數(shù)值分析偏微方程數(shù)值解法

數(shù)值分析偏微方程數(shù)值解法阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-1第1頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-2第十章目錄§1差分方法的基本概念

1.1偏微分方程的定解問題

1.2差分方法的基本概念§2橢圓型方程第一邊值的差分方法

2.1差分格式的建立

2.2差分格式解的存在唯一性§3拋物型方程的差分解法及其穩(wěn)定性

3.1差分格式的建立

3.2差分格式的穩(wěn)定性§4雙曲型方程的差分解法

4.1幾種簡(jiǎn)單的差分格式

4.2差分格式的收斂性與穩(wěn)定性第2頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-3

補(bǔ)充知識(shí)

“高數(shù)”中接觸了一些簡(jiǎn)單偏微分，也接觸了簡(jiǎn)單偏微分方程，如：

其中：

1.2.滿足：

第3頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-4

補(bǔ)充知識(shí)

（續(xù)1）

3.2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z滿足：

4.滿足：

5.滿足：6.滿足：

上面是已知函數(shù)，，驗(yàn)證滿足等式，反過來，將等式視為方程，則是求解方程，得到解函數(shù)。

第4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-5因此偏微分方程：

1.含偏微分的等式，

2.求解偏微分方程、求含多個(gè)自變量的函數(shù)

3.帶有初值、邊界條件。常微分方程的求解已很困難，通過分門別類研究，能求得一些特殊類型方程的解（只含一個(gè)變量），即便是一階方程，也很難求出解析解表達(dá)式，也因此，在上一章我們研究了一階微分方程的數(shù)值解法。

補(bǔ)充知識(shí)

（續(xù)2）第5頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-6§1差分方法的基本概念要求解偏微分方程比求解常微分方程更難，因此尋求偏微分方程的數(shù)值解更顯重要，實(shí)際上，絕大部分偏微分方程不可能求到解析函數(shù)解，基本上都是數(shù)值解法。

一般來說，偏微分方程從實(shí)際問題抽出后，多是下列幾種類型:

（1）泊阿松方程（Poisson），又稱為橢圓型方程：

：自變量的變化區(qū)域，有界區(qū)域。

：的邊界，分段光滑曲線。

1.偏微分方程定解問題當(dāng)稱為拉普拉斯方程（Laplace）或調(diào)和方程，

例如

滿足：

第6頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-7相應(yīng)第一邊值條件：

第二、第三邊值條件：

為邊界的外法線方向，為第二邊界條件，為第三邊界條件。

各種物理性質(zhì)的定長(zhǎng)問題（不隨時(shí)間變化過程），都可用橢圓型方程描述。如帶有穩(wěn)定熱源或內(nèi)部無熱源的穩(wěn)定場(chǎng)的溫度分布，不可壓縮流體的穩(wěn)定克旋流動(dòng)及靜電場(chǎng)的電熱等均滿足上述方程。

橢圓型方程（續(xù)）第7頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-8（2）熱傳導(dǎo)方程（拋物型）

相應(yīng)有：柯西（Cauchy）初值條件：初邊值條件為：

第一邊值條件：

第二邊值條件：

第8頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-9拋物型方程（續(xù)）第三邊值條件為：

其中在熱傳導(dǎo)過程的研究中，氣體的擴(kuò)散現(xiàn)象及電磁場(chǎng)的傳播等隨時(shí)間變化的非定常物理問題，都可用上述方程來描述。第9頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-10（3）波動(dòng)方程（雙曲型）

最簡(jiǎn)單形式為線性雙曲方程：

其初邊值條件為：

邊值條件同熱傳導(dǎo)方程。

物理中常見的一維振動(dòng)及各類波動(dòng)問題，均可用波動(dòng)方程描述。

第10頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-11差分方法的基本概念如果偏微分方程定解問題的解存在，唯一，并且連續(xù)依賴于定解數(shù)據(jù)（即出現(xiàn)在方程和定解條件中的已知函數(shù)），則此定解問題是適定的?？梢宰C明，上面所舉各種定解問題都是適定的。

2.差分方法的基本概念：

先對(duì)求解區(qū)域作網(wǎng)格剖分，將自變量的連續(xù)變化區(qū)域用有限離散點(diǎn)（網(wǎng)格點(diǎn)）集代替；將問題中出現(xiàn)的連續(xù)變量的函數(shù)用定義在網(wǎng)格點(diǎn)上離散變量的函數(shù)代替；通過用網(wǎng)格點(diǎn)上函數(shù)的差商代替導(dǎo)數(shù)，將含連續(xù)變量的偏微分方程定解問題化成只含有限個(gè)未知數(shù)的代數(shù)方程組（稱為差分格式）。如果差分格式有解，且當(dāng)網(wǎng)格無限變小時(shí)其解收斂于原微分方程定解問題的解，則差分格式的解就作為原問題的近似解（數(shù)值解）。

第11頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-12差分方法的基本概念（續(xù)1）所以，偏微分方程數(shù)值解法，實(shí)際上是通過網(wǎng)格及差分格式將偏微分方程定解問題離散化后求定義域上有限離散點(diǎn)（網(wǎng)格點(diǎn)）對(duì)應(yīng)函數(shù)值u(x,y)的近似值（差分值），體現(xiàn)在常微分方程數(shù)值解法中是求定義區(qū)間上離散點(diǎn)xi對(duì)應(yīng)y(xi)的近似值yi。

因此，用差分方法求解偏微分方程定解問題，一般需解決以下問題：

（1）選取網(wǎng)格：對(duì)定義區(qū)域如何劃分？常用的有矩形、菱形等格式。

（2）對(duì)偏微分方程及定解條件，選擇充分近似，列出差分格式，化偏微分方程為差分方程組（線性代數(shù)方程組）。

第12頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-13差分方法的基本概念（續(xù)2）如可用差商（差分）代替導(dǎo)數(shù)：

對(duì)偏導(dǎo)數(shù)同樣有：

一般還可以得出：等等；

第13頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-14（3）求解充分方程（解的存在性與唯一性）

差分方法的基本概念（續(xù)3）（4）討論充分方程的解是否可作為偏微分方程的解的近似值（收斂性及誤差估計(jì)）。按上述方法，差分方法也可用于求解常微分方程，為了幫助理論，下面先簡(jiǎn)單介紹在常微分方程中近值問題數(shù)值解法；

二階線性微分方程第一邊值問題：

第14頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-15二階線性微分方程第一邊值問題（1）差分方程的建立：

將[a,b]分為n個(gè)相等的小區(qū)間，要將離散化，建立充分方程，即要用：

則在內(nèi)節(jié)點(diǎn)xi處，方程化為：

x1,…,xn-1稱為內(nèi)節(jié)點(diǎn)，x0,xn稱為邊界點(diǎn)。

第15頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-16二階線性微分方程第一邊值問題（續(xù)1）在上式中略去余項(xiàng)，并記qi=q(xi),fi=f(xi),yi=y(xi),則得差分方程：

此為（n-1)(n-1)階線性代數(shù)方程組。其解作為邊值問題精確解y(x)在x1,x2,…,xn-1處的近似值，稱為差分解。

以則差分方程組可簡(jiǎn)記為：

第16頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-17二階線性微分方程第一邊值問題（續(xù)2）可證：

1.

極值定解：設(shè)y0,y1,…,yn不全相等:

①若滿足條件，，則

y0,y1,…,yn中正的最大值只能是y0或yn

。

2.

充分方程解唯一存在。

②若滿足，則

y0,y1,…,yn

中負(fù)的最小值只能是y0或yn

。

第17頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-18二階線性微分方程第一邊值問題（續(xù)3）這是(n-1)(n-1)的三對(duì)角方程組，∴系數(shù)矩陣對(duì)角占優(yōu)追趕法求解。

3.

方程組解法：

亦即：

第18頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-19二階線性微分方程邊值問題例題例用差分法解 二階線性微分方程第一邊值問題： 解：取h=0.1,則所以：因此差分方程為：第19頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-20二階線性微分方程邊值問題例題（續(xù)）xiyiy(xi）xiyiy(xi)0.10.07048940.07046730.60.48356840.48348010.20.14268360.142464090.80.71147910.71141090.30.21830480.21824360.90.84700450.84696330.40.29910890.2990332

解此差分方程，計(jì)算結(jié)果列在下表中：其中：二階線性微分方程的解函數(shù)為第20頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-21差分方法求解偏微分方程簡(jiǎn)例下面，我們?cè)偻ㄟ^一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來說明用差分方法求解偏微分方程問題的一般過程及差分方法的基本概念。

設(shè)有一階雙曲型方程初值問題：首先對(duì)定解區(qū)域：作網(wǎng)格剖分，最簡(jiǎn)單常用的一種網(wǎng)格是：用兩族分別平行于x軸與t軸的等距直線第21頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-22差分方法求解偏微分方程簡(jiǎn)例（續(xù)1）將D分成許多小矩形區(qū)域（見圖10-1）。這些直線稱為網(wǎng)格線，其交點(diǎn)稱為網(wǎng)格點(diǎn)，也稱為節(jié)點(diǎn)，h和τ分別稱作x方向和t方向的步長(zhǎng)。這種網(wǎng)格稱為矩形網(wǎng)格。如果我們用向前差商表示一階偏導(dǎo)數(shù)，即:其中:

0τ2τ3τ3h-h2hh-2htx（圖10-1）第22頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-23于是，方程（10-1）在節(jié)點(diǎn)處可表示為

:差分方法求解偏微分方程簡(jiǎn)例（續(xù)2）

(10-2)其中：由于當(dāng)h，τ足夠小時(shí)，是小量，在式（10-2）中略去就得到一個(gè)與方程（10-1）相近似的差分方程。緊接下屏記為第23頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-24差分方法求解偏微分方程簡(jiǎn)例（續(xù)3）此處，可看作是問題（10-13）的解在節(jié)點(diǎn)處的近似值。由初條件有：

(10-4)式（10-3）與（10-4）結(jié)合，就得到求問題（10-1）的數(shù)值解的差分格式。而稱式 （10-5）為差分方程（10-3）的截?cái)嗾`差。(10-3)第24頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-25差分方法求解偏微分方程簡(jiǎn)例（續(xù)4）如果一個(gè)差分方程的截?cái)嗾`差為，則稱差分方程對(duì)t是q階精度，對(duì)x是p階精度的。顯然，截?cái)嗾`差的階數(shù)越大，差分方程對(duì)微分方程的逼近越好。若網(wǎng)格步長(zhǎng)趨于0時(shí)，差分方程的截?cái)嗾`差也趨于0，則稱差分方程與相應(yīng)的微分方程是相容的。這是用差分方法求解偏微分方程問題的必要條件。

如果當(dāng)網(wǎng)格步長(zhǎng)趨于0時(shí)，差分格式的解收斂到相應(yīng)微分方程定解問題的解，則稱這種差分格式是收斂的。用差分格式求解時(shí)，除了截?cái)嗾`差外，每步計(jì)算都會(huì)產(chǎn)生舍入誤差，在遞推計(jì)算的過程中，誤差還會(huì)傳播。對(duì)計(jì)算過程中誤差傳播的討論就是差分格式的穩(wěn)定性問題。第25頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-26差分方法求解偏微分方程簡(jiǎn)例（續(xù)5）如果利用某種差分格式求解，計(jì)算過程中誤差越來越大，以致所求的解完全失真，則稱該差分格式是數(shù)值不穩(wěn)定的。后面的討論表明，差分格式的穩(wěn)定性不僅與差分格式本身有關(guān)，而且與網(wǎng)格步長(zhǎng)之比（稱為網(wǎng)格比）的大小有關(guān)。如果一種差分格式對(duì)任意網(wǎng)格比都穩(wěn)定，則稱該差分格式是無條件穩(wěn)定的；若只對(duì)某些網(wǎng)格比的值穩(wěn)定；則稱為條件穩(wěn)定。如果對(duì)任何網(wǎng)格比都不穩(wěn)定，則稱完全不穩(wěn)定。完全不穩(wěn)定的差分格式是無效的。值得指出的是，穩(wěn)定性與微分方程無關(guān)。定理10.1（Lax等價(jià)定理）給定一個(gè)適定的初值問題，如果逼近它的差分格式與它相容，則該差分格式收斂的充分必要條件為它是數(shù)值穩(wěn)定的。由此定理，在對(duì)差分格式的穩(wěn)定性進(jìn)行討論的同時(shí)，收斂性問題也就解決了。（證明略）第26頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-27§2橢圓型方程第一邊值問題

的差分解法本節(jié)以Poisson方程為基本模型討論第一邊值問題的差分方法。2.1差分格式的建立考慮Poisson方程的第一邊值問題： (10-6)取h和τ分別為x方向和

y方向的步長(zhǎng)，如圖10-2所示，以兩族平行線：將定解區(qū)域剖分成矩形網(wǎng)格。節(jié)點(diǎn)的全體記為：RQPTS圖10-2第27頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-28Poisson方程差分格式的建立定解區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)，記內(nèi)點(diǎn)集為。邊界與網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為邊界點(diǎn)，邊界點(diǎn)全體記為。與節(jié)點(diǎn)沿x方向或y方向只差一個(gè)步長(zhǎng)的點(diǎn)和稱為節(jié)點(diǎn)的相鄰節(jié)點(diǎn)。如果一個(gè)內(nèi)點(diǎn)的四個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)均屬于，如圖10-2中的點(diǎn)S，T稱為正則內(nèi)點(diǎn)，正則內(nèi)點(diǎn)的全體記為，至少有一個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)不屬于的內(nèi)點(diǎn)稱為非正則內(nèi)點(diǎn)，非正則內(nèi)點(diǎn)的全體記為。我們的問題是要求出問題（10-3）在全體內(nèi)點(diǎn)上的數(shù)值解。為簡(jiǎn)便起見，記:

對(duì)正則內(nèi)點(diǎn)，由二階中心差商公式:緊接下屏第28頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-29Poisson方程差分格式的建立（續(xù)1）

Poisson方程（10-6）在點(diǎn)(k,j)處可表示為:(10-8)(10-7)其中：第29頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-30在式（10-8）中略去R(k,j)即得與方程（10-6）相近似的差分方程:Poisson方程差分格式的建立（續(xù)2）式（10-9）為其截?cái)嗾`差表示式.（10-10）式（10-10）中方程的個(gè)數(shù)等于正則內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，而未知數(shù)uk,j

則除了包含正則內(nèi)點(diǎn)處解u的近似值外，還包含一些非正則內(nèi)點(diǎn)處u的近似值，因而方程個(gè)數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)。在非正則內(nèi)點(diǎn)處Poisson方程的差分近似不能按式（10-10）給出，需要利用邊界條件得到。第30頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-31Poisson方程邊界條件的處理邊界條件的處理可以有各種方案，下面介紹較簡(jiǎn)單的兩種。（1）直接轉(zhuǎn)移用最接近非正則內(nèi)點(diǎn)的邊界點(diǎn)上的u值作為該點(diǎn)上u值的近似，這就是邊界條件的直接轉(zhuǎn)移。如圖10-2，點(diǎn)R(k,j)為非正則內(nèi)點(diǎn)，其最接近的邊界點(diǎn)為Q點(diǎn)，則有

（10-11）將式（10-11）代入式（10-10），方程個(gè)數(shù)即與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等。式（10-11）可以看作是用零次插值得到非正則內(nèi)點(diǎn)處u的近似值，容易求出，其截?cái)嗾`差為O(h+τ)

。第31頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-32Poisson方程邊界條件的處理（續(xù)1）（2）線性插值這種方案是通過用同一條網(wǎng)格線上與點(diǎn)P相鄰的邊界點(diǎn)與內(nèi)點(diǎn)作線性插值得到非正則內(nèi)點(diǎn)P(k,j)處u值的近似。如圖10-2，由點(diǎn)R與T的線性插值確定u(p)的近似值uk,j，得: （10-12）其中，其截?cái)嗾`差為。將式（10-12）與（10-10）聯(lián)立，得到方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的方程組，求解此方程組可得到Poisson方程第一邊值問題（10-6）的數(shù)值解。第32頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-33（10-13）由式（10-10）所給出的差分格式稱為五點(diǎn)菱形格式，它所涉及的節(jié)點(diǎn)如圖10-3所示。簡(jiǎn)記為:

（10-14）jk圖10-3Poisson方程邊界條件的處理（續(xù)2）實(shí)際計(jì)算時(shí)經(jīng)常取h=

τ

，此時(shí)五點(diǎn)菱形格式可化為:其中:

第33頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-34例1用五點(diǎn)菱形格式求解Laplace方程第一邊值問題其中取。

[解]如圖10-4所示，網(wǎng)格中有四個(gè)內(nèi)點(diǎn)，均為正則內(nèi)點(diǎn)。由五點(diǎn)菱形格式（10-13），得方程組:(0.3)(1.3)(2.3)(3.3)(3.2)(3.1)(2.1)(1.1)(0.1)(0.2)(1.2)(2.2)(0.0)(1.0)(2.0)(3.0)Oy圖10-4第34頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-35例1(續(xù)1)代入邊界條件：第35頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-36例1（續(xù)2）其解為得第36頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-37五點(diǎn)矩形格式（10-17）當(dāng)時(shí)，利用點(diǎn)構(gòu)造的差分格式：（10-15）稱為五點(diǎn)矩形格式，簡(jiǎn)記為（10-16）其截?cái)嗾`差為：其中： 第37頁，共43頁，2023年，2月20日，星期六阜師院數(shù)科院第十章偏微分方程數(shù)值解法10-38五點(diǎn)矩形格式所涉及的節(jié)點(diǎn)如圖10-5