2022河南省名校聯(lián)盟頂尖計劃高中畢業(yè)班第三次考試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2022屆河南省名校聯(lián)盟”頂尖計劃“高中畢業(yè)班第三次考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡集合B，再去求.【詳解】則故選：D2．若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A． B． C． D．3【答案】B【解析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，可得，進(jìn)而可求出z的虛部.【詳解】由，得，則z的虛部為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的概念，考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握.3．已知橢圓C：的離心率為，以C的上?下頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為48，則橢圓的長軸長為（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】D【分析】根據(jù)題意，列出的方程組，解得，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，由橢圓的離心率為可得，又，即，又，故可得，則橢圓的長軸長.故選：.4．某市為了解市民對機(jī)動車單雙號限行的看法，隨機(jī)調(diào)查了一部分市民，其年齡（歲）統(tǒng)計結(jié)果如下，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（

）A．30 B．32.8 C．35.6 D．40【答案】B【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的中位數(shù)的計算方法，準(zhǔn)確計算，即可求解.【詳解】由頻率分布直方圖，可得區(qū)間的頻率為，又由區(qū)間，，設(shè)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則.故選：B.5．盈虧平衡點(diǎn)又稱零利潤點(diǎn)，通常是指全部銷售收入等于全部成本時（銷售收入線與總成本線的交點(diǎn)）的銷售量，其計算公式為（其中為盈虧平衡點(diǎn)，為單位產(chǎn)品變動成本，為單位產(chǎn)品稅金及附加，P為產(chǎn)品單價，為總固定成本）.某企業(yè)某種產(chǎn)品的年固定成本為1800萬元，單位產(chǎn)品變動成本為600元，單位產(chǎn)品稅金及附加為200元，若該企業(yè)這種產(chǎn)品每年的盈虧平衡點(diǎn)為75000臺，則該產(chǎn)品的單價為（

）A．1000元 B．1020元 C．1040元 D．1060元【答案】C【分析】根據(jù)題中公式代入相應(yīng)數(shù)據(jù)即可求解產(chǎn)品的單價．【詳解】由公式得，解得元故選：C6．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（

）A．1022 B．1023 C．2046 D．2047【答案】C【分析】由，變形為，根據(jù)，得到求解.【詳解】因?yàn)闈M足，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋允且?為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以故選：C7．若a，b為實(shí)數(shù)，圓：和：有三條公切線，則的最大值為（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】根據(jù)圓的切線確定兩圓位置關(guān)系得出，再根據(jù)不等式求最值即可.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，因?yàn)閮蓤A恰有三條公切線，則兩圓外切,所以,即，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：A8．在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上?下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為2，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為1和2，對應(yīng)的圓心角為90°，則圖中異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求解異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接以為原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則則又異面直線所成角的范圍為故異面直線與所成角的余弦值為故選：A9．已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得的周期，結(jié)合已知函數(shù)解析式，即可代值求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，故可得，又為偶函數(shù)，故可得，則，故以為周期；故.故選：.10．已知直三棱柱的外接球表面積為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)外接球半徑為，底面外接圓半徑為，由表面積計算，由正弦定理計算，根據(jù)直三棱柱外接球半徑的計算公式列式求解.【詳解】設(shè)外接球半徑為，底面外接圓半徑為，因?yàn)橥饨忧虮砻娣e為，所以，又因?yàn)?，，由正弦定理得，所以，所?故選：D11．已知，分別為雙曲線C：的左?右焦點(diǎn)，直線l：與C的左右兩支分別相交于A，B兩點(diǎn)，且，四邊形的面積為，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)四邊形面積及AB的長，求出，進(jìn)而得到關(guān)于的齊次式，整理為關(guān)于離心率的方程，求出答案，舍去不合要求的解.【詳解】令中，，則，解得：，則，又四邊形為梯形，面積為，解得：，將其代入中，化簡得：，方程兩邊同時除以得：，其中，解得：或（舍去），故，故雙曲線的離心率為.故選：C12．已知函數(shù)，則使得不等式成立的t的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷函數(shù)的圖象的對稱軸以及函數(shù)的單調(diào)性，由此列出相應(yīng)的不等式，解得答案.【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對稱，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，函數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故由不等式成立可得：，整理得：且，故且，故選：D【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的對稱性以及單調(diào)性的應(yīng)用，解答時不能直接代入求解不等式，而是要判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，由此將轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式求解.二、填空題13．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)___________.【答案】0【分析】先求出的坐標(biāo)，再利用向量共線的坐標(biāo)形式可求的值.【詳解】,因?yàn)?，故，解得，故答案為?.14．已知變量x，y滿足約束條件則的最小值為___________.【答案】【分析】由約束條件作出可行域，將轉(zhuǎn)化為：，由直線在y軸上的截距最小時求解.，【詳解】由變量x，y滿足約束條件作出可行域如圖所示：將轉(zhuǎn)化為：，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（0，-1）時，在y軸上的截距最小，此時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，最小值為-4，故答案為：-415．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則___________.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性，得到，求得，進(jìn)而求得，得到，結(jié)合，即可求得的值.【詳解】如圖所示，根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性，可得陰影部分的面積等于矩形和的面積之和，即，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，所以，又因?yàn)閳D中陰影部分的面積為，所以，解得，又由圖象可得，可得，所以，所以，所以，因?yàn)?，可得，即，因?yàn)?，所?故答案為：16．已知數(shù)列滿足，，，則___________.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合數(shù)列求和中的裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】由，，得即，由，得.所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.所以即所以所以.故答案為：.三、解答題17．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角C；(2)若，的面積，求S.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理及三角變換公式可得，從而可求角C；（2）利用面積公式可得，再結(jié)合余弦定理可求，從而可求.(1)因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，則.(2)由，根據(jù)面積公式，得，所以.由余弦定理得，整理得，即，所以，.所以的面積18．無土栽培由于具有許多優(yōu)點(diǎn)，在果蔬種植行業(yè)得到大力推廣，無土栽培的類型主要有水培?巖棉培和基質(zhì)培三大類.某農(nóng)科院為了研究某種草苺最適合的無土栽培方式，種植了株這種草苺進(jìn)行試驗(yàn)，其中水培、巖棉培、基質(zhì)培的株數(shù)分別為、、.草苺成熟后，按照栽培方式用分層抽樣的方法抽取了株作為樣本，統(tǒng)計其單株產(chǎn)量，數(shù)據(jù)如下：(1)求、、的值；(2)從樣本中單株產(chǎn)量在內(nèi)的草莓中隨機(jī)抽取株，求這株草莓中恰有株草莓采用了巖棉培的概率.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)分層抽樣可知，水培、巖棉培、基質(zhì)培分別抽取的株數(shù)為、、，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)可求得、、的值；（2）記水培的株分別為、、、，巖棉培的株分別為、，基質(zhì)培株的為，列舉出所有的基本事件，確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.(1)解：根據(jù)分層抽樣可知，水培、巖棉培、基質(zhì)培分別抽取的株數(shù)為、、，由，解得，由，解得，由，解得，(2)解：記水培的株分別為、、、，巖棉培的株分別為、，基質(zhì)培株的為，則隨機(jī)抽取株的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個，其中恰有株草莓采用了巖棉培的有：、、、、、、、、、，共個，故所求概率為.19．如圖，在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，且，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)若，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)如圖，連接BD，根據(jù)題意可得DE⊥CD，利用線面垂直的性質(zhì)和判定定理可得DE⊥平面，進(jìn)而即可證明面面垂直；(2)結(jié)合(1)和線面垂直的性質(zhì)和判定定理可得平面，取的中點(diǎn)G，連接GF，進(jìn)而可得平面，求出、、，利用三棱錐的體積公式計算即可.(1)如圖，連接BD.在菱形ABCD中，∠BAD=60°，所以為正三角形，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以DE⊥AB.因?yàn)锳B//CD，所以DE⊥CD.因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，而，且，平面，所以DE⊥平面.又因?yàn)槠矫鍰EF，所以平面DEF⊥平面.(2)由（1）知.因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以.而，且，平面，所以平面.如圖，取的中點(diǎn)G，連接GF.因?yàn)镕為的中點(diǎn)，所以，所以平面.由條件知，，，，所以三棱錐的體積.20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線C上一點(diǎn)，P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為Q，且和的面積分別為16和2.(1)求C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，A，B為拋物線C上不同的三點(diǎn)，直線DA，DB的傾斜角分別為，，且滿足，證明：直線AB經(jīng)過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)題意和三角形的面積公式可得，，代入拋物線方程計算即可；(2)設(shè)、、直線AB的方程，聯(lián)立拋物線方程并消去x，利用韋達(dá)定理表示出，結(jié)合題意和兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率公式列出方程，化簡計算即可.(1)由題意知，所以的面積為，則①.又因?yàn)榻裹c(diǎn)，所以，則的面積為，則②.由①②，聯(lián)立解得，，則，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得，解得，故C的方程為.(2)由，代入拋物線C的方程得，解得，所以.設(shè)，，則直線AB的方程為，聯(lián)立消去x，得，所以，.因?yàn)?，即，所以，所以，整理得，所以，則，所以直線AB的方程為，即，所以直線AB經(jīng)過定點(diǎn).21．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)若的極大值為，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用（1）的結(jié)論，求出，然后將不等式變?yōu)?，?gòu)造函數(shù)，從而將證明不等式問題轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性或者最值問題,則原不等式得以證明.(1)由，得.當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.(2)由（1）知，且當(dāng)時，取得極大值，所以，解得，則.要證，即證.令，則，.令，而在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，使得，即，所以?dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，即，亦?【點(diǎn)睛】本題考查了用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題，解答時要明確導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是證明不等式時，要合理的變形，進(jìn)而構(gòu)造新函數(shù)，然后將證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的判斷或者是最值問題加以解決.22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與曲線C的兩個交點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)，記與的面積分別為，，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）消去參數(shù)后可得直線的普通方程，利用可得曲線C的直角坐標(biāo)方程.（2）利用直線方程中參數(shù)的幾何意義可求的值.(1)直線l的普通方程為.曲線C的極坐標(biāo)方程可變形為，所以C的