2023西城高三期末理科數(shù)學(xué)含答案

北京市西城區(qū)2023—2023學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷高三數(shù)學(xué)（理科）2023.1一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．已知集合，，則（）（A）（B）（C）（D）2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3．在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則過點(diǎn)且平行于極軸的直線的方程是（）（A）（B）（C）（D）4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖．若輸出，則框圖中①處可以填入（）（A）（B）（C）（D）5．已知函數(shù)，其中為常數(shù)．那么“”是“為奇函數(shù)”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件6．已知是正數(shù)，且滿足．那么的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）7．某四面體的三視圖如圖所示．該四面體的六條棱的長度中，最大的是（）（A）（B）（C）（D）8．將正整數(shù)隨機(jī)分成兩組，使得每組至少有一個(gè)數(shù)，則兩組中各數(shù)之和相等的概率是（）（A）（B）（C）（D）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．9.已知向量，，.若向量與向量共線，則實(shí)數(shù)_____10．如圖，△中，，，．以為直徑的圓交于點(diǎn)，則；______．11．設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為．若，，，則______．12．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，，點(diǎn)在該橢圓上．若，則△的面積是______．13．已知函數(shù)，其中．當(dāng)時(shí)，的值域是______；若的值域是，則的取值范圍是______．14．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋舫?shù)，對，有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．給定下列三個(gè)函數(shù)：①；②；③．其中，具有性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)是______．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）在△中，已知．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求△的面積．16．（本小題滿分14分）如圖，四棱錐中，底面為正方形，，平面，為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：//平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．17．（本小題滿分13分）生產(chǎn)A，B兩種元件，其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于為正品，小于為次品．現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各件進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：測試指標(biāo)元件A元件B（Ⅰ）試分別估計(jì)元件A，元件B為正品的概率；（Ⅱ）生產(chǎn)一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產(chǎn)一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元.在（Ⅰ）的前提下，（?。┯洖樯a(chǎn)1件元件A和1件元件B所得的總利潤，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）求生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于140元的概率．18．（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)．若，使，求的取值范圍．19．（本小題滿分14分）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為．過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）記直線的斜率為，直線的斜率為.證明：為定值．20．（本小題滿分13分）如圖，設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，其中表示位于第行第列的實(shí)數(shù)，且.記為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合．對于，記為的第行各數(shù)之積，為的第列各數(shù)之積．令．（Ⅰ）請寫出一個(gè)，使得；（Ⅱ）是否存在，使得？說明理由；（Ⅲ）給定正整數(shù)，對于所有的，求的取值集合．北京市西城區(qū)2023—2023學(xué)年度第一學(xué)期期末高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)2023.1一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1．D；2．B；3．A；4．C；5．C；6．B；7．C；8．B．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9．；10．，；11．；12．；13．，；14．①③．注：10、13題第一問2分，第二問3分;14題結(jié)論完全正確才給分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分.15．（本小題滿分13分）（Ⅰ）解法一：因?yàn)椋裕?分因?yàn)?，所以，從而，……………?分所以．………………6分解法二：依題意得，所以，即．………………3分因?yàn)?，所以，所以．……………?分所以．………………6分（Ⅱ）解法一：因?yàn)椋?，根?jù)正弦定理得，……………7分所以．………………8分因?yàn)?，……………?分所以，………………11分所以△的面積．………………13分解法二：因?yàn)?，，根?jù)正弦定理得，……………7分所以．………………8分根據(jù)余弦定理得，………………9分化簡為，解得．………………11分所以△的面積．………………13分16．（本小題滿分14分）（Ⅰ）證明：連接與相交于點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)樗倪呅螢檎叫危詾橹悬c(diǎn)．因?yàn)闉槔庵悬c(diǎn)．所以．………………3分因?yàn)槠矫?，平面，所以直線//平面．………………4分（Ⅱ）證明：因?yàn)槠矫?，所以．……………?分因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，所以平面．……………?分所以平面平面．………………8分（Ⅲ）解法一：在平面內(nèi)過作直線．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．…………9分設(shè)，則．所以，．設(shè)平面的法向量為，則有所以取，得．………………11分易知平面的法向量為．………………12分所以．………………13分由圖可知二面角的平面角是鈍角，所以二面角的余弦值為．………………14分解法二：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，．因?yàn)闉檎叫?，所以．由（Ⅱ）可得平面．因?yàn)?，所以．由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．………………9分設(shè)，則．所以，．設(shè)平面的法向量為，則有所以取，得．………………11分易知平面的法向量為．………………12分所以．………………13分由圖可知二面角的平面角是鈍角，所以二面角的余弦值為．………………14分17．（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：元件A為正品的概率約為．………………1分元件B為正品的概率約為．………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）隨機(jī)變量的所有取值為．………………3分；；；．………………7分所以，隨機(jī)變量的分布列為:………………8分．………………9分（ⅱ）設(shè)生產(chǎn)的5件元件B中正品有件，則次品有件.依題意，得，解得．所以，或．………………11分設(shè)“生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于140元”為事件，則．………………13分18.（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：①當(dāng)時(shí)，．故的單調(diào)減區(qū)間為，；無單調(diào)增區(qū)間．………………1分②當(dāng)時(shí)，．………………3分令，得，．和的情況如下：↘↗↘故的單調(diào)減區(qū)間為，；單調(diào)增區(qū)間為．………………5分③當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋驗(yàn)樵谏虾愠闪?，故的單調(diào)減區(qū)間為，，；無單調(diào)增區(qū)間．………………7分（Ⅱ）解：因?yàn)?，，所以等價(jià)于，其中．………………9分設(shè)，在區(qū)間上的最大值為．………………11分則“，使得”等價(jià)于．所以，的取值范圍是．………………13分19．（本小題滿分14分）（Ⅰ）解：依題意，設(shè)直線的方程為．………………1分將其代入，消去，整理得．………………4分從而．………………5分（Ⅱ）證明：設(shè)，．則．………………7分設(shè)直線的方程為，將其代入，消去，整理得．………………9分所以．………………10分同理可得．………………11分故．………………13分由（Ⅰ）得，為定值．………………14分20．（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如圖所示數(shù)表符合要求．………………3分（Ⅱ）解：不存在，使得．………………4分證明如下：假設(shè)存在，使得．因?yàn)椋?，所以，，，，，，，這個(gè)數(shù)中有個(gè)，個(gè)．令．一方面，由于這個(gè)數(shù)中有個(gè)，個(gè)，從而．①另一方面，表示數(shù)表中所有元素之積（記這個(gè)實(shí)數(shù)之積為）；也表示，從而．②①、②相矛盾，從而不存在，使得．………………8分（Ⅲ）解：記這個(gè)實(shí)數(shù)之積為．一方面，從“行”的角度看，有；另一方面