欄的長(zhǎng)度，（2）求所種植草坪的最大面積.【答案】（1）；（2）【分析】（1）可連接，在中，根據(jù)余弦定理即可求出，然后可得出，從而根據(jù)勾股定理可求出；（2）在中，根據(jù)余弦定理和不等式可得出，從而得出，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出面積的最大值．【詳解】解：（1）如圖，連接，在中，，，根據(jù)余弦定理得，，，，，且，；（2）在中，，，根據(jù)余弦定理，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，，所種植草坪的最大面積為．20．2021年10月16日，搭載“神州十三號(hào)”的火箭發(fā)射升空，這是一件讓全國(guó)人民普遍關(guān)注的大事，因此每天有很多民眾通過(guò)手機(jī)?電視等方式觀看有關(guān)新聞．某機(jī)構(gòu)將每天關(guān)注這件大事的時(shí)間在2小時(shí)以上的人稱(chēng)為“天文愛(ài)好者”，否則稱(chēng)為“非天文愛(ài)好者”，該機(jī)構(gòu)通過(guò)調(diào)查，并從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行分析，得到下表(單位：人)天文愛(ài)好者非天文愛(ài)好者合計(jì)女2050男15合計(jì)100(1)將上表中的數(shù)據(jù)填寫(xiě)完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“天文愛(ài)好者”或“非天文愛(ài)好者”與性別有關(guān)？(2)現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛(ài)好者”和“非天文愛(ài)好者”這兩種類(lèi)型進(jìn)行分層抽樣抽取5人，然后再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人，求其中至少有1人是“天文愛(ài)好者”的概率．附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格見(jiàn)解析，能；(2).【分析】(1)根據(jù)總數(shù)補(bǔ)全表格，根據(jù)公式計(jì)算K2，與經(jīng)驗(yàn)表數(shù)據(jù)對(duì)比即可判斷；(2)將選中的5人編號(hào)，用枚舉法列出所有的可能，數(shù)出滿(mǎn)足條件的個(gè)數(shù)即可求出概率﹒(1)天文愛(ài)好者非天文愛(ài)好者合計(jì)女203050男351550合計(jì)5545100=故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“天文愛(ài)好者”或“非天文愛(ài)好者”與性別有關(guān)；(2)按分層抽樣抽取的5人中：2名為“天文愛(ài)好者”，編號(hào)為a、b；3名為“非天文愛(ài)好者”，編號(hào)為1、2、3，則從這5人中隨機(jī)選出3人，所有可能結(jié)果如下：ab1，ab2，ab3，a12，a13，a23，b12，b13，b23，123，共10種情況，其中至少有1人是“天文愛(ài)好者”的有9種，∴概率為﹒21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)若在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，求得，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可寫(xiě)出切線(xiàn)方程；（2）對(duì)分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性和最值，即可求得參數(shù)的范圍.(1)當(dāng)時(shí)，，，又，，故在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：，即：.(2)因?yàn)?，若，即?令，則，當(dāng)，，單調(diào)遞減，故.若在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得成立，故,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)處理不等式能成立問(wèn)題；本題第二問(wèn)中，對(duì)分離參數(shù)，構(gòu)造是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題.22．已知橢圓，離心率為，它的短軸長(zhǎng)等于雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)(1)求橢圓C的方程(2)已知是橢圓上的兩點(diǎn)，是橢圓上位于直線(xiàn)兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)①若直線(xiàn)的斜率為，求四邊形面積的最大值②當(dāng)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿(mǎn)足，試問(wèn)直線(xiàn)的斜率是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)①，②直線(xiàn)的斜率為定值，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意可求得，再根據(jù)橢圓的離心率求得，即可得解；（2）①設(shè)，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得，再由四邊形面積，即可得出最大值；②當(dāng)時(shí)，的斜率之和為0，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的斜率為，將的直線(xiàn)方程分別代入橢圓方程，然后運(yùn)