第18講多邊形與平行四邊形

第18講多邊形與平行四邊形廣西專用1．多邊形和正多邊形的概念及性質多邊形(n≥3)概念在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形內角和______________________外角和360°對角線__________________條(n－2)·180°2．平行四邊形的性質以及判定(1)性質：文字描述字母表示(1)兩組對邊分別_______AB∥CD，AD∥BC(2)兩組對邊分別_______AB＝CD，AD＝BC(3)兩組對角分別________∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC(4)對角線互相_______AO＝CO，DO＝BO(5)平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心平行相等相等平分文字描述字母表示(1)有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形∵AB∥CD,AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形(2)有兩組對邊分別______的四邊形是平行四邊形∵AB＝CD,AD＝BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形(3)有一組對邊____________的四邊形是平行四邊形∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形∵∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝∠ABC，∴四邊形ABCD是平行四邊形(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形∵AO＝CO,BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形相等平行且相等1．利用平行四邊形性質進行有關計算的一般思路為：(1)運用平行四邊形的性質轉化角度或線段之間的等量關系：①對邊平行可得相等的角，進而可得相似三角形；②對邊相等、對角線互相平分可得相等的線段；③當有角平分線的條件時，可利用“平行＋角平分線可得等腰三角形”的結論得到等角、等邊．(2)找到所求線段或角所在的三角形，若三角形為特殊三角形，則注意運用特殊三角形的性質求解；若三角形為任意三角形，可以利用某兩個三角形全等或相似的性質進行求解，有時還可利用三角形的中位線等知識求解．2．在判定四邊形為平行四邊形時，關鍵是選擇判定的方法．可以從邊、角、對角線三個方面加以分析：(1)若已知一組對邊相等，則需證這組對邊平行或者另外一組對邊相等；若已知一組對邊平行，則需證明這組對邊相等或者另外一組對邊平行；(2)若已知一組對角相等，則需證另一組對角相等；(3)若已知一條對角線平分另一條對角線，則需證對角線互相平分．3．四種常用的輔助線(1)常用連對角線的方法把四邊形問題轉化為三角形的問題；(2)有平行線時，常作平行線構造平行四邊形；(3)有中線時，常作加倍中線構造平行四邊形；(4)圖形具有等鄰邊特征時(如：等腰三角形、等邊三角形、菱形、正方形等)，可以通過引輔助線把圖形的某一部分繞等鄰邊的公共端點旋轉到另一位置．1．(2016·來賓)如果一個正多邊形的一個外角為30°，那么這個正多邊形的邊數(shù)是()A．6B．11C．12D．182．(2016·河池)如圖，在?ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠BED＝150°，則∠A的大小是()A．150°B．130°C．120°D．100°CC3．(2016·柳州)如圖，若?ABCD的面積為20，BC＝5，則邊AD與BC間的距離為____．44．(2016·桂林)如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點，連接BE，DF.(1)根據題意，補全圖形；(2)求證：BE＝DF.多邊形的內角和與外角和【例1】

(1)(2016·柳州)在四邊形ABCD中，若∠A＋∠B＋∠C＝260°，則∠D的度數(shù)為()A．120°B．110°C．100°D．40°(2)(2016·桂林)正六邊形的每個外角是____度．【點評】根據多邊形的內角和及外角和公式求正多邊形的外角，解答時要會根據公式進行正確的運算、變形和數(shù)據處理．C60[對應訓練]1．(1)(2015·南寧)一個正多邊形的內角和為540°，則這個正多邊形的每一個外角等于()A．60°

B．72°

C．90°

D．108°(2)(2016·梧州)若一個正多邊形的一個外角等于18°，則這個正多邊形的邊數(shù)是____．(3)(2016·來賓)若一個多邊形內角和為900°，則這個多邊形是____邊形．B20七平行四邊形的性質D

【點評】平行四邊形對邊相等，對邊平行，對角相等，鄰角互補，對角線互相平分，利用這些性質可以解決與平行四邊形相關的問題，也可將四邊形的問題轉化為三角形的問題．[對應訓練]2．(1)(2015·百色)如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，BC＝9，AC＝8，BD＝14，則△AOD的周長為____．

20(2)(2016·百色)已知平行四邊形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于點E，AF∥CE，且交BC于點F.①求證：△ABF≌△CDE；②如圖，若∠1＝65°，求∠B的大?。叫兴倪呅蔚呐卸?/p>

【例3】

(2015·桂林)如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點．(1)求證：四邊形EBFD為平行四邊形；(2)對角線AC分別與DE，BF交于點M，N，求證：△ABN≌△CDM.【點評】探索平行四邊形成立的條件，有多種方法判定平行四邊形：①若條件中涉及角，考慮用“兩組對角分別相等”或“兩組對邊分別平行”來證明；②若條件中涉及對角線，考慮用“對角線互相平分”來證明；③若條件中涉及邊，考慮用“兩組對邊分別平行”或“一組對邊平行且相等”來證明，也可以巧添輔助線，構建平行四邊形．[對應訓練]3．(2016·衢州)已知直角坐標系內有四個點O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形，則x＝______________