數(shù)學(xué)物理方法

數(shù)學(xué)物理方法第1頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在復(fù)平面的區(qū)域D內(nèi)解析，則它的實(shí)部u(x,y)和虛部v(x,y)都是(x,y)平面的區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。證：按假設(shè)，w=f(z)在D內(nèi)解析，因而在D內(nèi)可求導(dǎo)，并且滿足柯西–黎曼條件(1-3-4)，即(3-6-2)將第一式對(duì)x求導(dǎo)，第二式對(duì)y求導(dǎo)，得再利用第2頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六就得到這就證明了u=u(x,y)是調(diào)和函數(shù)。同理，將(1-3-17)的第一式對(duì)y求導(dǎo)，第二式對(duì)x求導(dǎo)，可以證明(3-6-1b)即v=v(x,y)也是調(diào)和函數(shù)。【證畢】我們證明了，在區(qū)間D內(nèi)解析的復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部都是該區(qū)間內(nèi)的二維調(diào)和函數(shù)。這兩個(gè)二維調(diào)和函數(shù)之間有關(guān)系(3-6-2)。通常稱它們是相互共軛的調(diào)和函數(shù)。第3頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(二)平面場(chǎng)的復(fù)電勢(shì)定理一可以用來(lái)研究平面上的拉普拉斯方程?？紤]定義在xy平面的區(qū)域D內(nèi)的平面靜電場(chǎng)，其場(chǎng)強(qiáng)為而電勢(shì)為兩者之間有關(guān)系E=–gradU，其分量式為(3-6-3)設(shè)在區(qū)域D內(nèi)無(wú)電荷，則場(chǎng)強(qiáng)E滿足方程(3-6-4)第4頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六即U(x,y)是二維調(diào)和函數(shù)。因此，可以將U看成是在z平面上區(qū)域D內(nèi)解析的復(fù)變函數(shù)w=u+iv的實(shí)部或虛部。例如，可以令U等于w的實(shí)部：(3-6-5)(3-6-6)設(shè)一給定了平面靜電場(chǎng)的電勢(shì)U，也就是給定了w的實(shí)部u，利用(1-3-14)可以求出w的虛部v。這樣得到的復(fù)變解析函數(shù)w稱為靜電場(chǎng)的復(fù)電勢(shì)。在w平面上，兩個(gè)方程(3-6-7)(3-6-8)第5頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六是相互正交的兩個(gè)直線族。根據(jù)保角映射的原理(1-3-15)，上述兩個(gè)方程在z平面的區(qū)域D內(nèi)是相互正交的兩個(gè)曲線族。其中第一個(gè)曲線族是靜電場(chǎng)的等勢(shì)線[根據(jù)(3-6-6)]，而第二個(gè)曲線族和等勢(shì)線正交，因而是電場(chǎng)的電場(chǎng)線。因此，只要知道了復(fù)電勢(shì)，就很容易作出等勢(shì)線和電場(chǎng)線。(3-6-10)(3-6-9)例1已知平面電場(chǎng)的復(fù)電勢(shì)是(3-6-11)第6頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六作出它的電場(chǎng)線和等勢(shì)線。解：將(3-6-11)平方因而為了畫電場(chǎng)線和等勢(shì)線，從上述二式中分別消去v或u，由第二式得將v2=u2+x代入得將u2=v2

–

x代入得第7頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六于是，電場(chǎng)線的方程(3-6-10)[v=C2]成為(3-6-12)這是一族拋物線，如圖3-6-1中的實(shí)線。等勢(shì)線的方程(3-6-9)[u=C1]成為(3-6-13)這于是一族拋物線，如圖3-6-1中的虛線。這是帶電平板邊沿所產(chǎn)生的電場(chǎng)。第8頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(3-6-14)例2已知平面靜電場(chǎng)電場(chǎng)線的方程為求等勢(shì)線的方程并作圖。解：(3-6-14)左邊的函數(shù)應(yīng)該是某一解析的復(fù)變函數(shù)w的虛部或者實(shí)部。為了利用前面已經(jīng)得到的結(jié)果，我們假定它是w的實(shí)部因而w的虛部就是電勢(shì)U：在§1-3例1中已經(jīng)求出了這一復(fù)變函數(shù)的虛部第9頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(3-6-15)故等勢(shì)線的方程是在§1-2的例2中，畫過(guò)等勢(shì)線(3-6-15)和電場(chǎng)線(3-6-14)的圖形，如圖1-2-6，這是互相垂直的兩塊無(wú)限大帶電導(dǎo)體平板在兩板之間的空間中所產(chǎn)生的場(chǎng)。(三)解平面場(chǎng)問(wèn)題的保角變換法用復(fù)電勢(shì)方法可以畫出等勢(shì)線和電力線，但必須先給定復(fù)電勢(shì)，或給定等勢(shì)線(或電力線)的方程。系統(tǒng)地求解平面場(chǎng)問(wèn)題，是在給定電荷分布的情況下求平面場(chǎng)。此時(shí)，代替(3-6-4)式，有第10頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六見式(5-3-1)。上式中，ρ=ρ(x,y)是二維電荷密度，將(3-6-3)式代入，代替(3-6-5)式得到二維泊松方程(3-6-16)(3-6-17)求解泊松方程的邊值問(wèn)題，其難易程度主要決定于邊界的形狀。當(dāng)邊界有簡(jiǎn)單的幾何形狀時(shí)，求解比較容易。對(duì)于邊界為一般形狀的邊界問(wèn)題，可以先設(shè)法將它轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單形狀邊界的邊值問(wèn)題，然后求解。按這一思路解二維泊松方程的方法稱為保角變換法。第11頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在§1-3中證明了，由解析函數(shù)w=f(z)實(shí)現(xiàn)的從z平面到w平面的變換，在f

'(z)≠0的點(diǎn)有保角性質(zhì)。因此，稱這種變換為保角變換。以下將限于討論具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的保角變換，即假定w=f(z)和它的反函數(shù)都是單值函數(shù)；或者，如果它們之中有多值函數(shù)，就規(guī)定取它的黎曼面的一葉。在電荷為零的區(qū)域中，電勢(shì)滿足拉普拉斯方程(3-6-5)設(shè)w=w(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則(3-6-5)(3-6-18)的映射是保角映射。將它看成二維變量第12頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六的變量變換，稱之為保角變換。在這一變換下，如果在(x,y)平面的區(qū)域D內(nèi)邊界形狀復(fù)雜，而在u,v平面上的相應(yīng)區(qū)域有簡(jiǎn)單形狀，則可通過(guò)求φ(u,v)而得到U(x,y)。為此需要一個(gè)定理。定理二設(shè)由(x,y)到(u,v)的變換(3-6-19)為保角變換，即(3-6-18)w=w(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則：如果U(x,y)滿足拉普拉斯方程(3-6-5)，則φ(u,v)也滿足拉普拉斯方程。(3-6-21)(3-6-19)(3-6-20)第13頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六且(3-6-22)證：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的法則，有同理，有第14頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六兩式相加，得到利用解析函數(shù)的C–R條件(1-3-4)式，即以及解析函數(shù)實(shí)部和虛部分別滿足拉普拉斯方程的性質(zhì)，第15頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六見(3-6-1)式，得到上式化簡(jiǎn)為按(1-3-2)式因而(3-6-23)第16頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由此看出，對(duì)于保角變換，w'(z)≠0，只要U(x,y)滿足拉普拉斯方程，Φ(u,v)也滿足同一方程(3-6-24)這樣，如果在z=x+iy平面上給定了U(x,y)的拉普拉斯方程邊值問(wèn)題，則利用保角變換w=f(z),可以將它轉(zhuǎn)化為w=u+iv平面上Φ(u,v)的拉普拉斯方程邊值問(wèn)題。以下我們來(lái)討論幾種簡(jiǎn)單的保角變換，以及用它們解拉普拉斯方程邊值問(wèn)題(有源情況下是泊松方程的邊值問(wèn)題)的例子。第17頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(四)由分式線性函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的變換分式線性函數(shù)的一般形式是式中，a,b,c,d為常數(shù)(若ad–bc=0，則w將恒等于常數(shù))。我們來(lái)討論由它實(shí)現(xiàn)的保角變換。若c≠0,式(3-6-25)可改寫為(3-6-25)(3-6-26)第18頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六這一變換可以分四步實(shí)現(xiàn)：(1)z1=z+C；(2)z2=|B|/z1；(3)z3=z2eiargB；(4)w=A+z3(3-6-27)(1)和(4)是z平面和z3平面上的平移變換；(3)是在z2平面上轉(zhuǎn)動(dòng)角度argB的變換。下面著重討論變換(2)。記|B|=R2，R為正實(shí)數(shù)，令z1=reiθ、

z2=ρeiφ，則變換z2=R2

/z1可進(jìn)一步分解為(3-6-28)在圖3-6-2中的z1和z'1是在以R為半徑的圓的一根半徑及其延長(zhǎng)線的兩個(gè)點(diǎn)，它們和圓心距離的乘積等于半徑的平方：rρ

=R2。這樣的兩個(gè)點(diǎn)稱為對(duì)于這一圓周的一第19頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，或反演點(diǎn)。z1和z'1則是關(guān)于實(shí)軸的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)。式(3-6-27)中的(2)就是這兩對(duì)關(guān)于圓和關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)變換的結(jié)合，也就是變換的復(fù)合。和第20頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六分式線性變換(3-6-25)有一個(gè)重要性質(zhì)：保圓性。它將z平面上的圓變?yōu)閣平面上的圓。這里所說(shuō)“圓”包括圓心在無(wú)窮遠(yuǎn)，半徑為無(wú)窮大的特殊情況，即直線。變換(1)、(4)——平移和(3)——轉(zhuǎn)動(dòng)顯然有保圓性。下面來(lái)證明變換(2)z2=R2

/z1也有保圓性。在z1=reiθ平面上，以z0=r0eiθ0為心，A為半徑的圓的方程是或(3-6-29)第21頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(3-6-30)如圖3-6-3，將(3-6-28)代入，即作變換z2=R1

/z1，得到當(dāng)b≠0時(shí)，這是在z2=ρeiφ平面上，以為心，以第22頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六為半徑的圓。特殊情況：b=0，變換z2=R2

/z1將z1平面上經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓映射到z2平面上成為圓心在無(wú)限遠(yuǎn)處，半徑為無(wú)窮大的圓，即直線ρcos(φ+θ0)=常數(shù)。反之，z1平面上的一根直線rcos(θ–θ0)=常數(shù)，映射到z2平面上是經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓。不難看到，分式線性變換(3-6-25)在整個(gè)復(fù)平面除了一個(gè)點(diǎn)z0=–d/c外處處解析，并將整個(gè)閉z平面單值地映射到w平面上。它的反函數(shù)(3-6-31)也是分式線性函數(shù)，它將整個(gè)閉w平面單值地映射到z平面第23頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六上。因此，分式線性變換(3-6-25)將閉z平面一一對(duì)應(yīng)地映射到閉w平面，且具有保角性和保圓性。下面我們來(lái)證明相反的論斷也成立：定理三如果w=f(z)在閉z平面上除一點(diǎn)z0(無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)或有限遠(yuǎn)點(diǎn))外處處解析，并且將z平面一一對(duì)應(yīng)地映射到w平面，則f(z)是分式線性函數(shù)。證：按假設(shè)，z0是一個(gè)孤立奇點(diǎn)，f(z)及反函數(shù)單值。在本性奇點(diǎn)和高階極點(diǎn)的鄰域內(nèi)，f(z)的反函數(shù)不單值，因而z0不可能是本性奇點(diǎn)或高階奇點(diǎn)。另外，z0不可能是可去奇點(diǎn)，否則f(z)是常數(shù)。第24頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如果z0是一階極點(diǎn)，則當(dāng)z0為有限遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)f(z)在z0的鄰域的羅朗展開式的負(fù)冪項(xiàng)只含(z–z0)–1項(xiàng)。這表明f(z)–B/(z–z0)在閉z平平面上解析，因而由劉維爾定理可知其為常數(shù)A。因此，(3-6-31)這是分式線性函數(shù)(3-6-26)。如果無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)是一階極點(diǎn)，則由同樣的討論知道f(z)=Bz+A，同樣是分式線性函數(shù)(3-6-25)中c=0的特殊情況?！咀C畢】第25頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例3和地面平行，距離地面h處有一根均勻帶電無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，單位長(zhǎng)度電荷量為e，求電場(chǎng)。解：根據(jù)對(duì)稱性，任何一個(gè)垂直于導(dǎo)線的平面上的電場(chǎng)都相同，可以選其中一個(gè)平面來(lái)研究，如圖3-6-4(a)。這一平面上的電勢(shì)滿足二維點(diǎn)泊松方程(3-6-32)和邊界條件(3-6-33)第26頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(3-6-34)我們來(lái)找一個(gè)分式線性變換w=f(z)，它將z平面上的直線y=0映射為w平面上的單位圓；點(diǎn)P映射為圓心P*，如圖3-6-4(b)。根據(jù)定理三，這樣的分式線性變化是存在的。它將上半z平面映射到w平面上以P*為心的單位圓的內(nèi)部。設(shè)是這一變換。三個(gè)常數(shù)λ,α,β由三個(gè)條件決定：(1)P點(diǎn)(z=ih)映射為w=0，由此得α=ih；(2)直線y=0映射為單位圓。這一條件可以換一句話表述：第27頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六相對(duì)于直線y=0的反演點(diǎn)對(duì)映射為相對(duì)于單位圓的反演點(diǎn)對(duì)。例如，在z1=ih映射為w1=0的同時(shí)，相對(duì)于直線y=0的z1的反演點(diǎn)z1=ih映射為相對(duì)于單位圓的w1的反演點(diǎn)w2。根據(jù)反演點(diǎn)的定義，w1和w2的模ρ1和ρ2的乘積等于圓半徑的平方。由于ρ1=0，故ρ2=∞，即w2為無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)。將z2=–ih，w2=∞代入(3-6-34)式，得到β=–ih。這樣，(3-6-34)成為

(3)以上只決定了直線y=0映射為以P*為心的圓，還沒有確定圓的半徑。為了保證圓的半徑=1(單位圓)，要求直線y=0上的一個(gè)點(diǎn)(例如z=0)映射為單位圓上的一個(gè)點(diǎn)(例如w=–1)。第28頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六經(jīng)過(guò)這一變換，方程和邊界條件成為(3-6-35)(3-6-36)(3-6-37)由此得λ=1，即它代表這樣一個(gè)物理問(wèn)題：在半徑等于1的接地圓柱導(dǎo)體面的軸線上有一均勻帶電的導(dǎo)線，求柱面內(nèi)的電勢(shì)。在§11-2中將看到，它的解是[見(11-2-11)式](3-6-38)第29頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(3-6-39)回到z平面就有(五)由冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的變換(1)冪函數(shù)將z平面上與正實(shí)軸夾角為π/n的角形區(qū)域變?yōu)閣的上半平面。在§1-2例2中見過(guò)一個(gè)這種變換的例子。注意，在z平面的上述角形區(qū)域內(nèi)部(對(duì)應(yīng)于w的上半平面內(nèi))，變換有保角