數(shù)學(xué)教學(xué)論第講

數(shù)學(xué)教學(xué)論第講第1頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六內(nèi)容提要一、HansFreudenthal的個(gè)人簡(jiǎn)介二、HansFreudenthal的數(shù)學(xué)及教育觀三、HansFreudenthal的教學(xué)原則第2頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六本次課要解決的核心問(wèn)題1.弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)本質(zhì)觀是什么？2.弗賴登塔爾的今日數(shù)學(xué)觀是什么？3.數(shù)學(xué)教育的目的是什么？4.弗氏認(rèn)為數(shù)學(xué)教育具有什么特征？5.弗賴登塔爾的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育觀是什么？6.什么是數(shù)學(xué)化？水平數(shù)學(xué)化？垂直數(shù)學(xué)化是什么？7.弗賴登塔爾的再創(chuàng)造數(shù)學(xué)教育觀是什么？8.弗賴登塔爾的反思教育觀是什么？第3頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、HansFreudenthal的個(gè)人簡(jiǎn)介漢斯·弗賴登塔爾(HansFreudenthal,1905一1990年)1930年獲柏林大學(xué)博士學(xué)位．1951年起為荷蘭皇家科學(xué)院院士，1971—1976年任荷蘭數(shù)學(xué)教育研究所所長(zhǎng)．弗賴登塔爾是著名數(shù)學(xué)家布勞威爾的學(xué)生，早年從事純粹數(shù)學(xué)研究，以代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)和李群研究方面的杰出工作進(jìn)入國(guó)際著名數(shù)學(xué)家的行列，曾任荷蘭數(shù)學(xué)會(huì)的兩屆主席．第4頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、HansFreudenthal的個(gè)人簡(jiǎn)介漢斯·弗賴登塔爾是荷蘭著名數(shù)學(xué)家!數(shù)學(xué)教育家,是20世紀(jì)最偉大!最具影響的國(guó)際數(shù)學(xué)教育權(quán)威。他非常關(guān)注教育問(wèn)題,很早就把學(xué)習(xí)和教學(xué)作為自己思考和研究的對(duì)象,并簡(jiǎn)單地解釋說(shuō):“我一生都是做教師,之所以從很早就開始思考教育方面的問(wèn)題,是為了把教師這一行做好”第5頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、HansFreudenthal的個(gè)人簡(jiǎn)介在隨后長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教育研究實(shí)踐中,他逐步形成了適應(yīng)兒童心理發(fā)展,符合教育規(guī)律,經(jīng)得起實(shí)踐檢驗(yàn),并具有自己獨(dú)特風(fēng)格的數(shù)學(xué)教育思想體系"他的這一體系,不僅在很大程度上改變了荷蘭數(shù)學(xué)教育的面貌,也通過(guò)世界范圍內(nèi)的相互交流,極大地推動(dòng)了國(guó)際數(shù)學(xué)教育研究的發(fā)展,尤其是他的“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”思想對(duì)各國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的改革產(chǎn)生了巨大的推動(dòng)力。第6頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、HansFreudenthal的個(gè)人簡(jiǎn)介作為具有國(guó)際盛名的數(shù)學(xué)教育家,他從1954年起擔(dān)任荷蘭數(shù)學(xué)教育委員會(huì)主席,1967年又擔(dān)任國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)主席,并主持召開了第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME),創(chuàng)辦了世界性數(shù)學(xué)教育雜志《EducationalStudiesinMathematics》鑒于他在數(shù)學(xué)教育方面的巨大成就和貢獻(xiàn),人們把他和偉大的幾何學(xué)家F·克萊因(F·klein,1849一1925年)相提并論,“認(rèn)為對(duì)于數(shù)學(xué)教育,在20世紀(jì)上半葉是F.克萊因做出了不朽的功績(jī),而在下半葉則是弗賴登塔爾作出了巨大的貢獻(xiàn)?！钡?頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、HansFreudenthal的個(gè)人簡(jiǎn)介弗賴登塔爾關(guān)于數(shù)學(xué)教育的論述,主要收錄在他的三本巨著中:《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》MathematicsasanEducationTask(D.ReidelpublishingCompany1973)《除草與播種一數(shù)學(xué)教育學(xué)的序言》WeedingandSowing__prefacetoascienceofMathematicalEducation(D.ReidelpublishingCompany1978)《數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的教學(xué)現(xiàn)象學(xué)》DidacticalPhenomenologyofMathematicalStructures(D.ReidelpublishingCompany1983)

第8頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、HansFreudenthal的個(gè)人簡(jiǎn)介1987年，82歲高齡的他到華東師范大學(xué)講學(xué)兩周，隨后順訪北京。他在華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系演講，走上講臺(tái)的第一句話就說(shuō)：“在荷蘭，中學(xué)教室里的桌椅擺法都是圍成一圈，教師在學(xué)生中間活動(dòng)．如果有一個(gè)學(xué)校的教室象今天這樣擺桌椅：前面一張講臺(tái)，下面是一排排桌椅，那么這所中學(xué)的校長(zhǎng)大概要被撤職了!”

1994年，他在中國(guó)講學(xué)的講稿在荷蘭出版?！稊?shù)學(xué)教育再探——在中國(guó)的演講》RevisitingMathematicsEducation(ChinaLecture)第9頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、HansFreudenthal的個(gè)人簡(jiǎn)介在這些著作中,弗賴登塔爾詳細(xì)論證了為什么必須對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育進(jìn)行改革,系統(tǒng)闡述了其數(shù)學(xué)教育思想的理論體系,具體探討了如何按其觀點(diǎn)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課程,編寫數(shù)學(xué)教材以及教學(xué)方法等方面的問(wèn)題.下面我們對(duì)其數(shù)學(xué)教育思想作具體的闡述第10頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、HansFreudenthal的數(shù)學(xué)及教學(xué)觀1.對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的看法弗賴登塔爾認(rèn)為:“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí)”,而常識(shí)并不等于數(shù)學(xué),“常識(shí)要成為數(shù)學(xué),必須經(jīng)過(guò)提煉和組織,而凝聚成一定的法則(如加法交換律)。這些法則在高一層次又成為常識(shí),再一次被提煉、組織,而凝聚成新的法則,新的法則又成為新的常識(shí),如此不斷地螺旋上升,以至于無(wú)窮。這樣,數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程就顯出層次性,構(gòu)成許多等級(jí),同時(shí)也形成諸如抽象、嚴(yán)密、系統(tǒng)等特性?！奔磾?shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)世界的抽象反映和人類經(jīng)驗(yàn)的總結(jié).第11頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、HansFreudenthal的數(shù)學(xué)及教學(xué)觀1.對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的看法“數(shù)學(xué)是一種相當(dāng)特殊的活動(dòng)”,這種觀點(diǎn)“是區(qū)別于數(shù)學(xué)作為印在書上和銘記在腦子里的東西?！彼J(rèn)為,數(shù)學(xué)家或者數(shù)學(xué)教科書喜歡把數(shù)學(xué)表示成“一種組織得很好的狀態(tài)”,也即“數(shù)學(xué)的形式”是數(shù)學(xué)家將數(shù)學(xué)(活動(dòng))內(nèi)容經(jīng)過(guò)自己的組織(活動(dòng))而形成的；但對(duì)大多數(shù)人來(lái)說(shuō),他們是把數(shù)學(xué)當(dāng)成一種工具,他們不能沒(méi)有數(shù)學(xué)是因?yàn)樗麄冃枰獞?yīng)用數(shù)學(xué)。這就是說(shuō),對(duì)于大眾而言,是要通過(guò)數(shù)學(xué)的形式來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)容,從而學(xué)會(huì)相應(yīng)的(應(yīng)用數(shù)學(xué)的)活動(dòng).第12頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、HansFreudenthal的數(shù)學(xué)及教學(xué)觀2.對(duì)今日數(shù)學(xué)特征的看法數(shù)學(xué)教育研究不能離開它的對(duì)象——數(shù)學(xué)的特有規(guī)律。為此,弗賴登塔爾在其巨著《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中,對(duì)今日數(shù)學(xué)的特征作了詳細(xì)的論述。他從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史出發(fā),深入研究了數(shù)學(xué)的悠久歷史以及現(xiàn)代數(shù)學(xué)形成的背景,提出了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn),是否應(yīng)該以現(xiàn)代實(shí)數(shù)理論的誕生和Jordan置換群的產(chǎn)生作為標(biāo)志；或者是以著名的布爾巴基Bourbaki理論的出現(xiàn),作為一個(gè)新時(shí)期的開端。第13頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、HansFreudenthal的數(shù)學(xué)及教學(xué)觀2.對(duì)今日數(shù)學(xué)特征的看法基于這一分析,弗賴登塔爾從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的變化:方式的改變——變量,函數(shù),句法結(jié)構(gòu)的前后不連貫,日常用語(yǔ)滿足不了數(shù)學(xué)的精巧要求,形式化的工作,外延性抽象,公理化的抽象,思辯數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué),組織與數(shù)學(xué)化等方面逐步對(duì)今日數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)行了深入的分析,并對(duì)幾何直觀在整個(gè)數(shù)學(xué)中的滲透以及數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性進(jìn)行了討論。我國(guó)著名學(xué)者張奠宙教授在其《數(shù)學(xué)教育學(xué)》中,將弗賴登塔爾對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的看法歸結(jié)為以下幾個(gè)方面:第14頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（1）數(shù)學(xué)表示的再創(chuàng)造與形式化活動(dòng)。數(shù)學(xué)變化更多的是形式的變化,而非實(shí)質(zhì)內(nèi)容的變化。例如，極限概念的直觀化到精確化。不同水平層次的學(xué)生應(yīng)該使用不同水平的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，實(shí)施不同層次的形式化。第15頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（2）數(shù)學(xué)概念的建設(shè)方法,從典型的通過(guò)外延描述的抽象化,進(jìn)而轉(zhuǎn)向?qū)崿F(xiàn)公理系統(tǒng)的抽象化,承認(rèn)隱含形式的定義。用公設(shè)或者是公理方法建立的概念，其實(shí)質(zhì)就是以隱含的方式描述了所要研究的對(duì)象，它并未明確指出概念的“外延”，但卻已經(jīng)規(guī)定了它必須滿足的條件，這就是以隱含的形式作了定義，跳出了亞里土多德的形式邏輯的理論，從而使現(xiàn)代數(shù)學(xué)跨上了更高水平的形式體系。

第16頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（3）傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間界限日趨消失,一貫奉為嚴(yán)密性典范的幾何,表面上看來(lái)似乎己經(jīng)喪失了昔日的地位,實(shí)質(zhì)上正是幾何直觀在各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間起著聯(lián)絡(luò)的作用。正如康德所說(shuō):缺乏概念的直觀是空虛的,缺乏直觀的概念是盲目的。愛(ài)因斯坦：“數(shù)學(xué)定理一涉及現(xiàn)實(shí)，它就不是必然的，而數(shù)學(xué)定理如果必然，它就不涉及現(xiàn)實(shí)，…，公理化的進(jìn)展就反映在邏輯形式與現(xiàn)實(shí)直觀內(nèi)容的截然分開，…”而幾何恰恰是在其間起著啟示、聯(lián)絡(luò)、理解，甚至提供方法的作用，在界限日趨消失的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的問(wèn)題、概念與方法的廣闊沙漠中，幾何直觀卻常?？梢蕴崾疚覀儯任覀?，并告訴我們什么是重要的、有趣的和可以理解的。

第17頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（4）相對(duì)于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中對(duì)算法數(shù)學(xué)的強(qiáng)調(diào),現(xiàn)代數(shù)學(xué)更重視概念數(shù)學(xué),或者說(shuō)是思辨數(shù)學(xué)?；A(chǔ)教育面臨的問(wèn)題：是強(qiáng)調(diào)概念、理解，還是著重運(yùn)算、操作?

第18頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由此不難看出，弗賴登塔爾對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，主要是從數(shù)學(xué)方式描述的形式化、傳統(tǒng)數(shù)學(xué)分支的綜合化、數(shù)學(xué)組織的結(jié)構(gòu)化、現(xiàn)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的多元化等方面來(lái)分析現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特性。第19頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、HansFreudenthal的數(shù)學(xué)及教學(xué)觀3.對(duì)數(shù)學(xué)教育的用處和目的之看法

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)究竟是為了什么?進(jìn)行數(shù)學(xué)教育，最終要達(dá)到什么效果?弗賴登塔爾認(rèn)為，提出數(shù)學(xué)教育的目的，必須考慮到社會(huì)背景。事實(shí)很清楚，數(shù)學(xué)教育的目的必須隨著時(shí)代的變化而變化，它也必然受到社會(huì)條件的約束與限制。例如，當(dāng)前已經(jīng)進(jìn)入了計(jì)算機(jī)時(shí)代，我們是否還要將算術(shù)的單純計(jì)算技能作為基本的目的?這是否還有教育價(jià)值?

第20頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.對(duì)數(shù)學(xué)教育的用處和目的之看法

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)究竟是為了什么?進(jìn)行數(shù)學(xué)教育，最終要達(dá)到什么效果?弗賴登塔爾認(rèn)為，提出數(shù)學(xué)教育的目的，必須考慮到社會(huì)背景。事實(shí)很清楚，數(shù)學(xué)教育的目的必須隨著時(shí)代的變化而變化，它也必然受到社會(huì)條件的約束與限制。例如，當(dāng)前已經(jīng)進(jìn)入了計(jì)算機(jī)時(shí)代，我們是否還要將算術(shù)的單純計(jì)算技能作為基本的目的?這是否還有教育價(jià)值?

第21頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.對(duì)數(shù)學(xué)教育的用處和目的之看法在概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)取得迅速進(jìn)展的情況下，我們的數(shù)學(xué)教育是否還能閉眼不看這一事實(shí)，而仍然抱住了確定性數(shù)學(xué)作為唯一的指望?也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)本身的飛躍發(fā)展與變化，自然也影響到數(shù)學(xué)教育的目的，因?yàn)槲覀儺吘故且寣W(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)來(lái)解決社會(huì)的實(shí)際問(wèn)題。第22頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.對(duì)數(shù)學(xué)教育的用處和目的之看法數(shù)學(xué)有著如此廣泛的應(yīng)用，究竟教到哪個(gè)范圍才是最合適的?

再一個(gè)問(wèn)題就是學(xué)生的情況，因?yàn)樾枰且粫?huì)事，可能又是另一會(huì)事，這依賴于學(xué)生的接受能力，是否能理解某些數(shù)學(xué)內(nèi)容。第23頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.對(duì)數(shù)學(xué)教育的用處和目的之看法

1．掌握數(shù)學(xué)的整個(gè)體系

因?yàn)閿?shù)學(xué)的應(yīng)用廣泛，又有高度的靈活性，每個(gè)人將來(lái)究竟需要用到哪些概念和技能，難以預(yù)料，于是只能根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)在的體系出發(fā)，希望通過(guò)數(shù)學(xué)教育能夠掌握數(shù)學(xué)的整個(gè)結(jié)構(gòu)，所教的數(shù)學(xué)內(nèi)容必須符合數(shù)學(xué)體系的要求，能夠緊密地組合成一個(gè)整體，彼此聯(lián)系密切。

第24頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

這里必須注意的一點(diǎn)是，數(shù)學(xué)教育的目的絕對(duì)不是為了培養(yǎng)數(shù)學(xué)家，大多數(shù)人只需要用到一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)，因?yàn)閿?shù)學(xué)已經(jīng)成人類生存所不可缺少的一個(gè)方面，這就是一般的數(shù)學(xué)教育的目的。所以如果過(guò)于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)體系，以之作為數(shù)學(xué)教育的最終目的，那不恰當(dāng)?shù)?，特別是如果僅僅以數(shù)學(xué)體系來(lái)決定教學(xué)內(nèi)容的取舍，那必然會(huì)違反教學(xué)法的規(guī)律；甚至引起學(xué)生反感。

這種目的的提出，一般都出自于專家權(quán)威，他們更多地傾向于培養(yǎng)數(shù)學(xué)家，更多地著眼于數(shù)學(xué)的嚴(yán)密與完整，強(qiáng)調(diào)追求數(shù)學(xué)的美與魅力，但卻往往忽略了社會(huì)的要求與學(xué)生的實(shí)際。

第25頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.對(duì)數(shù)學(xué)教育的用處和目的之看法

2．學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用

應(yīng)該知道，從過(guò)去、現(xiàn)在一直到未來(lái)，教數(shù)學(xué)的教室不可能浮在半空中，而學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生也必然是屬于社會(huì)的，認(rèn)真考慮數(shù)學(xué)在社會(huì)中扮演的角色，應(yīng)該是數(shù)學(xué)教育的首要目的,也就是必須學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用、會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)于具體現(xiàn)實(shí)，而不是一味追求完整的數(shù)學(xué)體系。

第26頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

大家都同意，教數(shù)學(xué)就必須教互相連貫的材料，而不是孤立的片斷，但這并非只限于數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯聯(lián)系，恐怕更重要的是數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系。當(dāng)然這也不是把數(shù)學(xué)與某種特定的應(yīng)用捆綁在一起、那樣會(huì)使數(shù)學(xué)僵化，而數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)就是靈活性。所以一般說(shuō)來(lái),還是先考慮內(nèi)部的聯(lián)系，但卻不是勉強(qiáng)生硬的或是過(guò)于形式的，應(yīng)該在現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)上，自然地形成這種內(nèi)部與外部的聯(lián)系，譬如說(shuō)通過(guò)數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)——物理、化學(xué)等的生動(dòng)聯(lián)系。第27頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

了解數(shù)學(xué)與外界的豐富聯(lián)系，不僅使數(shù)學(xué)成為應(yīng)用于實(shí)際的銳利工具，而且將會(huì)使人們所掌握的知識(shí)長(zhǎng)期地富有活力，可以不斷地聯(lián)系實(shí)際、發(fā)揮作用，而不是將數(shù)學(xué)成為供奉于殿堂之上、脫離現(xiàn)實(shí)而保持其神圣不對(duì)侵犯的演繹體系形式，這是完全不符合當(dāng)前社會(huì)的迫切需要的。

第28頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.對(duì)數(shù)學(xué)教育的用處和目的之看法

3．?dāng)?shù)學(xué)作為思維的訓(xùn)練

自古以來(lái)就將數(shù)學(xué)作為“智力的磨刀石”，認(rèn)為對(duì)所有的人而言，數(shù)學(xué)都是一種不可缺少的思維訓(xùn)練，甚至還強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)可以訓(xùn)練人們的邏輯思維。數(shù)學(xué)教育與邏輯思維還是有著一定的聯(lián)系。問(wèn)題在于，如何找出它們之間的本質(zhì)聯(lián)系以及內(nèi)在規(guī)律，這也許需要從心理學(xué)、認(rèn)識(shí)論的角度，對(duì)此作更進(jìn)一步的探討。

第29頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，究竟什么是邏輯思維?是否存在思維的訓(xùn)練?數(shù)學(xué)又是否是其中的一種?甚至是最好的一種?這些都是很難回答的問(wèn)題。因?yàn)闊o(wú)人能證明，一個(gè)好的數(shù)學(xué)家在其他科學(xué)領(lǐng)域中也必然會(huì)有很高的成就，也不知道數(shù)學(xué)天才是否是一般天才所必須具備的特征；同樣也無(wú)法使人相信，數(shù)學(xué)家的超人智力完全是由數(shù)學(xué)所決定的，因?yàn)檎l(shuí)也不知道，如果數(shù)學(xué)家不學(xué)數(shù)學(xué)而去學(xué)其他東西，又會(huì)有什么樣的結(jié)果。

第30頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.對(duì)數(shù)學(xué)教育的用處和目的之看法

4．?dāng)?shù)學(xué)作為篩選的工具

長(zhǎng)久以來(lái)，在各種領(lǐng)域內(nèi)，都將數(shù)學(xué)作為一種選擇方法，不僅是科學(xué)、技術(shù)、醫(yī)學(xué)的學(xué)生，要通過(guò)數(shù)學(xué)考試，甚至對(duì)大多數(shù)人文學(xué)科的學(xué)生，也有一定的數(shù)學(xué)要求于是數(shù)學(xué)教育的目的，就是在數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)上挑選學(xué)生，因?yàn)槿藗冋J(rèn)為數(shù)學(xué)適宜于作為一種方法，以測(cè)定學(xué)生的智力與才能，它比其他學(xué)科，甚至比智力測(cè)驗(yàn)更可信，更容易使用.

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同樣的問(wèn)題存在著。每個(gè)教師都堅(jiān)信：誰(shuí)的數(shù)學(xué)學(xué)得好，那他在其他領(lǐng)域中通常也學(xué)得好；事實(shí)是誰(shuí)也不知道，如果他從未學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)，是否其他領(lǐng)域就一定學(xué)不好。這和前面提到的數(shù)學(xué)作為思維的訓(xùn)練，遇到了同樣的困難.

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嚴(yán)重的是，這種篩選工具的作用，進(jìn)一步又發(fā)展成為數(shù)學(xué)教育的目的似乎就是為了考試，還不僅是數(shù)學(xué)，其他科目也處在同樣的危險(xiǎn)之中，那就是為了考試而教學(xué)。社會(huì)有各種不同的需要，也有各種不同的層次，人們必須通過(guò)形形色色的入場(chǎng)考試，即使社會(huì)差異會(huì)逐漸消失，但社會(huì)總是要對(duì)它的成員進(jìn)行各種挑選，以保證合理的社會(huì)分工，因此篩選工具是必須的，考試也是必要的，但如果說(shuō)學(xué)生學(xué)習(xí)只是為了一個(gè)分?jǐn)?shù)，而教師的職責(zé)也只是在給分寬嚴(yán)之間進(jìn)行一個(gè)最佳選擇，那就與數(shù)學(xué)教育的目的相距太遠(yuǎn)了。第33頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.對(duì)數(shù)學(xué)教育的用處和目的之看法

5．培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力

人們往往對(duì)數(shù)學(xué)給以高度評(píng)價(jià)，因?yàn)樗梢越鉀Q許多問(wèn)題，從日常生活中常常遇見的數(shù)值計(jì)算，各種神秘的魔術(shù)與游戲，一直到高精尖的領(lǐng)域，從計(jì)算機(jī)直到火箭發(fā)射，都可以發(fā)揮與施展數(shù)學(xué)的魔力，因而使人對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了極高的信念。數(shù)學(xué)可以訓(xùn)練語(yǔ)言的表達(dá)，以最精確、簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言來(lái)描述現(xiàn)象，數(shù)學(xué)可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化，又能將問(wèn)題推廣，使之一般化，這樣數(shù)學(xué)就從多個(gè)側(cè)面，給人們提供了解決各種問(wèn)題的手段、背景，以至思維的方法，這就為綜合地分析各種因素，順利地解決各種實(shí)際問(wèn)題，創(chuàng)造了條件，培養(yǎng)了能力。

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當(dāng)然需要考慮數(shù)學(xué)教育究竟能夠培養(yǎng)哪些能力，人們解決問(wèn)題所需要的不僅是單純的數(shù)學(xué)知識(shí)，也許更重要的是人們的思想方法，分析、綜合、推理、否定以及演繹、歸納、類比等等，似乎都與數(shù)學(xué)有著天然緊密的聯(lián)系,數(shù)學(xué)究竟能否在這些方法上起巨大的影響?另一方面,問(wèn)題有著多方面背景,包括各種所謂非智力因素,數(shù)學(xué)教育能否在這些方面,提供綜合的幫助,而使學(xué)生確實(shí)通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),能夠在解決問(wèn)題的能力這方面獲得培養(yǎng)與提高。

第35頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.對(duì)數(shù)學(xué)教育的用處和目的之看法弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育具有以下特征:情境問(wèn)題是教學(xué)的平臺(tái)數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)學(xué)生通過(guò)自己努力得到的結(jié)論和創(chuàng)造是教育內(nèi)容的一部分“互動(dòng)”是主要的學(xué)習(xí)方式學(xué)科交織是數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的呈現(xiàn)方式這些特征又可概括為——數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí),數(shù)學(xué)化,再創(chuàng)造。第36頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、HansFreudenthal的教學(xué)原則1.數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則（Rea1isticMathematics）2.數(shù)學(xué)化原則（Mathematization）3.再創(chuàng)造原則（Recreation）4.反思原則（Reflectivethinking）第37頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、HansFreudenthal的教學(xué)原則1.數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則（Rea1isticMathematics）數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí),也必須寓于現(xiàn)實(shí),并且用于現(xiàn)實(shí)(startfrom,stayinandapplytoreality).這是弗賴登塔爾“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”思想的基本出發(fā)點(diǎn)。第38頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則（Rea1isticMathematics）他對(duì)從巴比倫的數(shù)學(xué),到埃及的數(shù)學(xué),再到希臘的數(shù)學(xué),逐一作了分析和思考后發(fā)現(xiàn),在巴比倫時(shí)代,數(shù)學(xué)是平民、商人、工匠、測(cè)量員以及天文學(xué)家的數(shù)學(xué)；在希臘,占星家和航海人員等都需要數(shù)學(xué),雖然那是極為貧乏的數(shù)學(xué)應(yīng)用。同時(shí)得出:“如果沒(méi)有應(yīng)用的推動(dòng),數(shù)學(xué)會(huì)變得多么貧乏!數(shù)學(xué)起源于實(shí)用,它在今天比任何時(shí)候都更有用!但其實(shí),這樣說(shuō)還不夠,我們應(yīng)該說(shuō):倘若無(wú)用數(shù)學(xué)就不存在了?！钡恼摂?。在以上認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,弗賴登塔爾形成了他關(guān)于“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)教育觀。第39頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則（Rea1isticMathematics）（1）數(shù)學(xué)觀——現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)他指出,一方面根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史,無(wú)論是數(shù)學(xué)的概念,還是數(shù)學(xué)的運(yùn)算與規(guī)則,都是由于現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際需要而形成,數(shù)學(xué)不是符號(hào)的游戲,而是現(xiàn)實(shí)世界中人類經(jīng)驗(yàn)的總結(jié).數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí),因而也必須扎根于現(xiàn)實(shí),并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)。數(shù)學(xué)不能脫離那些豐富多彩而又錯(cuò)綜復(fù)雜的背景材料,否則就將成為“無(wú)源之水,無(wú)本之木?！钡?0頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則（Rea1isticMathematics）（1）數(shù)學(xué)觀——現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)另一方面,數(shù)學(xué)是充滿了各種關(guān)系的科學(xué),通過(guò)與不同領(lǐng)域的多種形式的外部聯(lián)系,不斷地充實(shí)和豐富著數(shù)學(xué)的內(nèi)容。與此同時(shí),由于數(shù)學(xué)本身內(nèi)在的聯(lián)系,形成了自身獨(dú)特的規(guī)律,進(jìn)而發(fā)展成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问竭壿嬔堇[體系。因此,數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)的,是現(xiàn)實(shí)世界的抽象反映和人類經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)。它的過(guò)去、現(xiàn)在和將來(lái)都屬于現(xiàn)實(shí)世界,屬于社會(huì)。第41頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則（Rea1isticMathematics）（2）數(shù)學(xué)教育觀——現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教育他指出:“數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)應(yīng)該存在于現(xiàn)實(shí)之中。只有密切聯(lián)系實(shí)際的數(shù)學(xué)才能充滿著各種關(guān)系,學(xué)生才能將所學(xué)的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)結(jié)合,并且能夠應(yīng)用……。”并指出:“對(duì)非數(shù)學(xué)家而言,與親生經(jīng)歷的現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系將是至關(guān)重要的?！彼鲝垟?shù)學(xué)應(yīng)該屬于所有的人,為此必須將數(shù)學(xué)教給所有人。但人與人之間的差別可能很大,不同的人需要不同的數(shù)學(xué),也就聯(lián)系著不同的現(xiàn)實(shí)世界。即不同的人有不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”,其中包括每個(gè)人接觸到的客觀世界中的數(shù)學(xué)規(guī)律以及有關(guān)這些規(guī)律的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。第42頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則（Rea1isticMathematics）（2）數(shù)學(xué)教育觀——現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教育根據(jù)英國(guó)考克羅夫特(W.H.Cockcroft)報(bào)告,他們?cè)谶M(jìn)行了廣泛的調(diào)查,分析了一些比較實(shí)際的資料后提出,人們所需要的數(shù)學(xué)可以分為三種水平:第一種是日常生活的需要。從個(gè)人消費(fèi)、家庭開支到國(guó)家建設(shè),處處都要涉及各種數(shù)字、圖表、測(cè)量問(wèn)題，這些大多是比較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)，但卻是每個(gè)人都必須知道的。第43頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則（Rea1isticMathematics）（2）數(shù)學(xué)教育觀——現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教育第二種是不同的技術(shù)或者說(shuō)是各種職業(yè)的需要。從工程技術(shù)人員、農(nóng)業(yè)技師到各行業(yè)的服務(wù)人員,在相當(dāng)廣泛的不同領(lǐng)域內(nèi),從事各種不同性質(zhì)工作的人,從各個(gè)不同方向,對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)提出了種種要求,當(dāng)然其中也含有某些共同的部分。第三種是為進(jìn)一步學(xué)習(xí)并從事高水平研究的需要。這部分包括的范圍很大,差別也很大。未來(lái)的科學(xué)家、企業(yè)家、管理家等,都需要與各個(gè)領(lǐng)域相關(guān)的不同分支的數(shù)學(xué)知識(shí),它們也許有共同的基礎(chǔ)及類似的數(shù)學(xué)思想方法,但卻涉及到千變?nèi)f化的具體內(nèi)容。第44頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則（Rea1isticMathematics）（2）數(shù)學(xué)教育觀——現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教育總之，每個(gè)人都有自己的一套“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”即“每個(gè)人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個(gè)客觀世界的各種數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算方法、規(guī)則和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)”，其中，既含有客觀世界的現(xiàn)實(shí)情況，也包含個(gè)人用自己的數(shù)學(xué)水平觀察這些事物所獲得的認(rèn)識(shí)。第45頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則（Rea1isticMathematics）（2）數(shù)學(xué)教育觀——現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教育從這個(gè)意義上說(shuō),這里所謂的“現(xiàn)實(shí)”不一定限于具體的事物,作為屬于這個(gè)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)本身,也是“現(xiàn)實(shí)”的一部分,或者可以說(shuō),每個(gè)人也都有自己所接觸到的特定的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。大多數(shù)人的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)世界可能只限于數(shù)和簡(jiǎn)單的幾何形狀以及它們的運(yùn)算,另一些人可能需要熟悉某些簡(jiǎn)單的函數(shù)與比較復(fù)雜的幾何,至于一個(gè)數(shù)學(xué)專家的現(xiàn)實(shí)世界可能就要包含希爾伯特(Hilbert)空間的算子,拓?fù)鋵W(xué)以及纖維叢等等。第46頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則（Rea1isticMathematics）（2）數(shù)學(xué)教育觀——現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教育因此,數(shù)學(xué)教學(xué)必須從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)開始,現(xiàn)實(shí)在不斷地?cái)U(kuò)展,教師的任務(wù)就在于,確定各類學(xué)生在不同階段所必須達(dá)到的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”,并隨著學(xué)生們所接觸的客觀世界越來(lái)越廣泛,了解并掌握學(xué)生所實(shí)際擁有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”,從而據(jù)此采取相應(yīng)的方法,予以豐富,予以擴(kuò)展,以逐步提高學(xué)生所具有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的程度并擴(kuò)充其范圍。數(shù)學(xué)教育本身也應(yīng)該是以這些不同的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)為基礎(chǔ)構(gòu)建課程體系,并通過(guò)這些課程不斷地?cái)U(kuò)展每個(gè)人的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”,使每個(gè)人在數(shù)學(xué)上都獲得最大的發(fā)展。第47頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則（Rea1isticMathematics）（2）數(shù)學(xué)教育觀——現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教育最后,在“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”思想里,弗賴登塔爾還主張把客觀現(xiàn)實(shí)材料和數(shù)學(xué)知識(shí)溶為一體,使數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)背景中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)的全過(guò)程,著眼于能力的培養(yǎng)。以下在一個(gè)具體的例子中說(shuō)明“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。如:小學(xué)學(xué)加法,可以有很多不同的實(shí)際途徑引入,舉例來(lái)說(shuō),可以通過(guò)公共汽車經(jīng)過(guò)各個(gè)?？空緯r(shí)上下車的人數(shù)來(lái)講,第48頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六假定汽車?yán)镌瓉?lái)有5個(gè)人,在第一個(gè)?？空旧蟻?lái)了3個(gè)人,在第二個(gè)?？空居稚蟻?lái)了2個(gè)人等等,這時(shí)汽車?yán)锶藬?shù)就該是5+3個(gè),5+3+2個(gè),……,這樣小學(xué)生就可以自己形成加法的概念,并找出加法運(yùn)算的規(guī)律。在這里乘公共汽車就是小學(xué)生所接觸過(guò)的“現(xiàn)實(shí)”,自然數(shù)2,3,5就是他們擁有的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)。教師就是根據(jù)這兩方面的“現(xiàn)實(shí)”,幫助學(xué)生學(xué)習(xí)加法這一“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”知識(shí),并用這些知識(shí)擴(kuò)充學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。第49頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、HansFreudenthal的教學(xué)原則2.數(shù)學(xué)化原則（Mathematization）何為數(shù)學(xué)化?弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)化，就是數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程。即人們?cè)谟^察、認(rèn)識(shí)、和改造客觀世界的過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來(lái)分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織，以發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的過(guò)程.第50頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、HansFreudenthal的教學(xué)原則2.數(shù)學(xué)化原則（Mathematization）在他看來(lái),數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程。先人從手指或石塊的集合形成數(shù)的概念；從測(cè)量、繪畫形成圖形的概念都是數(shù)學(xué)化。此外，當(dāng)數(shù)學(xué)家們從具體的置換群與幾何變換群抽象出群的一般概念時(shí),也是一種數(shù)學(xué)化。甚至可以說(shuō)整個(gè)數(shù)學(xué)體系的形成就是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程。而人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程,實(shí)際上又或多或少地遵循著歷史發(fā)展的規(guī)律。第51頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、HansFreudenthal的教學(xué)原則2.數(shù)學(xué)化原則（Mathematization）為此,數(shù)學(xué)教育應(yīng)該尊重?cái)?shù)學(xué)的傳統(tǒng),按照歷史的本來(lái)面目,根據(jù)數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律來(lái)進(jìn)行。即應(yīng)將數(shù)學(xué)與它有關(guān)的現(xiàn)實(shí)世界緊密聯(lián)系在一起,通過(guò)“數(shù)學(xué)化”的途徑來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)的教與學(xué),使學(xué)生真正獲得充滿關(guān)系的、富有生命力的數(shù)學(xué)知識(shí),使他們不僅理解這些知識(shí),而且能加以應(yīng)用。當(dāng)然,這期間也必須注意數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)發(fā)展史畢竟不是同一回事。因此，沒(méi)有必要也沒(méi)有可能把每個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程變成機(jī)械地重復(fù)歷史的過(guò)程,只是人們可以也需要從歷史的發(fā)展中獲得很好的借鑒。第52頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、HansFreudenthal的教學(xué)原則2.數(shù)學(xué)化原則（Mathematization）在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中,弗賴登塔爾在研究了“數(shù)學(xué)傳統(tǒng)”之后,對(duì)“今日的數(shù)學(xué)”即對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征進(jìn)行了深入的分析研究,發(fā)現(xiàn)從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)、函數(shù)等,數(shù)學(xué)“方式的改變”日益趨向“形式化、公理化、模式化”。他認(rèn)為形式化、公理化及模式化等這些發(fā)展數(shù)學(xué)的過(guò)程都是數(shù)學(xué)化的過(guò)程,并認(rèn)為:“任何數(shù)學(xué)都是數(shù)學(xué)化的結(jié)果,不存在沒(méi)有數(shù)學(xué)化的數(shù)學(xué),不存在沒(méi)有公理化的公理,也不存在沒(méi)有形式化的形式?！钡?3頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、HansFreudenthal的教學(xué)原則2.數(shù)學(xué)化原則（Mathematization）他據(jù)此指出:一方面數(shù)學(xué)教學(xué)不能停留在讓學(xué)生的頭腦成為形形色色公理系統(tǒng)的倉(cāng)庫(kù),更重要的任務(wù)是教會(huì)學(xué)生能運(yùn)用自己的數(shù)學(xué)思維,對(duì)一個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行加工、整理，從而獨(dú)立地建立起一個(gè)公理體系來(lái)；另一方面，數(shù)學(xué)教學(xué)不能為形式而形式，只讓學(xué)生死記硬背那些形式符號(hào)與邏輯體系，只作機(jī)械的而無(wú)內(nèi)涵、無(wú)意義、運(yùn)算操練,必須使學(xué)生學(xué)會(huì)用正確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)組織并表達(dá)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)內(nèi)容及內(nèi)在聯(lián)系,從而構(gòu)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w系。第54頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、HansFreudenthal的教學(xué)原則2.數(shù)學(xué)化原則（Mathematization）即“與其讓學(xué)生學(xué)習(xí)公理體系，不如讓學(xué)生學(xué)習(xí)公理化；與其讓學(xué)生學(xué)習(xí)形式體系，不如讓學(xué)生學(xué)習(xí)形式化。一句話，與其讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化。”他還特別指出,數(shù)學(xué)本身同樣屬于現(xiàn)實(shí)世界,因而在數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程中,必然要面對(duì)數(shù)學(xué)自身的數(shù)學(xué)化。第55頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.數(shù)學(xué)化原則（Mathematization）在這里,他強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)化對(duì)象有兩大類,一類是現(xiàn)實(shí)客觀事物,另一類是數(shù)學(xué)本身的內(nèi)容,包括數(shù)學(xué)符號(hào)、各種觀點(diǎn)、概念以及它的運(yùn)算方法和規(guī)則等。其中對(duì)客觀世界的數(shù)學(xué)化，形成了數(shù)學(xué)的概念、運(yùn)算法則、規(guī)律、定理以及為解決實(shí)際問(wèn)題而構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型；對(duì)數(shù)學(xué)本身的數(shù)學(xué)化，是深化數(shù)學(xué)知識(shí)，或者是數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)化，形成不同層次的公理體系和形式體系.第56頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.數(shù)學(xué)化原則（Mathematization）由于每個(gè)人都有自己特有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”,因此數(shù)學(xué)化就有不同的層次和特征。根據(jù)Treffers和Goffree的提法,可以將數(shù)學(xué)化的過(guò)程區(qū)分為水平的和垂直的兩種成分。其中從現(xiàn)實(shí)中找出數(shù)學(xué)的特性,用不同的方式將同一個(gè)問(wèn)題形式化或直觀化,在不同問(wèn)題中識(shí)別其同構(gòu)的方面以及將一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題或己知的數(shù)學(xué)模型等,都是將同一個(gè)問(wèn)題在水平方向擴(kuò)展,稱為水平數(shù)學(xué)化。可圖示如下:第57頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.數(shù)學(xué)化原則（Mathematization）水平數(shù)學(xué)化過(guò)程:從背景中識(shí)別數(shù)學(xué)圖式化形式化尋找關(guān)系和規(guī)律識(shí)別本質(zhì)對(duì)應(yīng)到已知的數(shù)學(xué)模型(現(xiàn)實(shí)的,經(jīng)驗(yàn)的)水平數(shù)學(xué)化過(guò)程就是從“生活”到“符號(hào)”的轉(zhuǎn)化過(guò)程。把生活世界引向符號(hào)世界.從生活世界中提煉出：點(diǎn)、線、面……；1，2，3……；變量x……；增減函數(shù)；……第58頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.數(shù)學(xué)化原則（Mathematization）而用公式表示出某個(gè)關(guān)系，證明了一個(gè)定律，采用不同的模型或?qū)δＰ瓦M(jìn)行加強(qiáng)或調(diào)整，以及形成一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念或建立起由特殊到一般化的理論等，則是將某一問(wèn)題垂直地加以深入，這一過(guò)程稱為垂直數(shù)學(xué)化。垂直數(shù)學(xué)化過(guò)程:猜想公式證明一些規(guī)則完善模型調(diào)整綜合模型形成新的數(shù)學(xué)概念一般化過(guò)程(現(xiàn)實(shí)的,構(gòu)造的)垂直數(shù)學(xué)化是水平數(shù)學(xué)化后的數(shù)學(xué)化，是從低層數(shù)學(xué)到高層數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)化。是在符號(hào)世界里，符號(hào)的生成、重塑和被使用。

第59頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六水平的數(shù)學(xué)化垂直的數(shù)學(xué)化經(jīng)驗(yàn)的（realistic）++現(xiàn)實(shí)的（empiricist）+_構(gòu)造的（structuralist）_+機(jī)械的（mechanistic）__其中“+”號(hào)表示對(duì)這方面給予更多的注意，而“—”號(hào)表示較少注意或根本未加注意。第60頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.數(shù)學(xué)化原則（Mathematization）數(shù)學(xué)教育最早的傳統(tǒng)做法就是機(jī)械的途徑,教師將各種結(jié)論灌輸下去,學(xué)生被動(dòng)地接受這些結(jié)果,死記硬背,機(jī)械模仿,不知道它們的來(lái)龍去脈,所獲得的只是知識(shí)的形式堆砌,既不考慮它們有什么用處,也不問(wèn)它們互相之間是否有內(nèi)在聯(lián)系,可以說(shuō)很少包含數(shù)學(xué)化的成分。第61頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.數(shù)學(xué)化原則（Mathematization）以后逐漸有所進(jìn)步,比較多地考慮到實(shí)際的經(jīng)驗(yàn),也建立了不少現(xiàn)實(shí)的模型,從而進(jìn)入了經(jīng)驗(yàn)的途徑,即較多地顧及水平的數(shù)學(xué)化,使所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)具有一定的實(shí)用價(jià)值,可以解決一些客觀現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題“但這些知識(shí)又往往流于瑣碎、零星、不成體系,忽視了數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在聯(lián)系,尤其是忽略了數(shù)學(xué)的邏輯演繹結(jié)構(gòu),較少注意數(shù)學(xué)化的縱深發(fā)展.第62頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.數(shù)學(xué)化原則（Mathematization）為了糾正上述偏向,以布爾巴基觀點(diǎn)為代表的“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)的做法,就采用了構(gòu)造的途徑,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的演繹結(jié)構(gòu),重視邏輯推理的論證,企圖以結(jié)構(gòu)主義的思想來(lái)組織整個(gè)數(shù)學(xué)教育,以提高抽象的邏輯思維水平,形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[結(jié)構(gòu)體系作為唯一的目標(biāo),從而又由一個(gè)極端走向了另一個(gè)極端,忽視了數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)性,忘卻了數(shù)學(xué)教育的根本目標(biāo)還是要為現(xiàn)實(shí)世界服務(wù),而且一味追求抽象,強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn),也不符合教學(xué)規(guī)律與認(rèn)識(shí)規(guī)律。第63頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.數(shù)學(xué)化原則（Mathematization）從歷史的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn),可以得出這樣的結(jié)論:數(shù)學(xué)教育的正確途徑應(yīng)該是現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)化途徑,為學(xué)生準(zhǔn)備的課程體系應(yīng)該全面而完善地體現(xiàn)數(shù)學(xué)化的正確發(fā)展,既要強(qiáng)調(diào)現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ),又要重視邏輯思維,既要密切注意數(shù)學(xué)的外部關(guān)系,也要充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系,要能將這兩者有機(jī)地結(jié)合在一起,才是數(shù)學(xué)教育所必須遵循的正確路線。第64頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）弗賴登塔爾指出,一個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的教學(xué)論就是指與這個(gè)領(lǐng)域相關(guān)的教與學(xué)的組織過(guò)程.而通過(guò)數(shù)學(xué)化過(guò)程產(chǎn)生的數(shù)學(xué)必須由通過(guò)教學(xué)過(guò)程產(chǎn)生的數(shù)學(xué)教學(xué)反映出來(lái).因此,他認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)方法的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”,并指出這和我們常常說(shuō)的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”并不等同。這里理解的創(chuàng)造,是學(xué)習(xí)過(guò)程中的若干步驟,這些步驟的重要性在于再創(chuàng)造的“再”,而“創(chuàng)造”則既包括了內(nèi)容又包含了形式,既包含了新的發(fā)現(xiàn)又包含了組織。第65頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）根據(jù)對(duì)數(shù)學(xué)的看法及數(shù)學(xué)發(fā)展歷史進(jìn)程的分析,弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)的根源在于普通常識(shí),數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是人們常識(shí)的系統(tǒng)化,它與其他科學(xué)有著不同的特點(diǎn),是最容易創(chuàng)造的科學(xué)。為此,在教學(xué)時(shí),教師不必將各種規(guī)則、定律灌輸給學(xué)生,而是應(yīng)該創(chuàng)造合適的條件,提供很多具體的例子,讓學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)的過(guò)程中,自己“再創(chuàng)造”出各種數(shù)學(xué)知識(shí)。第66頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）即應(yīng)該讓每個(gè)人在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，根據(jù)自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。當(dāng)然，這也并非機(jī)械地重復(fù)歷史，只是在某種意義上重復(fù)人類的學(xué)習(xí)過(guò)程，重復(fù)數(shù)學(xué)創(chuàng)造的歷史。這種創(chuàng)造并非按照歷史的實(shí)際發(fā)生過(guò)程進(jìn)行，而是假定我們的祖先，在過(guò)去就知道了更多的現(xiàn)有知識(shí)以后，情況會(huì)怎樣發(fā)生——可能發(fā)生的歷史。即應(yīng)該讓學(xué)生體驗(yàn)到：“如果當(dāng)時(shí)的人有幸具備了我們現(xiàn)有了的知識(shí)，他們是怎樣把那些知識(shí)創(chuàng)造出來(lái)的?！钡?7頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）弗賴登塔爾認(rèn)真分析了兩種數(shù)學(xué),一種是現(xiàn)成的或者是己完成的數(shù)學(xué)，另一種是活動(dòng)的或創(chuàng)造的數(shù)學(xué)。其中“現(xiàn)成的數(shù)學(xué)”以形式演繹的面目出現(xiàn),完全顛倒了數(shù)學(xué)的實(shí)際創(chuàng)造過(guò)程,給予人們的是思維的結(jié)果。對(duì)此,他指出:數(shù)學(xué)家向來(lái)都不是按照他創(chuàng)造數(shù)學(xué)的思維過(guò)程去敘述他的工作成果，而是恰好相反，把思維過(guò)程顛倒過(guò)來(lái)，把結(jié)果作為出發(fā)點(diǎn),去把其他的東西推導(dǎo)出來(lái),并將這種敘述方法稱為“違反教學(xué)法的顛倒”。而“活動(dòng)的數(shù)學(xué)”則是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)過(guò)程的真實(shí)體現(xiàn)，它表現(xiàn)了數(shù)學(xué)是一種艱難而又生動(dòng)有趣的活動(dòng)。第68頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）弗賴登塔爾指出:傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育傳授的是現(xiàn)成的數(shù)學(xué),是反教學(xué)法的,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”,也就是由學(xué)生自己去把要學(xué)的東西創(chuàng)造或發(fā)現(xiàn)出來(lái),教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進(jìn)行這種再創(chuàng)造工作,而不是生吞活剝的把現(xiàn)成的知識(shí)灌溉給學(xué)生。他認(rèn)為這是一種最自然、最有效的學(xué)習(xí)方法。第69頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）說(shuō)它最自然,是因?yàn)樯飳W(xué)上“個(gè)體發(fā)展過(guò)程是群體發(fā)展過(guò)程的重現(xiàn)”,這條原理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上也是成立的。即數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程也應(yīng)該在每個(gè)人身上重現(xiàn),這才符合人的認(rèn)識(shí)規(guī)律。當(dāng)然這其中走過(guò)的彎路、進(jìn)過(guò)的死胡同,這樣的歷程就不必讓它在學(xué)生的身上重現(xiàn)。而說(shuō)它最有效,是因?yàn)橹挥型ㄟ^(guò)自己的再創(chuàng)造而獲得的知識(shí)才能被掌握且可以靈活應(yīng)用。第70頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）對(duì)于“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)方式的依據(jù),弗賴登塔爾除了給出以上數(shù)學(xué)方面的依據(jù)外,還給出了以下合理的教育學(xué)方面的依據(jù)：（1）通過(guò)自身活動(dòng)所得到的知識(shí)與能力比由旁人硬塞的理解得透徹,掌握得快,同時(shí)也善于使用它們,一般來(lái)說(shuō)還可以保持長(zhǎng)久的記憶.（2）發(fā)現(xiàn)是一種樂(lè)趣,因而通過(guò)“再創(chuàng)造”來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)就能引起學(xué)生的興趣,從而使學(xué)生學(xué)習(xí)具有動(dòng)力。（3）通過(guò)“再創(chuàng)造”方式可以進(jìn)一步強(qiáng)化人們對(duì)數(shù)學(xué)教育是一種人類活動(dòng)的看法。第71頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）數(shù)學(xué)教育問(wèn)題有兩個(gè)方面,一方面教的內(nèi)容是數(shù)學(xué),這是一門以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬔堇[體系為特征的科學(xué)；而另一方面作為教育,它又與社會(huì)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系,社會(huì)的需要、社會(huì)的變化時(shí)刻在影響著它,因而解決教育問(wèn)題不能通過(guò)一篇論文,而要通過(guò)一個(gè)過(guò)程。第72頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）解決數(shù)學(xué)教育問(wèn)題,也不能單靠數(shù)學(xué)家或是教育家,而是必須依靠教育過(guò)程的參加者——教育者與受教育者?！霸賱?chuàng)造”原則的提出就是為了更好地反映出教育過(guò)程必須通過(guò)教師與學(xué)生雙方的積極參與才能解決問(wèn)題,尤其是更體現(xiàn)了“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體”這一思想,讓受教育者——學(xué)生的活動(dòng)更為主動(dòng)、有效,以便真正積極地投入到教育這個(gè)活動(dòng)中去。第73頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）捷克教育家夸美紐斯(Cmoneius)的教學(xué)論原理是:教一個(gè)活動(dòng)的最好方法是演示.(Thebestwaytoteachanactivityistoshowit.)他主張打開學(xué)生的各種感覺(jué)器官,那就不僅是被動(dòng)地通過(guò)語(yǔ)言依賴聽覺(jué)來(lái)吸收知識(shí),也包括眼睛看甚至手的觸摸及動(dòng)作.第74頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）弗賴登塔爾發(fā)展了他的觀點(diǎn),創(chuàng)造性地提出:學(xué)一個(gè)活動(dòng)的最好方法是做。(Thebestwaytolearnanactivityistoperformit.)他的這一提法,將數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)由教轉(zhuǎn)向了學(xué),由教師的行為轉(zhuǎn)向了學(xué)生的活動(dòng),由感覺(jué)效應(yīng)轉(zhuǎn)向了運(yùn)動(dòng)效應(yīng)。這就好比學(xué)游泳和駕駛本身也有理論,也需要觀摩教練的示范動(dòng)作,但更重要的是必須下水、上車去練習(xí),老站在陸地上是永遠(yuǎn)也學(xué)不會(huì)一樣。第75頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）當(dāng)然,由于每個(gè)人有不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”,每個(gè)人也可能處在不同的思維水平,因而不同的人可以追求并達(dá)到不同的水平。為此,在教學(xué)中,對(duì)于學(xué)生各種獨(dú)特的解法,甚至不著邊際的想法都不應(yīng)該加以阻擾,應(yīng)讓學(xué)生充分發(fā)展,充分享有“再創(chuàng)造”的自由,讓他們走自己的路。但學(xué)生的這種自己行走不應(yīng)該是盲目的、無(wú)序的,它需要教師在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)反思,鞏固已經(jīng)獲得的知識(shí),點(diǎn)撥學(xué)生思維的關(guān)鍵點(diǎn),以提高其思維水平。第76頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）其中尤其必須注意加強(qiáng)有意識(shí)地啟發(fā),以使學(xué)生的“創(chuàng)造”活動(dòng)逐步由不自覺(jué)或無(wú)目的的狀態(tài)發(fā)展成為有意識(shí)有目的的創(chuàng)造活動(dòng),盡量促使每個(gè)學(xué)生所能達(dá)到的水平盡可能地提高。即學(xué)生從事的應(yīng)是一種有指導(dǎo)的再創(chuàng)造學(xué)習(xí)活動(dòng)。這種有指導(dǎo)的再創(chuàng)造就意味著師生要在創(chuàng)造的自由性和指導(dǎo)的約束性之間,在學(xué)生取得自己的樂(lè)趣和滿足教師的要求之間,在教的強(qiáng)迫性和學(xué)的自由性之間,達(dá)到一種微妙而和諧的平衡。第77頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）也即師生應(yīng)在以教師啟發(fā)為核心的教和以學(xué)生探究為中心的學(xué)之間尋找一個(gè)最為恰當(dāng)?shù)闹虚g地帶"根據(jù)特萊弗斯的觀點(diǎn),他認(rèn)為這種有指導(dǎo)的再創(chuàng)造可在以下原則下更好的進(jìn)行:（1）在學(xué)生當(dāng)前的現(xiàn)實(shí)中選擇學(xué)習(xí)情境,使其適合水平數(shù)學(xué)化；（2）為縱向(垂直)數(shù)學(xué)化提供手段和工具；第78頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）（3）相互作用的教學(xué)系統(tǒng)。對(duì)于教與學(xué)的過(guò)程,是觀察還是加強(qiáng),是使它們結(jié)合還是使它們分離確實(shí)需要而且應(yīng)該允許有靈活性,相互影響意味著教師與學(xué)生雙方既都是動(dòng)因,同時(shí)又都對(duì)對(duì)方起作用,教與學(xué)應(yīng)該是相輔相成的；第79頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）（4）承認(rèn)和鼓勵(lì)學(xué)生自己的成果。這是有指導(dǎo)的“再創(chuàng)造”教學(xué)中最基本的一條原則。每個(gè)人都有自我價(jià)值實(shí)現(xiàn)的愿望,自我價(jià)值的實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生積極主動(dòng)的高效學(xué)習(xí)有極大的推動(dòng)作用,是學(xué)生學(xué)習(xí)愿望的源泉。這正如蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基所說(shuō):“兒童學(xué)習(xí)愿望的源泉,就在于進(jìn)行緊張的智力活動(dòng)后體驗(yàn)到取得勝利的歡樂(lè)?！钡?0頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）（5）將所學(xué)的各個(gè)部分結(jié)合起來(lái)。對(duì)所學(xué)的各個(gè)部分的結(jié)合應(yīng)盡可能早的組織,并且應(yīng)該盡可能延續(xù)得更長(zhǎng),并盡可能不斷地加強(qiáng)。在不可避免地出現(xiàn)雜亂狀態(tài)時(shí),惟一可以繼續(xù)下去的機(jī)會(huì)就是能夠和別的內(nèi)容聯(lián)系起來(lái),使之成為一個(gè)交織的起點(diǎn),并合乎邏輯地延續(xù)下去。第81頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.再創(chuàng)造原則（Recreation）在日常的教學(xué)中,人們常對(duì)“再創(chuàng)造”教學(xué)和“發(fā)現(xiàn)法教學(xué)”有所混淆。對(duì)此,弗賴登塔爾從兩個(gè)方面進(jìn)行了回答。在他看來(lái)“發(fā)現(xiàn)法教學(xué)”也強(qiáng)調(diào)教師應(yīng)該讓學(xué)生通過(guò)自己的活動(dòng)來(lái)發(fā)現(xiàn)有關(guān)的知識(shí),而且從某種意義上來(lái)說(shuō),“發(fā)現(xiàn)法”也是一種