《有限差分法基礎(chǔ)》第2章 數(shù)值模擬方法概述

第2章數(shù)值模擬方法概述

廖敦明華中科技大87558134liaodunming@

華中科技大學(xué)材料學(xué)院華鑄軟件中心

材料成形與模具技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室《有限差分法基礎(chǔ)》講義整理ppt第一節(jié)研究目的與研究?jī)?nèi)容（1/13）1．研究目的

數(shù)值模擬(CAE)技術(shù)是通過(guò)建立能夠準(zhǔn)確描述研究對(duì)象某一過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，采用合適可行的求解方法，使得在計(jì)算機(jī)上模擬仿真出研究對(duì)象的特定過(guò)程，分析有關(guān)影響因素，預(yù)測(cè)這一特定過(guò)程的可能趨勢(shì)與結(jié)果。材料成形數(shù)值模擬CAE技術(shù)最終的研究目的是在計(jì)算機(jī)虛擬的環(huán)境下，通過(guò)交互方式，能夠制定合理的工藝，而不需要或少做現(xiàn)場(chǎng)試生產(chǎn)。從而可以大幅度縮短新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)周期，降低廢品率，提高經(jīng)濟(jì)效益。

2、材料成形數(shù)值模擬的意義求解材料成形過(guò)程中工件和模具的溫度場(chǎng)、流動(dòng)場(chǎng)、位移場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)等，預(yù)測(cè)工件組織性能變化及可能出現(xiàn)的缺陷。檢驗(yàn)工件的最終形狀、尺寸、性能等是否符合設(shè)計(jì)要求，正確選用機(jī)器設(shè)備和模具材料。在新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)時(shí)，能使得產(chǎn)品設(shè)計(jì)、工裝模具設(shè)計(jì)和制造等相關(guān)工作同時(shí)展開(kāi)，即實(shí)現(xiàn)并行工程。降低成本、提高質(zhì)量、縮短產(chǎn)品交貨期。第一節(jié)研究目的與研究?jī)?nèi)容（2/13）整理ppt

3、數(shù)值模擬的基本特點(diǎn)將微分方程（組）邊值問(wèn)題的求解域進(jìn)行離散化，將原來(lái)欲求得在求解域內(nèi)處處滿足場(chǎng)方程、在邊界上處處滿足邊界條件的解析解的要求降低為求得在給定的離散點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）上滿足由場(chǎng)方程和邊界條件所導(dǎo)出的一組代數(shù)方程的數(shù)值解。從而將一個(gè)連續(xù)的、無(wú)限自由度問(wèn)題變成離散的、有限自由度問(wèn)題。第一節(jié)研究目的與研究?jī)?nèi)容（3/13）整理ppt第一節(jié)研究目的與研究?jī)?nèi)容（4/13）4．研究?jī)?nèi)容

(1)溫度場(chǎng)模擬(2)流動(dòng)場(chǎng)模擬(3)流動(dòng)與傳熱耦合計(jì)算(4)應(yīng)力場(chǎng)模擬(5)組織模擬(6)其它過(guò)程模擬第一節(jié)研究目的與研究?jī)?nèi)容（5/13）-溫度場(chǎng)模擬第一節(jié)研究目的與研究?jī)?nèi)容（6/13）-溫度場(chǎng)模擬第一節(jié)研究目的與研究?jī)?nèi)容（7/13）-流動(dòng)場(chǎng)模擬原始工藝速度分布改進(jìn)工藝速度分布第一節(jié)研究目的與研究?jī)?nèi)容（8/13）-流動(dòng)場(chǎng)模擬第一節(jié)研究目的與研究?jī)?nèi)容（9/13）-流動(dòng)與傳熱耦合計(jì)算第一節(jié)研究目的與研究?jī)?nèi)容（10/13）-流動(dòng)與傳熱耦合計(jì)算第一節(jié)研究目的與研究?jī)?nèi)容（11/13）-應(yīng)力場(chǎng)模擬第一節(jié)研究目的與研究?jī)?nèi)容（12/13）-組織模擬第一節(jié)研究目的與研究?jī)?nèi)容（13/13）-其它過(guò)程模擬第二節(jié)數(shù)值分析方法（1/6）數(shù)值模擬中常用的方法包括:1、有限差分法/FDM（FiniteDifferenceMethod）2、有限元法/FEM（FiniteElementMethod）3、邊界元法/BEM（BoundaryElementMethod）第二節(jié)數(shù)值分析方法（2/6）-有限差分法/FDM

密執(zhí)安大學(xué)的Pehlke教授為首的研究小組從1968年開(kāi)始相繼以顯式有限差分、交替隱式和Saul’yev有限差分格式建立了數(shù)值計(jì)算模型，對(duì)T形、L形鑄鋼件進(jìn)行計(jì)算，給出了溫度場(chǎng)、等溫線和等時(shí)線分布圖。因此，有限差分法成了最早使用的方法，也是在諸多商品化軟件中應(yīng)用最廣的。它又包括顯式有限差分法、隱式有限差分法、交替隱式有限差分法和Saul’yev有限差分法、控制體積法等。

有限差分方法，其實(shí)質(zhì)就是將求解區(qū)域劃分為有限個(gè)網(wǎng)格單元，將微分問(wèn)題化為差分問(wèn)題，離散化得到差分格式，利用差分格式來(lái)求解相應(yīng)問(wèn)題。用有限差分來(lái)求解材料成形過(guò)程中的不同物理場(chǎng),如流動(dòng)場(chǎng)、溫度場(chǎng)等，可按如下的步驟進(jìn)行：將材料成形過(guò)程所涉及的區(qū)域在空間和時(shí)間上進(jìn)行離散化處理；設(shè)定物性條件、初始條件和邊界條件；推導(dǎo)出單元差分格式；求解過(guò)程計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，由計(jì)算機(jī)算出結(jié)果，得到材料成形過(guò)程各物理場(chǎng)相關(guān)結(jié)果。

有限差分法把基本方程和邊界條件（微分方程）近似地改用差分方程表示（以差分代微分），把求解微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解代數(shù)方程的問(wèn)題。

有限差分網(wǎng)格

第二節(jié)數(shù)值分析方法（3/6）-有限差分法/FDM整理ppt有限差分法數(shù)值模擬實(shí)例(a)電機(jī)殼壓鑄件溫度分布圖(b)滑輪液相分布圖整理ppt第二節(jié)數(shù)值分析方法（4/6）-有限元法/FEM

有限單元法是隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展起來(lái)的一種現(xiàn)代計(jì)算方法。現(xiàn)在已廣泛應(yīng)用于求解連續(xù)體力學(xué)、熱傳導(dǎo)、電磁場(chǎng)、流體力學(xué)等領(lǐng)域。有限差分法的缺點(diǎn)是網(wǎng)格形狀固定，在曲面離散時(shí)會(huì)有階梯現(xiàn)象，有限單元法則克服了這一缺點(diǎn)，單元?jiǎng)澐指`活，對(duì)曲面可以實(shí)現(xiàn)很好的擬合，但其離散算法復(fù)雜，對(duì)硬件要求高。第二節(jié)數(shù)值分析方法（4/6）-有限元法/FEM有限元法又可分為位移法、利用余位進(jìn)行變化的方法和用混合積分的混合法三種。

有限元法的位移法，其實(shí)質(zhì)就是將求解區(qū)域劃分為有限個(gè)單元，通過(guò)構(gòu)造插值函數(shù)，把問(wèn)題化為一個(gè)變分問(wèn)題（即求泛函數(shù)值的問(wèn)題），經(jīng)過(guò)離散化得到計(jì)算格式，利用計(jì)算格式來(lái)求解相應(yīng)問(wèn)題。變分法證明求解某些微分方程的問(wèn)題等效于將泛函數(shù)的相關(guān)量進(jìn)行最小化。如果相關(guān)于因變量的節(jié)點(diǎn)值使泛函數(shù)最小，那么所得到的條件表達(dá)式就是所需要的離散化方程。也就是說(shuō)，求解一個(gè)微分方程邊值問(wèn)題就可以通過(guò)尋找某一變分問(wèn)題的極值函數(shù)來(lái)解決。有限元解題的基本過(guò)程:對(duì)一個(gè)具體的工程應(yīng)用分析，在確定了分析計(jì)算的基本方案后，就可以按建模（即建立幾何模型）、分網(wǎng)（即建立有限元模型）、加載（即給定邊界條件）、求解（有限元求解）和后處理（即計(jì)算結(jié)果的可視化）等幾個(gè)步驟實(shí)施分析計(jì)算。第二節(jié)數(shù)值分析方法（5/6）-有限元法/FEM采用有限元求解的基本過(guò)程包含如下幾步：第1步：定義形函數(shù)，然后通過(guò)單元節(jié)點(diǎn)變量（如位移）來(lái)描述單元域內(nèi)連續(xù)的變量。第2步：定義單元本構(gòu)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)各種加載，如應(yīng)力、應(yīng)變和熱流等，建立相應(yīng)的本構(gòu)方程。第3步：形成單元?jiǎng)偠染仃?，利用?jié)點(diǎn)的位移分量和應(yīng)變、應(yīng)力以及節(jié)點(diǎn)內(nèi)力之間的關(guān)系，建立單元與外界環(huán)境的平衡關(guān)系。第4步：集成。將覆蓋結(jié)構(gòu)全域的所有單元的剛度矩陣和節(jié)點(diǎn)外力對(duì)平衡的貢獻(xiàn)集成，形成整體剛度矩陣，建立整體結(jié)構(gòu)的平衡方程。第5步：求解平衡方程。給定初始條件和邊界條件，如指定一些節(jié)點(diǎn)的位移后，求解整體結(jié)構(gòu)的平衡方程。第6步：回代。根據(jù)計(jì)算出的節(jié)點(diǎn)變量，代入第2步的表達(dá)式，獲得單元應(yīng)力、應(yīng)變或溫度熱流等變量。顏色表示應(yīng)力分布，形狀表示彈性變形大小有限元法數(shù)值模擬實(shí)例CycleAveragedDieTemperatureOriginalCoolingImprovedCooling60056052048044040036032028024020016012080400degreesCelsius23整理pptFEM智能化網(wǎng)格劃分(華鑄課題組成果)-熱應(yīng)力模擬及熱裂紋預(yù)測(cè)FEM智能化網(wǎng)格劃分導(dǎo)入鑄造工藝的裝配體STL幾何模型(華鑄課題組成果)-熱應(yīng)力模擬及熱裂紋預(yù)測(cè)智能化生成四面體有限元網(wǎng)格開(kāi)始網(wǎng)格劃分按鈕FEM智能化網(wǎng)格劃分(華鑄課題組成果)-熱應(yīng)力模擬及熱裂紋預(yù)測(cè)FEM智能化網(wǎng)格劃分(華鑄課題組成果)-熱應(yīng)力模擬及熱裂紋預(yù)測(cè)FEM智能化網(wǎng)格劃分(華鑄課題組成果)-熱應(yīng)力模擬及熱裂紋預(yù)測(cè)FEM熱應(yīng)力模擬大型軋輥鑄件FEM熱應(yīng)力模擬同樣預(yù)測(cè)出斷裂位置出現(xiàn)應(yīng)力和應(yīng)變集中現(xiàn)象貫穿的高溫等效應(yīng)變貫穿的等效應(yīng)變集中貫穿的較大等效應(yīng)力(華鑄課題組成果)-熱應(yīng)力模擬及熱裂紋預(yù)測(cè)新進(jìn)展-熱應(yīng)力模擬及熱裂紋預(yù)測(cè)整理pptFEM熱應(yīng)力模擬行星架鑄件熱裂傾向較大裂紋(華鑄課題組成果)-熱應(yīng)力模擬及熱裂紋預(yù)測(cè)整理ppt數(shù)控機(jī)床橫梁鑄件長(zhǎng)約11米，重約30噸，最薄壁厚只有30毫米。FEM熱應(yīng)力模擬(華鑄課題組成果)整理ppt鑄造成形模擬仿真技術(shù)橫梁鑄件等效應(yīng)變分布及變形情況（變形放大10倍）FEM熱應(yīng)力模擬(華鑄課題組成果)整理ppt二、鑄造過(guò)程溫度場(chǎng)應(yīng)力場(chǎng)數(shù)值模擬自主開(kāi)發(fā)鑄件變形過(guò)程模擬整理ppt有限分析單元離散（網(wǎng)格剖分）實(shí)例(a)實(shí)體模型

(b)有限元模型

(c)有限差分模型

整理pptFEM與FDM的比較整理pptFDM網(wǎng)格劃分——對(duì)比(華鑄課題組成果)-熱應(yīng)力模擬及熱裂紋預(yù)測(cè)FDM網(wǎng)格FEM網(wǎng)格第二節(jié)數(shù)值分析方法（6/6）-邊界元法/BEM

邊界元法（boundaryelementmethod）是一種繼有限元法之后發(fā)展起來(lái)的一種新數(shù)值方法，與有限元法在連續(xù)體域內(nèi)劃分單元的基本思想不同，邊界元法是只在定義域的邊界上劃分單元，用滿足控制方程的函數(shù)去逼近邊界條件。邊界元法在原理上不同于上述幾種方法。用邊界元法處理恒定問(wèn)題時(shí)只須對(duì)邊界進(jìn)行分割即可，非常方便，具有受分割單元的形狀和大小限制小的優(yōu)點(diǎn)。但是采用邊界元法，其計(jì)算公式的推導(dǎo)和程序?qū)崿F(xiàn)很復(fù)雜，而且必須解聯(lián)立方程式，目前邊界元法應(yīng)用很少。第三節(jié)CAE軟件組成（1/5）三大基本組成模塊及作用：前處理：離散模型，進(jìn)行網(wǎng)格劃分，

構(gòu)造出迭代計(jì)算的數(shù)組空間。計(jì)算分析：迭代計(jì)算求解各種物理場(chǎng)：

溫度場(chǎng)、流動(dòng)場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)等。后處理：對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行可視化，

形成圖像、圖形、或動(dòng)畫。整理ppt第三節(jié)CAE軟件組成（2/5）材料成形CAE軟件系統(tǒng)的組成及流程第三節(jié)CAE軟件組成（3/5）-前處理模塊前處理包含三維造型及網(wǎng)格剖分兩大部分。造型主要是將要進(jìn)行分析的對(duì)象輸入計(jì)算機(jī)；網(wǎng)格剖分則是將已輸入的對(duì)象剖分成計(jì)算所需的網(wǎng)格單元。最開(kāi)始的CAE軟件系統(tǒng)一般自帶一個(gè)簡(jiǎn)單的造型系統(tǒng)，但由于現(xiàn)在通用的造型軟件如UG，Pro/E，I-DEAS，SolidWorks，MDT，AutoCAD，金銀花，電子圖板等已經(jīng)比較成熟，基本可以滿足各種不同場(chǎng)合的需要?，F(xiàn)在許多CAE系統(tǒng)已不再提供單獨(dú)的造型系統(tǒng)，而是通過(guò)一定文件格式和通用的商品化造型系統(tǒng)進(jìn)行接口，如STEP、IGES、STL文件格式等。

所以現(xiàn)在大部分CAE系統(tǒng)的前處理模塊的主要功能就是對(duì)采用商品化造型軟件所建立的模型進(jìn)行網(wǎng)格剖分，得到原本是連續(xù)對(duì)象的離散模型，這就是空間上的離散。離散模型根據(jù)采用不同的數(shù)值計(jì)算方法，可以分為有限元模型、有限差分模型、直接差分模型、邊界元模型等，現(xiàn)階段采用較多的是有限元模型和有限差分模型。第三節(jié)CAE軟件組成（4/5）-計(jì)算分析模塊

計(jì)算分析模塊是對(duì)利用前處理模塊剖分所得的離散模型進(jìn)行各物理場(chǎng)模擬分析。計(jì)算分析模塊一般包括如下步驟：首先要數(shù)學(xué)模型進(jìn)行離散，求出前處理模塊剖分所得到的離散模型所對(duì)應(yīng)的離散格式；然后設(shè)置對(duì)應(yīng)的初始條件和邊界條件；最后進(jìn)行求解并保存各物理場(chǎng)的分布情況。