高等數(shù)學(xué)課件常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第一節(jié)

高等數(shù)學(xué)課件常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第一節(jié)第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件

四、柯西收斂準(zhǔn)則第一節(jié)

第十一章第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

引例1.

用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個(gè)和逼近于圓的面積A.設(shè)a0

表示即內(nèi)接正三角形面積,ak

表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積,則圓內(nèi)接正第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二引例2.小球從1米高處自由落下,每次跳起的高度減少一半,問小球是否會(huì)在某時(shí)刻停止運(yùn)動(dòng)?說明道理.由自由落體運(yùn)動(dòng)方程知?jiǎng)t小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(s)設(shè)

tk

表示第k

次小球落地的時(shí)間,第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱上式為無窮級(jí)數(shù)，其中第

n

項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前

n

項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.次相加,簡(jiǎn)記為收斂,則稱無窮級(jí)數(shù)并稱S

為級(jí)數(shù)的和,記作第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散.顯然第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二例1.討論等比級(jí)數(shù)(又稱幾何級(jí)數(shù))(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級(jí)數(shù)收斂,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散.其和為第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二2).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂;時(shí),等比級(jí)數(shù)發(fā)散.則級(jí)數(shù)成為不存在,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二例2.

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二

例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:故原級(jí)數(shù)收斂,其和為第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.

若級(jí)數(shù)收斂于S,則各項(xiàng)乘以常數(shù)

c

所得級(jí)數(shù)也收斂,證:令則這說明收斂,其和為cS.

說明:級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)2.

設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:

令則這說明級(jí)數(shù)也收斂,其和為第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二說明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減.(用反證法可證)第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證:

將級(jí)數(shù)的前k項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況.極限狀況相同,故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)4.

收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:

設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列,推論:

若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意:

收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:

考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件

設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:

可見:若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散.例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散.事實(shí)上,假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.參見教材P103另一證法第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二例5.

判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而這說明級(jí)數(shù)(1)發(fā)散.第20頁，共22頁，2023