數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入-綜合檢測(cè)

數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入綜合檢測(cè)時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充分而不必要條件為()A．|z|＝zB．z＝zC．z2是實(shí)數(shù)D．z＋z是實(shí)數(shù)[答案]A[解析]由|z|＝z可知z必為實(shí)數(shù)，但由z為實(shí)數(shù)不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此時(shí)|z|≠z，故|z|＝z是z為實(shí)數(shù)的充分不必要條件，故選A.2．(2022?湖北理，1)若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)z1＋i的點(diǎn)是()A．EB．FC．GD．H[答案]D[解析]由圖可知z＝3＋i，∴z1＋i＝3＋i1＋i＝(1－i)(3＋i)(1－i)(1＋i)＝4－2i2＝2－i，對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)H，故選D.3．(2022?荷澤高二期中)化簡2＋4i(1＋i)2的結(jié)果是()A．2＋iB．－2＋iC．2－iD．－2－i[答案]C[解析]2＋4i(1＋i)2＝2＋4i2i＝2－i.4．在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1＋2i、－2＋i、0，那么這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．3＋iB．3－iC．1－3iD．－1＋3i[答案]D[解析]在復(fù)平面內(nèi)通過這四個(gè)點(diǎn)易知第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋3i.5．(2022?新課標(biāo)全國文，3)已知復(fù)數(shù)z＝3＋i(1－3i)2，則|z|＝()C．1D．2[答案]B[解析]由題知：z＝3＋i(1－3i)2＝3＋i－2－23i＝(3＋i)(－2＋23)(－2－23i)(－2＋23i)＝－34＋14i，可得|z|＝(－34)2＋(14)2＝12，故選B.6．當(dāng)z＝－1－i2時(shí)，z100＋z50＋1的值是()A．1B．－1C．iD．－i[答案]D[解析]原式＝－1－i2100＋－1－i250＋1＝1－i2250＋1－i2225＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故應(yīng)選D.7．復(fù)數(shù)(1＋bi)(2＋i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)b＝()A．2C．－12D．－2[答案]A[解析](1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(2b＋1)i是純虛數(shù)，∴2－b＝02b＋1≠0，∴b＝2.8．復(fù)數(shù)z＝－1＋i1＋i－1，在復(fù)平面內(nèi)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限[答案]B[解析]z＝(－1＋i)i(1＋i)i－1＝(－1＋i)i－1＋i－1＝－1＋i.9．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1?z2是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t等于()C．－43D．－34[答案]A[解析]z1?z－2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.因?yàn)閦1?z2是實(shí)數(shù)，所以4t－3＝0，所以t＝34.因此選A.10．已知復(fù)數(shù)z＝1－i，則z2－2zz－1＝()A．2iB．－2iC．2D．－2[答案]B[解析]∵z＝1－i，∴z2－2zz－1＝－2i－2＋2i1－i－1＝－2－i＝－2i，故選B.11．若z＝cosθ＋isinθ(i為虛數(shù)單位)，則使z2＝－1的θ值可能是()A.π6B.π4C.π3D.π2[答案]D[解析]解法1：將選項(xiàng)代入驗(yàn)證即可．驗(yàn)證時(shí)，從最特殊的角開始．解法2：z2＝(cosθ＋isinθ)2＝(cos2θ－sin2θ)＋2isinθcosθ＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴sin2θ＝0cos2θ＝－1，∴2θ＝2kπ＋π(k∈Z)，∴θ＝kπ＋π2(k∈Z)，令k＝0知選D.12．設(shè)復(fù)數(shù)z＝lg(m2－1)＋1－mi，z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)()A．一定不在一、二象限B．一定不在二、三象限C．一定不在三、四象限D(zhuǎn)．一定不在二、三、四象限[答案]C[解析]∵m2－1>01－m≥0，∴m＜－1，此時(shí)lg(m2－1)可正、可負(fù)，1－m＞2，故選C.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線上)13．已知x＋1x＝－1，則x2022＋1x2022的值為________．[答案]－1[解析]∵x＋1x＝－1，∴x2＋x＋1＝0.∴x＝－12±32i，∴x3＝1.2022＝3×668＋2，x2022＝x3×668＋2＝x2，∴x2022＋1x2022＝x2＋1x2＝x＋1x2－2＝(－1)2－2＝－1.14．若x、y為共軛復(fù)數(shù)，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，則|x|＋|y|＝________.[答案]22[解析]∵x、y為共軛復(fù)數(shù)，∴x＋y、xy∈R由復(fù)數(shù)相等的條件有：(x＋y)2＝4－3xy＝－6設(shè)x＝a＋bi(a、b∈R)，則y＝a－bi，∴(2a)2＝4a2＋b2＝2，∴|x|＋|y|＝2a2＋b2＝22.15．若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，則實(shí)數(shù)x、y的值分別為________．[答案]x＝1，y＝1[解析]原式可以化為(3y－2x)＋(x－10y)i＝1－9i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，有3y－2x＝1，x－10y＝－9.解得x＝1，y＝1.16．下列命題中，錯(cuò)誤命題的序號(hào)是____________．①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??；②z1，z2，z3∈C，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，則z1＝z3；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x＝±1；④z是虛數(shù)的一個(gè)充要條件是z＋z∈R；⑤若a，b是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則(a－b)＋(a＋b)i是純虛數(shù)；⑥復(fù)數(shù)z∈R的一個(gè)充要條件是z＝z；⑦在復(fù)數(shù)集內(nèi)，－1的平方根是±i；⑧z21＋z22＝0?z1＝z2＝0.[答案]①②③④⑤⑧[解析]①錯(cuò)誤，兩個(gè)復(fù)數(shù)如果都是實(shí)數(shù)，則可比較大??；②錯(cuò)誤，當(dāng)z1，z2，z3不全是實(shí)數(shù)時(shí)不成立，如z1＝i，z2＝1＋i，z3＝1時(shí)滿足條件，但z1≠z3；③錯(cuò)誤，當(dāng)x＝－1時(shí)，虛部也為零，是實(shí)數(shù)；④錯(cuò)誤，此條件是必要非充分條件；⑤錯(cuò)誤，當(dāng)a＝b＝0時(shí)，是實(shí)數(shù)；⑥是正確的；⑦是正確的；⑧錯(cuò)誤，如z1＝i，z2＝1滿足i2＋12＝0，但z1≠0，z2≠0.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本題滿分12分)復(fù)平面內(nèi)有A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是3＋i，向量AC→對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是－2－4i，向量BC→表示的復(fù)數(shù)是－4－i，求B點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)．[解析]∵CA→表示的復(fù)數(shù)是2＋4i，CB→表示的復(fù)數(shù)是4＋i，∴AB→表示的復(fù)數(shù)為(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，故OB→＝OA→＋AB→對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，∴B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為zB＝5－2i.18．(本題滿分12分)已知(1＋2i)z＝4＋3i，求z及zz.[解析]設(shè)z＝a＋bi，則z＝a－bi(a，b∈R)∴(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i∴(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i∴a＋2b＝42a－b＝3，∴a＝2，b＝1，∴z＝2＋i，∴z＝2－i，∴zz＝2＋i2－i＝(2＋i)25＝35＋45i.19．(本題滿分12分)虛數(shù)z滿足|z|＝1，z2＋2z＋1z＜0，求z.[解析]設(shè)z＝x＋yi(x、y∈R，y≠0)，∴x2＋y2＝1.則z2＋2z＋1z＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋1x＋yi＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.∵y≠0，z2＋2z＋1z<0，∴2x＋1＝0，①x2－y2＋3x＜0，②又x2＋y2＝1.③由①②③得x＝－12，y＝±32.∴z＝－12±32i.20．(本題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝2，z2的虛部為2.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)設(shè)z，z2，z－z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求△ABC的面積．[解析](1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知條件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，所以2ab＝2.所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.(2)當(dāng)z＝1＋i時(shí)，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.所以點(diǎn)A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝12|AC|×1＝12×2×1＝1.當(dāng)z＝－1－i時(shí)，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.所以點(diǎn)A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝12|AC|×1＝12×2×1＝1.即△ABC的面積為1.21．(本題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z1，z2滿足條件|z1|＝2，|z2|＝3，且3z1＋2z2＝6，求復(fù)數(shù)z1和z2.[解析]設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則a2＋b2＝4，c2＋d2＝9，由3z1＋2z2＝6，得(3a＋2c)＋(3b＋2d)i＝6，由復(fù)數(shù)相等得3a＋2c＝6，3b＋2d＝0.解方程組a2＋b2＝4，c2＋d2＝9，3a＋2c＝6，3b＋2d＝0，得a＝1，b＝3，c＝32，d＝－332，或a＝1，b＝－3，c＝32，d＝332.所以z1＝1＋3i，z2＝32－323i，或z1＝1－3i，z2＝32＋323i.22．(本題滿分14分)已知復(fù)數(shù)z＝(2x＋a)＋(2－x＋a)i，x，a∈R，且a為常數(shù)，試求|z|的最小值g(a)的表達(dá)式．[