小學(xué)六年級數(shù)學(xué)畢業(yè)考試難題最優(yōu)化問題(一、二)答案

數(shù)學(xué)思維略培訓(xùn)——

最化題一姓名

評價(jià)例如我們家里做飯時(shí)，通常有以下步驟，擇菜，洗菜，切菜，炒菜，洗米，煮飯等.如果一個(gè)人做這些事時(shí)，若能比較合理地安排前后順序，就會在最短的時(shí)間內(nèi)做好飯。再比如同學(xué)們的父母為家人做衣服.在裁剪衣料時(shí)如果能夠精打細(xì)算就可以在衣料一定量的前提下裁剪出更多或更好的衣服又比如我們上街購物時(shí)，如果事先計(jì)劃好路線，就可以少走冤枉路，節(jié)省時(shí)間。這樣的事例可以舉出很多.這種問題大致可以分為兩類：一類是確定一項(xiàng)任務(wù)后，精打細(xì)算，使用最少的人力、物力去完成它；另一類是已有一定數(shù)量的人力、物力，合理調(diào)配，使之發(fā)揮最大效力，從而多、快、好省地完成任務(wù)。華羅庚爺爺非常重視數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用，他生前曾積極推廣、普及了“統(tǒng)籌方法”和“優(yōu)選法這一講，我們通過幾個(gè)簡單的“最優(yōu)化”問題，使大家對統(tǒng)籌優(yōu)化的方法有個(gè)初步了解?！纠?】一只平底鍋上只能煎兩只餅，用它1只餅需要2分鐘（正面、反面各1分問煎三只餅需幾分鐘？怎樣煎？【例2】6個(gè)人各拿一只水到水龍頭接水，水龍頭注6個(gè)人的水桶所需時(shí)間分別是分鐘、4分鐘、3分鐘10分鐘、7分鐘6分鐘?，F(xiàn)在只有這一個(gè)水龍頭可用，問怎樣安排6人的打水次序，可使他們總的等候時(shí)間最短？這個(gè)最短時(shí)間是多少？【例3】工地上有手推車20輛，其中10輛從A1到B1運(yùn)垃圾，要車次運(yùn)完。另外10輛從A2到運(yùn)磚頭，要40次運(yùn)完。工地上的可行道路及路程如右圖（單位：米人說上面的安排不合理，因?yàn)榕芸哲嚨穆烦踢€可以更少些。那么，怎樣安排才算合理呢？【例】40師生參加義務(wù)植樹活動(dòng)，他們的任務(wù)是挖樹坑和運(yùn)樹苗經(jīng)過上午的勞動(dòng)實(shí)踐，師生大致可分成甲、乙、丙三類人.類人員的勞動(dòng)效率見.午給他們分配的任務(wù)是：挖樹坑30個(gè)，運(yùn)樹苗不限，如何安排人員能使樹苗運(yùn)得最多？【例5】現(xiàn)有2.8米長的方木條原料，要截成米、0.9米兩種長度的木條作鏡框（每個(gè)鏡框要用長、1

短木條各兩根）.要做30個(gè)鏡框，如何下料可以最省？【例6某學(xué)校調(diào)整教室桌椅圖1中標(biāo)出了教室的位置圖中“方塊”表示的教室要搬出桌椅“圓”所表示的教室要搬入桌椅，搬出、搬入桌椅的套數(shù)為圖中所標(biāo)數(shù)字試作出“最佳”搬運(yùn)方案?！纠?】東升鄉(xiāng)有八個(gè)行政村，如3分布.點(diǎn)表示村莊，線表示道.圖中的數(shù)字表示道路的長現(xiàn)在這個(gè)鄉(xiāng)要建立有線廣播網(wǎng)，沿道路架設(shè)電線，問怎樣的架線方案能使電線最??？【例8有一條可坐20的木船要載40名學(xué)生從湖邊到湖中A兩島參觀.從湖邊駛船到島需10分鐘，到B島需分鐘.A兩島之間船行需分鐘.A島的參觀時(shí)間需30分鐘，B島參觀時(shí)間需25分鐘.問40名學(xué)生全部參觀完兩島后返回湖邊的最少用時(shí)是多少？（學(xué)生上下船的時(shí)間忽略不計(jì)）解答最優(yōu)化問題，要注意聯(lián)系實(shí)際，把題目中所說的“最優(yōu)”或“最合理”轉(zhuǎn)化為相對應(yīng)的最大最小問題。YAOHUAEXPERIMENTALSCHOOL2

六班數(shù)學(xué)思維策略培訓(xùn)—

最優(yōu)化問（二）姓名

評價(jià)9.媽媽讓小明給客人燒水沏茶，洗開水壺要分鐘，燒開水要分鐘，洗茶壺要1分鐘，洗茶杯要分鐘，拿茶葉要2分鐘。為了使客人早點(diǎn)喝上茶，按你認(rèn)為最合理的安排，多少分鐘就能沏茶了？10.在一條公路上有4個(gè)工廠，任意相鄰的兩個(gè)工廠距離相等（如圖所示在要在這條公路上設(shè)一車站，使得這4個(gè)工廠的所有工人步行到車站的總路程最少，這個(gè)車站應(yīng)設(shè)在_號工廠門口。11.A、B兩家鋼鐵公司分別存有鋼材噸和2000噸?，F(xiàn)要用火車從這兩家公司把這批鋼材分別運(yùn)送到甲、乙、丙、丁四個(gè)城市，支援那里的重點(diǎn)工程建設(shè)，這四項(xiàng)重點(diǎn)工程所需鋼材數(shù)量依次噸、1500噸、400噸屯和1100噸。A、B兩家公司與四個(gè)城市之間的鐵路長（單位：千米）如下表：問：怎樣調(diào)運(yùn)這兩批鋼材，運(yùn)費(fèi)最少？12.小佳為家里做飯，她擇菜需要8分鐘，洗菜5分鐘，控水3分鐘，洗米分鐘，煮飯10分鐘，切菜4分鐘，炒菜6分鐘.她怎樣安排程序最省時(shí)間？（小佳家的灶具為雙火眼煤氣灶）13.某學(xué)校有試驗(yàn)田25畝，計(jì)劃要種兩種作物，這些土地根據(jù)土質(zhì)、水利條件可分為三類（見表）.3

現(xiàn)要求生產(chǎn)第一種作物8000斤，第二種作物不限，問如何安排種植，可使第二種作物的產(chǎn)量較高？14.某縫紉社有四個(gè)小組，甲組每天能做8件上衣或10條褲子；乙組每天能做件上衣或12條褲子；丙組每天能做7件上衣或11條褲子；丁組每天能做6件上衣或7條褲子.問7時(shí)間這個(gè)縫紉社能做多少套（每套為一件上衣、一條褲子）服裝？15.理發(fā)室有兩位理發(fā)師.現(xiàn)同時(shí)來了五位顧客，根據(jù)他們所要理的發(fā)型，分別需10分鐘12分鐘、15分鐘20分鐘和26分鐘.怎樣安排他們理發(fā)的順序能使這五位顧客的等候理發(fā)的時(shí)間總和最少？最少用時(shí)是多少？16.如圖5所示為一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)分布圖，共有7個(gè)村莊，找出最短的聯(lián)絡(luò)路線.4

答案1分析】因?yàn)檫@只平底鍋上可煎兩只餅，所以容易想到：先把兩餅一起煎，需分鐘；再煎第3只，仍需2分鐘。共4分鐘。但這不是最省時(shí)間的辦法。因?yàn)槊恐伙灦加姓磧擅嬷伙灩?面1分鐘可煎2面，煎6面只需3分鐘?！窘狻烤唧w操作（煎餅）程序請讀者設(shè)計(jì)。想一想：如果要煎n只餅（n≥3少需幾分鐘？2析第一個(gè)人接水時(shí)包括他本人在內(nèi)共有個(gè)人等候第二個(gè)人接水時(shí)有5個(gè)人等候……第6個(gè)人接水時(shí)，只有1個(gè)人等候?？梢?，等候的人越多（一開始時(shí)時(shí)間應(yīng)當(dāng)越短，這樣總的等候時(shí)間才會最少，因此，應(yīng)當(dāng)把接水時(shí)間按從少到多的順序排列等候接水?！窘狻?×6＋4×5＋5×4＋6×3＋7×2＋10=100分）析】我們應(yīng)該把著眼點(diǎn)放在跑空車的路程上，并想辦法使空車路程縮短。到1運(yùn)垃圾的空車不必都從B1回，可由B2（運(yùn)過磚頭的空車）派出。同樣，到A2運(yùn)磚頭的空車，也可由出。這樣，就使原方案中空車路程由360300米分別縮短為90米240米也就是說按A1→B1的路線，使運(yùn)垃圾和運(yùn)磚頭交替進(jìn)行。【解先用20輛車一起從運(yùn)垃圾到B1，然后空車A2裝磚頭運(yùn)到B2再空車到A1垃圾經(jīng)兩次這樣的循環(huán)。最后還剩20車次垃圾，應(yīng)在與B1之間往返一次。想一想，最后一次在A1與往返時(shí)，空車路為什么不能縮短？4、分析與解這個(gè)問題是當(dāng)勞動(dòng)力一定的條件下如何發(fā)揮最大效力的問題要想發(fā)揮勞動(dòng)力的最大效力，首先要知道勞動(dòng)人員的工作效率（已知）和“相對工作效率”（勞動(dòng)人員做兩項(xiàng)工作時(shí)的效率之比）.由相對效率可以得出勞動(dòng)人員做哪項(xiàng)工作發(fā)揮的效力更大。5

由此可知乙類人員挖樹坑的相對效率比甲類人員和丙類人員都大.故應(yīng)讓乙類人員挖樹坑可以挖樹坑：1.2×15=18（個(gè)現(xiàn)在離任務(wù)要求還相差“個(gè)樹坑”，需要由剩下的人員中再挑選一些人挖樹坑因?yàn)楸惾藛T挖樹坑的相對效率比甲類人員大，故應(yīng)優(yōu)先選丙類人員挖樹坑，可挖：0.8×10=8（個(gè)）最后再由2名甲類人員也參加挖樹坑，即可完成任務(wù)，其余的名甲類人員運(yùn)樹苗，可運(yùn)：20×13=260（棵即最佳方案為：由13名甲類人員運(yùn)樹苗，其余所有人都去挖樹坑。注：同學(xué)們可以嘗試其他任何分配方案，一定都會比我們上述的方案劣。5分析與解這是個(gè)節(jié)約用料的問題.如果不精打細(xì)算就會簡單的用一根原料截長短木條各一根就樣就需要60根原料.而這樣就會造成很大的浪費(fèi).因?yàn)槊扛鲜Ｏ碌臍埩蠟?.8-1.2-0.9=0.7米60根原料所剩的殘料則是很大的一個(gè)數(shù)字，顯然這不是最佳的方案。如果我們考慮用一根原料分別截取長短木條，則）可截1.2米木條兩根，余料米）可截0.9米木條三根，余料0.1?，F(xiàn)設(shè)取x根原料用于截法（y根原料用于截法（2）.則有故需要原料50根即可制成個(gè)鏡框。6析與解這是一類運(yùn)輸問題.一般的貨物運(yùn)輸包含兩個(gè)因素運(yùn)輸路程貨物重量.本例中的“貨物”就是桌椅貨物重量就是桌椅的重量我們現(xiàn)設(shè)一套桌椅的重量為一個(gè)重量單位由已知所搬桌椅共有（80+50+20=150個(gè)重量單位.所謂最佳運(yùn)輸方案就是使這150個(gè)重量單位的桌椅搬運(yùn)的路程盡可能少.要做到這一點(diǎn)，其關(guān)鍵就是避免運(yùn)輸路線“往返重復(fù)”（我們稱之為對流）則制定最佳方案的原則是：在不產(chǎn)生對流的前提下就近搬運(yùn)桌椅。案.6

7、分析與解要在全鄉(xiāng)建立廣播網(wǎng)，顯然整個(gè)線路應(yīng)該是連通的，并且每個(gè)村都有廣播線，要使電線最省，即整個(gè)廣播網(wǎng)絡(luò)用線最短.因此架線時(shí)不能出現(xiàn)“環(huán)路”（閉合線路鄉(xiāng)村分布圖是有“環(huán)路”的則需要將環(huán)路“破壞”掉使得架線方案中只有條線將8個(gè)村莊連通井且這條線的總長最短。在破壞環(huán)路時(shí)，我們將環(huán)路時(shí)較長的路線去掉，當(dāng)所有的環(huán)路都不存在時(shí)，剩下來的線路必是最短的。首先破壞環(huán)路AGEFA因?yàn)锳F最長故去掉下面依次在中去掉在BCHB去掉BC；在CDHC（中去掉CD；在CEHD去掉HD；在HEGH中去掉EG；到此為止，所有的環(huán)路都破壞掉了，剩下來的便是我們所需的架線路線圖（如圖4所示即最佳架線方案.8分析與解由題設(shè)40名學(xué)生要分兩批乘船樣我們將名學(xué)生分成兩組.由于乘船時(shí)間與參觀時(shí)間都是固定的，所以要想節(jié)約時(shí)間只能是盡量減少學(xué)生“等船”的時(shí)間.由此分析，第一組學(xué)生應(yīng)先去A島參觀，因A島比B島近“2鐘”的路程，這樣第二組學(xué)生等船的時(shí)間為20分鐘（船往返湖邊與A島所用時(shí)間接下去是第二組學(xué)生去A島還是去B島參觀的問題，我們分兩種情況討論：（1）第二組學(xué)生也去A島參觀。當(dāng)?shù)诙M學(xué)生到達(dá)A島時(shí)，時(shí)間已經(jīng)過去了分鐘（等船20分鐘，乘船分鐘）.第二組開始參觀A島，此時(shí)第一組已經(jīng)在島參觀了20鐘，分鐘后第一組參觀完A，乘船去B參觀，木船將第一組送到B島后立即返回A島，由A島與B島之間乘船為6分鐘，所以木船往返時(shí)間為分鐘.當(dāng)木船回到A島時(shí)第二組在A島已參觀了22分鐘.8分鐘后第二組參觀完A島立即到B.第二組到達(dá)B島時(shí)第一組已參觀了分（木船從島返回A島的時(shí)間和等待第二組學(xué)生的時(shí)間以及再從島到B島的時(shí)間總和.第二組到達(dá)島后開始參觀.5分鐘后第一組參觀完B島乘船返回湖邊木船將第一組送到湖邊后又立即返回B島接第二組船到達(dá)島時(shí)船把第二組送上B島相隔了29分木船等待第一組5分鐘往返B島與湖邊24分鐘此時(shí)第二組已參觀完B島并且已等候了分鐘.當(dāng)?shù)诙M乘船返回湖邊時(shí)，整個(gè)參觀過程一共用時(shí)（等于第二組參觀共用的時(shí)間）為：等候乘船共（20+4）分鐘；兩島的參觀時(shí)間共（30+25分鐘；乘船時(shí)間共（10+6+12）分鐘?？偤蜑椋?0+4）+（30+25（10+6+12）=107（分鐘（2）第二組學(xué)生去B島參觀。木船將第一組送到A島后返回湖邊接第二組去島當(dāng)木船到達(dá)B島時(shí)時(shí)間已經(jīng)過去了分鐘7

（等候船20分鐘乘船12分鐘.木船立即去A島接第一組船到A島時(shí)第一組已參觀了28（木船從A島到湖邊的時(shí)間與從湖邊到B島的時(shí)間以及從B島到A島的時(shí)間總和.2分鐘后第一組參觀完A島乘船到B島.到達(dá)B島時(shí)，第二組已B島上參觀了14分鐘（木船往返A(chǔ)島的時(shí)間與等待第一組的時(shí)間總和第一組開始參觀B島.11分鐘后第二組參觀結(jié)束乘船到A島參觀.木船又返回B島到達(dá)B島時(shí)，第一組已參觀了分鐘（木船等待第二組11分鐘，往返A(chǔ)島12分鐘）.2鐘后，第一組參觀結(jié)束乘船返回湖邊.木船送完第一組立即到A島接第二組.木船到達(dá)A島時(shí)組剛好參觀完A船從A島到B島6分鐘，等第一2分鐘送第一組到湖邊分鐘，從湖邊再A島10分鐘.即刻乘船返回湖邊.整個(gè)參觀過程一共用時(shí)（等于第二組參觀一共用的時(shí)間）為：等候乘船共20分鐘；兩島的參觀時(shí)間共（30+25分鐘；乘船時(shí)間共（12+6+10）分鐘?？偤蜑?0+（30+25）+（12+6+10）=103（分鐘）兩種方案比較，顯然第二種方案較.故應(yīng)讓第一組先參觀A島，第二組先參觀B島，總用時(shí)103分鐘。9.16分鐘。10.3號工廠門口。11.從A公司向甲地運(yùn)100噸鋼材，向丁地運(yùn)噸鋼材；從B公司向乙地運(yùn)噸鋼材，向丙地運(yùn)400噸鋼材，向丁地運(yùn)100噸。12.26分鐘先擇菜、洗菜，控水的同時(shí)洗米、煮飯，煮飯的同時(shí)切菜、炒菜。13.可產(chǎn)第二種作物6920斤。第一種作物與第二種作物的