理論力學(xué)拉格朗日方程

理論力學(xué)拉格朗日方程現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)本章在達(dá)朗伯原理和虛位移原理的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日第二類(lèi)方程（簡(jiǎn)稱(chēng)拉格朗日方程）。動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程是研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有力手段，在解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，顯得十分簡(jiǎn)捷、規(guī)范?，F(xiàn)在是2頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四§17–1動(dòng)力學(xué)普遍方程§17–2拉格朗日第二類(lèi)方程§17–3拉格朗日第二類(lèi)方程的積分第十七章拉格朗日方程現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)

若質(zhì)點(diǎn)系受有理想約束，將作為主動(dòng)力處理，則：解析式：§17-1動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程?，F(xiàn)在是4頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)

例1三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑動(dòng)，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的質(zhì)量分別為M和m，斜面傾角為。試求三棱柱A的加速度。解：研究?jī)扇庵M成的系統(tǒng)。該系統(tǒng)受理想約束，具有兩個(gè)自由度。

在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)在任一瞬時(shí)受到的主動(dòng)力與慣性力在任意虛位移上所作的虛功之和為零?，F(xiàn)在是5頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)由動(dòng)力學(xué)普遍方程：系統(tǒng)為二自由度，取互不相關(guān)的為獨(dú)立虛位移，且，所以解得：現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四動(dòng)力學(xué)§17-2拉格朗日第二類(lèi)方程設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，受s個(gè)完整約束且系統(tǒng)所受的約束是理想約束，自由度k=3n-s。下面推導(dǎo)以廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程的形式。質(zhì)點(diǎn)。若取系統(tǒng)的一組廣義坐標(biāo)為，則稱(chēng)為廣義速度?，F(xiàn)在是7頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)普遍方程，得：現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)稱(chēng) 為廣義力

廣義慣性力現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)廣義慣性力可改變?yōu)橛觅|(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能表示,因此為簡(jiǎn)化計(jì)算,需要用到以下兩個(gè)關(guān)系式：下面來(lái)推導(dǎo)這兩個(gè)關(guān)系式：第一式只須將(b)式兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)即可得到?，F(xiàn)在是10頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四第二式可比較(a)式先對(duì)ql求偏導(dǎo)數(shù)再對(duì)t求導(dǎo)數(shù)與(b)式對(duì)ql求偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)論得出。動(dòng)力學(xué)拉格朗日第二類(lèi)動(dòng)力學(xué)方程，簡(jiǎn)稱(chēng)拉格朗日方程?，F(xiàn)在是11頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的力是有勢(shì)力，則廣義力可用質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能來(lái)表達(dá)。而拉氏方程為：引入拉格朗日函數(shù)：L=T-U則：保守系統(tǒng)的拉格朗日方程?，F(xiàn)在是12頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)

應(yīng)用拉氏方程解題的步驟：

1.判定質(zhì)點(diǎn)系的自由度k，選取適宜的廣義坐標(biāo)。必須注意：不能遺漏獨(dú)立的坐標(biāo)，也不能有多余的（不獨(dú)立）坐標(biāo)。

2.計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能T，表示為廣義速度和廣義坐標(biāo)的函數(shù)。

3.計(jì)算廣義力，計(jì)算公式為：或

若主動(dòng)力為有勢(shì)力，須將勢(shì)能U表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。

4.建立拉氏方程并加以整理，得出k個(gè)二階常微分方程。

5.求出上述一組微分方程的積分?，F(xiàn)在是13頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)

[例1]水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的行星齒輪機(jī)構(gòu)。均質(zhì)桿OA：重P，可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)；均質(zhì)小齒輪：重Q，半徑r，沿半徑為R的固定大齒輪滾動(dòng)。系統(tǒng)初始靜止，系桿OA位于圖示OA0位置。系桿OA受大小不變力偶M作用后，求系桿OA的運(yùn)動(dòng)方程。

所受約束皆為完整、理想、定常的，可取OA桿轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。解：圖示機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)代入拉氏方程：積分，得：故：代入初始條件，t=0時(shí)，得現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)[例2]與剛度為k的彈簧相連的滑塊A，質(zhì)量為m1,可在光滑水平面上滑動(dòng)?；瑝KA上又連一單擺，擺長(zhǎng)l，擺錘質(zhì)量為m2，試列出該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：將彈簧力計(jì)入主動(dòng)力，則系統(tǒng)成為具有完整、理想約束的二自由度系統(tǒng)。保守系統(tǒng)。取x,為廣義坐標(biāo)，x軸

原點(diǎn)位于彈簧自然長(zhǎng)度位置，

逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎，F(xiàn)在是17頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)動(dòng)能：現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)

系統(tǒng)勢(shì)能：（以彈簧原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，滑塊A所在平面為重力勢(shì)能零點(diǎn)）拉格朗日函數(shù)：現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)代入：并適當(dāng)化簡(jiǎn)得：現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。上式為系統(tǒng)在平衡位置(x=0,=0)附近微幅運(yùn)動(dòng)的微分方程。若系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅運(yùn)動(dòng)，此時(shí)<<1o,cos1,sin

，略去二階以上無(wú)窮小量，則現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)§17-3拉格朗日第二類(lèi)方程的積分對(duì)于保守系統(tǒng)，可以得到拉格朗日方程的某些統(tǒng)一形式的首次積分，從而使得保守系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解過(guò)程進(jìn)一步簡(jiǎn)化。保守系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分包括：能量積分、循環(huán)積分。一、能量積分設(shè)系統(tǒng)所受的主動(dòng)力是有勢(shì)力，且拉格朗日函數(shù)L=T-U中不顯含t，則現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)廣義能量積分。保守系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間t時(shí)，保守系統(tǒng)的廣義能量守恒?？梢宰C明，當(dāng)系統(tǒng)約束為定常時(shí)，上式為=0現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四系統(tǒng)的廣義能量積分式就是系統(tǒng)的機(jī)械能守恒方程式。

動(dòng)力學(xué)二、循環(huán)積分如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某一廣義坐標(biāo)qr

,則該坐標(biāo)稱(chēng)為保守系統(tǒng)的循環(huán)坐標(biāo)或可遺坐標(biāo)。當(dāng)為系統(tǒng)的循環(huán)坐標(biāo)時(shí)，必有于是拉氏方程成為現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)積分得：循環(huán)積分因L=T-U，而U中不顯含，故上式可寫(xiě)成Pr稱(chēng)為廣義動(dòng)量，因此循環(huán)積分也可稱(chēng)為系統(tǒng)的廣義動(dòng)量積分。保守系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于循環(huán)坐標(biāo)的廣義動(dòng)量守恒。一個(gè)系統(tǒng)的能量積分只可能有一個(gè)；而循環(huán)積分可能不止一個(gè)，有幾個(gè)循環(huán)坐標(biāo)，便有幾個(gè)相應(yīng)的循環(huán)積分。能量積分和循環(huán)積分都是由保守系統(tǒng)拉格朗日方程積分一次得到的，它們都是比拉格朗日方程低一階的微分方程?，F(xiàn)在是25頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)

[例3]楔形體重P，斜面傾角，置于光滑水平面上。均質(zhì)圓柱體重Q，半徑為r，在楔形體的斜面上只滾不滑。初始系統(tǒng)靜止，且圓柱體位于斜面最高點(diǎn)。試求：(1)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；(2)楔形體的加速度；(3)系統(tǒng)的能量積分與循環(huán)積分。解：研究楔形體與圓柱體組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)受理想、完整、定常約束，具有兩個(gè)自由度。取廣義坐標(biāo)為x,s；各坐標(biāo)原點(diǎn)均在初始位置?，F(xiàn)在是26頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)能：系統(tǒng)的勢(shì)能：取水平面為重力勢(shì)能零點(diǎn)。拉格朗日函數(shù)：現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)代入保守系統(tǒng)拉氏方程，并適當(dāng)化簡(jiǎn)，得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。（d）解得楔形體的加速度為拉格朗日函數(shù)L中不顯含t，故系統(tǒng)存在能量積分。現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)當(dāng)t=0時(shí)，，x=

s=0,代入上式中，得

現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有30頁(yè)\編輯于星期四

動(dòng)力學(xué)