導(dǎo)數(shù)教材分析與教學(xué)建議1

導(dǎo)教析教議1

32323232導(dǎo)數(shù)教材分析教學(xué)建導(dǎo)數(shù)是新課程增加的內(nèi)容，隨著課程改革的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識(shí)在高考中的考查要求也逐年加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前兩年只是在高考中的輔助地位上升為分析和解決問題所必不可少的工具那么如何恰如其分地進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的教學(xué)呢？如何將這一研究函數(shù)及其性質(zhì)的先進(jìn)方法融入學(xué)習(xí)者原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)呢？如何組織導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)教學(xué)呢？一、教分析1．本章材第一節(jié)講的是平均變化率第二節(jié)講的是瞬時(shí)變化率，它們是理解導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)，是對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的重要鋪墊。導(dǎo)數(shù)概念是從許多實(shí)際問題中概括出來的一個(gè)非常抽象的概念也是本章的難點(diǎn)。教材從切線及其斜率出發(fā)引入導(dǎo)數(shù)概念，為了便于學(xué)生掌握又按導(dǎo)數(shù)定義對(duì)求導(dǎo)數(shù)的一般方法規(guī)定了三個(gè)步驟，接著又闡明了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其在求切線方程中的應(yīng)用。教師在教學(xué)過程中要充分利用這些材料幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，對(duì)理科班的教學(xué)應(yīng)不失時(shí)機(jī)地介紹其相關(guān)的物理意義，而不要停留在形式地記住定義，會(huì)套用三個(gè)步驟求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2．第四節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)方面的應(yīng)用，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在定性思考的基礎(chǔ)上給出定量的判斷。對(duì)結(jié)論的把握要準(zhǔn)確：導(dǎo)函數(shù)為正（負(fù)，函數(shù)為增（減）函數(shù)，這顯然是判斷函數(shù)增減性的充分條件而非必要條件函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)為零，這是函數(shù)在該點(diǎn)處取得極值必要條件對(duì)解題過程的規(guī)律要求：求導(dǎo)數(shù)—解方程——列表格——寫結(jié)論，待學(xué)生積累了大量感性認(rèn)識(shí)后再提出更高的要求。二教建滲透三函數(shù)的圖象性質(zhì)及關(guān)推理一二次函數(shù)是重要的且具有廣泛應(yīng)用的基本初等函數(shù)已是不爭的事實(shí)，在初等數(shù)學(xué)范疇內(nèi)利用直觀的初等方法學(xué)生對(duì)此已有較為全面系統(tǒng)深刻的認(rèn)識(shí)，并在某些方面具備了把握規(guī)律的能力。然而三次多項(xiàng)式函數(shù)雖然同樣初等，但是諸多問題的研究與探討學(xué)生均顯力不從心目前，研究函數(shù)性質(zhì)的高等工具—導(dǎo)數(shù)，已進(jìn)入中學(xué)課堂，作為教理應(yīng)力所能及地借助于這一工具讓學(xué)生對(duì)三次多項(xiàng)式函數(shù)能有一些初步的理性認(rèn)識(shí)。2．三次函數(shù)中心對(duì)稱曲三次函數(shù)f(3bx2

關(guān)于點(diǎn)（）對(duì)稱的充要件是f(m-x)+f(m+x)=2n,即[a(m)(mx)]+[(x(mx)(x)d]2n，第2頁共6頁

2bmmcd)22bmmcd)22223330整理得，(6)

2

(2am

3

。據(jù)多項(xiàng)式恒等對(duì)應(yīng)系數(shù)相等,得

b且n3mca

，從而三次函數(shù)是中心對(duì)稱曲線且由n()其對(duì)稱中心仍然在曲線上；同理可探索出三次函數(shù)不是軸對(duì)稱曲線。2．三次曲線兩種形狀由于三次曲線是中心對(duì)稱曲線，因此，將其對(duì)稱中心移至坐標(biāo)原點(diǎn)便可將三次線解式簡化為()3

。不設(shè)0，據(jù)導(dǎo)函數(shù)f3知，時(shí)，fx）在實(shí)數(shù)集R是為增函數(shù)，利用《幾何畫板》作其圖像如圖所示；當(dāng)b0時(shí)f）在實(shí)數(shù)集R上有兩個(gè)遞增區(qū)間與一個(gè)遞減區(qū)間，其圖像如圖所示。-0.92+-0.56

a=0.60b=-0.63x=0.58y=a*x^3+-0.25圖1

圖2三次曲線的如上兩類圖形為學(xué)習(xí)三次函數(shù)提供了直觀的背景，指引著我們從定性思考順利地走向定量證明。2．三次曲線質(zhì)及其聯(lián)系借助于導(dǎo)數(shù)及三次函數(shù)的圖象，很容易解決三次函數(shù)的定義域、值域、對(duì)稱性、單調(diào)性、極值、切線等基本問題。此外，三次曲線的內(nèi)部尚蘊(yùn)藏著如下深刻的聯(lián)系。性質(zhì)．在三次曲線上存在惟一一點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)的切線與該曲線有惟一公共點(diǎn)，并且此點(diǎn)即為三次曲線的對(duì)稱中心。證明：設(shè)M（0，y是曲線f(x)axbx上任一點(diǎn)，則曲線（x）在點(diǎn)M處的切線斜率k=)，切線方程為：0f)(x)由0聯(lián)立并消去y，：ax3

)()。0axbx))，整理得：00()2)0

①切線與曲線有惟一公共點(diǎn)的程①有三個(gè)相等實(shí)根x=0，故點(diǎn)M惟一確定且恰好為曲線的對(duì)稱中心。性質(zhì)若三次曲線上存在極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)則極值點(diǎn)連線段的中點(diǎn)也第3頁共6頁

1211221211222在三次曲線上，并且此點(diǎn)也為三次曲線的對(duì)稱中心。證明：若三曲線(x)

3

bx上存在極值點(diǎn)，則方程f

ax

2

必有相異兩實(shí)根，從而b且實(shí)根

x，此時(shí)，三次曲線上的兩個(gè)極值點(diǎn)為（x，f(x)）,B（x，)）它們的中點(diǎn)恰是坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)然在曲線上且為曲線的中心。三值重的個(gè)題1重視初高等法的交函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，在新教材高三數(shù)學(xué)選修本中雖然利用了導(dǎo)數(shù)方法重新研究了函數(shù)的若干性質(zhì)但是在離開導(dǎo)數(shù)背景的函數(shù)問題的學(xué)習(xí)與研究中，學(xué)生仍習(xí)慣于選擇并不高明的初等方法進(jìn)行問題解決。究其原因在于未能將這些用于研究初等函數(shù)的先進(jìn)的高等方法納入原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)之中為克服高中函數(shù)學(xué)習(xí)二年多的思維定向筆者曾選用高中數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的用初等方法較難解決且流傳甚廣的典型問題作為范例在闡述原有的初等方法繁冗且難以思考的同時(shí)，給出其簡捷明快的導(dǎo)數(shù)法，旨在使學(xué)生真正學(xué)會(huì)用導(dǎo)數(shù)作為工具研究函數(shù)的性質(zhì)、并能將該思想方法日納入到原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)之中，形成自覺的應(yīng)用意識(shí)。為節(jié)省篇幅又不影響問的闡述，文中所選例題僅限于選修Ⅰ中多項(xiàng)式函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題。例1已知函數(shù)f(m，且f())f(x（1）求值（2設(shè)(x)f((x))求（的解析式是否存在實(shí)數(shù)使)())在上是減函數(shù)，在(上是增函數(shù)。分析：易m=1，且g(xx

4

2

，這樣x)x

4

(2

2

便是x雙二次函數(shù)。若將其轉(zhuǎn)化為函

tx2與函數(shù)y(22復(fù)合函數(shù)，并用關(guān)于復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”法則進(jìn)行判斷，一方面其思維的靈活性令學(xué)生較難把握；另一方面，該法則屬于“非知識(shí)性”的結(jié)論，其解題的邏輯依據(jù)又令人難以信服。若利函數(shù)單調(diào)性的定義逆向作差進(jìn)行探索，則解題過程較繁且其中的恒不等式又較為抽象而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，則有如下簡明扼要的解法。解

x

3

，首先由題意知x=-1是根，求得；其次易驗(yàn)證，時(shí)在(恒負(fù)、在(上恒正。綜上知，存在適合題意例2

設(shè)f）是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間[2上f(x)4（1）求時(shí)，（x的解析式2若矩形ABCD的第4頁共6頁

2312121223121212兩個(gè)頂點(diǎn)AB在x軸上，CD函數(shù)y的圖象上，求這個(gè)矩形面積的最大值。分析首先由周期性和奇偶性知在區(qū)間[12]，(x)x

2

；（2）在區(qū)間[0，1]上，也有(x4，故在x[0,2]時(shí)，f(x)x

2

4。由二次函圖象的對(duì)稱性知，可設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1-t0和（，0（。BCADf(1)矩形ABCD的面積t(2

2

以往只能運(yùn)用三元和積不等式求函數(shù)的最大值，殊不知直接由原式湊合出“和定”后，等號(hào)又不成立，尚需將原解析式平方后進(jìn)行配湊，技巧性極強(qiáng)，稍有不甚便誤入歧途如今有導(dǎo)數(shù)為工具求上述函數(shù)的最值便是程序性的知識(shí)。

t

2

，令S

得區(qū)間[2]上惟一極大值點(diǎn)t

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，故它也是最大值點(diǎn)，所求面積的最大值為。2重視導(dǎo)數(shù)的合應(yīng)用2及切線推理題與解幾綜合例1已知函數(shù)f)x

3

x[0,，設(shè)x0，設(shè)曲線y=f(x在點(diǎn)M(,f(x))處的切線為（1求m的方程（2設(shè)m與x軸的交點(diǎn)（x0，1證明：1）x；2）若x2，則2xx.212分析與解:先應(yīng)完成我們能做也是本題應(yīng)該做的工作:方程x表達(dá)2式。（1）:y(x).113(2)令y=0,得:x1.3x2(3)1,無所作為.x(4)x.22結(jié)論暗示我們,x時(shí),故1222(xx11切便迎刃而解.21例2已知拋物線C12+2x和C:y=-x2+a,如果直線L同時(shí)是C1和C2的切線,LC和C的公切線,切線上兩個(gè)切點(diǎn)間的線段,為公切線段.(1)a取什么值時(shí),C和C有且僅有一條公切線?寫出此公切線的方程）若C和C有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分.第5頁共6頁

11112111122及函數(shù)質(zhì)的推題例3

已知函數(shù)f(x)=-x

3+ax2+b(a、b實(shí)數(shù))（1）是否存在a使函數(shù)）的圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率小于零？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由。(2)函數(shù)y=f(x)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)連線的斜率小于1,證:3a3（3若x[0,1]，設(shè)函數(shù)y=f（x）圖象上的任意一點(diǎn)的切線斜率為k試討論|k|1充要條件.11例4已知函數(shù)f(x)ax3bx3

2

cx(a在x=c取得極大值且c>0。（Ⅰ）試比較與c的大?。á颍┳C明：a證明（1）你可能發(fā)現(xiàn)了結(jié)論，但卻難以邏輯說明它∵在x=c處fx）取得極值，∴x=c