中學(xué)數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)處理技巧

第一講函數(shù)的切線問題導(dǎo)數(shù)幾何意義用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線,是高考的一個(gè)熱點(diǎn),內(nèi)容主要涉及求曲線的斜率與方程、曲線的條數(shù)、公切線問題,由切線滿足條件求參數(shù)或參數(shù)范圍等,高考中既有基礎(chǔ)客觀題,也有壓軸客觀題,時(shí)而也會(huì)以解答題形式考查.1.【2019全國卷Ⅲ】已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為y=2x+b,則A． B．a(chǎn)=e,b=1 C． D．,2．【2018全國卷Ⅰ】設(shè)函數(shù),若為奇函數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線方程為A． B． C． D．3．【2016年全國卷Ⅱ】若直線是曲線的切線,也是曲線的切線,則．4.【2019全國卷Ⅱ】已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.一、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的斜率或傾斜角導(dǎo)數(shù)的幾何意義是研究曲線的切線的基石,函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率．也就是說,曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率是.【例1】已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),如果f′(x)是二次函數(shù),f′(x)的圖象開口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,eq\r(3)),那么曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線的傾斜角α的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))【對點(diǎn)訓(xùn)練】【安徽省淮南市2019屆高三第一次模擬】已知函數(shù),若直線過點(diǎn),且與曲線相切,則直線的斜率為A． B．2 C． D．二、求曲線在某點(diǎn)處的切線求以曲線上的點(diǎn)(x0,f(x0))為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化簡．【例2】【云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三月考】設(shè)是上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則在處的切線方程為（）A． B．C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練】【江西省新八校2019屆高三第二次聯(lián)考】若對恒成立,則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．三、求曲線過某點(diǎn)的切線求曲線過某點(diǎn)的切線,一般是設(shè)出切點(diǎn)(x0,y0),解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切點(diǎn)(x0,y0),進(jìn)而確定切線方程．【例3】已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.直線l為曲線y＝f(x)的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).四、求曲線的切線條數(shù)求曲線切線的條數(shù)一般是設(shè)出切點(diǎn),由已知條件整理出關(guān)于t的方程,把切線條數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問題.【例4】【江西省吉安市2019屆高三下學(xué)期第一次模擬】已知過點(diǎn)且與曲線相切的直線的條數(shù)有（）．A．0 B．1 C．2 D．3五、曲線的公切線研究曲線的公切線,一般是分別設(shè)出兩切點(diǎn),寫出兩切線方程,然后再使這兩個(gè)方程表示同一條直線.【例5】【四川省成都市2019屆高三畢業(yè)班第二次診斷性檢測】已知直線即是曲線的切線,又是曲線的切線,則直線在軸上的截距為A．2 B．1 C． D．.【對點(diǎn)訓(xùn)練】若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切,則a等于()－1或－eq\f(25,64)B．－1或eq\f(21,4)C．－eq\f(7,4)或－eq\f(25,64)D．－eq\f(7,4)或71．【江西省臨川一中2019屆高三年級考前模擬】已知曲線在點(diǎn)處的切線與拋物線相切,則的值為（）A． B．或 C． D．2．【山西省2019屆高三高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練】函數(shù)為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則曲線在處的切線方程為（）A． B． C． D．3．【福建省南平市2019屆5月綜合質(zhì)量檢查】若直線與曲線相切于點(diǎn),則（）．A．0 B． C． D．5．【甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)縣2019屆高三第四次聯(lián)考】若是函數(shù)的極值點(diǎn),則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（）A． B． C． D．6．【2019年甘肅省蘭州市高考數(shù)學(xué)一診】若點(diǎn)P是函數(shù)y=圖象上任意一點(diǎn),直線l為點(diǎn)P處的切線,則直線l斜率的范圍是（）A． B． C． D．7．【湖北省武漢市2019屆高三4月調(diào)研】設(shè)曲線,在曲線上一點(diǎn)處的切線記為,則切線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為A． B． C． D．8．【湖南省衡陽市2019屆高三第二次聯(lián)考】若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．【四川省棠湖中學(xué)2019屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知函數(shù),若函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),使得在點(diǎn)處的切線與的圖象也相切,則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．【河南省洛陽市2019屆高三第三次統(tǒng)一考試】若是函數(shù)的極值點(diǎn),則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是______．11．【內(nèi)蒙古2019屆高三高考一?！咳艉瘮?shù)與函數(shù),在公共點(diǎn)處有共同的切線,則實(shí)數(shù)的值為______．12．【北京市豐臺(tái)區(qū)2019屆高三年級第二學(xué)期綜合練習(xí)】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）當(dāng)時(shí),求證：過點(diǎn)恰有2條直線與曲線相切．導(dǎo)數(shù)與不等式都是高考中的重點(diǎn)與難點(diǎn),以導(dǎo)數(shù)為背景的抽象函數(shù)與不等式交匯問題是高考中的熱點(diǎn),求解此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則構(gòu)造合適的函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,最后由單調(diào)性研究不等式問題.1.【2015全國Ⅱ】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù),,當(dāng)時(shí),,則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．一、根據(jù)構(gòu)造函數(shù)【例1】【山東省威海市2019屆高三二?！恳阎瘮?shù)的定義域?yàn)?,對任意的滿足.當(dāng)時(shí),不等式的解集為()A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練】【2019年山西省忻州市靜樂縣高三下學(xué)期6月月考】定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足,且,當(dāng)時(shí),不等式的解集為()A． B． C． D．二、根據(jù)(或)構(gòu)造函數(shù)【例2】【黑龍江大慶市2019屆高三第四次模擬】已知奇函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,當(dāng)時(shí),有,則不等式的解集為()A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練】【海南省海口市2019屆高三高考調(diào)研測試】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足對恒成立,則下列判斷一定正確的是（）A． B．C． D．三、根據(jù)(或)構(gòu)造函數(shù)【例3】【四川省名校聯(lián)盟2019屆高考模擬信息卷】設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若,,則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B．C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練】【山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三第四次模擬】定義在R上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足,且,若,則不等式的解集為______．四、根據(jù)(或)構(gòu)造函數(shù)【例4】【云南省玉溪市2019屆第二次調(diào)研】已知定義在上的函數(shù)f(x),f’(x)是它的導(dǎo)函數(shù),且對任意的,都有恒成立,則（）A． B．C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練】【福建省三明市2019屆高三質(zhì)量檢查測試】已知函數(shù)的定義域?yàn)?其導(dǎo)函數(shù)為.若,且,則下列結(jié)論正確的是（）A．是增函數(shù) B．是減函數(shù) C．有極大值 D．有極小值五、根據(jù)構(gòu)造函數(shù)【例5】【河南省鄭州市2019屆高三第三次質(zhì)量檢測】設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù),,有,在上有,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練】.已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,且滿足,當(dāng)時(shí),則不等式的解集為A.B.C.D.1.【甘肅省蘭州市2019屆高三6月高考沖刺模擬】定義在上的函數(shù)滿足,,則關(guān)于的不等式的解集為()A． B． C． D．2.【安徽省1號(hào)卷A10聯(lián)盟2019年高考最后一卷】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,為自然對數(shù)的底數(shù),對均有成立,且,則不等式的解集是（）A． B． C． D．3．【云南省昆明市2019屆高三第四次統(tǒng)測】己知奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,．當(dāng)時(shí),．若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．4.【山東省棗莊市2019屆高三月考】已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,滿足,且為偶函數(shù),,則不等式的解集為（）A． B． C． D．5.【山西省太原市2019屆高三模擬試題】已知定義在上的函數(shù)滿足,且,則的解集是（）A． B． C． D．6.已知定義在上的函數(shù)滿足,且,則的解集是（）A． B． C． D．7.【新疆烏魯木齊2019屆高三第二次質(zhì)量檢測】的定義域是,其導(dǎo)函數(shù)為,若,且（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）,則A． B．C．當(dāng)時(shí),取得極大值 D．當(dāng)時(shí),8.【安徽省黃山市2019屆高三畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢測】已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù),對于任意的實(shí)數(shù)都有,當(dāng)時(shí),,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．9.【寧夏六盤山2019屆高三下學(xué)期第二次模擬】定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),當(dāng)時(shí),恒成立,若,,則（）A． B．C． D．10．【2019屆湘贛十四校高三聯(lián)考第二次考試】已知函數(shù)為上的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí)函數(shù)滿足,,則的解集是（）A． B．C． D．11．【河南省六市2019屆高三第一次聯(lián)考】函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù),為其導(dǎo)函數(shù),若,且,則不等式的解集為A． B． C． D．12．【晉冀魯豫中原名校2019屆高三第三次聯(lián)考】已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,滿足,且為偶函數(shù),,則不等式的解集為______.13．【山東省煙臺(tái)市2019屆高三3月診斷】若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足,則不等式的解集為______（結(jié)果用區(qū)間表示）．14．【黑龍江省大慶市2019屆高三下學(xué)期二?！恳阎x在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,對定義域內(nèi)的任意,都有成立,則使得成立的的取值范圍為_____．15．【四川省攀枝花市2019屆高三下學(xué)期第三次統(tǒng)考】已知函數(shù)．若存在,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性,是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn),難點(diǎn)在于如何確定分類標(biāo)準(zhǔn),特別是含有的函數(shù),還要注意定義域問題,在討論過程中有時(shí)需要兩次或三次劃分.本專題總結(jié)一些常見的類型及分類原則,供教師或高三學(xué)生參考.1.【2019全國卷Ⅲ】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在,使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在,求出的所有值；若不存在,說明理由.2.【2017全國卷Ⅰ】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若QUOTE有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍．3.【2019新課標(biāo)Ⅲ】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在,使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在,求出的所有值；若不存在,說明理由.一、把研究函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為解不等式此類問題,若a為參數(shù),要注意分進(jìn)行討論,還要注意這一條件.【例1】【天津市耀華中學(xué)2019屆高三二?！恳阎瘮?shù),（為自然對數(shù)的底）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在均屬于區(qū)間的,,且,使,證明：；（3）對于函數(shù)與定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),若存在常數(shù),,使得和都成立,則稱直線為函數(shù)與的分界線.試探究當(dāng)時(shí),函數(shù)與是否存在“分界線”？若存在,請給予證明,并求出,的值；若不存在,請說明理由.【對點(diǎn)訓(xùn)練】【遼寧省葫蘆島市2019屆高三二?！恳阎瘮?shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)令,當(dāng),時(shí),證明：..故原不等式成立.二、把研究函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為解不等式求解此類問題,要注意,若,則恒成立,若,則恒成立.【例2】【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2019屆高三4月考試】設(shè)定義在上的函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）定義:如果實(shí)數(shù)滿足,那么稱比更接近.對于（2）中的及,問:和哪個(gè)更接近？并說明理由.【對點(diǎn)訓(xùn)練】【湖南長沙第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期模擬】已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性（2）函數(shù),且．若在區(qū)間（0,2）內(nèi)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.三、把研究函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一元二次不等式在R上的解集此類問題一般為三次函數(shù)或形如的函數(shù)【例3】【天津市紅橋區(qū)2019屆高三一?！恳阎瘮?shù),.（1）若,求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的范圍.【對點(diǎn)訓(xùn)練】已知,設(shè)函數(shù).（1）討論單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.四、把研究函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為解不等式求解此類問題,首先根據(jù)a的符號(hào)進(jìn)行討論,當(dāng)a的符號(hào)確定后,再根據(jù)是否在定義域內(nèi)討論,當(dāng)都在定義域內(nèi)時(shí)在根據(jù)的大小進(jìn)行討論.【例4】【山西省晉城市2019屆高三第三次模擬】已知函數(shù).（1）若,討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若,證明：.【對點(diǎn)訓(xùn)練】【晉冀魯豫中原名校2019屆高三第三次聯(lián)考】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.五、把研究函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為解不等式,然后根據(jù)判別式的符號(hào)進(jìn)行討論求解此類問題既要考慮判別式的符號(hào),又要注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào),還要注意定義域.【例5】【廣東省2019屆高三適應(yīng)性考試】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【對點(diǎn)訓(xùn)練】【湖北部分重點(diǎn)中學(xué)2020屆高三年級新起點(diǎn)考試】已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若為的兩個(gè)極值點(diǎn),證明：.1.設(shè),,其中實(shí)數(shù)（1）若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),且存在最小值時(shí),記的最小值為,求的值域；（3）若與均在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),求的取值范圍.2.【天津市部分區(qū)2019屆高三聯(lián)考一?！吭O(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí),試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)時(shí),若對,都有（）成立,求的最大值.3.已知函數(shù),.（1）若,求的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.4.【安徽省泗縣2019屆高三高考最后一?！恳阎?（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng),時(shí),證明：（i）在點(diǎn)處的切線與的圖像至少有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；（ii）若另有公共點(diǎn)為,其中,則.5.【山東省煙臺(tái)市、菏澤市2019屆高三5月高考適應(yīng)性練習(xí)】已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若,,求實(shí)數(shù)的取值范圍．6.【湖北省黃岡中學(xué)2019屆高三第三次模擬】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）比較與的大小且,并證明你的結(jié)論.7.【山東省濰坊市2019屆高三高考模擬（5月三模)】已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.8.【山東省威海市2019屆高三二模】已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí),函數(shù)有最大值.設(shè)的最大值為,求函數(shù)的值域.近幾年高考試卷及各地模擬試卷中常出現(xiàn)在函數(shù)背景下處理含有兩個(gè)變量的等式與不等式問題,這類問題由于變量多,不少同學(xué)不知如何下手,其實(shí)如能以函數(shù)思想為指導(dǎo),把雙變量問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)或兩個(gè)一元函數(shù)問題,再利用導(dǎo)數(shù)就可有效地加以解決.1.【2018全國卷Ⅰ】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),證明：．一、與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的雙變量問題此類問題一般是給出含有的不等式,若能通過變形,把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為同源函數(shù),可利用函數(shù)單調(diào)性定義構(gòu)造單調(diào)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求解.【例1】【湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三下學(xué)期模擬】已知函數(shù),,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．B．C．D．【對點(diǎn)訓(xùn)練】【安徽省淮南市2019屆高三第一次模擬】已知函數(shù),其中為實(shí)常數(shù).（1）若當(dāng)時(shí),在區(qū)間上的最大值為,求的值；（2）對任意不同兩點(diǎn),,設(shè)直線的斜率為,若恒成立,求的取值范圍.二、與極值點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題與極值點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題,一般是根據(jù)是方程的兩個(gè)根,確定的關(guān)系,再通過消元轉(zhuǎn)化為只含有或的關(guān)系式,再構(gòu)造函數(shù)解題,有時(shí)也可以把所給條件轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù).【例2】【山東省濰坊市2019屆高三5月三?！恳阎瘮?shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【對點(diǎn)訓(xùn)練】【遼寧省沈陽市東北育才學(xué)校2019屆高三第八次模擬】已知函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí),求；（2）當(dāng)時(shí),求的最大值.三、與零點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題,一般是根據(jù)是方程的兩個(gè)根,確定的關(guān)系,再通過消元轉(zhuǎn)化為只含有或的關(guān)系式,再構(gòu)造函數(shù)解題,有時(shí)也可以把所給條件轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),有時(shí)也可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),若函數(shù)中含有參數(shù),可考慮把參數(shù)消去,或轉(zhuǎn)化為以參數(shù)為自變量的函數(shù).【例3】【黑龍江省哈爾濱市2019屆高三二模】已知函數(shù),其中.（1）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn),討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)和,且,（i）求參數(shù)的取值范圍；（ii）求證：.【對點(diǎn)訓(xùn)練】【云南省玉溪市第一中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研】設(shè),函數(shù),（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)相異零點(diǎn),求證.四、獨(dú)立雙變量,各自構(gòu)造一元函數(shù)此類問題一般是給出兩個(gè)獨(dú)立變量,通過變形,構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解.【例4】【江西省上饒市2019屆高三第二次模擬】已知實(shí)數(shù),滿足,則的值為（）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練】【四川省綿陽市2018屆高三第三次診斷】對于任意的實(shí)數(shù),總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù),使得成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．五、獨(dú)立雙變量,換元構(gòu)造一元函數(shù)【例5】【河南省名校鶴壁高中2019屆高三壓軸第二次考試】若存在正實(shí)數(shù),使得關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．1.【2019年山西省太原市高三模擬】已知,函數(shù).（1）證明：有兩個(gè)極值點(diǎn)；（2）若是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),證明：.2．【天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019屆高三第六次階段考】已知函數(shù),其中.（1）當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處切線的方程；（2）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若,證明對任意,恒成立.3．【內(nèi)蒙古2019屆高三高考一?！恳阎瘮?shù)．(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí),求證：．4．設(shè)函數(shù),其中.（1）若,討論的單調(diào)性；（2）若,（i）證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)（ii）設(shè)為的極值點(diǎn),為的零點(diǎn),且,證明.5．【安徽省1號(hào)卷A10聯(lián)盟2019屆高考最后一卷】已知函數(shù),（1）若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn),且,求證：6．【黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2019屆高三第二次模擬】已知函數(shù),其中.（1）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn),討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)和,且,（i）求參數(shù)的取值范圍；（ii）求證：.7．【四川省綿陽市2019屆高三下學(xué)期第三次診斷】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1,x2,且x1＜x2．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求證：x1x2＜a2．8．【云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三第八次月考】已知函數(shù),其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn),,證明：.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近幾年高考命題的一種熱點(diǎn)題型．求解此類問題關(guān)鍵是要找出與待證不等式緊密聯(lián)系的函數(shù),然后以導(dǎo)數(shù)為工具來研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值(值域),從而達(dá)到證明不等式的目的．1.【2018全國卷Ⅱ】已知函數(shù)．(1)若,證明：當(dāng)時(shí),；(2)若在只有一個(gè)零點(diǎn),求．一、把證明轉(zhuǎn)化為證明【例1】【廣東省2019年汕頭市普通高考第一次模擬】已知．（1）設(shè)是的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值,并求的單調(diào)區(qū)間：（2）時(shí),求證：．【對點(diǎn)訓(xùn)練】【黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2019屆高三第二次模擬】已知函數(shù),其中.（1）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn),討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)和,且,（i）求參數(shù)的取值范圍；（ii）求證：.二、把證明轉(zhuǎn)化為證明【例2】【黑龍江省哈爾濱市2019屆高三上學(xué)期期中】已知（1）列表求在的所有極值；（2）當(dāng)時(shí),（i）求證：；（ii）若恒成立,求的取值范圍【對點(diǎn)訓(xùn)練】【天津市耀華中學(xué)2019屆高三第二次月考】已知函數(shù).（1）（?。┣笞C：；（ⅱ）設(shè),當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí),過原點(diǎn)分別作曲線與的切線,已知兩切線的斜率互為倒數(shù),證明：.三、把證明轉(zhuǎn)化為證明【例3】【河北省衡水2019屆高三四月大聯(lián)考】已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.（1）求函數(shù)的最小值；（2）若,證明：.【對點(diǎn)訓(xùn)練】【遼寧省師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三上學(xué)期期中】已知．（1）求函數(shù)在定義域上的最小值；（2）求函數(shù)在上的最小值；（3）證明：對一切,都有成立．四、把證明轉(zhuǎn)化為證明【例4】【河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟“領(lǐng)軍考試”2019屆高三第五次測評】已知函數(shù),且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：時(shí),.【對點(diǎn)訓(xùn)練】【安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)2019屆高三全國高考猜題預(yù)測卷】已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí),.五、改編不等式結(jié)構(gòu),重新構(gòu)造函數(shù)證明不等式【例5】【東北三省三校2019屆高三第三次模擬】已知函數(shù),（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若在上單調(diào)遞減,求的最大值；（2）當(dāng)時(shí),證明：.【對點(diǎn)訓(xùn)練】【山西省晉城市2019屆高三第三次模擬】已知函數(shù).（1）若,討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若,證明：.1．【廣東省潮州市2019屆高三第二次模擬】已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí),關(guān)于的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：對于任意的正整數(shù),不等式恒成立．2．【山東省棲霞市2019屆高三高考模擬】設(shè)函數(shù),其中,是自然對數(shù)的底數(shù).（1）若在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍；（2）若,證明：.3．【湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三下學(xué)期模擬（三)】已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè),當(dāng)時(shí),對任意,存在,使,證明：.4．【廣東省深圳市高級中學(xué)2019屆高三適應(yīng)性考試】已知函數(shù),.（1）設(shè),討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若,證明：在恒成立.5．【廣東省韶關(guān)市2019屆高考模擬測試（4月)】已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè),求證：（參考數(shù)據(jù)：）．6．【山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校2019屆高三聯(lián)合考試】已知函數(shù),（1）當(dāng)時(shí),證明；（2）已知點(diǎn),點(diǎn),設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),試判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．7．【山東省濰坊市2019屆高三高考模擬（4月二模)】已知函數(shù)（無理數(shù)…）．（1）若在單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍：（2）當(dāng)時(shí),設(shè),證明：當(dāng)時(shí),．8．【江西省名校（臨川一中、南昌二中)2019屆高三5月聯(lián)合考】已知函數(shù)（1）若對于任意的x恒成立,求a的取值范圍（2）證明：對任意的恒成立9．【安徽省江淮十校2019屆高三年級5月考前最后一卷】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖像與軸相切,求證：對于任意互不相等的正實(shí)數(shù),,都有.10．【江西省名校（臨川一中、南昌二中)2019屆高三5月聯(lián)合考試】已知函數(shù)（1）若,求證：（2）若,恒有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.函數(shù)零點(diǎn)問題是高考中的熱點(diǎn),內(nèi)容主要包括函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、隱零點(diǎn)問題及零點(diǎn)存在性賦值理論.1.【2019全國Ⅰ理20】已知函數(shù),為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．一、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn),一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面,也可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,利用數(shù)形結(jié)合來解決．對于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,可利用函數(shù)的值域或最值,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn),分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性,分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢,分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．但需注意探求與論證之間區(qū)別,論證是充要關(guān)系,要充分利用零點(diǎn)存在定理及函數(shù)單調(diào)性嚴(yán)格說明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【例1】若函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【對點(diǎn)訓(xùn)練】【天津市河北區(qū)2019屆高三一?！恳阎瘮?shù),其中.（1）當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（2）求函數(shù)的極值；（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求a的取值范圍.二、零點(diǎn)存在性賦值理論確定零點(diǎn)是否存在或函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn),作為客觀題常轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問題,作為解答題一般不提倡利用圖象求解,而是利用函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)賦值理論.函數(shù)賦值是近年高考的一個(gè)熱點(diǎn),賦值之所以“熱”,是因?yàn)樗婕暗胶瘮?shù)領(lǐng)域的方方面面：討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(包括零點(diǎn)的存在性,唯一性)；求含參函數(shù)的極值或最值；證明一類超越不等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各種題型中的參數(shù)取值范圍等,零點(diǎn)賦值基本模式是已知f(a)的符號(hào),探求賦值點(diǎn)m(假定ma)使得f(m)與f(a)異號(hào),則在(m,a)上存在零點(diǎn)．賦值點(diǎn)遴選要領(lǐng)：遴選賦值點(diǎn)須做到三個(gè)確保：確保參數(shù)能取到它的一切值；（2）確保賦值點(diǎn)x0落在規(guī)定區(qū)間內(nèi)；（3）確保運(yùn)算可行（1）確保參數(shù)能取到它的一切值；（2）確保賦值點(diǎn)x0落在規(guī)定區(qū)間內(nèi)；（3）確保運(yùn)算可行．三個(gè)優(yōu)先：（1）優(yōu)先常數(shù)賦值點(diǎn)；（2）優(yōu)先借助已有極值求賦值點(diǎn)；（3）優(yōu)先簡單運(yùn)算.【例2】【天津市部分區(qū)2019屆高三聯(lián)考一?！吭O(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí),試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)時(shí),若對,都有（）成立,求的最大值.【對點(diǎn)訓(xùn)練】【湖南省衡陽市2019屆高三三?！恳阎瘮?shù)存在極大值與極小值,且在處取得極小值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.三、隱零點(diǎn)問題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,常常會(huì)把最值問題轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題,若導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)存在,但無法求出,我們可以設(shè)其為,再利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性確定所在區(qū)間,最后根據(jù),研究,我們把這類問題稱為隱零點(diǎn)問題.【例3】【廣東省2019年汕頭市普通高考第一次模擬】已知．（1）設(shè)是的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值,并求的單調(diào)區(qū)間：（2）時(shí),求證：．【對點(diǎn)訓(xùn)練】【河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟“領(lǐng)軍考試”2019屆高三第五次測評】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線為.（1）求,的值；（2）若對任意的,恒成立,求正整數(shù)的最大值.1．【天津市紅橋區(qū)2019屆高三一?！恳阎瘮?shù)（k為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求k的值；（2）討論關(guān)于x的方程如的根的個(gè)數(shù).2．【廣東省2019屆高三適應(yīng)性考試】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).3．【湖南省雅禮中學(xué)2019屆高考模擬卷（二)】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）若曲線在點(diǎn)（處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）設(shè)函數(shù),試討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．4．【天津市第一中學(xué)2019屆高三一月月考】已知函數(shù),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且,其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求的極值；（2）若存在,使得不等式成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí),對于,求證：.5．【江西省臨川一中2019屆高三年級考前模擬】已知函數(shù).（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若恒成立,求的最大值；（2）設(shè),若存在唯一的零點(diǎn),且對滿足條件的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值集合.6．【江蘇省徐州市2019高三考前模擬】已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線的斜率為3,求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極小值,求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）如果的解集中只有一個(gè)整數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.7．【江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三考前模擬】已知函數(shù)（,是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）①當(dāng),時(shí),若對于任意,都有恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值；②當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),是否存在實(shí)數(shù),使得？若存在,求出的取值范圍；若不存在,說明理由.8．【重慶市巴蜀中學(xué)2019屆高三適應(yīng)性月考】已知函數(shù),.（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍．9．【北京市朝陽區(qū)2019屆二?！恳阎瘮?shù).（1）當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍.第一講函數(shù)的切線問題導(dǎo)數(shù)幾何意義用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線,是高考的一個(gè)熱點(diǎn),內(nèi)容主要涉及求曲線的斜率與方程、曲線的條數(shù)、公切線問題,由切線滿足條件求參數(shù)或參數(shù)范圍等,高考中既有基礎(chǔ)客觀題,也有壓軸客觀題,時(shí)而也會(huì)以解答題形式考查.1.【2019全國卷Ⅲ】已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為y=2x+b,則A． B．a(chǎn)=e,b=1 C． D．,【答案】D【解析】的導(dǎo)數(shù)為,

又函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,

可得,解得,

又切點(diǎn)為,可得,即．故選D．2．【2018全國卷Ⅰ】設(shè)函數(shù),若為奇函數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線方程為A． B． C． D．【答案】D【解析】通解因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),所以,所以,所以,因?yàn)?所以,所以,所以,所以,所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．故選D．優(yōu)解因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),所以,所以,解得,所以,所以,所以,所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．故選D．3．【2016年全國卷Ⅱ】若直線是曲線的切線,也是曲線的切線,則．【答案】【解析】設(shè)與和的切點(diǎn)分別為和．則切線分別為,,化簡得,依題意,,解得,從而．4.【2019全國卷Ⅱ】已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.【解析】（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，1）（1，+∞）．因?yàn)?，所以在?，1），（1，+∞）單調(diào)遞增．因?yàn)閒（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零點(diǎn)x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零點(diǎn)．綜上，f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．（2）因?yàn)?，故點(diǎn)B（–lnx0，）在曲線y=ex上．由題設(shè)知，即，故直線AB的斜率．曲線y=ex在點(diǎn)處切線的斜率是，曲線在點(diǎn)處切線的斜率也是，所以曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線y=ex的切線．一、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的斜率或傾斜角導(dǎo)數(shù)的幾何意義是研究曲線的切線的基石,函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率．也就是說,曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率是.【例1】已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),如果f′(x)是二次函數(shù),f′(x)的圖象開口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,eq\r(3)),那么曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線的傾斜角α的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))【答案】B【分析】把傾斜角范圍轉(zhuǎn)化為求斜率范圍【解析】依題意得f′(x)≥eq\r(3),即曲線y＝f(x)在任意一點(diǎn)處的切線斜率不小于eq\r(3),故其傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).故選B.【點(diǎn)評】無論是求斜率或傾斜角,最終都可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)值問題.【對點(diǎn)訓(xùn)練】【安徽省淮南市2019屆高三第一次模擬】已知函數(shù),若直線過點(diǎn),且與曲線相切,則直線的斜率為A． B．2 C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,設(shè)切點(diǎn)為,則,可得切線的斜率為,所以,解得,,故選B．二、求曲線在某點(diǎn)處的切線求以曲線上的點(diǎn)(x0,f(x0))為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化簡．【例2】【云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三月考】設(shè)是上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則在處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得在時(shí)的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)偶函數(shù)的定義可求得在處的導(dǎo)函數(shù)；根據(jù)點(diǎn)斜式即可求得切線方程.【解析】當(dāng)時(shí),,則,由是偶函數(shù)可得,結(jié)合圖象特征可知,所以在處的切線方程為,即,故選D.【點(diǎn)評】求曲線在某點(diǎn)的切線關(guān)鍵是確定切點(diǎn)坐標(biāo)及切線斜率.【對點(diǎn)訓(xùn)練】【江西省新八校2019屆高三第二次聯(lián)考】若對恒成立,則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】……①……②聯(lián)立①②,解得：,則,切線方程為：,即,故選三、求曲線過某點(diǎn)的切線求曲線過某點(diǎn)的切線,一般是設(shè)出切點(diǎn)(x0,y0),解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切點(diǎn)(x0,y0),進(jìn)而確定切線方程．【例3】已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.直線l為曲線y＝f(x)的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).【分析】設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),整理出關(guān)于的方程,解方程求出切點(diǎn)(x0,y0),再用點(diǎn)斜式寫出方程.【解析】法一：設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則直線l的斜率為f′(x0)＝3＋1,∴直線l的方程為y＝(3＋1)(x－x0)＋＋x0－16,又∵直線l過點(diǎn)(0,0),∴0＝(3＋1)(－x0)＋＋x0－16,整理得,＝－8,∴x0＝－2,∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26,k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,－26)．法二：設(shè)直線l的方程為y＝kx,切點(diǎn)為(x0,y0),則k＝eq\f(y0－0,x0－0)＝,又∵k＝f′(x0)＝3＋1,∴＝3＋1,解之得x0＝－2,∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26,k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,－26)．【點(diǎn)評】求解本題的關(guān)鍵是利用切線斜率建立方程（其中為切線經(jīng)過的點(diǎn)）.【對點(diǎn)訓(xùn)練】曲線y＝eq\f(1,4)x2過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,4)))的切線方程為________．【答案】14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.【解析】設(shè)所求切線與曲線相切于點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,4)xeq\o\al(2,0))).易知y′＝eq\f(1,2)x,則y′|x＝x0＝eq\f(1,2)x0.故eq\f(\f(7,4)－\f(1,4)xeq\o\al(2,0),4－x0)＝eq\f(1,2)x0,整理得xeq\o\al(2,0)－8x0＋7＝0,解得x0＝7或x0＝1,所以點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(49,4)))或Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4))),由兩點(diǎn)式切線方程為14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.故填14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.四、求曲線的切線條數(shù)求曲線切線的條數(shù)一般是設(shè)出切點(diǎn),由已知條件整理出關(guān)于t的方程,把切線條數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問題.【例4】【江西省吉安市2019屆高三下學(xué)期第一次模擬】已知過點(diǎn)且與曲線相切的直線的條數(shù)有（）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)為,則,由于直線l經(jīng)過點(diǎn)（2,1）,可得切線的斜率,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率,建立關(guān)于的方程,通過解方程確定切點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】若直線與曲線切于點(diǎn),則,又∵,∴,∴,解得,,∴過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為或,故選C．【點(diǎn)評】求解此類問題的關(guān)鍵是把切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)個(gè)數(shù),進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為方程實(shí)根個(gè)數(shù).五、曲線的公切線研究曲線的公切線,一般是分別設(shè)出兩切點(diǎn),寫出兩切線方程,然后再使這兩個(gè)方程表示同一條直線.【例5】【四川省成都市2019屆高三畢業(yè)班第二次診斷性檢測】已知直線即是曲線的切線,又是曲線的切線,則直線在軸上的截距為A．2 B．1 C． D．.【答案】B【分析】設(shè)出直線l與兩曲線的切點(diǎn),分別求出兩曲線在切點(diǎn)處的切線方程,由斜率與截距相等列式求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入切線方程,則答案可求．【解析】設(shè)直線l與曲線C1：y＝ex的切點(diǎn)為（）,與曲線C2：ye2x2的切點(diǎn)為（）,由y＝ex,得,由ye2x2,得,∴直線l的方程為,或,則,解得x1＝x2＝2．∴直線l的方程為：y﹣e2＝e2（x﹣2）,取y＝0,可得x＝1．∴直線l在x軸上的截距為1．故選B．【點(diǎn)評】寫出兩方程后一般利用斜率與截距分別相等求解,若其中一條曲線為二次函數(shù)圖象也可利用判別式.【對點(diǎn)訓(xùn)練】若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切,則a等于()－1或－eq\f(25,64)B．－1或eq\f(21,4)C．－eq\f(7,4)或－eq\f(25,64)D．－eq\f(7,4)或7【答案】A【解析】設(shè)過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y＝x3相切于點(diǎn)(x0,xeq\o\al(3,0)),所以切線方程為y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0),即y＝3xeq\o\al(2,0)x－2xeq\o\al(3,0),又點(diǎn)(1,0)在切線上,則x0＝0或x0＝eq\f(3,2).當(dāng)x0＝0時(shí),由y＝0與y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切可得a＝－eq\f(25,64)；當(dāng)x0＝eq\f(3,2)時(shí),由y＝eq\f(27,4)x－eq\f(27,4)與y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切可得a＝－1.故選A1．【江西省臨川一中2019屆高三年級考前模擬】已知曲線在點(diǎn)處的切線與拋物線相切,則的值為（）A． B．或 C． D．【答案】C【解析】,當(dāng)時(shí),切線的斜率,切線方程為,因?yàn)樗c拋物線相切,有唯一解即故,解得,故選C.2．【山西省2019屆高三高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練】函數(shù)為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則曲線在處的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí),,故.,由函數(shù)為偶函數(shù),所以的圖像關(guān)于y軸對稱,故,所求切線方程為：,即.故選A.3．【福建省南平市2019屆5月綜合質(zhì)量檢查】若直線與曲線相切于點(diǎn),則（）．A．0 B． C． D．【答案】D【解析】由,得因?yàn)橹本€與曲線相切于點(diǎn)所以,解得,故選D.4．【山西省太原市2019屆高三模擬試題（一)】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線經(jīng)過原點(diǎn),則實(shí)數(shù)（）A．1 B．0 C． D．-1【答案】A【解析】切線方程為,故0=0-1+a,解a=1故選A5．【甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)縣2019屆高三第四次聯(lián)考】若是函數(shù)的極值點(diǎn),則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：,則,解得所以,故選C6．【2019年甘肅省蘭州市高考數(shù)學(xué)一診】若點(diǎn)P是函數(shù)y=圖象上任意一點(diǎn),直線l為點(diǎn)P處的切線,則直線l斜率的范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵．∵1＜sin2x≤1,∴0＜1+sin2x≤2,∴,則．∴直線l斜率的范圍是[1,+∞）．故選C．7．【湖北省武漢市2019屆高三4月調(diào)研】設(shè)曲線,在曲線上一點(diǎn)處的切線記為,則切線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為A． B． C． D．【答案】C【解析】方程為：,即由得：即：,,,曲線C與l的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為：3個(gè),故選C。8．【湖南省衡陽市2019屆高三第二次聯(lián)考】若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)公切線與函數(shù),分別切于點(diǎn),,則過A，B的切線分別為：、,兩切線重合,則有：代入得：,構(gòu)造函數(shù)：,,.,,.,,,,∴,.欲合題意,只須.9．【四川省棠湖中學(xué)2019屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知函數(shù),若函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),使得在點(diǎn)處的切線與的圖象也相切,則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】的公共切點(diǎn)為,設(shè)切線與的圖象相切與點(diǎn),由題意可得,解得所以,令則令,解得,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減當(dāng)t從右側(cè)趨近于0時(shí),趨近于0,當(dāng)t趨近于時(shí),趨近于0所以,故選B10．【河南省洛陽市2019屆高三第三次統(tǒng)一考試】若是函數(shù)的極值點(diǎn),則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是______．【答案】【解析】由題得.所以.所以切點(diǎn)為（1,-e）,所以切線方程為.故答案為：11．【內(nèi)蒙古2019屆高三高考一?！咳艉瘮?shù)與函數(shù),在公共點(diǎn)處有共同的切線,則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?,,設(shè)曲線與曲線公共點(diǎn)為,由于在公共點(diǎn)處有共同的切線,∴,解得,．由,可得．聯(lián)立,解得．故答案為．12．【北京市豐臺(tái)區(qū)2019屆高三年級第二學(xué)期綜合練習(xí)】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）當(dāng)時(shí),求證：過點(diǎn)恰有2條直線與曲線相切．【解析】（1）當(dāng)a＝3時(shí),f（x）＝x3﹣3x2,f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）．當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f'（x）≤0,所以f（x）在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減．所以f（x）在區(qū)間[0,2]上的最小值為f（2）＝﹣4．（2）設(shè)過點(diǎn)P（1,f（1））的曲線y＝f（x）的切線切點(diǎn)為（x0,y0）,f'（x）＝3x2﹣2ax,f（1）＝1﹣a,所以所以．令g（x）＝2x3﹣（a+3）x2+2ax+1﹣a,則g'（x）＝6x2﹣2（a+3）x+2a＝（x﹣1）（6x﹣2a）,令g'（x）＝0得x＝1或,因?yàn)閍＞3,所以．x（﹣∞,1）1g′（x）+0﹣0+g（x）↗極大值↘極小值↗∴g（x）的極大值為g（1）＝0,g（x）的極小值為,所以g（x）在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x＝1．因?yàn)間（a）＝2a3﹣（a+3）a2+2a2+1﹣a＝（a﹣1）2（a+1）＞0,所以g（x）在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．所以g（x）在R上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．即方程有且只有兩個(gè)不相等實(shí)根,所以過點(diǎn)P（1,f（1））恰有2條直線與曲線y＝f（x）相切．第二講導(dǎo)數(shù)中的構(gòu)造問題導(dǎo)數(shù)與不等式都是高考中的重點(diǎn)與難點(diǎn),以導(dǎo)數(shù)為背景的抽象函數(shù)與不等式交匯問題是高考中的熱點(diǎn),求解此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則構(gòu)造合適的函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,最后由單調(diào)性研究不等式問題.1.【2015全國Ⅱ】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù),,當(dāng)時(shí),,則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】構(gòu)造新函數(shù),,當(dāng)時(shí).所以在上單減,又,即.所以可得,此時(shí),又為奇函數(shù),所以在上的解集為：.故選A.一、根據(jù)構(gòu)造函數(shù)【例1】【山東省威海市2019屆高三二?！恳阎瘮?shù)的定義域?yàn)?,對任意的滿足.當(dāng)時(shí),不等式的解集為()A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),則,所以得到在上為增函數(shù),又．然后根據(jù)可得,于是,解三角不等式可得解集．【解析】由題意構(gòu)造函數(shù),則,∴函數(shù)在上為增函數(shù)．∵,∴．又,∴,∴,∵,∴,∴不等式的解集為．故選D．【點(diǎn)評】解答此類問題時(shí)一般要根據(jù)題意構(gòu)造輔助函數(shù)求解,構(gòu)造時(shí)要結(jié)合所求的結(jié)論進(jìn)行分析、選擇,然后根據(jù)所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性求解．一般地,若給出條件,可構(gòu)造函數(shù)若給出條件,可構(gòu)造函數(shù)【對點(diǎn)訓(xùn)練】【2019年山西省忻州市靜樂縣高三下學(xué)期6月月考】定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足,且,當(dāng)時(shí),不等式的解集為()A． B． C． D．【答案】D【解析】令,則,在定義域上是增函數(shù),且,,可轉(zhuǎn)化成,得到,又,可以得到,故選D二、根據(jù)(或)構(gòu)造函數(shù)【例2】【黑龍江大慶市2019屆高三第四次模擬】已知奇函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,當(dāng)時(shí),有,則不等式的解集為()A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造新函數(shù),根據(jù)條件可得是奇函數(shù),且單調(diào)增,將所求不等式化為,即,解得,即【解析】設(shè),因?yàn)闉樯掀婧瘮?shù),所以,即為上奇函數(shù)對求導(dǎo),得,而當(dāng)時(shí),有故時(shí),,即單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增不等式,,,即所以,解得,故選A.【點(diǎn)評】一般地,若給出條件,可構(gòu)造函數(shù).【對點(diǎn)訓(xùn)練】【海南省?？谑?019屆高三高考調(diào)研測試】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足對恒成立,則下列判斷一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,即．故選B．三、根據(jù)(或)構(gòu)造函數(shù)【例3】【四川省名校聯(lián)盟2019屆高考模擬信息卷】設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若,,則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù),則可判斷,故是上的增函數(shù),結(jié)合即可得出答案.【解析】設(shè),則,∵,,∴,∴是上的增函數(shù),又,∴的解集為,即不等式的解集為.故選A.【點(diǎn)評】若,可構(gòu)造.【對點(diǎn)訓(xùn)練】【山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三第四次模擬】定義在R上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足,且,若,則不等式的解集為______．【答案】【解析】,的周期為,,,定義在上的奇函數(shù),,時(shí),令,則,,,即單調(diào)遞減,又,,,不等式的解集為,時(shí),,時(shí),不等式成立,綜上所述,.四、根據(jù)(或)構(gòu)造函數(shù)【例4】【云南省玉溪市2019屆第二次調(diào)研】已知定義在上的函數(shù)f(x),f’(x)是它的導(dǎo)函數(shù),且對任意的,都有恒成立,則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性即可得大小關(guān)系.【解析】由題得,即,令,導(dǎo)函數(shù),因此g(x)在定義域上為增函數(shù).則有,代入函數(shù)得,由該不等式可得,故選D.【點(diǎn)評】若給出條件,可構(gòu)造函數(shù),若給出條件,可構(gòu)造函數(shù).【對點(diǎn)訓(xùn)練】【福建省三明市2019屆高三質(zhì)量檢查測試】已知函數(shù)的定義域?yàn)?其導(dǎo)函數(shù)為.若,且,則下列結(jié)論正確的是（）A．是增函數(shù) B．是減函數(shù) C．有極大值 D．有極小值【答案】A【解析】設(shè)函數(shù)因?yàn)榛喛傻?即為,故,因?yàn)樗院愠闪?所以在上單調(diào)遞增,又因?yàn)?所以,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,,,,故恒成立；當(dāng)時(shí),,,,,故恒成立；所以在上恒成立,故在上單調(diào)遞增,故函數(shù)沒有極值,不可能單調(diào)遞減,故選A.五、根據(jù)構(gòu)造函數(shù)【例5】【河南省鄭州市2019屆高三第三次質(zhì)量檢測】設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù),,有,在上有,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題,構(gòu)造新函數(shù),再由題判斷出新函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,再利用可得出,即可求得m的取值.【解析】因?yàn)?所以令即函數(shù)為偶函數(shù),因?yàn)樯嫌?所以即函數(shù)在單調(diào)遞增；又因?yàn)樗约?所以,解得,故選B.【點(diǎn)評】求解本題的關(guān)鍵是根據(jù),構(gòu)造偶函數(shù),一般地,若給出可構(gòu)造偶函數(shù)或奇函數(shù).【對點(diǎn)訓(xùn)練】.已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,且滿足,當(dāng)時(shí),則不等式的解集為A.B.C.D.【答案】C【解析】設(shè),則,所以=,所以是偶函數(shù),設(shè),則,所以,即,所以時(shí),所以時(shí),在上是增函數(shù),所以,故選C.1.【甘肅省蘭州市2019屆高三6月高考沖刺模擬】定義在上的函數(shù)滿足,,則關(guān)于的不等式的解集為()A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意,令,,則其導(dǎo)數(shù),函數(shù)在為增函數(shù),又由（2）,則（2）,,則有,解可得；即不等式的解集為.故選．2.【安徽省1號(hào)卷A10聯(lián)盟2019年高考最后一卷】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,為自然對數(shù)的底數(shù),對均有成立,且,則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】原不等式等價(jià)于,令,則恒成立,在上是增函數(shù),又,,原不等式為,解得,故選.3．【云南省昆明市2019屆高三第四次統(tǒng)測】己知奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,．當(dāng)時(shí),．若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)所以當(dāng)時(shí),是增函數(shù),因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),所以有,因此有,所以是偶函數(shù),而,可以化為,是偶函數(shù),所以有,當(dāng)時(shí),是增函數(shù),所以有,故選D.4.【山東省棗莊市2019屆高三月考】已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,滿足,且為偶函數(shù),,則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)則∵,∴．所以函數(shù)是R上的減函數(shù),∵函數(shù)是偶函數(shù),∴函數(shù),∴函數(shù)關(guān)于對稱,∴,原不等式等價(jià)為,∴不等式等價(jià),．∵在R上單調(diào)遞減,∴．故選B．5.【山西省太原市2019屆高三模擬試題】已知定義在上的函數(shù)滿足,且,則的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令=在上單調(diào)遞減,且故等價(jià)為即,故,解x<故解集為,故選A6.已知定義在上的函數(shù)滿足,且,則的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令,構(gòu)造函數(shù),由已知可知：,所以是上的減函數(shù),當(dāng)時(shí),,,所以當(dāng)時(shí),成立,也就是當(dāng)時(shí),成立,故本題選A.7.【新疆烏魯木齊2019屆高三第二次質(zhì)量檢測】的定義域是,其導(dǎo)函數(shù)為,若,且（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）,則A． B．C．當(dāng)時(shí),取得極大值 D．當(dāng)時(shí),【答案】C【解析】設(shè),則則又得即,所以即,由得,得,此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)由得,得,此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)則,即,則,故錯(cuò)誤,即,則,故錯(cuò)誤當(dāng)時(shí),取得極小值即當(dāng),,即,即,故錯(cuò)誤當(dāng)時(shí),取得極小值此時(shí),則取得極大值本題正確選項(xiàng)：8.【安徽省黃山市2019屆高三畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢測】已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù),對于任意的實(shí)數(shù)都有,當(dāng)時(shí),,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】令,則當(dāng)時(shí),,又,所以為偶函數(shù),從而等價(jià)于,因此選B.9.【寧夏六盤山2019屆高三下學(xué)期第二次模擬】定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),當(dāng)時(shí),恒成立,若,,則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù),因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),所以為偶函數(shù)當(dāng)時(shí),恒成立,即,所以在時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)在時(shí)為單調(diào)遞增函數(shù)根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知,所以,所以選D10．【2019屆湘贛十四校高三聯(lián)考第二次考試】已知函數(shù)為上的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí)函數(shù)滿足,,則的解集是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè),則,∴,化簡可得.設(shè),∴,∴時(shí),,因此為減函數(shù),∴時(shí),,因此為增函數(shù),∴,∴,∴在上為增函數(shù).∵函數(shù)是偶函數(shù),∴函數(shù),∴函數(shù)關(guān)于對稱,又∵,即,又在上為增函數(shù),∴,由函數(shù)關(guān)于對稱可得,,故選A.11．【河南省六市2019屆高三第一次聯(lián)考】函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù),為其導(dǎo)函數(shù),若,且,則不等式的解集為A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù),為其導(dǎo)函數(shù),令,則,可知當(dāng)時(shí),是單調(diào)減函數(shù),并且,即,則,時(shí),函數(shù)是單調(diào)增函數(shù),,則,則不等式的解集就是的解集,即又x>1,所以,故不等式的解集為：．故選C．12．【晉冀魯豫中原名校2019屆高三第三次聯(lián)考】已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,滿足,且為偶函數(shù),,則不等式的解集為______.【答案】【解析】∵為偶函數(shù),∴的圖象關(guān)于對稱,∴的圖像關(guān)于對稱,∴.又,∴.設(shè),則.又∵,∴,∴,∴在上單調(diào)遞減.∵,∴,即.又∵,∴,∴.13．【山東省煙臺(tái)市2019屆高三3月診斷】若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足,則不等式的解集為______（結(jié)果用區(qū)間表示）．【答案】【解析】令,則,因?yàn)?所以,所以,函數(shù)為上的增函數(shù),由,得：,即,因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù),所以．所以不等式的解集是．故答案為．14．【黑龍江省大慶市2019屆高三下學(xué)期二?！恳阎x在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,對定義域內(nèi)的任意,都有成立,則使得成立的的取值范圍為_____．【答案】【解析】由是偶函數(shù),所以當(dāng)時(shí),由得,設(shè),則,即當(dāng)時(shí),函數(shù)為減函數(shù),由得,即,因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以也是偶函數(shù),則,等價(jià)為,即,得或,即的取值范圍是,故答案為：．15．【四川省攀枝花市2019屆高三下學(xué)期第三次統(tǒng)考】已知函數(shù)．若存在,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】∵,∴,∴,∵存在,使得即,∴在上有解,設(shè),∴,在上為增函數(shù),∴．∴．實(shí)數(shù)的取值范圍是．第三講含參的單調(diào)性討論問題用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性,是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn),難點(diǎn)在于如何確定分類標(biāo)準(zhǔn),特別是含有的函數(shù),還要注意定義域問題,在討論過程中有時(shí)需要兩次或三次劃分.本專題總結(jié)一些常見的類型及分類原則,供教師或高三學(xué)生參考.1.【2019全國卷Ⅲ】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在,使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在,求出的所有值；若不存在,說明理由.【解析】（1）．令,得x=0或.若a>0,則當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減；若a=0,在單調(diào)遞增；若a<0,則當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.（2）滿足題設(shè)條件的a,b存在.（i）當(dāng)a≤0時(shí),由（1）知,在[0,1]單調(diào)遞增,所以在區(qū)間[0,l]的最小值為,最大值為.此時(shí)a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng),,即a=0,．（ii）當(dāng)a≥3時(shí),由（1）知,在[0,1]單調(diào)遞減,所以在區(qū)間[0,1]的最大值為,最小值為．此時(shí)a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng),b=1,即a=4,b=1．（iii）當(dāng)0<a<3時(shí),由（1）知,在[0,1]的最小值為,最大值為b或．若,b=1,則,與0<a<3矛盾.若,,則或或a=0,與0<a<3矛盾．綜上,當(dāng)且僅當(dāng)a=0,或a=4,b=1時(shí),在[0,1]的最小值為–1,最大值為1．2.【2017全國卷Ⅰ】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若QUOTE有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍．【解析】（1）定義域?yàn)?,（?。┤?則,所以在單調(diào)遞減．（ⅱ）若,則由得．當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增．（2）（?。┤?由（1）知,至多有一個(gè)零點(diǎn)．（ⅱ）若,由（1）知,當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為．①當(dāng)時(shí),由于,故只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí),由于,即,故沒有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí),,即．又,故在有一個(gè)零點(diǎn)．設(shè)正整數(shù)滿足,則．由于,因此在有一個(gè)零點(diǎn)．綜上,的取值范圍為．3.【2019新課標(biāo)Ⅲ】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在,使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在,求出的所有值；若不存在,說明理由.【解析】(1)對求導(dǎo)得.所以有當(dāng)時(shí),區(qū)間上單調(diào)遞增,區(qū)間上單調(diào)遞減,區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),區(qū)間上單調(diào)遞增,區(qū)間上單調(diào)遞減,區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)若在區(qū)間有最大值1和最小值-1,所以若,區(qū)間上單調(diào)遞增,區(qū)間上單調(diào)遞減,區(qū)間上單調(diào)遞增；此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,代入解得,,與矛盾,所以不成立.若,區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間.所以,代入解得.若,區(qū)間上單調(diào)遞增,區(qū)間上單調(diào)遞減,區(qū)間上單調(diào)遞增.即在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,所以區(qū)間上最小值為而,故所以區(qū)間上最大值為.即相減得,即,又因?yàn)?所以無解.若,區(qū)間上單調(diào)遞增,區(qū)間上單調(diào)遞減,區(qū)間上單調(diào)遞增.即在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,所以區(qū)間上最小值為而,故所以區(qū)間上最大值為.即相減得,解得,又因?yàn)?所以無解.若,區(qū)間上單調(diào)遞增,區(qū)間上單調(diào)遞減,區(qū)間上單調(diào)遞增.所以有區(qū)間上單調(diào)遞減,所以區(qū)間上最大值為,最小值為即解得.綜上得或.一、把研究函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為解不等式此類問題,若a為參數(shù),要注意分進(jìn)行討論,還要注意這一條件.【例1】【天津市耀華中學(xué)2019屆高三二?！恳阎瘮?shù),（為自然對數(shù)的底）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在均屬于區(qū)間的,,且,使,證明：；（3）對于函數(shù)與定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),若存在常數(shù),,使得和都成立,則稱直線為函數(shù)與的分界線.試探究當(dāng)時(shí),函數(shù)與是否存在“分界線”？若存在,請給予證明,并求出,的值；若不存在,請說明理由.【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式,然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)結(jié)合(1)中的結(jié)論首先確定的范圍,然后結(jié)合函數(shù)的解析式和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的不等式；(3)首先求得函數(shù)的最小值,然后結(jié)合題意猜出k,e的值并進(jìn)行證明即可.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?且當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),,,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．（2）,由（1）知,又,,所以,∴,即,所以．（3）設(shè),則則當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增．∴是函數(shù)的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn),∴．∴函數(shù)與的圖象在處有公共點(diǎn)．設(shè)與存在“分界線”且方程為,令函數(shù)①由,得在上恒成立,即在上恒成立,∴,即,∴,故．②下面說明：,即恒成立．設(shè),則∵當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,∴當(dāng)時(shí),取得最大值0,．∴成立．綜合①②知,且,故函數(shù)與存在“分界線”,此時(shí),．【點(diǎn)評】本題第一問研究的單調(diào)性,可轉(zhuǎn)化為解不等式.【對點(diǎn)訓(xùn)練】【遼寧省葫蘆島市2019屆高三二?！恳阎瘮?shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)令,當(dāng),時(shí),證明：.【分析】（1）先求得函數(shù)的定義域,然后對函數(shù)求導(dǎo),對分成兩種情況,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）用分析法,將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為①,利用構(gòu)造函數(shù)的方法結(jié)合導(dǎo)數(shù),證得,以及,由此證得①成立,進(jìn)而證得題目所給不等式成立.【解析】(1)的定義域,當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),令,可得；令可得；則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)時(shí),要證明成立,即證：令,令所以,在單調(diào)遞增；在遞減.又由已知,可知在上為減函數(shù)故,即令,當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增.故,即.故原不等式成立.二、把研究函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為解不等式求解此類問題,要注意,若,則恒成立,若,則恒成立.【例2】【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2019屆高三4月考試】設(shè)定義在上的函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）定義:如果實(shí)數(shù)滿足,那么稱比更接近.對于（2）中的及,問:和哪個(gè)更接近？并說明理由.【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)的取值范圍,分類討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）存在,使得成立,即成立.根據(jù)（1）的分類情況進(jìn)行討論分析,最后求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）構(gòu)造函數(shù)：,,分別求導(dǎo),求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)單調(diào)區(qū)間進(jìn)行分類討論：,判斷函數(shù)的正負(fù)性,從而判斷出和哪個(gè)更接近.【解析】（1）當(dāng)時(shí),,在R上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí),由,得,即,由,得.∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為；（2）存在,使得成立,即成立.由（1）知,當(dāng)時(shí),在上為增函數(shù),則,不滿足成立,當(dāng)時(shí),若,則在上為增函數(shù),則,不滿足成立,若,即,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是；（3）令,,在上單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),；,在上單調(diào)遞增,故,則在上單調(diào)遞增,.①當(dāng),令.,故在上單調(diào)遞減,,即,∴比更接近；②當(dāng)時(shí),令,,故在上單調(diào)遞減,,即,∴比更接近.綜上,當(dāng)及時(shí),比更接近.【對點(diǎn)訓(xùn)練】【湖南長沙第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期模擬】已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性（2）函數(shù),且．若在區(qū)間（0,2）內(nèi)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解析】（1）f′（x）ex﹣m,①當(dāng)時(shí),成立,在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí),令,得,則在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.（2）,設(shè)是在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),因?yàn)?,可知在區(qū)間上不單調(diào),故在區(qū)間存在零點(diǎn)；同理：由,可知在區(qū)間上存在零點(diǎn),即在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)不同零點(diǎn)及.由（1）知,,得,此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.由,知,所以,則；故只需：,解得：.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.三、把研究函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一元二次不等式在R上的解集此類問題一般為三次函數(shù)或形如的函數(shù)【例3】【天津市紅橋區(qū)2019屆高三一?！恳阎瘮?shù),.（1）若,求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的范圍.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函的遞減區(qū)間即可；（2）問題等價(jià)于在x∈（0,+∞）上恒成立,令,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．【解析】（1）f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a）由f'（x）＜0且a＜0得：∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（2）依題意x∈（0,+∞）時(shí),不等式2xlnx≤f'（x）+a2+1恒成立,等價(jià)于在x∈（0,+∞）上恒成立．令則當(dāng)x∈（0,1）時(shí),h'（x）＞0,h（x）單調(diào)遞增當(dāng)x∈（1,+∞）時(shí),h'（x）＜0,h（x）單調(diào)遞減∴當(dāng)x＝1時(shí),h（x）取得最大值h（1）＝﹣2故a≥﹣2.【點(diǎn)評】求含有參數(shù)的一元二次不等式的解集,若能因式分解,則根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)或根的大小進(jìn)行討論,若不能因式分解,則根據(jù)判別式的符號(hào)進(jìn)行討論.【對點(diǎn)訓(xùn)練】已知,設(shè)函數(shù).（1）討論單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.【解析】（1）.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),由得或,因?yàn)?所以當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在,單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí),,且時(shí),,于是等價(jià)于.若,當(dāng)時(shí),不成立.若,設(shè),.函數(shù)在單調(diào)遞增,所以.當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞增,所以.當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以存在唯一,使得當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減,,不成立.綜上,的取值范圍為.四、把研究函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為解不等式求解此類問題,首先根據(jù)a的符號(hào)進(jìn)行討論,當(dāng)a的符號(hào)確定后,再根據(jù)是否在定義域內(nèi)討論,當(dāng)都在定義域內(nèi)時(shí)在根據(jù)的大小進(jìn)行討論.【例4】【山西省晉城市2019屆高三第三次模擬】已知函數(shù).（1）若,討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若,證明：.【分析】（Ⅰ）求導(dǎo),由,得或,討論兩者大小關(guān)系確定的正負(fù)得單調(diào)性即可；（Ⅱ）證,等價(jià)為整理得,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)確定其最小值即可證明【解析】（1）依題意,,.令,則或.當(dāng)時(shí),,由得,由得；當(dāng)時(shí),；當(dāng)且,即時(shí),由得,由得或；當(dāng),即時(shí),由得,由得或.綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.（2）要證：.即證：,即證：,即證：.令..因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以,即.故當(dāng)時(shí),.【對點(diǎn)訓(xùn)練】【晉冀魯豫中原名校2019屆高三第三次聯(lián)考】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題意知,的定義域?yàn)?由,得.①當(dāng)時(shí),令,可得,,得,故函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí),,令,可得,,得或,故的增區(qū)間為,減區(qū)間為、；③當(dāng)時(shí),,故函數(shù)的減區(qū)間為；④當(dāng)時(shí),,令,可得,,得,或,故的增區(qū)間為,減區(qū)間為,.綜上所述：當(dāng)時(shí),在上為減函數(shù),在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí),在,上為減函數(shù),在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí),在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí),在,上為減函數(shù),在上為增函數(shù).（2）由（1）可知：①當(dāng)時(shí),,此時(shí)；②當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),有,,可得,不符合題意；③當(dāng)時(shí),,由函數(shù)的單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),不符合題意；④當(dāng)時(shí),,由函數(shù)的單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),不符合題意.綜上可知,所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.五、把研究函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為解不等式,然后根據(jù)判別式的符號(hào)進(jìn)行討論求解此類問題既要考慮判別式的符號(hào),又要注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào),還要注意定義域.【例5】【廣東省2019屆高三適應(yīng)性考試】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【分析】（1）討論a的范圍,得出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集,得出f（x）的單調(diào)性；（2）求出f（x）的極大值,判斷極大值小于0,根據(jù)f（x）的單調(diào)性得出f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】（1）,令,其對稱軸為,令,則.當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),對稱軸為,若,即,恒成立,所以,所以在上單調(diào)遞增；若時(shí),設(shè)的兩根,,當(dāng)時(shí),,所以,所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,所以,所以在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,所以,所以在上單調(diào)遞增,綜上所述：當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增；若時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí),由（1）知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,下面研究的極大值,又,所以,令,則（）,可得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且的極大值,所以,所以,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,且,,所以存在,使得,又當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,所以只有一個(gè)零點(diǎn),綜上所述,當(dāng)時(shí),在上只有一個(gè)零點(diǎn).【對點(diǎn)訓(xùn)練】【湖北部分重點(diǎn)中學(xué)2020屆高三年級新起點(diǎn)考試】已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若為的兩個(gè)極值點(diǎn),證明：.【解析】（1）的定義域?yàn)?,對于函數(shù),①當(dāng)時(shí),即時(shí),在恒成立．在恒成立,在為增函數(shù)；②當(dāng),即或時(shí),當(dāng)時(shí),由,得或,,在為增函數(shù),減函數(shù),為增函數(shù),當(dāng)時(shí),由在恒成立,在為增函數(shù)．綜上,當(dāng)時(shí),在為增函數(shù),減函數(shù),為增函數(shù)；當(dāng)時(shí),在為增函數(shù)．（2）由（1）知,且,故故只需證明,令,故,原不等式等價(jià)于對成立,令,所以單調(diào)遞減,有得證.1.設(shè),,其中實(shí)數(shù)（1）若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),且存在最小值時(shí),記的最小值為,求的值域；（3）若與均在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),求的取值范圍.【解析】（1）∵f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1,∴f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a）,∵a＞0,∴由f′（x）＞0,得x．∴f（x）的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為（2）由函數(shù)y＝f（x）,y＝g（x）關(guān)于x方程：x3+ax2﹣a2x+1＝ax2﹣2x+1,即x3﹣（a2﹣2）x＝0只有一個(gè)實(shí)根,x=0滿足題意,∴x2﹣（a2﹣2）＝0在x時(shí)無根,∴a2﹣2≤0,解得．二次函數(shù)y＝g（x）存在最小值,∴a＞0,∴∵g（x）＝ax2﹣2x+1＝a（x）21,∴,∴h（a）的值域?yàn)椋?）∵g（x）＝ax2﹣2x+