2021-2022學年湖北省十堰市區(qū)縣普通高中聯(lián)合體高二上學期期中聯(lián)考數學試題（解析版）

2021-2022學年湖北省十堰市區(qū)縣普通高中聯(lián)合體高二上學期期中聯(lián)考數學試題一、單選題1．直線的傾斜角為（）A．150° B．120° C．60° D．30°【答案】D【分析】由斜率得傾斜角．【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為30°.故選：D．2．直線截圓所得的弦長是（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【分析】先求出圓心到直線的距離，進而利用勾股定理求出弦長.【詳解】圓心（0,0）到直線的距離，因為圓的半徑為1，則弦長為.故選：C.3．素數指在一個大于1的自然數中，除了1和此整數自身外，不能被其他自然數整除的數．我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如．在不超過20的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于18的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由于不超過20的素數有2，3，5，7，11，13，17，19共8個，所以8個中選2個有種，而和為2的有2種，從而可求出概率【詳解】解：不超過20的素數有2，3，5，7，11，13，17，19共8個，則從這8個數中任選2個不同的數共有種，而其中和為18的有2種，即，所以所求概率為，故選：B4．已知圓與圓關于直線對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】算出圓心關于直線直線的對稱點即可得到答案.【詳解】設圓心關于直線直線的對稱點的坐標為，則線段C1C2的中點為，且.于是，易知圓的半徑長度不變，所以圓的方程為.故選：D.5．如圖所示，在空間四邊形中，，點在上，且，為中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的加法和減法運算法則計算即可．【詳解】故選：B6．已知圓，則當圓的面積最小時，圓上的點到坐標原點的距離的最大值為（

）A． B．6C． D．【答案】D【分析】配方，由半徑的最小值得參數值，然后求出圓心到原點距離，再加半徑可得.【詳解】根據題意，圓，變形可得．其圓心為，半徑為，則，當圓的面積最小時，必有，此時．圓的方程為，圓心到原點為距離，則圓上的點到坐標原點的距離的最大值為．故選：D．7．射擊運動中，一次射擊最多能得10環(huán)，下圖統(tǒng)計了某射擊運動員50次射擊命中環(huán)數不少于8環(huán)的頻數，用頻率估計概率，則該運動員在3次獨立的射擊中，總環(huán)數不少于28環(huán)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】該運動員在3次獨立的射擊中，總環(huán)數不少于28環(huán)包含4種情況：①三次10環(huán)，②二次10環(huán)一次9環(huán)，③二次10環(huán)一次8環(huán)，④一次10環(huán)二次9環(huán)，由此能求出該運動員在3次獨立的射擊中，總環(huán)數不少于28環(huán)的概率．【詳解】解：用頻率估計概率，則該運動員每次射擊命中10環(huán)的概率為，命中9環(huán)的概率為，命中8環(huán)的概率為，該運動員在3次獨立的射擊中，總環(huán)數不少于28環(huán)包含4種情況：①三次10環(huán)，概率為：；②二次10環(huán)一次9環(huán)，概率為；③二次10環(huán)一次8環(huán)，概率為；④一次10環(huán)二次9環(huán)，概率為；該運動員在3次獨立的射擊中，總環(huán)數不少于28環(huán)的概率是：．故選：C．8．《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，例如塹堵指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱；鱉臑指的是四個面均為直角三角形的三棱錐如圖，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，當鱉臑A1﹣ABC體積最大時，直線B1C與平面ABB1A1所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當鱉臑A1﹣ABC體積最大時，AC＝BC＝1，以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出直線B1C與平面ABB1A1所成角的余弦值．【詳解】解：在塹堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，當鱉臑A1﹣ABC體積最大時，AC＝BC＝1，以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），設平面ABB1A1的法向量，則，取x＝1，得，設直線B1C與平面ABB1A1所成角為θ，則,所以∴直線B1C與平面ABB1A1所成角的余弦值為．故選：A．二、多選題9．下列說法不合理的是（

）A．拋擲一枚質地均勻的骰子，點數為6的概率是，意即每擲6次就有一次擲得點數6．B．拋擲一枚硬幣，試驗200次出現正面的頻率不一定比100次得到的頻率更接近概率．C．某地氣象局預報說，明天本地下雨的概率為，是指明天本地有的區(qū)域下雨．D．隨機事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個發(fā)生的概率大．【答案】ACD【分析】在A中，意即每擲6次就可能有一次擲得點數6，故A錯誤；在B中，試驗200次出現正面的頻率不一定比100次得到的頻率更接近概率，故B正確；在C中，是指明天本地有的可能性會下雨，故C錯誤；在D中，可以舉例說明D錯誤．【詳解】解：在A中，拋擲一枚質地均勻的骰子，點數為6的概率是，意即每擲6次就可能有一次擲得點數6，故A錯誤；在B中，拋擲一枚硬幣，由概率的定義得：試驗200次出現正面的頻率不一定比100次得到的頻率更接近概率，故B正確；在C中，某地氣象局預報說，明天本地下雨的概率為，是指明天本地有的可能性會下雨，故C錯誤；在D中，隨機事件，中至少有一個發(fā)生的概率不一定比，中恰有一個發(fā)生的概率大，如擲一枚骰子一次，向上的點數是偶數，=擲一枚骰子一次，向上的點數是奇數，則A，B中至少有一個發(fā)生的概率的概率是1，A，B中恰有一個發(fā)生的概率也是1，故D錯誤.故選：ACD．10．已知兩圓，，則下列結論正確的是（

）A．兩圓外離 B．兩圓有3條公切線C．兩圓相交，且兩圓的公共弦長為 D．兩圓的公共弦方程為【答案】CD【分析】計算得到，所以兩圓相交.所以選項AB錯誤；兩圓方程相減，可得公共弦所在直線的方程，利用弦長公式計算公共弦長得選項CD正確.【詳解】解：由題得，圓心坐標為；,圓心坐標為.所以.所以，所以兩圓相交.所以選項AB錯誤.兩圓方程相減，可得公共弦所在直線的方程；所以圓心到公共弦所在直線的距離，公共弦的長為．所以選項CD正確.故選：CD11．設向量，，若，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用空間向量夾角公式即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，，所以，整理可得：，所以，解得：或，故選：AC.12．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（

）A．B．與平面所成角為C．異面直線與所成角的余弦值為D．平面與平面所成二面角的平面角為銳角時的余弦值為【答案】AD【分析】設，則，由余弦定理求出的長，可得，由底面可得，由線面垂直的判斷定理和性質定理即可判斷選項A；計算即可判斷選項B；計算即可判斷選項C；建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，計算再結合圖形可判斷選項D，進而可得正確選項.【詳解】對于A，由，及余弦定理得，從而，故.由底面，可得.又，所以平面，故.故A正確.對于B，因為底面，所以就是與平面所成的角，又，所以.故B錯誤.對于C，顯然是異面直線與所成的角，易得.故C錯誤.對于D，以D為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，，，，所以，，.設平面的一個法向量為，則，即，取，則，，此時.設平面的一個法向量為，則，即，取，則，，此時，所以，所以平面與平面所成二面角的平面角為銳角時的余弦值為.故D正確.故選：AD.三、填空題13．在空間直角坐標系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝，則m的值為________.【答案】或13【分析】由空間兩點間的距離公式可得答案.【詳解】，所以，即所以m＝－7或13.故答案為：m＝－7或13.14．某個微信群在某次進行的搶紅包活動中，若某人所發(fā)紅包的總金額為15元，被隨機分配為3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲?乙?丙?丁4人參與搶紅包，每人只能搶一次，則甲?乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率為___________.【答案】【分析】計算出基本事件總數及滿足條件的有利事件數，代入古典概型概率計算公式，可得答案．【詳解】由題意可得，甲、乙二人搶到的金額的基本事件總數為，，，，，共6種，“甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元”包含，，共3種，∴甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率.故答案為：．15．當直線：（）被圓：截得的弦最短時，實數的值為______．【答案】【分析】先求得直線l過的定點坐標，再由定點與圓心連線與直線l垂直時弦最短求解.【詳解】直線：，即，圓：的圓心，半徑為5．由解得故直線經過定點．要使直線被圓截得的弦長最短，需和直線垂直，故，即，解得．故答案為：．16．在如圖所示的四棱錐中，，，，，，且，則直線與平面所成角的正弦值為_________．【答案】【分析】取的中點E，證明平面．以A為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法求解.【詳解】解：取的中點E．則．因為且．所以四邊形是矩形，所以．因為且，平面.所以平面．以A為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，．設平面的法向量為，則取，得．設直線與平面所成角為，則．故答案為：四、解答題17．已知圓過點，，且圓心在直線上．（1）求圓的標準方程；（2）將圓向上平移1個單位長度后得到圓，求圓的標準方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先求線段的垂直平分線，再聯(lián)立直線求解即可；（2）分析向上平移1個單位長度后的圓心和半徑即可【詳解】（1）因為直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為1．又易知線段的中點坐標為，所以直線的方程為，即．因為圓心在直線上，所以圓心是直線與直線的交點．由，解得．所以圓心為，半徑．所以圓的標準方程是．（2）由（1），知圓的圓心坐標為，將點向上平移1個單位長度后得到點，故圓的圓心坐標為，半徑為，故圓的標準方程為．18．乒乓球是中國國球，它是一種世界流行的球類體育項目.某中學為了鼓勵學生多參加體育鍛煉，會定期地舉辦乒乓球競賽.已知該中學高一?高二?高三三個年級的人數分別為，現采取分層抽樣的方法從三個年級共抽取7人參加校內終極賽.（1）求該中學高一?高二?高三三個年級參加校內終極賽的人數；（2）現從抽取的7人中再隨機抽取2人拍照做海報宣傳，求“抽取的2人來自同一年級”的概率.【答案】（1）高一?高二?高三三個年級參加校內終極賽的人數分別為3，2，2；（2）.【分析】（1）直接利用分層抽樣計算可得；（2）列舉基本事件，利用古典概型求概率即可.【詳解】解：（1）高一?高二?高三三個年級的人數分別為，則分層抽取的人數比為，由于，所以高一?高二?高三三個年級參加校內終極賽的人數分別為3，2，2.（2）設抽取的7人中高一的3人分別用表示，高二的2人分別用表示，高三的2人分別用表示，則從抽取的7人中再隨機抽取2人的所有可能結果為共21種，抽取的2人來自同一年級的所有結果為共5種，故“抽取的2人來自同一年級”的概率.【點睛】古典概型的概率計算中列舉基本事件的方法：（1）枚舉法；（2）列表法；（3）坐標法；（4）樹狀圖法.19．××市正在積極創(chuàng)建文明城市，市交警支隊為調查市民文明駕車的情況，在市區(qū)某路口隨機檢測了輛車的車速.現將所得數據分成六段：?????，并繪得如圖所示的頻率分布直方圖.（1）現有某汽車途徑該路口，則其速度低于的概率是多少？（2）根據直方圖可知，抽取的輛汽車經過該路口的平均速度約是多少？（3）在抽取的輛且速度在內的汽車中任取輛，求這兩輛車車速都在內的概率.【答案】（1）；（2）()；（3）.【分析】（1）計算出前四個小矩形的面積和即可；（2）平均數的估計方法：頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和；（3）用列舉法求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數．然后可得概率.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得速度低于的頻率為：，∴現有某汽車途徑該路口，則其速度低于的概率是；（2）根據直方圖可知，抽取的輛汽車經過該路口的平均速度約是：()；（3）在抽取的輛且速度在內的汽車共有：輛，其中速度在[內的汽車抽取輛，設為?，速度在內的汽車抽取輛，設為???，從中任取輛，其基本事件為：??????????????，總數為，這兩輛車車速都在內包含的基本事件為：?????，總數為，∴這兩輛車車速都在內的概率.20．已知圓，直線．（1）求證：不論m取什么實數，直線l與圓恒交于兩點；（2）求直線l被圓截得的最短弦長以及此時直線l的方程．【答案】（1）見解析；（2）最短弦長為，.【分析】（1）求出直線過定點，證明定點在圓內，即可證明結論；（2）當直線l所過的定點為弦的中點，即時，直線l被圓截得的弦長最短，根據弦長公式即可求出最短弦長，根據求出直線的斜率，即可求出m的值，即可得出答案.【詳解】解：（1）直線化為，則，解得，所以直線l恒過定點，圓心，半徑，又因，所以點在圓C內，所以不論m取什么實數，直線l與圓恒交于兩點；（2）當直線l所過的定點為弦的中點，即時，直線l被圓截得的弦長最短，最短弦長為，，所以直線l的斜率為2，即，解得，所以直線l的方程為.21．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面平面，P為的中點，，．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)設M為的中點，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)．【分析】（1）證明平面，原題即得證；（2）以P為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求直線與平面所成角的正弦值；（3）證明平面，再利用向量法求二面角的余弦值.(1)證明：在中，∵，P為的中點，∴，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，又平面，∴.(2)解：在直角梯形中，∵，，P為中點，∴，且，則四邊形為平行四邊形，∵，∴，

由（1）可知，平面，故以P為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，，∴