線性代數(shù)經(jīng)管類

（優(yōu)選）線性代數(shù)經(jīng)管類現(xiàn)在是1頁\一共有57頁\編輯于星期三目錄第一章行列式第二章矩陣第三章向量空間第四章線性方程組第五章特征值與特征向量第六章實(shí)二次型現(xiàn)在是2頁\一共有57頁\編輯于星期三第一章行列式行列式是為了求解線性方程組而引入的，但在線性代數(shù)和其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及工程技術(shù)中，行列式是一個(gè)很重要的工具。本章主要介紹行列式的定義、性質(zhì)及其計(jì)算方法?，F(xiàn)在是3頁\一共有57頁\編輯于星期三§1.1行列式的定義一、二階行列式我們用記號(hào)表示代數(shù)和a11a22a12a21稱為二階行列式。其中元素

aij

的第一個(gè)下標(biāo)

i

為行下標(biāo)，第二個(gè)下標(biāo)

j

為列下標(biāo)。即

aij

位于行列式的第

i行第

j列。主對(duì)角線次對(duì)角線二階行列式的計(jì)算

對(duì)角線法則（口訣：叉叉相乘來相減）現(xiàn)在是4頁\一共有57頁\編輯于星期三例如說明（1）二階行列式共有2項(xiàng)，即項(xiàng)．（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的兩個(gè)元素的乘積．（3）正負(fù)項(xiàng)各占一半.（4）行列式的本質(zhì)是數(shù).現(xiàn)在是5頁\一共有57頁\編輯于星期三二、三階行列式同理，稱為一個(gè)三階行列式?？捎孟旅娴膶?duì)角線法則計(jì)算?，F(xiàn)在是6頁\一共有57頁\編輯于星期三說明（1）三階行列式共有6項(xiàng)，即項(xiàng)．（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積．（3）正負(fù)項(xiàng)各占一半.現(xiàn)在是7頁\一共有57頁\編輯于星期三例1解按對(duì)角線法則，有現(xiàn)在是8頁\一共有57頁\編輯于星期三

解

a210當(dāng)且僅當(dāng)|a|1因此可得：

例2

當(dāng)a取何值時(shí)，所以，當(dāng)|a|1時(shí)，現(xiàn)在是9頁\一共有57頁\編輯于星期三練習(xí)題2.計(jì)算1.計(jì)算現(xiàn)在是10頁\一共有57頁\編輯于星期三三、n階行列式的定義三階行列式說明（1）三階行列式共有6項(xiàng)，即項(xiàng)．（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積．（3）正負(fù)項(xiàng)各占一半.現(xiàn)在是11頁\一共有57頁\編輯于星期三定義n2稱為n階行列式.個(gè)數(shù)aij

(i

j12

n)組成的記號(hào)由說明（1）n階行列式共有n!項(xiàng)．（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的n個(gè)元素的乘積．

（3）正負(fù)項(xiàng)各占一半.（4）一階行列式不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆.（5）行列式的本質(zhì)是數(shù).現(xiàn)在是12頁\一共有57頁\編輯于星期三四、幾個(gè)特殊的行列式現(xiàn)在是13頁\一共有57頁\編輯于星期三現(xiàn)在是14頁\一共有57頁\編輯于星期三例1計(jì)算下列行列式的值解：現(xiàn)在是15頁\一共有57頁\編輯于星期三§1.2行列式按行（列）展開一、余子式與代數(shù)余子式在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．現(xiàn)在是16頁\一共有57頁\編輯于星期三例1行列式的元素的代數(shù)余子式為 A．-2B．2C．-1

D．1（A）解：現(xiàn)在是17頁\一共有57頁\編輯于星期三二、行列式展開定理結(jié)論：三階行列式的值等于任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.現(xiàn)在是18頁\一共有57頁\編輯于星期三例1

計(jì)算行列式解一：對(duì)角線法則；解二：展開法則.總結(jié)：1.利用展開法則計(jì)算行列式時(shí)，應(yīng)選擇還有零元素最多的行（列）展開.現(xiàn)在是19頁\一共有57頁\編輯于星期三2.如果行列式的某一行（列）只有一個(gè)非零元，則行列式等于該非零元與其代數(shù)余子式的乘積.例2

計(jì)算行列式例3

計(jì)算行列式現(xiàn)在是20頁\一共有57頁\編輯于星期三例4

計(jì)算行列式現(xiàn)在是21頁\一共有57頁\編輯于星期三例4

計(jì)算行列式解:按照第一列展開現(xiàn)在是22頁\一共有57頁\編輯于星期三現(xiàn)在是23頁\一共有57頁\編輯于星期三練習(xí)題1.求出中元素a23、a33的代數(shù)余子式，并求出D的值.2.計(jì)算下列行列式的值現(xiàn)在是24頁\一共有57頁\編輯于星期三§1.3行列式的性質(zhì)與計(jì)算一、行列式的性質(zhì)

n階行列式共有n!項(xiàng)因此定義計(jì)算n階行列式是較為困難的只有少數(shù)行列式用定義計(jì)算比較方便

我們已經(jīng)知道三角行列式的值就是主對(duì)角線上各元素的乘積因此我們想到能否把一般的行列式化成三角行列式來計(jì)算這就需要研究行列式的性質(zhì)

現(xiàn)在是25頁\一共有57頁\編輯于星期三例轉(zhuǎn)置行列式將行列式D的行與列互換后得到的行列式稱為D的轉(zhuǎn)置

行列式記為DT或D

即如果則現(xiàn)在是26頁\一共有57頁\編輯于星期三性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.即D=DT.例說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.

所以只需研究行列式有關(guān)行的性質(zhì)，其所有結(jié)論對(duì)列也是自然成立的.現(xiàn)在是27頁\一共有57頁\編輯于星期三性質(zhì)2

用數(shù)k乘行列式D的某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD.這也就是說，行列式可以按行（列）提出公因數(shù).注意必須按行或按列逐次提出公因數(shù)．證明：現(xiàn)在是28頁\一共有57頁\編輯于星期三例1

計(jì)算行列式例3

計(jì)算反對(duì)稱行列式例2

計(jì)算行列式

結(jié)論：奇數(shù)階反對(duì)稱行列式的值為零

現(xiàn)在是29頁\一共有57頁\編輯于星期三現(xiàn)在是30頁\一共有57頁\編輯于星期三例如推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有例如現(xiàn)在是31頁\一共有57頁\編輯于星期三性質(zhì)４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明現(xiàn)在是32頁\一共有57頁\編輯于星期三因?yàn)榈谝恍信c第二行對(duì)應(yīng)元素成比例根據(jù)性質(zhì)4

得：

解

例4計(jì)算行列式現(xiàn)在是33頁\一共有57頁\編輯于星期三例5解方程

解

當(dāng)時(shí)，第一行與第二行完全相同，行列式的值為零，解得：當(dāng)時(shí)，第三行與第四行完全相同，行列式的值為零，解得：現(xiàn)在是34頁\一共有57頁\編輯于星期三性質(zhì)5

若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個(gè)行列式之和：例如注意應(yīng)當(dāng)逐行、逐列拆開．現(xiàn)在是35頁\一共有57頁\編輯于星期三例6計(jì)算行列式例7已知，求的值.現(xiàn)在是36頁\一共有57頁\編輯于星期三性質(zhì)６

把行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一個(gè)數(shù)以后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式不變．例如現(xiàn)在是37頁\一共有57頁\編輯于星期三或例7證明：的充要條件是例8計(jì)算行列式現(xiàn)在是38頁\一共有57頁\編輯于星期三現(xiàn)在是39頁\一共有57頁\編輯于星期三二、行列式的計(jì)算1、對(duì)角線法則（只適合于二階、三階行列式）a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31

注意：對(duì)角線法則對(duì)四階及四階以上的行列式不再適用.現(xiàn)在是40頁\一共有57頁\編輯于星期三2、化三角形法注意：（1）在互換兩行或兩列時(shí)，必須在新的行列式的前面乘上（－1）；（2）在按行或按列提取公因子k時(shí)，必須在新的行列式前面乘上k；（3）避免分?jǐn)?shù)運(yùn)算.現(xiàn)在是41頁\一共有57頁\編輯于星期三例9計(jì)算行列式例10計(jì)算行列式現(xiàn)在是42頁\一共有57頁\編輯于星期三例11計(jì)算行列式3、降階法思想：把某一行（列）化成只有一個(gè)非零元，然后按該行（列）展開.現(xiàn)在是43頁\一共有57頁\編輯于星期三例12計(jì)算行列式現(xiàn)在是44頁\一共有57頁\編輯于星期三例13計(jì)算行列式特征：

每一行、每一列元素之和為6.做法：先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因數(shù)，再將后三行都減去第一行.現(xiàn)在是45頁\一共有57頁\編輯于星期三例14計(jì)算行列式現(xiàn)在是46頁\一共有57頁\編輯于星期三練習(xí)題P23.2,4(1),6(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、現(xiàn)在是47頁\一共有57頁\編輯于星期三§1.4克拉默法則用消元法解二元線性方程組現(xiàn)在是48頁\一共有57頁\編輯于星期三方程組的解為現(xiàn)在是49頁\一共有57頁\編輯于星期三前者稱為非齊次線性方程組后者稱為齊次線性方程組

行列式稱為線性方程組的系數(shù)行列式

一、線性方程組的概念現(xiàn)在是50頁\一共有57頁\編輯于星期三二、克拉默法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即現(xiàn)在是51頁\一共有57頁\編輯于星期三其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為現(xiàn)在是52頁\一共有57頁\編輯于星期三例1求解方程組解：由于方程組的系數(shù)行列式,由克拉默法則，得方程組的唯一解：現(xiàn)在是53頁\一共有57頁\編輯于星期三齊次線性方程組的相關(guān)定理定理1.4.3

如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式則它只有零解：注：n個(gè)方程n個(gè)未知量的齊次線性方程組只有零解當(dāng)且僅當(dāng)它的系數(shù)行列式不等于零；它有非零解當(dāng)且僅當(dāng)它的系數(shù)行列式等于零。這是一個(gè)非常重要的結(jié)論?，F(xiàn)在是54頁\一共有57頁\編輯于星期三例2判斷下列線性方程組是否只有零解.解：因?yàn)榉匠探M的系數(shù)行列式