高中數(shù)學(xué)考點13 定積分與微積分基本定理

考點13定積分與微積分基本定理具體要求為：(1)了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.(2)了解微積分基本定理的含義.一、定積分曲邊梯形的面積曲邊梯形：由直線、x=b(a≠b)、y=0和曲線y f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯如圖①)．求曲邊梯形面積的方法與步驟：①分割：把區(qū)間[a，b]分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形(如圖②)；“(如圖②)；③求和：把以近似代替得到的每個小曲邊梯形面積的近似值求和；的面積．求變速直線運(yùn)動的路程如果物體做變速直線運(yùn)動，速度函數(shù)為v=v(t)a≤t≤bs.定積分的定義和相關(guān)概念f[a,b]a=x0<x1<…<xi?1<xi<…<xn=b[a,b]n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi?1

,xi]

,…n，作和式n fii1

xn bafn i1

)；當(dāng)n→∞時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù) x)在區(qū)間a,]上的定積分，記作a

f(x)dx，即bf(x)dx=limn baf).a

n ii1在a

f(x)dx中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式．定積分的性質(zhì)bkfxdxk

fxdx(k為常數(shù))；a ab[f(x)g(x)]xbf(x)xbg(x)x；a a ab

f(xx=

f(xx+

f(x)dx(其中a<c<b)．a(chǎn) a c【注】定積分的性質(zhì)(3)稱為定積分對積分區(qū)間的可加性，其幾何意義是曲邊梯形ABCD的面積等于曲邊梯形AEFD與曲邊梯形EBCF的面積的和．定積分的幾何意義f(x)在區(qū)間[a,b]上恒為正時，定積分

bf(x)dxx=a，x=b(a≠b)，y=0和曲a線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積(圖①中陰影部分)．一般情況下，定積分

baf(x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線f(x)以及直線x=a，x=b之間的曲邊梯形(，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在x積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù)．常用結(jié)論)形來確定：設(shè)陰影部分面積為S,則Sa

fxx； (2)Sa

fxdx；(3)S

fxx

fxx； (4)S

fxxbgxxb[fxgx]x.a

c a a a變速直線運(yùn)動的路程做變速直線運(yùn)動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即s

bv(t)dta變力做功F(的作用下做直線運(yùn)動，如果物體沿著與FsFW=Fs.如果物體在變力 F(x)的作用下沿著與 F(x)相同的方向從x=a移動到x=b，則變力F(x)做的功WbF(x)dx.a二、微積分基本定理一般地，如果f,上的連續(xù)函數(shù)，且F)=f，那么ba

f(x)dx=F(b)?F(a)．這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茨公式，其中F(x)叫做f(x)的一個原函數(shù)．為了方便，我們常把FbFa記作F(x)b，即b

f(x)dx=F(x)=F(b)?F(a)．a(chǎn) a a【注】常見的原函數(shù)與被積函數(shù)的關(guān)系bCdxCx

(C為常數(shù))；a bxndx 1

xn1|b

(n1)；a n1 absindxcosxb；a abcosdxsinxb；ab1dxlnx

a(ba0)；ax abexdxexb；abaxdx

axa x

(a0,a1)；a lnaaba

xdx2x3|2b3 2b

(ba0).考向一 定積分的計算求定積分的三種方法()(2)利用微積分基本定理求定積分；(3)利用定積分的幾何意義求定積分．當(dāng)曲邊梯形面積易求時，可通過求曲邊梯形的面積求定積分．例如，1 1 1 π4定積分4

1x2dx的幾何意義是求單位圓面積的，所以 1x2dx= .0 4 0用牛頓萊布尼茨公式求定積分的步驟(2)把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；分別用求導(dǎo)公式找到一個相應(yīng)的原函數(shù)；(5).分段函數(shù)的定積分分段函數(shù)求定積分，可先把每一段函數(shù)的定積分求出后再相加．奇偶函數(shù)的定積分若奇函數(shù)=[?，a上連續(xù)，則aa若偶函數(shù)=g[?，a上連續(xù)，則a

f(x)dx0；g(x)dx2ag(x)dx.011x1x01A．2C．2【答案】A【解析】

B．1D．31x1x1(x)dxx1x2111 .10 0

2 0 2 2故選A．.1．已知函數(shù)fxx3e1dxx2f(1)2x，則ff( )1xA．－1

B．1C．－2

D．2考向二 利用定積分求平面圖形的面積利用定積分求平面圖形面積問題的常見類型及解題策略利用定積分求平面圖形面積的步驟①根據(jù)題意畫出圖形；②借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標(biāo)，確定積分的上、下限；③把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和；④計算定積分，寫出答案．知圖形的面積求參數(shù)定積分求出其面積，再由已知條件可找到關(guān)于參數(shù)的方程，從而可求出參數(shù)的值．與概率相交匯問題解決此類問題應(yīng)先利用定積分求出相應(yīng)平面圖形的面積，再用相應(yīng)概率公式進(jìn)行計算.典例2 設(shè)拋物線C：y=x2與直線l：y=1圍成的封閉圖形為P，則圖形P的面積S等于1A．1 B．32 4C．3【答案】Dyx2

D．3【解析】由 ，得x.y1S2(11

1x2dx)2(11 x31)4.10 3 0 31故選D.如圖，已知A0,1，點Px

x

0

x2上，若陰影部分面積與△OAP面積相等，則4 4 x .0

0 0 0考向三 定積分的物理意義利用定積分解決變速直線運(yùn)動與變力做功問題利用定積分解決變速直線運(yùn)動問題和變力做功問題時，關(guān)鍵是求出物體做變速直線運(yùn)動的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達(dá)式，再利用微積分基本定理計算即得.求典例3 一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)73t+v的單位：m/s)行駛至停止．在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是11

251

(t的單位：s，A．1＋25ln5C．4＋25ln5

B．8＋25ln3D．4＋50ln2【答案】Cv(t)=0t=4t825 25

舍去).汽車的剎車距離是

4(73t+ [7t t225ln(t1)]|4425ln5.C.

0 1t 2 0一個物體做變速直線運(yùn)動，在時t的速度為vtt32(t的單位：h，v的單位：km/h)，那么它在0t1這段時間內(nèi)行駛的路程s單位：km)的值( )2 73 B．45C．3 D．21．1(3x2sinx)dx等于()1A．0B．2sin1C．2cos1D．22．11

exdx的值為( )A．2C．2

B．D．2e2片葉子由曲線y2x|與曲線|y|x2圍成，則每片葉子的面積( )3136 B．61 2C．3

a6

D．31已知x22x展開式的中間項系數(shù)為20，則由曲線yx3和yxa圍成的封閉圖形的面積( ) 5A．12C．1

1

5313D．12311.13已知

x

exex

，a 2

2sinxdx，b ，clog220 22

則下列選項中正確的( )3A．fafbfcC．fcfaf

B．fafcfD．fcfbfa一物體在力F(x)＝4x﹣1(單位)的作用下，沿著與力F相同的方向，從x＝1m處運(yùn)動到x＝3m處，則力F(x)所作的功( )6JC．12J

4Jfx

xt4dt在上( )00，無最小值C．最小值32，無最大值3

B．有最大值0，最小值323D．既無最大值，也無最小值某人用隨機(jī)模擬的方法估計無理數(shù)e的值，做法如下：首先在平面直角坐標(biāo)系中，過點Ax軸的yexBByy軸相交于點C(如圖OABC內(nèi)投入M粒豆子，并統(tǒng)計出這些豆子在曲線yex上方的有N粒NM，則無理數(shù)e的估計值( )NMNMNC．N

MMNMD．N勞倫茨曲線為直線OL勞倫茨曲線為折線OKL平等AaS為△OKL的面積，將Ginia.S對于下列說法：Gini越小，則國民分配越公平；yfx)，則對x(0,1)

f(x)1；xyx2(x[0,1])，則Gini1；4④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為yx3(x[0,1])，則Gini1.2其中正確的是)①④C．①③④1

②③D．①②④10． ex2xdx= ．0拋物線x22y和直線yx4所圍成的封閉圖形的面積.已知數(shù)列

是公比q1x2dx的等比數(shù)列，且

a

，則a

.n 0 3 1 2 10在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點O，A2,0，BC現(xiàn)在矩形OABC 中隨選取一點Px,y，則事件：點Px,y的坐標(biāo)滿足yx22x的概率.1．(2015年高考湖南卷理)2(x1)x ．02．(2015年高考天津卷理)曲線yx2與直線yx所圍成的封閉圖形的面積為 ．3．(2015年高考ft東卷理)執(zhí)行如圖所示的程序框,輸出的T的值為 ．4(2015年高考福建卷理如圖點A的坐標(biāo)(1,0)點C的坐標(biāo)(2,4)函數(shù)f)=.若在矩形D內(nèi)隨機(jī)取一,則此點取自陰影部分的概率等于 ．5．(2015年高考陜西卷理)如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物型(圖中虛線表則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為 ．變式拓展變式拓展A【解析】【分析】先由微積分基本定理求出函數(shù)式中的積分值，然后求導(dǎo)，令x1f(1)f(1)可得結(jié)論．【詳解】因為e1dxlnxe1

fxx3x2f12x，所以

fx3x22xf'12，1x 1x1f132f2f(1)1，31 1 所以f(x)x3 x22x，f(1)1 21 1

，ff

141，3 3 3

33 3故選：A．【點睛】本題考查微積分基本定理，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，解題時計算出積分值，由求導(dǎo)公式求導(dǎo)，令x1，賦值后就可化未知為已知．6【答案】64【解析】【分析】利用定積分求出陰影部分的面積，再建立面積等量關(guān)系，即可得答案；【詳解】Pxy0 0

x0

0

x2上，所以y01 1 1

x2，0則S

OA‖x

x，12陰影部分的面積為12

0 2 x1100x2dx 3x x110

0 8 0x3，0 3 0 3 01 1因為陰影部分面積與的面積相等，所以x3 x,x20

3.所以x .68 0 46

3 0 8 0【點睛】本題考查定積分求面積，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.B【解析】【分析】由速度在給定的時間范圍內(nèi)的定積分可得到答案.【詳解】

1

1 1 1 7這輛汽車在0t1這段時間內(nèi)汽車行駛的路程s

t32dt4t4 424，0 0所以這輛汽車在0t1s7.4【點睛】本題考查了定積分在物理中的應(yīng)用，速度在時間范圍內(nèi)的積分是路程，屬于基礎(chǔ)題.考點沖關(guān)考點沖關(guān)D1

【解析】C【解析】【分析】

3x2sinxdxx3cosx|11

1cos1

1cos1

2，故答案為D.根據(jù)微積分基本定理結(jié)合積分的性質(zhì)計算．【詳解】1exdx21exdx2ex11 0

2(e1)．故選：C．【點睛】本題考查微積分基本定理，屬于基礎(chǔ)題．C【解析】【分析】先計算圖像交點，再利用定積分計算面積.【詳解】xyx由yx

x0,，解得y

x1y1，0

2

1 1 1根據(jù)圖形的對稱性，可得每片葉子的面積為1

xx2 dx x33

x3 .3 330故答案選C【點睛】本題考查定積分的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力A【解析】【分析】先利用二項展開式的通項公式求出a，再利用牛頓-萊布尼茲公式可求圖形的面積.【詳解】2 a62

3a3x2

2x

展開式的中間項為第4項且第4項為T C3 x24 6

，x xa因為系數(shù)為20，所以C3 20，解得aa6 21由x3x21

x0x1，11

3 4 1 5所以封閉圖形的面積為 x3

x2dx x

x3 ，0 4 3

0 12【分析】檔題.C【解析】【分析】fxRfxx0,x上單調(diào)遞減，化簡abc.【詳解】fxlnexex，xR，則fxlnexexfx，fxR上的偶函數(shù)，并且fx

exex

，則x0,時，fx0，當(dāng)且僅當(dāng)x0時，“”成立，exexfx

x0,

x,

1 1 1所以

2sinxdx cos

2，0b11.1111

20 2 202 2 2， 3clog3

1log33 2 2又fcf

1

3

1

3

1，所以fcfafb. 2故選：C【點睛】

2

2 2.B【解析】【分析】由定積分的物理意義，變力F(x)所作的功等于力在位移上的定積分，進(jìn)而計算可得答案．【詳解】根據(jù)定積分的物理意義，力F(x)所作的功為34x1dx(2x2-x)|314.1 1故選B【點睛】本題主要考查了定積分在物理中的應(yīng)用，同時考查了定積分的計算，屬于基礎(chǔ)題B【解析】【分析】由定積分的運(yùn)算，求得fx1x32x2，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)fx的單調(diào)性與極值，結(jié)合端點的函3數(shù)值，得到函數(shù)的最值，得到答案.【詳解】fx

xt4dt(1t32)|x1x32x2，0 3 0 3則fxx24xx(x4)，x[1,0)fx0fx單調(diào)遞增；x(0,4)fx0fx單調(diào)遞減；x(4,5]fx0fx單調(diào)遞增；f17f00f432f525，3 3 3所以函數(shù)fx的最大值為0，最小值為32.3【點睛】.D【解析】【分析】利用定積分計算出矩形OABC中位于曲線yex于e的等式，解出e.【詳解】yexx1yeBBCye，矩形OABCyex上方區(qū)域的面積為S矩形OABC的面積為1ee，

eex11

exex 10

1，N由幾何概型的概率公式得

1eM.【點睛】

M e N本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算e的值，考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用，同時也考查了利用定積分計算平面區(qū)域的面積，考查計算能力，屬于中等題.A【解析】【分析】Gini越小，不平等區(qū)域越小，可知①正確，結(jié)合勞倫茨曲線的特點，可知x(0,1)，均有f(x)x，可知②錯誤，結(jié)合定積分公式，可求出a的值，即可判斷出③④是否正確，從而可選出答案.【詳解】Gini所以①正確；

aaS對于②，根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，可知x(0,1)，均有f(x)x，可得②錯誤；

f(x)1，所以x1 1 1 1

1a 6 1對于③，因為a0

(xx2)dx( x2 x3) ，所以Gini 2 3 0 6 S

，所以③錯誤；1 321 1 1 1

1a 4 1對于④，因為a0【點睛】

(xx3)dx( x2 x4)2 4 0

，所以Gini 4 S

.1 22本題考查不等式恒成立，考查定積分的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力與計算求解能力，屬于中檔題.【答案】e【解析】【分析】利用積分運(yùn)算得

1ex1

dxexx2.0 0【詳解】1 因為0

ex2x

dx(exx2)|10

(e1)1e.故答案為：e.【點睛】本題考查積分的運(yùn)算，考查基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18【解析】【分析】根據(jù)定積分的幾何意義可求得結(jié)果.【詳解】x22y聯(lián)立 ，消去y得x22x80，解得x或x4，yx44(x4

x2)dx(x2

4x

x3)4)

42

4443488

18.所以所求面積是

2 2 2 6 2 2

6 2 6故答案為：18.【點睛】本題考查了定積分的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

1【解析】【分析】先由微積分基本定理求出q【詳解】

1，再由a3

aa1

求出首項，進(jìn)而可求出結(jié)果. 1 1 1因為等比數(shù)列a

的公比qx2dx

x31

，且

a

aq2a2q，∴a

1，∴

n01.

3 0

3 12 1 11 3

310

1本題主要考查等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，熟記微積分基本定理，以及等比數(shù)列的通項公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.213．【答案】3【解析】【分析】求出矩形OABCSyx22xx軸圍城的封閉圖形的面積S1

x22xdx22 幾何概型的概率公式，可求出答案.【詳解】如圖，由題意，矩形OABC 的面積S212，2 1 2yx22xx軸圍城的封閉圖形面積為S

x22xdx3x3x201 0 1 23220 ，1 3 31則PS 2.1S 3所以在矩形OABC中隨機(jī)選取一點Px,y，事件：點Px,y的坐標(biāo)滿足yx22x的概率為2.32故答案為：3.【點睛】本題考查幾何概型概率的計算，弄清隨機(jī)事件對應(yīng)的平面區(qū)域是關(guān)鍵，本題屬于中檔題.直通高考直通高考0【解析】2(x1)x(1x2x)21420.0 2 0 216【解析】由題意可得封閉圖形的面積為1(xx2)dx(1x21x3)1

111.1111

0 2

0 2 3 66 6【解析】開始n=1,T=1,因為1<3所以T11dx11x21112

3,n=1+1=2;0 2 0 2 22<3,所以T

31x2dx

x3

11,n=2+1=3.3 3 2 0 2 3 0 2 3 63 3 113<3,T,T的值為6.5【答案】12【解析】依題意知點D的坐標(biāo)為(1,4),所以矩形ABCD的面積S=1×4=4,

=42x2dx41x3|

475,陰影 1

3 1 3 3S5S根據(jù)幾何概型的概率計算公式,所求的概率P= 陰3

5S 5陰影=3=5.【答案】1.2【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

S 4 12

4 1211022216x22py(p02點，所以2p252p

25x2

25y

2x2，所以當(dāng)前最大流量是4 2 255(2

2x2)dx(2x

2x3)5

(25

253)[25

253]

40，故原始的最大流5 25 75 5 75 75 340161.2，所以答案為1.2．403列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟審題：弄清題意．找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系．后利用已找出的等量關(guān)系列出方程．解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值．和差倍分問題： 增長量＝原有量×增長率 現(xiàn)在量＝原有量增長量等積變形問題： 常見幾何圖形的面積體積周長計算公式依據(jù)形雖變但體積不變．①圓柱體的體積公式 底面積×高＝S·h＝②長方體的體積 V＝長×寬×高4．?dāng)?shù)字問題一般可設(shè)個位數(shù)字為bc100c+10b+a．然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程．5．市場經(jīng)濟(jì)問題（1）商品利潤＝商品售價－商品成本價（2）商品利潤率商品銷售額＝商品銷售價×商品銷售量商品的銷售利潤＝（銷售價－成本價）×銷售量

商品利潤×100%商品成本價880%出售．行程問題：路程＝速度×?xí)r間 時間＝路程÷速度 速度＝路程÷時間相遇問題：快行距＋慢行距＝原距追及問題：快行距－慢行距＝原距航行問題：順?biāo)L(fēng)）速度＝靜水（風(fēng)）速度＋水流（風(fēng)）逆水（風(fēng)）速度＝靜水（風(fēng)）速度－水流（風(fēng)）（靜不速7．工程問題：工作量＝工作效率×工作時間完成某項任務(wù)的各工作量的和＝總工作量＝18．儲蓄問題利潤＝每個期數(shù)內(nèi)的利息×100% 利息＝本金×利率×期數(shù)本金實際問題與二元一次方程組題型歸納（練習(xí)題答案）類型一：列二元一次方程組解決——行程問題13622.523解：設(shè)甲，乙速度分別為x，y千米/時，依題意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是6千米/每小時，乙的速度是3.6千米/每小時。22801420船在靜水中的速度和水流速度。解：設(shè)這艘輪船在靜水中的速度x千米/小時,則水流速度y千米/小時，有：20（x-y）=28014（x+y）=280解得：x=17，y=3答：這艘輪船在靜水中的速度17千米/小時、水流速度3千米/小時，類型二：列二元一次方程組解決——工程問題65.2萬元；若甲公司49周完成，需工錢4.8解：類型三：列二元一次方程組解決類型三：列二元一次方程組解決——商品銷售利潤問題1】（2011）101800020001500菜各種植了多少畝？解：設(shè)甲、乙兩種蔬菜各種植了x、y畝，依題意得：①x+y=10②2000x+1500y=18000解得：x=6，y=4答：李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了6畝、4畝ABAB進(jìn)價（元/件）12001000售價（元/件）13801200（）A、B解：設(shè)購進(jìn)A的數(shù)量為x件、購進(jìn)B的數(shù)量為y件，依據(jù)題意列方程組1200x+1000y=360000(1380-1200)x+(1200-1000)y=60000解得x=200，y=120答：略類型四：列二元一次方程組解決——銀行儲蓄問題2400032.252.70%.三年后同時取出共得利息303.75解：設(shè)x第二種方式存款，則X+Y=4000X*2.25％*3+Y*2.7％*3=303.75解得：X=1500，Y=2500。答：略。類型五：列二元一次方程組解決——生產(chǎn)中的配套問題解：設(shè)x張做盒身，y張做盒底，則有盒身8x個，盒底22y個x+y=1908x=22y/2解：設(shè)x張做盒身，y張做盒底，則有盒身8x個，盒底22y個x+y=1908x=22y/2解得x=110，y=80即110張做盒身，80張做盒底2601420解：設(shè)生產(chǎn)螺栓的工人為x人，生產(chǎn)螺母的工人為y人x+y=6028x=20y解得x=25，y=3533141503005解：設(shè)用X立方米做桌面，用Y立方米做桌腿X+Y=5. (1)50X：300Y=1：4. 解得：Y=2，X=5-2=3答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。類型六：列二元一次方程組解決——增長率問題2420.81.1%，1%，求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。解：設(shè)該城市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有x萬人，農(nóng)村人口有y萬人。解：設(shè)該城市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有x萬人，農(nóng)村人口有y萬人。x＋y＝420.8%×X＋1.1%×Y＝42×1%解這個方程組，得：x=14，y=28答：該市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有14萬人，農(nóng)村人口有28萬人。類型七：列二元一次方程組解決——和差倍分問題221解：設(shè)：男有X人，女有Y人，則X-1=Y2（Y-1）=X解得：x=4，y=3答：略類型八：列二元一次方程組解決——數(shù)字問題【變式1】一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，這個兩位數(shù)是多少？解：設(shè)這個兩位數(shù)十位數(shù)是解：設(shè)這個兩位數(shù)十位數(shù)是x，個位數(shù)是y，則這個數(shù)是（10x+y)10x+y-3(x+y)=2310x+y=5(x+y)+17x-2y=235x-4y=1y=656(1)(2)【變式2】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個兩位數(shù)？解：解：設(shè)個位X，十位Y，有X-Y=5(10X+Y) +(10+X)=143即X-Y=5X-Y=5X+Y =13解得：X=9，Y=4這個數(shù)就是4931，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。解：設(shè)原數(shù)百位是x，個位是yx+y=9x-y=12x=10所以原數(shù)是504=>x=5=>y=5-1=4類型九：列二元一次方程組解決——濃度問題解：解：10%X克，85%YX+Y=12X*10%+Y*85%=12*45%即：X+Y=12X+8.5Y=54解得：Y=5.6答：略【變式2】一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？解：解：8001.75%800×1.75%=141435%14÷35%=40千克由40千克農(nóng)藥稀釋為800千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為800-40=760千克407601.75%800千克。類型十：列二元一次方程組解決類型十：列二元一次方程組解決——幾何問題1483解：設(shè)長方形的長寬分別為xy厘米，則2(x+y)=48x-3=y+3解得：x=15，y=9正方形的面積比矩形面積大（x-3）（y+3）-xy=（15-3）（9+3）-15*9=144-135=9（cm2）答：略(Ⅲ)購進(jìn)乙、丙兩種電視機(jī)解得(不合實際，舍去)故商場進(jìn)貨方案為(Ⅲ)購進(jìn)乙、丙兩種電視機(jī)解得(不合實際，舍去)故商場進(jìn)貨方案為類型十一：列二元一次方程組解決類型十一：列二元一次方程組解決——年齡問題1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.解：設(shè)小李X歲，爺爺Y歲，則5X=Y3（X+12）=Y+12兩式聯(lián)立解得：X=12Y=60所以小李今年12歲，爺爺今年60歲。類型十二：列二元一次方程組解決——優(yōu)化方案問題：【變式】某商場計劃撥款9萬元從廠家購進(jìn)50臺電視機(jī)，已知廠家生產(chǎn)三種不同型號的電視機(jī)，出廠價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元。509150200250利最多，你選擇哪種進(jìn)貨方案？(Ⅰ)購進(jìn)甲、乙兩種電視機(jī)解得(Ⅱ)購進(jìn)甲、丙兩種電視機(jī)解得解：(1)分情況計算：設(shè)購進(jìn)甲種電視機(jī)x臺，乙種電視機(jī)y臺，丙種電視機(jī)z(Ⅰ)購進(jìn)甲、乙兩種電視機(jī)解得(Ⅱ)購進(jìn)甲、丙兩種電視機(jī)解得購進(jìn)甲種25臺和乙種25臺；或購進(jìn)甲種35臺和丙種15臺．(2)按方案(Ⅰ)，獲利150×25＋200×25＝8750(元)；按方案(Ⅱ)，獲利150×35＋250×15＝9000(元)．購進(jìn)甲種25臺和乙種25臺；或購進(jìn)甲種35臺和丙種15臺．(2)按方案(Ⅰ)，獲利150×25＋200×25＝8750(元)；按方案(Ⅱ)，獲利150×35＋250×15＝9000(元)．∴選擇購進(jìn)甲種35臺和丙種15臺．∴選擇購進(jìn)甲種35臺和丙種15臺．三、列方程解應(yīng)用題將一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網(wǎng)絡(luò)，甲獨(dú)做需6430后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作？1592300毫米，300毫米和80內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到0.1毫米，≈3.1．600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，