2021-2022學(xué)年安徽省合肥市六校聯(lián)盟（七中九中十中等）高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年安徽省合肥市六校聯(lián)盟（七中、九中、十中等）高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．?dāng)?shù)列，，，，，中，有序?qū)崝?shù)對是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的概念，找到其中的規(guī)律即可求解.【詳解】由數(shù)列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序?qū)崝?shù)對是，故選：．2．已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A． B． C． D．【答案】C【詳解】，故，即，故漸近線方程為.【解析】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.3．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點M在上，且滿足，點N為BC的中點，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由空間向量的線性運算求解．【詳解】由題意，又，，，∴,故選：B．4．若直線：與：互相平行，則a的值是（）A． B．2C．或2 D．3或【答案】A【分析】根據(jù)直線：與：互相平行，由求解.【詳解】因為直線：與：互相平行，所以，即，解得或，當(dāng)時，直線：，：，互相平行；當(dāng)時，直線：，：，重合；所以，故選：A5．已知數(shù)列中，前項和為，且點在直線上，則=A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】試題分析：點在一次函數(shù)上的圖象上，，數(shù)列為等差數(shù)列，其中首項為，公差為，，數(shù)列的前項和，，．故選C．【解析】1、等差數(shù)列；2、數(shù)列求和．6．曲線在處的切線如圖所示，則（）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由圖示求出直線方程，然后求出，，即可求解.【詳解】由直線經(jīng)過，，可求出直線方程為：∵在處的切線∴，∴故選：C【點睛】用導(dǎo)數(shù)求切線方程常見類型：(1)在出的切線：為切點，直接寫出切線方程：；(2)過出的切線：不是切點，先設(shè)切點，聯(lián)立方程組，求出切點坐標，再寫出切線方程：.7．人教A版選擇性必修二教材的封面圖案是斐波那契螺旋線，它被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵?鸚鵡螺等．斐波那契螺旋線的畫法是:以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…為邊長的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．下圖為該螺旋線在正方形邊長為1，1，2，3，5，8的部分，如圖建立平面直角坐標系（規(guī)定小方格的邊長為1），則接下來的一段圓弧所在圓的方程為（）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由于每一個圓弧為四分之一圓，從而可求出下一段圓弧所以圓的圓心，進而可得其方程【詳解】解：由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由題意可知下一段圓弧過點，因為每一段圓弧的圓心角都為90°，所以下一段圓弧所在圓的圓心與點的連線平行于軸，因為下一段圓弧的半徑為13，所以所求圓的圓心為，所以所求圓的方程為，故選：C8．在如圖所示的棱長為1的正方體中，點P在側(cè)面所在的平面上運動，則下列四個命題中真命題的個數(shù)是（）①若點P總滿足，則動點P的軌跡是一條直線②若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是一個周長為的圓③若點P到直線AB的距離與到點C的距離之和為1，則動點P的軌跡是橢圓④若點P到平面的距離與到直線CD的距離相等，則動點P的軌跡是拋物線A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)線面關(guān)系、距離關(guān)系可分別對每一個命題判斷.【詳解】若點P總滿足，又，，，可得對角面，因此點P的軌跡是直線，故①正確．若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是以點B為圓心，以1為半徑的圓（在平面內(nèi)），因此圓的周長為，故②正確．點P到直線AB的距離PB與到點C的距離PC之和為1，又，則動點P的軌跡是線段BC，因此③不正確．點P到平面的距離（即到直線的距離）與到直線CD的距離（即到點C的距離）相等，則動點P的軌跡是以線段BC的中點為頂點，直線BC為對稱軸的拋物線（在平面內(nèi)），因此④正確．故有①②④三個.故選:C．二、多選題9．下列求導(dǎo)正確的有（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【分析】依據(jù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)四則運算去判斷即可解決.【詳解】對于選項A，∵，∴選項A正確；對于選項B，，令，則，∴選項B錯誤；對于選項C，∵，∴選項C正確；對于選項D，∵，∴選項D錯誤．故選：AC10．如果稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”，那么下列命題正確的有（）A．若是“黃金橢圓”，則B．若點A在以，為焦點的“黃金橢圓”上，且，則的周長為C．若是左焦點，C，D分別是右頂點和上頂點，則D．設(shè)焦點在x軸上的“黃金橢圓”左右頂點分別為A，B，“黃金橢圓”上動點P（異于A，B），設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，則【答案】BCD【分析】先判斷焦點所在軸，再求m判斷選項A；以橢圓定義巧求的周長判斷選項B；以勾股定理判斷選項C；直接去求的值去判斷選項D.【詳解】A中沒有指明焦點在x軸還是y軸，應(yīng)該有兩個值，所以A不正確；B中，由題意，則，所以，則的周長為，所以B正確；C中，由題意可得，，，要使橢圓為“黃金橢圓”，則，所以，所以，所以，，因為，，所以，所以，所以C正確；D中，由題意可得，，設(shè)，則，因為P在橢圓上，所以，所以，因為“黃金橢圓”上動點P，所以，所以，而，所以，即，所以，可得D正確．故選：BCD．11．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為棱BC，CC1的中點，則以下四個結(jié)論正確的是（）A．B．C．直線B1Q與AD1所成角的余弦值為D．Q到平面AB1P的距離為【答案】ABD【分析】以為原點，以所在直線為軸，如圖建立空間直角坐標系，可得，從而可判斷A，由可判斷B，由坐標求出，即可判斷C，求出平面的法向量，即可求出點到平面的距離為，即可判斷D.【詳解】解：以為原點，以所在直線為軸，如圖建立空間直角坐標系，則，，所以，則，因為，所以，A正確；因為，所以，則，B正確；因為由，所以直線B1Q與AD1所成角的余弦值為，C不正確；設(shè)平面的法向量為，因為，則，所以，令，則，所以點Q到平面AB1P的距離為，D正確.故選:ABD.12．已知數(shù)列滿足，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．的最小值為0C．D．當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值30【答案】AB【分析】由遞推式可知數(shù)列是等差數(shù)列，由，，可求得公差，從而可得數(shù)列的通項公式，即可判斷選項；當(dāng)時，，可判斷B；當(dāng)時，，當(dāng)時，，從而可求得，即可判斷選項C；當(dāng)時，取得最小值為0，即可判斷選項D．【詳解】由，可得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，因為，，所以公差，所以，故A正確；，當(dāng)時，取得最小值為0，故B正確；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故C錯誤；當(dāng)或時，取最大值30，故D錯誤.故選：AB三、填空題13．已知圓，圓，則兩圓的公切線條數(shù)是___________.【答案】【分析】首先把圓的一般方程化為標準方程，進一步求出兩圓的位置關(guān)系，可得兩圓的公切線條數(shù).【詳解】解：由圓，可得：，可得其圓心為，半徑為；由，可得，可得其圓心為，半徑為2；所以可得其圓心距為：，可得：，故兩圓相交，其公切線條數(shù)為,故答案為：2.【點睛】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系及兩圓公切線條數(shù)的判斷，屬于中檔題.14．已知數(shù)列的前n項和，則其通項公式______．【答案】【分析】利用當(dāng)時，，可求出此時的通項公式，驗證n=1時是否適合，可得答案.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，不適合上式，∴，故答案為:.15．?dāng)?shù)列滿足，，其前n項積為，則______．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列的項的周期性，去求的值即可解決.【詳解】由，，可得，，，，，，由此可知數(shù)列的項具有周期性，且周期為4，第一周期內(nèi)的四項之積為1，所以數(shù)列的前2022項之積為．故答案為：16．若函數(shù)，則在點處切線的斜率為______．【答案】【分析】根據(jù)條件求出，，再求即為答案.【詳解】∵，∴，則和，得，，∴，，∴，所以在點處切線的斜率為.故答案為：．四、解答題17．設(shè)點P是曲線上的任意一點，k是該曲線在點P處的切線的斜率．(1)求k的取值范圍；(2)求當(dāng)k取最大值時，該曲線在點P處的切線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)再求最值即可求解答案；（2）由（1）確定切點，從而也確定的斜率就可以求切線.(1)設(shè)，因為，所以，所以k的取值范圍為．(2)由（1）知，此時，即，所以此時曲線在點P處的切線方程為．18．已知直線l經(jīng)過兩條直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交點，且與直線x+y﹣2＝0垂直．(1)求直線l的方程；(2)若圓C過點（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長為，求圓C的標準方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得直線和直線的交點坐標，再用點斜式求得直線的方程.（2）設(shè)圓的標準方程為，根據(jù)已知條件列方程組，求得，由此求得圓的標準方程.(1).直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為.(2)設(shè)圓的標準方程為，則，所以圓的標準方程為.19．如圖，在四棱雉中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E為棱BC上的點，且．(1)求證：平面PAC；(2)求二面角A-PC-D的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】建立空間直角坐標系，計算出相關(guān)點的坐標，進而計算出相關(guān)向量的坐標；（1）計算向量的數(shù)量積，，根據(jù)數(shù)量積結(jié)果為零，證明線線垂直，進而證明線面垂直2；（2）求出平面PCD的法向量和平面PAC的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求解.(1)證明：因為平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，，又因為，則以A為坐標原點，分別以AB、AD、AP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，則，，所以，，又，平面PAC，平面PAC，∴平面PAC；(2)解：由（1）可知平面PAC，可作為平面PAC的法向量，設(shè)平面PCD的法向量，因為，．所以，即，不妨設(shè)，得．，又由圖示知二面角為銳角，所以二面角的正弦值為．20．在①直線l：是拋物線C的準線；②F是橢圓的一個焦點；③，對于C上的點A，的最小值為；在以上三個條件中任選一個，填到下面問題中的橫線處，并完成解答．已知拋物線C：的焦點為F，滿足_____．(1)求拋物線C的標準方程；(2)是拋物線C上在第一象限內(nèi)的一點，直線：與C交于M，N兩點，若的面積為，求m的值．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）選條件①，由準線方程得參數(shù)，從而得拋物線方程；選條件②，由橢圓的焦點坐標與拋物線焦點坐標相同求得得拋物線方程；選條件③，由F，A，B三點共線時，，再由兩點間距離公式求得得拋物線方程；（2）求出點坐標，由點到直線距離公式求得到直線的距離，設(shè)，，直線方程代入拋物線方程，判別式大于0保證相交，由韋達定理得，由弦長公式得弦長，再計算出三角形的面積后可解得．(1)選條件①：由準線方程為知，所以拋物線C的方程為．選條件②：因為拋物線的焦點坐標為所以由已知得橢圓的一個焦點為.所以，又，所以，所以拋物線C的方程為．選條件③：由題意可知得，當(dāng)F，A，B三點共線時，，由兩點間距離公式，解得，所以拋物線C的方程為.(2)把代入方程，可得，設(shè)，，聯(lián)立，消去y可得，由，解得，又知，，所以，由到直線的距離為，所以，即，解得或經(jīng)檢驗均滿足，所以m的值為或.21．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足．(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，證明數(shù)列的前n項和．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）可根據(jù)已知的與的遞推關(guān)系，利用求解出數(shù)列的首項，然后當(dāng)時，遞推做差，利用消掉，即可得到與之間的關(guān)系，從而完成證明；（2）利用第（1）問求解出的數(shù)列的通項公式，帶入到中，再使用錯位相減法進行求和，根據(jù)最后計算的結(jié)果與比較即可完成證明.(1)由題意得，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴，∵，∴，于是有，故數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.得證.(2)由（1）可知，∴，，①，②，②?①得：，∴，∵，故，∴得證.22．設(shè)圓的圓心為A，直線l過點且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E．(1)判斷與題中圓A的半徑的大小關(guān)系，并寫出點E的軌跡方程；(2)過點作斜率為，的兩條直線，分別交點E的軌跡于M，N兩點，且，證明：直線MN必過定點．【答案】(1)與半徑相等，(2)證明見解析【分析】（1）依據(jù)橢圓定義去求點E的軌跡方程事半功倍；（2）直線MN要分為斜率存在的和不存在的兩種情況進行討論，由設(shè)而不求法把條件轉(zhuǎn)化為直線MN過定點的條件即可解決.(1)圓即為，可得圓心，半徑，由，可得，由，可得，即為，即有，則，所以其與半徑相等.因為，故E的軌跡為以A