全稱量詞命題和存在量詞命題的否定【高效備課精研+知識精講提升】高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2019必修第一冊

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CONTENT全稱量詞命題存在量詞命題量詞

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命題含有

的命題叫全稱量詞命題含有

的命題叫存在量詞命題命題形式“對M中任意一個，成立”簡記為

“存在M中一個元素成立”簡記為

量詞、全稱量詞命題與存在量詞命題所有的、任意一個、一切、每一個、任給至少有一個、有些、有一個、對某些、有的全稱量詞存在量詞

復(fù)習(xí)回顧判斷下列命題的真假.（1）x∈R，x2＞x；（2）x∈R，sinx＝cosxtanx；（3）x∈Q，x2－8＝0；（4）x∈R，x2＋x＋1＞0；（5）a，b∈R，真假假假真1.5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定人教A版（2019）第一冊必修

一般地，對一個命題進(jìn)行否定，就可以得到一個新的命題，這一新命題稱為原命題的否定.例如：(1)命題“56是7的倍數(shù)”的否定是：(2)命題“空集是集合A={1,2,3}的真子集”的否定是：注：一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假.思考：如果是含有量詞的命題，如何寫出它的否定？下面我們一起來看一個探究.探究新知

“56不是7的倍數(shù)”；“空集不是集合A={1,2,3}的真子集”；思考1：寫出下列命題的否定，它們與原命題在形式上有什么變化？分析：并非所有的矩形都是平行四邊形分析：并非每一個素數(shù)都是奇數(shù)分析：并非所有的該命題的否定：存在一個矩形不是平行四邊形.（1）所有的矩形都是平行四邊形;（2）每一個素數(shù)都是奇數(shù);該命題的否定：存在一個素數(shù)不是奇數(shù).該命題的否定：全稱量詞命題的否定變成了存在量詞命題.“改變量詞，否定結(jié)論”全稱命題p:?x∈M

,p(x)，它的否定?p:?x0∈M,?p(x0)結(jié)論

【說明】寫含有全稱量詞的命題的否定時，不能只是簡單的否定結(jié)論，還應(yīng)否定全稱量詞（即改為存在量詞），所以全稱量詞命題的否定變成存在量詞命題.一般來說，對含有一個量詞的全稱量詞命題的否定，只需把“所有的”“任意一個”等全稱量詞，變成“并非所有的”“并非任意一個”等短語，再把結(jié)論否定.這三個全稱命題的否定都變成了存在量詞命題.命題的否定：答:（1）該命題的否定：存在一個能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù);例1:寫出下列全稱命題的否定：（1）p：所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù);（2）p：每一個四邊形的四個頂點共圓;（3）p：對任意x0∈Z,x02的個位數(shù)字不等于3.

（2）該命題的否定：存在一個四邊形,它的四個頂點不共圓;（3）該命題的否定：?x0∈Z,x02的個位數(shù)字等于3.

例題

例2:寫出下列全稱命題的否定,并判斷其真假：（1）p：?x∈R,x2-x+?≥0;（2）q：所有的正方形都是矩形.假假答:（1）該命題的否定：?x∈R,x2-x+?<0;（2）該命題的否定：

至少存在一個正方形不是矩形;例題

命題的否定:1)所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù);2)每一個平行四邊形都不是菱形;3)這三個存在量詞命題的否定都變成了全稱量詞命題.思考2：寫出下列命題的否定，它們與原命題在形式上有什么變化？分析：不存在一個實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)，分析：沒有一個平行四邊形是菱形，分析：不存在（1）存在一個實數(shù)的絕對值是正數(shù)；（2）有些平行四邊形是菱形；該命題的否定：每一個平行四邊形都不是菱形.該命題的否定：所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù).該命題的否定：“改變量詞，否定結(jié)論”存在量詞命題的否定變成了全稱量詞命題.一般來說，對含有一個量詞的存在量詞命題的否定，只需把“存在一個”“至少有一個”“有些”等存在量詞，變成“不存在一個”“沒有一個”等短語，再把結(jié)論否定.二、存在量詞命題的否定【說明】在寫含有存在量詞的命題的否定時，不能只是簡單的否定結(jié)論，還應(yīng)否定存在量詞（即改為全稱量詞），所以存在量詞命題的否定變成全稱量

詞命題.存在量詞命題p:?x0∈M

,p(x0)，它的否定?p:?

x∈M,?p(x)例3:寫出下列存在量詞命題的否定：（1）

?x0∈R,x+2≤0（2）

有的三角形是等邊三角形（3）

有一個偶數(shù)是素數(shù)。（2）該命題的否定：所有的的三角形都不是等邊三角形（3）該命題的否定：任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)解：（1）該命題的否定：?x∈R,x+2?0答:（1）該命題的否定：?x∈R,x2+2x+2>0;例4:寫出下列存在量詞命題的否定：（1）p：?x0∈R,x02+2x0+2≤0;（2）p：有的三角形是等邊三角形;（3）p：有一個素數(shù)含三個正因數(shù).

（2）該命題的否定：所有的三角形都不是等邊三角形;（3）該命題的否定：每一個素數(shù)都不含三個正因數(shù).

例題

（3）該命題的否定：存在兩個等邊三角形,它們不相似;例5:寫出下列命題的否定,并判斷其真假：（1）p：?x∈R,x2+2x+2≤0;（2）q：至少有一個實數(shù)x,使x3+1=0（3）r：任意兩個等邊三角形都是相似的;（4）s：?x∈R,x2+2x+2=0.

假假真假答:（1）該命題的否定：?x∈R,x2-x+?<0;（2）該命題的否定：?x∈R,x3+1≠0.

（4）該命題的否定：?x∈R,x2+2x+2≠0.

例題

1寫出下列命題的否定,并判斷其真假（1）一切分?jǐn)?shù)都是有理數(shù);（2）有些三角形是銳角三角形;

（3）?x∈R,x2+x=x+2;（4）?x∈R,2x+4≥0.五、當(dāng)堂訓(xùn)練2寫出下列命題的否定,并判斷其真假（1）任意實數(shù)x,都是方程3x-5=0的根;（2）?x∈R,x2>0;

（3）?x∈R,x2=1;（4）?x∈R,是方程x2-3x+2=0的根.四、小結(jié)含有一個量詞的命題的否定結(jié)論：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題

存在量詞命題的否定是全稱量詞命題全稱量詞命題