2021-2022學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期專題03多邊形及其內(nèi)角和（重難點突破）-【練好重點題】

專題03多邊形及其內(nèi)角和重點（1）多邊形內(nèi)角和定理；（2）多邊形外角和定理．難點（1）多邊形內(nèi)角和定理的推理過程；（2）多邊形外角和定理的推理過程．易錯多邊形外角和定理的應(yīng)用．一、多邊形及其相關(guān)概念1．多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首位順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．2．正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．【例1】下列說法中，正確說法有①由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形；②多邊形的兩邊所在直線組成的角是這個多邊形的內(nèi)角或外角；③各條邊都相等的多邊形是正多邊形．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【解析】①中缺少“在平面內(nèi)”這一前提，故錯誤．②中多邊形的兩邊所在直線組成的角中有一個角是多邊形的內(nèi)角的對頂角，它既不是多邊形的內(nèi)角，也不是多邊形的外角，故錯誤．③中缺少“各個角都相等”這一條件，故錯誤．故選A．二、多邊形的內(nèi)角和1．多邊形內(nèi)角和定理：邊形內(nèi)角和等于．2．多邊形內(nèi)角和定理的推理過程：（1）從邊形的一個頂點出發(fā)，可以引出條對角線，這條對角線把邊形分成個三角形，又每個三角形的內(nèi)角和是，所以邊形的內(nèi)角和是．（2）在邊形內(nèi)任取一點，連接，，…，，把邊形分成個三角形，這個三角形的內(nèi)角和為，再減去中間的一個周角，即得邊形的內(nèi)角和為．3．多邊形的內(nèi)角和的應(yīng)用：（1）己知多邊形的邊數(shù)，求內(nèi)角和．（2）已知多邊形的內(nèi)角和，求邊數(shù)．（3）求正邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)．【例2】內(nèi)角為108°的正多邊形是A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C三、多邊形的外角和1．多邊形的外角和定理：多邊形的外角和為．2．多邊形的外角和定理的推理過程：多邊形的每個內(nèi)角同與它相鄰的外角都是鄰補角，所以邊形的內(nèi)角和加上外角和為，外角和等于．3．多邊形的外角和定理的應(yīng)用：（1）已知正多邊形的外角度數(shù)，求邊數(shù)．（2）已知正多邊形的邊數(shù)，求外角度數(shù)．【例3】十五邊形的外角和等于__________°．【答案】360°【解析】根據(jù)任意多邊形的外角和等于360°，∴十五邊形的外角和等于360°．故答案為：360°．一、單選題1.從六邊形的一個頂點出發(fā)最多能畫對角線的條數(shù)為（

）A.

5條

B.

4條

C.

3條

D.

2條【答案】C【解析】解：由n邊形的一個頂點可以引（n-3）條對角線，故過六邊形的一個頂點可以畫對角線的條數(shù)是3，故答案為：C.2.如右圖，五邊形ABCDE的一個內(nèi)角∠A=110°，則∠1+∠2+∠3+∠4等于（

）A.

360°

B.

290°

C.

270°

D.

250°【答案】B【解析】解：∵∠A=110°∴∠A的外角度數(shù)為180°-110°=70°由多邊形外角和為360°∴∠1+∠2+∠3+∠4+70°=360°∴∠1+∠2+∠3+∠4=290°故答案為：B.3.五邊形的外角和等于（

）．A.

90°

B.

180°

C.

360°

D.

540°【答案】C【解析】解：五邊形的外角和是360°．故答案為：C．4.已知一個多邊形的內(nèi)角和是1080°，則該多邊形的邊數(shù)為（

）A.

4

B.

6

C.

8

D.

10【答案】C【解析】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，由題意得：（n-2）?180°=1080°.解得：n=8，故答案為：C.5.若正多邊形的一個外角是60°A.

540°

B.

720°

C.

900°

D.

1080°【答案】B【解析】解：多邊形外角和為360°，故該多邊形的邊數(shù)為360°÷60°=6；多邊形內(nèi)角和公式為：（n-2）×180°=（6-2）×180°=720°故答案為：B．6.一個四邊形四個內(nèi)角的度數(shù)之比為1:1:0.6:1，則該四邊形最小內(nèi)角的度數(shù)為（

）．A.

75°

B.

70°

C.

65°

D.

60°【答案】D【解析】解：∵一個四邊形四個內(nèi)角的度數(shù)之比為1:1:0.6:1

設(shè)四個內(nèi)角的度數(shù)分別為x，x，0.6x，x

∴x+x+0.6x+x=360°

解之：x=100°，

∴該四邊形最小內(nèi)角的度數(shù)為0.6×100=60°.

故答案為：D.二、填空題7.將正三角形、正方形、正五邊形按如圖所示的位置擺放，則∠1+∠2+∠3=．【答案】84【解析】解：設(shè)圖形的交點為A,B,C,如下圖,∵正三角形的內(nèi)角=60°,正五邊形的內(nèi)角=108°,∴∠1=180°-∠BAC-60°,∠2=180°-∠ABC-108°,∠3=180°-∠BCA-108°,∴∠1+∠2+∠3=540°-（∠BAC+∠ABC+∠BCA）-（60°+108°+108°）=84°.8.如果一個多邊形的每個外角都是40°，那么這個多邊形是邊形．【答案】九【解析】解：多邊形的邊數(shù)是：360°40°故答案為：九．三、解答題9.如果多邊形的每個內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍還多30°，求這個多邊形的內(nèi)角和.【答案】解：設(shè)外角為x°，x+4x+30=180，解得：x=30，360°÷30°=12，（12-2）×180=1800°，∴這個多邊形的內(nèi)角和是1800°.【解析】設(shè)外角為x°，由題意可得x+4x+30=180，求解可得外角的度數(shù)，然后利用360°除以外角的度數(shù)求出邊數(shù)，最后結(jié)合多邊形內(nèi)角和公式進行求解.10.已知兩個多邊形的所有內(nèi)角的和為1800°，且兩個多邊形的邊數(shù)之比為2：5，求這兩個多邊形的邊數(shù).【答案】解：設(shè)一個多邊形的邊數(shù)為2x，另一個多邊形的邊數(shù)為5x，根據(jù)題意可得（2x﹣2）·180°+（5x﹣2）·180°=1800°，解得x=2，故這兩個多邊形的邊數(shù)分別是4和10.【解析】設(shè)一個多邊形的邊數(shù)為2x，另一個多邊形的邊數(shù)為5x，利用多邊形內(nèi)角和公式，根據(jù)“兩個多邊形的所有內(nèi)角的和為1800°”列出方程，求解即可.一、單選題1.多邊形每一個外角都是45°，那么這個多邊形是（

）A.

六邊形

B.

七邊形

C.

八邊形

D.

九邊形【答案】C【解析】∵多邊形每一個外角都是45°，∴這個多邊形是正多邊形，∴這個多邊形的邊數(shù)為360°÷45°=8，即這個多邊形為八邊形.故答案為：C.2.若正多邊形的一個外角是40°，則這個正多邊形的內(nèi)角和是（

）A.

720°

B.

900°

C.

1080°

D.

1260°【答案】D【解析】∵任意多邊形的外角和是360°這個多邊形的每一個外角都等于40°，∴這個多邊形的邊數(shù)是360°40°∵多邊形的每一組內(nèi)、外角之和為180°，∴它的一個內(nèi)角是180°-40°=140°，∴它的內(nèi)角和是9×140°=1260°．故答案為：D．3.已知一個多邊形的外角和是其內(nèi)角和的27A.

過這個多邊形一個頂點可做7條對角線

B.

它的內(nèi)角和為1260°C.

如果將它剪掉一個角，則還余下8個角

D.

它的每個外角為40°【答案】B【解析】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得：27解得：n=9過這個多邊形一個頂點可做9-3=6條對角線，選項A錯誤它的內(nèi)角和為1260°，選項B正確；如果將它剪掉一個角，則還余下8個角或9個角或10個角，選項C錯誤；它的每個外角不一定都相等，選項D錯誤；故答案為：B4.小聰為某機器人編制一段程序，如果機器人以0.5m/s的速度在平地上按照圖中的步驟行走，那么該機器人從開始到停止所需的時間為（

）A.

12sB.

24sC.

48sD.

60s【答案】B【解析】解∶根據(jù)題意得，機器人所走過的路線是正多邊形，∵每一次都是左轉(zhuǎn)60°，∴多邊形的邊數(shù)為：360°÷60°=6，∴周長為6×2=12米.∴該機器人從開始到停止所需的時間為：12÷0.5=24﹒故答案為：B﹒5.如圖，點F在正五邊形ABCDE的邊CD的延長線上，連接BD，則∠BDF的度數(shù)（

）A.

36°

B.

144°

C.

134°

D.

120°【答案】B【解析】解：正五邊形的內(nèi)角和為：（5-2）×180°=540°，∴∠C=540÷5=108°，∵CB=CD，∴∠CDB=12∴∠BDE=108°-36°=72°由多邊形的外角和等于360°可得∠EDF=360°÷5=72°，∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=72°+72°=144°．故答案為：B．6.從五邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出m條對角線，它們將五邊形分成n個三角形．則m、n的值分別為（

）A.

1，2

B.

2，3

C.

3，4

D.

4，4【答案】B【解析】解：對角線的數(shù)量m=5-3=2條；分成的三角形的數(shù)量為n=5-2=3個．故答案為：B．二、填空題7.六邊形是中國傳統(tǒng)形狀，象征六合、六順之意．比如首飾盒、古建的窗戶、古井的口、佛塔等等．化學(xué)上一些分子結(jié)構(gòu)、物理學(xué)上的螺母，也采用六邊形．正六邊形，從中心向各個頂點連線是等邊三角形，從工程角度，是最穩(wěn)定和對稱的．正六邊形外角和為．【答案】360°【解析】解：正六邊形的外角和是360°故答案為：360°8.如圖，如圖1將矩形ABCD剪2刀得3個角，其和為360°；如圖2，剪3刀得4個角，其和為540°；如圖3，剪4刀得5個角，其和為720°……按上述剪法剪n刀得（n＋1）個角，其和為．【答案】180°n【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，設(shè)剪n刀得(n+1)個角的和為x，則所得多邊形的角的個數(shù)為n+1+2=n+3個，由多邊形的內(nèi)角和公式得：x+90°+90°=180°(n+3?2)，解得x=180°n，故答案為：180°n．三、解答題9.如圖是一個凹多邊形，∠A=90°，∠C=106°，∠D=119【答案】證明：連接BF∵∠A=90∴∠AFB+∠ABF=90°

，∵∠E+∠D+∠C+∠FBC+∠EFB=(5?2)?180°=540°，∠C=106°，∠D=119∴∠1+∠2=540【解析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和的公式：n?2×180°，得到五邊形BCDEF的內(nèi)角和，再求出∠EFB+∠CBF的和，再利用三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，求出∠AFB+∠ABF,最后求出∠1+∠210.一個n邊形的內(nèi)角和比它的外角和的5倍少180°，求這個多邊形的邊數(shù)n．【答案】解：由題意得：（n-3）×180°=360°×5-180°，

∴n-3=9,

∴n=12.【解析】利用多邊形的內(nèi)角和和外角和公式，結(jié)合它們之間的關(guān)系列等式求出n即可.四、綜合題11.如圖，淇淇從點A出發(fā)，前進10米后向右轉(zhuǎn)20°，再前進10米后又向右轉(zhuǎn)20°，這樣一直下去，直到他第一次回到出發(fā)點A為止，他所走的路徑構(gòu)成了一個多邊形．（1）.淇淇