2022湖南省邵陽市高三上學期第一次聯(lián)考試題數(shù)學

邵陽市2022屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學一?單項選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則等于（）A. B. C. D.【答案】B2.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B3.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學難題之一，其內(nèi)容是：任意一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個素數(shù)（質(zhì)數(shù)）之和，也就是我們所謂的“1+1”問題．它是1742年由數(shù)學家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中都取得了相當好的成績．若將14拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為素數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A4.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是（）A.6 B. C.8 D.【答案】D5.在平行四邊形中，，則（）A.-5 B.-4 C.-3 D.-2【答案】A6.國慶長假過后學生返校，某學校為了做好防疫工作組織了6個志愿服務小組，分配到4個大門進行行李搬運志愿服務，若每個大門至少分配1個志愿服務小組，每個志愿服務小組只能在1個大門進行服務，則不同分配方法種數(shù)為（）A.65 B.125 C.780 D.1560【答案】D7.雙曲線，左右焦點分別為，過作垂直于軸的直線交雙曲線于兩點，的內(nèi)切圓圓心為，的內(nèi)切圓圓心為，則四邊形的面積是（）A. B. C. D.【答案】C8.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號.設，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).已知數(shù)列滿足，且，若數(shù)列的前n項和為，則（）A.4950 B.4953 C.4956 D.4959【答案】C二?多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.給出下列命題，其中正確的命題有（）A.“”是“”的必要不充分條件B已知命題：“，”，則：“，”C若隨機變量，則D.已知隨機變量，且，則【答案】BCD10.已知函數(shù)的零點按照由小到大的順序依次構成一個公差為的等差數(shù)列，函數(shù)的圖像關于原點對稱，則（）A.在在單調(diào)遞增B.，C.把的圖像向右平移個單位即可得到的圖像D.若在上有且僅有兩個極值點，則的取值范圍為【答案】BD11.雙曲函數(shù)在實際生活中有著非常重要的應用，比如懸鏈橋．在數(shù)學中，雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基礎的是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)．下列結論正確的是（）A.B.C.若與雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)共有三個交點，分別為，則D.是一個偶函數(shù)，且存在最小值【答案】ABD12.如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則（）

A.當在平面上運動時，四棱錐的體積不變B.當在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C.當直線與平面所成的角為45°時，點的軌跡長度為D.若是的中點，當在底面上運動，且滿足平面時，長度的最小值是【答案】AC三?填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則___________．【答案】14.的展開式中項的系數(shù)為___________．【答案】1015.已知為坐標原點，過點的直線與拋物線交于兩點，設直線的斜率分別為，若，則的值為___________．【答案】116.已知是平面向量，與是單位向量，且，若，則的最小值為_____________．【答案】四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟.17.在中，若邊對應的角分別為，且．（1）求角的大?。唬?）若，，求的長度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理將邊化角，再利用輔助角公式得到，即可求出；（2）依題意可得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律求出，即可得解；【小問1詳解】解：因為，由正弦定理可得在，，∴∴，即又，∴∴，∴【小問2詳解】解：∵且，∴，∴∴18.已知數(shù)列的前項和為，，且，是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）若，求的前項和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知列式解方程組可得解.（2）裂項求和即可.【小問1詳解】∵當，，兩式相減可得由，代入可得，滿足，所以為等比數(shù)列，∴，不妨設等差數(shù)列公差為，由條件可得，即，解得，所以【小問2詳解】由（1）可知∴.19.如圖，在空間幾何體中，已知均為邊長為2的等邊三角形，平面和平面都與平面垂直，為的中點．

（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）分別取的中點，連接，且，再利用線面平行的判定定理，即可得到答案；（2）連接，則易知平面，以為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出向量及平面的法向量，代入夾角公式，即可得到答案；【小問1詳解】證明：分別取的中點，連接，因為，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理平面，所以，又因為是全等的正三角形，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面；【小問2詳解】連接，則易知平面，以為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，所以，所以則，取，則，所以，設直線與平面所成的角為，則．

20.2021年東京奧運會，中國舉重代表隊共10人，其中主教練、教練各1人，參賽選手8人，賽后結果7金1銀，在全世界面前展現(xiàn)了真正的中國力量；舉重比賽根據(jù)體重進行分級，某次舉重比賽中，男子舉重按運動員體重分為下列十級：級別54公斤級59公斤級64公斤級70公斤級76公斤級體重級別83公斤級91公斤級99公斤級108公斤級108公斤級以上體重每個級別的比賽分為抓舉與挺舉兩個部分，最后綜合兩部分的成績得出總成績，所舉重量最大者獲勝，在該次舉重比賽中，獲得金牌的運動員的體重以及舉重成績?nèi)缦卤眢w重5459647076839199106舉重成績291304337353363389406421430（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出運動員舉重成績與運動員的體重的回歸直線方程（保留1位小數(shù)）；（2）某金牌運動員抓舉成績?yōu)?80公斤，挺舉成績?yōu)?18公斤，則該運動員最有可能是參加的哪個級別的舉重？（3）凱旋回國后，中央一臺記者從團隊的10人中隨機抽取3人進行訪談，用表示抽取到的是金牌得主的人數(shù)，求的概率分布列與數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：；參考公式：．【答案】（1）（2）參加的應該是91公斤級舉重（3）分布列見解析；期望為【解析】【分析】（1）依題意，計算出，由公式求得，由此求得回歸方程．（2）根據(jù)回歸方程得：，解之可判斷.（3）隨機變量的取值為0，1，2，3，求出對應概率，列出分布列，利用期望公式即可得解.【小問1詳解】依題意，，，，則，故回歸方程為：；【小問2詳解】該運動員的抓舉和挺舉的總成績?yōu)?98公斤，根據(jù)回歸方程可知：，解得，即該運動員的體重應該在90公斤左右，即參加的應該是91公斤級舉重；【小問3詳解】隨機變量的取值為0，1，2，3．則，，，，所以隨機變量的概率分布列為：0123所以隨機變量的數(shù)學期望為．21.已知圓，點，是圓上一動點，若線段的垂直平分線與線段相交于點．（1）求點的軌跡方程；（2）已知為點的軌跡上三個點（不在坐標軸上），且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義，結合題意即可求解；（2）由題意可知為的重心，則有，只需求三角形面積即可，根據(jù)直線與橢圓的位置關系、韋達定理、弦長公式、點到線的距離公式和已知條件可求出三角形的底和高的長，即可得解.【小問1詳解】由已知有，∴點的軌跡是以為焦點的橢圓，其中，∴，∴點的軌跡方程【小問2詳解】由，可知為的重心，∴，由已知的斜率存在，設直線的方程為：，，由，則，，由，，∴，，∴．22.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若函數(shù)存在兩個不同的零點，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先對函數(shù)進行求導，然后對a進行分類討論，便可得到函數(shù)零點的個數(shù);（2）利用（1）的結論，便可知函數(shù)在時有兩個零點，再構造一個新函數(shù)，可將雙變量變?yōu)閱巫兞?，對該新函?shù)進行研究即可.【小問1詳解】因為①當，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，（i）時，函數(shù)在上無零點；（ii），由時，，，∴在只有一個零點；②當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（注意時，，時，）所以，（i）即時，無零點；（ii），即時，只有一個零點；（iii）即時，有兩個零點；綜上所述，當或時，在只有一個零點；當時，無零點；當時，有兩個零點；方法二：時，函數(shù)在上無零點；時，由，令，則，由，則時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，則，做