對未來數(shù)學(xué)的展望

對未來數(shù)學(xué)的展望對未來數(shù)學(xué)的展望一、高數(shù)的發(fā)展高等數(shù)學(xué)是一門古老的自然學(xué)科，它以微積分為主要研究對象。如果將整個數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。從17天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量，數(shù)學(xué)進入了“變量數(shù)學(xué)”時代，即微積分不斷完善成為一門學(xué)科。整個17世紀(jì)有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究，但使微積分成為數(shù)學(xué)的一個重要分支的還是牛頓和萊布尼茨。但是，微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前3世紀(jì)古希臘的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德（公元前 287—前212）的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。作為微積分的基礎(chǔ)極限理論來說，早在我國的古代就有非常詳盡的論述，比如莊周所著的《莊子》一書中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。他在1615年《測量酒桶體積的新科學(xué)》一書中，就把曲線這些都可視為典型極限思想的佳作。意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》，就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的。這些都為后來的微積分的誕生作了思想準(zhǔn)備。數(shù)學(xué)成果得到進一步鞏固、充實和擴大，而且由于實踐的需要，開始研究運動著的物體和變化的量，這樣就獲得了變量的概念，研究變化著的量的一般性和它們間的依賴關(guān)系。到了17世紀(jì)下半葉，在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上，英國大數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家艾薩克·牛頓（1642-1727）是從物理學(xué)的角度研究微積分的，他為了解決運動問題，創(chuàng)立了一種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論，即牛頓稱之為“流數(shù)術(shù)”的理論，這實際上就是微積分理論。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數(shù)術(shù)和無窮極數(shù)》。這些概念是力學(xué)概念的數(shù)學(xué)反映。牛頓認(rèn)為任何運動存在于空間，賴于時間，因而他把時間作為自變量，把和時間有關(guān)的固變量作為流量，不僅這樣，他還把幾何圖形——線、角、體，都看作力學(xué)位移的結(jié)果。因而，一切變量都是流量。牛頓指出，“流數(shù)術(shù)”基本上包括三類問題。微分學(xué)。這相當(dāng)于積分學(xué)，牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數(shù)，還包括解微分方程。線的切線和曲率，求曲線長度及計算曲變形面積等。牛頓已完全清楚上述（1）（2）兩類問題中運算是互逆的運算，1665年5月20日的一份手稿中提到“流數(shù)術(shù)”，因為有人把這天作為誕生微積分的標(biāo)志。在牛頓和萊布尼茨之前至少有數(shù)十位數(shù)學(xué)家研究過，他們?yōu)槲⒎e分的誕生作了開創(chuàng)性貢獻。但是他們這些工作是零碎的，不連貫的，缺乏統(tǒng)一性。萊布尼茨創(chuàng)立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的。萊布尼茨是經(jīng)過研究曲線的切線和曲線包圍的面積，運用分析學(xué)方法引進微積分概念、得出運算法則的。牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運動學(xué)，造詣較萊布尼茨高一籌，但他的表達形式采用數(shù)學(xué)符號卻又遠遠優(yōu)于牛頓一籌，既簡潔又準(zhǔn)確地揭示出微積分的實質(zhì)，強有力地促進了高等數(shù)學(xué)的發(fā)展。萊布尼茨創(chuàng)造的微分和積分符號，正像印度——阿拉伯?dāng)?shù)字促進了算數(shù)與代數(shù)發(fā)展一樣，促進了微積分學(xué)的發(fā)展，他是數(shù)學(xué)史上最杰出的符號創(chuàng)造者之一。牛頓當(dāng)時采用的微分和積分符號現(xiàn)在不用了，而萊布尼茨所采用的符號現(xiàn)今仍在使用。萊布尼茨比別人更早更明確地認(rèn)識到，好的符號能大大節(jié)省思維勞動，運用符號的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。從17世紀(jì)到18程一個解法的證明》中給出了微分學(xué)的一個重要定理，也就是我們現(xiàn)在所說的羅爾微分中值定理。伯努利兄弟雅各布和約翰，他們的工作構(gòu)成了現(xiàn)今初等微積分的大部分內(nèi)容。其中，約翰給出了求未定式極限的一個定理，這個定理后由約翰的學(xué)生羅比達編入其微積分著作《無窮小分析》，現(xiàn)在通稱為羅比達法則。1715得的著名定理，即現(xiàn)在以他的名字命名的泰勒定理。后來麥克勞林重新得到泰勒公式的特殊情況，現(xiàn)代微積分教材中一直將這一特殊情形的泰勒級數(shù)稱為“麥克勞林”級數(shù)。理論和多重積分理論。由于微積分的迅猛發(fā)展，人們將微積分應(yīng)用到自然科學(xué)的各個方面，建立了不少一微積分為主的分支學(xué)科，如常微分方程、偏微分方程、變分法等等形成了數(shù)學(xué)的三大分支之一的‘分析’。但是微積分的基礎(chǔ)是不牢固的，尤其在適用無窮小概念上的隨意與混亂，引起了人們對他們理論的懷疑與批評。這方面的貢獻主要應(yīng)歸功于尼古拉·伯努利、歐拉和拉格朗日等數(shù)學(xué)家。加上貝努利，歐拉，傅里葉等科學(xué)家在研究的應(yīng)用數(shù)學(xué)問題之中的不斷研究，使的這門學(xué)科近乎完善，最終形成了以微積分為主要研究內(nèi)容的高等數(shù)學(xué)。直到19世紀(jì)，分析的嚴(yán)密性真正有影響的先驅(qū)則是偉大的法國數(shù)學(xué)家柯西?？挛鞣治龌A(chǔ)的最具代表性的著作是他的《分析教程》，《無窮小計算教程》以及《微分計算教程》?？挛鞯墓ぷ髟谝欢ǔ潭壬铣吻辶宋⒎e分基礎(chǔ)問題上長期存在的混亂，向分析的全面嚴(yán)格化邁出了關(guān)鍵的一步。微積分是與實際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運動三定律。它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)個分支中，有越來越廣泛的應(yīng)用。Riemann將Cauchy的積分含義擴展之后，Lebesgue又引進了測度的概念，進一步將Riemann積分的含義擴展。例如著名的Dirichilet函數(shù)在Riemann積分下不可積，而在Lebesgue我國的數(shù)學(xué)泰斗陳省身先生所研究的微分幾何領(lǐng)域，便是利用微積分的理論來研究幾何，這門學(xué)科對人類認(rèn)識時間和空間的性質(zhì)發(fā)揮的巨大的作用。并且這門學(xué)科至今仍然很活躍。前不久由我國數(shù)學(xué)家朱熹平、曹懷東完成最后封頂?shù)凝嫾尤R猜想便屬于這一領(lǐng)域。微積分的發(fā)展歷史表明了人的認(rèn)識是從生動的直觀開始，進而達到抽象思維，也就是從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過程。人類對客觀世界認(rèn)識將一步一步地由低級到高級、由不全面到比較全面地發(fā)展。人類對自然的探索永遠不會有終點。二、高數(shù)的未來展望高等數(shù)學(xué)在當(dāng)今社會有著廣泛的應(yīng)用。如：計算機方面、電子應(yīng)用方面、航天技術(shù)方面、醫(yī)學(xué)方面等等眾多領(lǐng)域都起著巨大的作用！特別是計算機的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。在計算機領(lǐng)域，計算機中許多地方要用到數(shù)學(xué)模型，特別是算法復(fù)雜度，人工智能、業(yè)務(wù)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)建模等等，都需要有一定的數(shù)學(xué)功底。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計算機的應(yīng)用與普及，數(shù)學(xué)方法在醫(yī)藥學(xué)中的應(yīng)用日益廣泛和深入。醫(yī)藥學(xué)科逐步由傳統(tǒng)的定性描述階段