演示文稿差商與插值公式

演示文稿差商與插值公式現(xiàn)在是1頁\一共有21頁\編輯于星期三差商與插值公式ppt課件現(xiàn)在是2頁\一共有21頁\編輯于星期三

優(yōu)點(diǎn):具有嚴(yán)格的規(guī)律性,便于記憶.

缺點(diǎn):不具有承襲性,即每當(dāng)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí),不僅要增加求和的項(xiàng)數(shù),而且以前的各項(xiàng)也必須重新計(jì)算.

為了克服這一缺點(diǎn),本講將建立具有承襲性的插值公式—Newton插值公式.

本講主要內(nèi)容:●差商的定義及性質(zhì)●Newton插值多項(xiàng)式的構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式：現(xiàn)在是3頁\一共有21頁\編輯于星期三且同樣承襲性：為實(shí)數(shù)現(xiàn)在是4頁\一共有21頁\編輯于星期三而且有：現(xiàn)在是5頁\一共有21頁\編輯于星期三這樣：現(xiàn)在是6頁\一共有21頁\編輯于星期三2.4.1差商及其基本性質(zhì)定義1

稱為f(x)在x0、x1點(diǎn)的一階差商.稱為函數(shù)f(x)在x0、x1、xk

點(diǎn)的二階差商.一階差商的差商現(xiàn)在是7頁\一共有21頁\編輯于星期三一般地，k-1階差商的差商

稱為f(x)在x0,x1,…,xk點(diǎn)的k階差商

一般f(xi)稱為f(x)在xi點(diǎn)的零階差商，記作f[xi]?，F(xiàn)在是8頁\一共有21頁\編輯于星期三

f[xi,xj,xk]是指f[xi

,xj

,xk]=f[xi

,xk]-f[xi

,xj]xk-xj一般的,可定義區(qū)間[xi,xi+1,…,xi+n]上的n階差商為現(xiàn)在是9頁\一共有21頁\編輯于星期三它表明差商與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)，即

f[x0,x1,x2,...,xn]=f[x1,x0,x2,...,xn]=…=f[x1,x2,...,xn,

x0

]性質(zhì)1

差商可以表示為函數(shù)值的線性組合，即稱之為差商的對(duì)稱性（也稱為對(duì)稱性質(zhì)）?，F(xiàn)在是10頁\一共有21頁\編輯于星期三性質(zhì)2

由性質(zhì)1立刻得到現(xiàn)在是11頁\一共有21頁\編輯于星期三性質(zhì)3

若f(x)在[a,b]上存在n階導(dǎo)數(shù),且節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn∈[a,b],則至少存在一點(diǎn)[a,b]

滿足下式例1

f(x)=－6x8+7x5－10,求f[1,2,…,9]及f[1,2,…,10].

解

f[1,2,…,9]=-6,f[1,2,…,10]=0.現(xiàn)在是12頁\一共有21頁\編輯于星期三

一階

二階

n階

………差商表計(jì)算原則：

任意一個(gè)k(k>=1)階差商的數(shù)值等于一個(gè)分式的值，分子為該數(shù)左側(cè)的數(shù)減去左上側(cè)的數(shù)之差，分母為同行最左側(cè)的插值節(jié)點(diǎn)值減去這一行往上數(shù)第k個(gè)插值節(jié)點(diǎn)值之差?，F(xiàn)在是13頁\一共有21頁\編輯于星期三2.4.2牛頓插值公式英1642-1727現(xiàn)在是14頁\一共有21頁\編輯于星期三

一階

二階n階

………構(gòu)造差商表現(xiàn)在是15頁\一共有21頁\編輯于星期三利用差商表的最外一行，構(gòu)造Newton插值多項(xiàng)式且有如下遞推形式現(xiàn)在是16頁\一共有21頁\編輯于星期三設(shè)x是[a，b]上一點(diǎn)，由一階差商定義得同理，由二階差商定義如此繼續(xù)下去，可得一系列等式得得牛頓插值公式推導(dǎo)二：現(xiàn)在是17頁\一共有21頁\編輯于星期三依次把后式代入前式，最后得現(xiàn)在是18頁\一共有21頁\編輯于星期三

Rn(x)稱為牛頓型插值余項(xiàng)。現(xiàn)在是19頁\一共有21頁\編輯于星期三由插值多項(xiàng)式的唯一性知，它與拉格朗日插值多項(xiàng)式是等價(jià)的,即