常微分方程基本概念

常微分方程基本概念第一頁，共42頁。一、常微分方程與偏微分方程定義1:把聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式稱為微分方程.

例1：下列關(guān)系式都是微分方程第二頁，共42頁。附注1：一個(gè)關(guān)系式要成為微分方程，要求該關(guān)系式中必須含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，但其中的自變量或未知函數(shù)可以不顯含.如果一個(gè)關(guān)系式中不顯含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，則這樣的關(guān)系式就不能成為微分方程，例如

就不是微分方程.實(shí)際上，我們?cè)跀?shù)學(xué)分析課程中已經(jīng)知道，它是一個(gè)函數(shù)方程.附注2：如果在一個(gè)微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則這樣的微分方程稱為常微分方程，如上面例1中

就是常微分方程；

第三頁，共42頁。如果自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程稱為偏微分方程，如上面例1中

就是偏微分方程.

本課程主要研究常微分方程.同時(shí)把常微分方程簡(jiǎn)稱為微分方程或方程.第四頁，共42頁。二、微分方程的階定義2：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù).

在上面例1中

是一階微分方程；

是一階微分方程；

是二階微分方程；

是四階微分方程.第五頁，共42頁。第六頁，共42頁。第七頁，共42頁。

例如上面例1中

是線性微分方程，

第八頁，共42頁。是非線性微分方程.

.而第九頁，共42頁。線性線性非線性非線性非線性第十頁，共42頁。微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的等式常微分方程(ode):只含一個(gè)自變量的微分方程偏微分方程(pde):含兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量的微分方程方程的階數(shù):方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)分類n階常微分方程的一般形式：n階線性常微分方程：都是已知函數(shù)小結(jié)：第十一頁，共42頁。第十二頁，共42頁。是解方程的解(隱式解P17）如果,則稱是方程的一個(gè)解如：方程的通解(隱式通解P18）（1）

有n個(gè)任意常數(shù)是（1）的解

是獨(dú)立的則稱是方程（1）的通解，如果對(duì)方程n個(gè)任意獨(dú)立常數(shù)（參見P23）第十三頁，共42頁。第十四頁，共42頁。第十五頁，共42頁。第十六頁，共42頁。第十七頁，共42頁。第十八頁，共42頁。第十九頁，共42頁。第二十頁，共42頁。第二十一頁，共42頁。例是通解是解含有兩個(gè)任意常數(shù)兩個(gè)任意常數(shù)獨(dú)立第二十二頁，共42頁。第二十三頁，共42頁。例：求一個(gè)平面曲線，使其向徑與切線正交，并且經(jīng)過點(diǎn)(0,1)解：設(shè)所求的曲線為y=y(x).在曲線上任取一點(diǎn)(x,y(x)).過這一點(diǎn)的切線斜率為而向徑的斜率為y/x,因此,第二十四頁，共42頁。第二十五頁，共42頁。第二十六頁，共42頁。定解條件從前面的例子可以看到，一個(gè)微分方程有無窮多個(gè)解，但在實(shí)際問題中，我們需要尋找方程滿足某種條件的解，這種條件就叫做定解條件定解條件有兩種，一種是初始條件，另一種是邊界條件。這兩種定解條件都是源于物理等科學(xué)的需要。相應(yīng)有問題稱為初值問題和邊值問題。我們主要涉及初始條件。對(duì)于n階方程:初始條件的一般形式為:第二十七頁，共42頁。這里是已知的n+1個(gè)常數(shù).它們由實(shí)際問題來決定。我們把滿足初始條件的解稱為初值問題的解（又稱方程的特解）。例初始條件：注：初值問題又稱為Cauch問題已知通解：第二十八頁，共42頁。解：從通解中求初值問題的解利用初始條件把y(0)=0代入：得又因代入得第二十九頁，共42頁。微分方程的幾何解釋設(shè)是一個(gè)解，在xy平面上的圖形叫一條積分曲線。根據(jù)初始條件，在xy平面作點(diǎn),把這個(gè)點(diǎn)叫做初始點(diǎn)，一個(gè)解滿足初始條件，從幾何上看，就是有一條積分曲線過初始點(diǎn)?？紤]：第三十頁，共42頁。設(shè)是一個(gè)解,則在積分曲線上任取一點(diǎn)，過這一點(diǎn)的切線斜率為反之，如果一條曲線上任一點(diǎn)的切線斜率為函數(shù)f在這一點(diǎn)的值，則此曲線為積分曲線。第三十一頁，共42頁。方向場(chǎng)

(fieldofdirections)

設(shè)f(x,y)的定義域?yàn)镈,過D的每一點(diǎn)畫一小線段，其斜率等于f(x,y),我們把這種圖形就叫做由方程所規(guī)定的方向場(chǎng)。

在方向場(chǎng)中，方向相同的點(diǎn)的幾何軌跡稱為等斜線(isocline)注1：求微分方程經(jīng)過點(diǎn)的曲線，就是在D內(nèi)求一條經(jīng)過的曲線，使其上每一點(diǎn)處切線的斜率都與方向場(chǎng)在該點(diǎn)的方向相吻合。注2：微分方程的等斜線方程為=,其中是參數(shù)。給出參數(shù)的一系列充分接近的值，就可得足夠密集的等斜線族，借此可以近似地作出微分方程的積分曲線。當(dāng)然，要想更精確地作出積分曲線，還必須進(jìn)一步弄清楚積分曲線的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)等。第三十二頁，共42頁。方向場(chǎng)例如：方向場(chǎng)第三十三頁，共42頁。等斜線第三十四頁，共42頁。極值點(diǎn)與拐點(diǎn)曲線第三十五頁，共42頁。解曲線第三十六頁，共42頁。解曲線第三十七頁，共42頁。圖例第三十八頁，共42頁。又如：方程確定的方向場(chǎng)及由此作出的方程的部分解如下第三十九頁，共42頁。小結(jié)

本節(jié)我們介紹了常（偏）微分方程、階、解（顯式和隱式）、通解（顯式和隱式）、定解條件、初值問題、積分曲線、方向場(chǎng)、等斜線等概念。重點(diǎn)分析了通解的定義，指出通解不一定包含方程的全部解，不是任何一個(gè)方程都有通解。對(duì)任意常數(shù)的獨(dú)立性作了特別說明。介紹了微分方程的幾何解釋及如何利用方向場(chǎng)近似畫出積分曲線的分布草圖。本節(jié)的有關(guān)概念是后面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，請(qǐng)重點(diǎn)理解和掌握。第四十頁，共42頁。復(fù)習(xí)與思考

1．微分方程的解是否連續(xù)？是否可導(dǎo)?2．微分方程的解的定義區(qū)間是