高考數(shù)學(xué)專題填空題的常用解法

PAGEPAGE1第2講高考填空題的常用方法數(shù)學(xué)填空題是一種只要求寫出結(jié)果，不要求寫出解答過(guò)程的客觀性試題，是高考數(shù)學(xué)中的三種?？碱}型之一，填空題的類型一般可分為：完形填空題、多選填空題、條件與結(jié)論開放的填空題.這說(shuō)明了填空題是數(shù)學(xué)高考命題改革的試驗(yàn)田，創(chuàng)新型的填空題將會(huì)不斷出現(xiàn).因此，我們?cè)趥淇紩r(shí)，既要關(guān)注這一新動(dòng)向，又要做好應(yīng)試的技能準(zhǔn)備.解題時(shí)，要有合理的分析和判斷，要求推理、運(yùn)算的每一步驟都正確無(wú)誤，還要求將答案表達(dá)得準(zhǔn)確、完整.合情推理、優(yōu)化思路、少算多思將是快速、準(zhǔn)確地解答填空題的基本要求.數(shù)學(xué)填空題，絕大多數(shù)是計(jì)算型(尤其是推理計(jì)算型)和概念(性質(zhì))判斷型的試題，應(yīng)答時(shí)必須按規(guī)則進(jìn)行切實(shí)的計(jì)算或者合乎邏輯的推演和判斷。求解填空題的基本策略是要在“準(zhǔn)”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、數(shù)行結(jié)合法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法等。一、直接法這是解填空題的基本方法，它是直接從題設(shè)條件出發(fā)、利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識(shí)，通過(guò)變形、推理、運(yùn)算等過(guò)程，直接得到結(jié)果。例1設(shè)其中i，j為互相垂直的單位向量，又，則實(shí)數(shù)m=。解：∵，∴∴，而i，j為互相垂直的單位向量，故可得∴。例2已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。解：，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，在上為增函數(shù)，∴，∴。例3現(xiàn)時(shí)盛行的足球彩票，其規(guī)則如下：全部13場(chǎng)足球比賽，每場(chǎng)比賽有3種結(jié)果：勝、平、負(fù)，13長(zhǎng)比賽全部猜中的為特等獎(jiǎng)，僅猜中12場(chǎng)為一等獎(jiǎng)，其它不設(shè)獎(jiǎng)，則某人獲得特等獎(jiǎng)的概率為。解：由題設(shè)，此人猜中某一場(chǎng)的概率為，且猜中每場(chǎng)比賽結(jié)果的事件為相互獨(dú)立事件，故某人全部猜中即獲得特等獎(jiǎng)的概率為。二、特殊化法當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結(jié)果。例4在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c。若a、b、c成等差數(shù)列，則。解：特殊化：令，則△ABC為直角三角形，，從而所求值為。例5過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF、FQ的長(zhǎng)分別為p、q，則。分析：此拋物線開口向上，過(guò)焦點(diǎn)且斜率為k的直線與拋物線均有兩個(gè)交點(diǎn)P、Q，當(dāng)k變化時(shí)PF、FQ的長(zhǎng)均變化，但從題設(shè)可以得到這樣的信息：盡管PF、FQ不定，但其倒數(shù)和應(yīng)為定值，所以可以針對(duì)直線的某一特定位置進(jìn)行求解，而不失一般性。解：設(shè)k=0，因拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為把直線方程代入拋物線方程得，∴，從而。例6求值。分析：題目中“求值”二字提供了這樣信息：答案為一定值，于是不妨令，得結(jié)果為。三、數(shù)形結(jié)合法對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，得出正確的結(jié)果。，∴。例12函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為。解：易知∵y與y2有相同的單調(diào)區(qū)間，而，∴可得結(jié)果為?？傊?，能夠多角度思考問(wèn)題，靈活選擇方法，是快速準(zhǔn)確地解數(shù)學(xué)填空題的關(guān)鍵。五、練習(xí)1已知函數(shù)，則講解由，得，應(yīng)填4.請(qǐng)思考為什么不必求呢？集合的真子集的個(gè)數(shù)是講解，顯然集合M中有90個(gè)元素，其真子集的個(gè)數(shù)是，應(yīng)填.快速解答此題需要記住小結(jié)論;對(duì)于含有n個(gè)元素的有限集合,其真子集的個(gè)數(shù)是3．若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則講解由已知拋物線的對(duì)稱軸為,得，而，有，故應(yīng)填6.果函數(shù)，那么講解容易發(fā)現(xiàn)，這就是我們找出的有用的規(guī)律，于是 原式＝，應(yīng)填 本題是2002年全國(guó)高考題，十分有趣的是，2003年上海春考題中也有一道類似題： 設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得已知點(diǎn)P在第三象限，則角的終邊在第象限.講解由已知得從而角的終邊在第二象限，故應(yīng)填二.不等式（）的解集為.講解注意到，于是原不等式可變形為而，所以，故應(yīng)填如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，那么講解，其中.是已知函數(shù)的對(duì)稱軸，，即，于是故應(yīng)填. 在解題的過(guò)程中，我們用到如下小結(jié)論： 函數(shù)和的圖象關(guān)于過(guò)最值點(diǎn)且垂直于x軸的直線分別成軸對(duì)稱圖形.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量，將按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到向量，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則講解應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，得，于是 故應(yīng)填9．設(shè)非零復(fù)數(shù)滿足，則代數(shù)式的值是____________. 講解將已知方程變形為，解這個(gè)一元二次方程，得 顯然有,而,于是 原式＝ ＝ ＝ 在上述解法中，“兩邊同除”的手法達(dá)到了集中變量的目的，這是減少變?cè)囊粋€(gè)上策，值得重視.10．已知是公差不為零的等差數(shù)列，如果是的前n項(xiàng)和，那么 講解特別取，有，于是有故應(yīng)填2.列中，,則 講解分類求和，得 ，故應(yīng)填．以下四個(gè)命題：①②③凸n邊形內(nèi)角和為

④凸n邊形對(duì)角線的條數(shù)是其中滿足“假設(shè)時(shí)命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立’’.但不滿足“當(dāng)（是題中給定的n的初始值）時(shí)命題成立”的命題序號(hào)是.講解①當(dāng)n=3時(shí)，，不等式成立；當(dāng)n=1時(shí)，，但假設(shè)n=k時(shí)等式成立，則；③，但假設(shè)成立，則④，假設(shè)成立，則故應(yīng)填②③.13．某商場(chǎng)開展促銷活動(dòng)，設(shè)計(jì)一種對(duì)獎(jiǎng)券，號(hào)碼從000000到999999.若號(hào)碼的奇位數(shù)字是不同的奇數(shù)，偶位數(shù)字均為偶數(shù)時(shí)，為中獎(jiǎng)號(hào)碼，則中獎(jiǎng)面（即中獎(jiǎng)號(hào)碼占全部號(hào)碼的百分比）為. 講解中獎(jiǎng)號(hào)碼的排列方法是：奇位數(shù)字上排不同的奇數(shù)有種方法，偶位數(shù)字上排偶數(shù)的方法有，從而中獎(jiǎng)號(hào)碼共有種，于是中獎(jiǎng)面為 故應(yīng)填14．的展開式中的系數(shù)是講解由知，所求系數(shù)應(yīng)為的x項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的和，即有故應(yīng)填1008.15．過(guò)長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為3、4、5,且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，這個(gè)球的表面積是________.講解長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是外接球的直徑,即有從而，故應(yīng)填16．若四面體各棱的長(zhǎng)是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積是（只需寫出一個(gè)可能的值）．講解本題是一道很好的開放題，解題的開竅點(diǎn)是：每個(gè)面的三條棱是怎樣構(gòu)造的，依據(jù)“三角形中兩邊之和大于第三邊”，就可否定｛1，1，2｝，從而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三種形態(tài)，再由這三類面構(gòu)造滿足題設(shè)條件的四面體，最后計(jì)算出這三個(gè)四面體的體積分別為：,,，故應(yīng)填.、、中的一個(gè)即可.eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)ABDCEFA1B1C1D1講解因?yàn)檎襟w是對(duì)稱的幾何體，所以四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可分為：上下、左右、前后三個(gè)方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.四邊形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如圖eq\o\ac(○,2)所示；四邊形BFD1E在該正方體對(duì)角面的ABC1D1內(nèi)，它在面ADD1A1上的射影顯然是一條線段，如圖eq\o\ac(○,3)所示.故應(yīng)填eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3).18直線被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是___________.講解由消去y，化簡(jiǎn)得設(shè)此方程二根為，所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則故應(yīng)填.19橢圓上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m，則當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____________________.講解記橢圓的二焦點(diǎn)為，有則知 顯然當(dāng)，即點(diǎn)P位于橢圓的短軸的頂點(diǎn)處時(shí)，m取得最大值25. 故應(yīng)填或20一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數(shù)解析式是，在杯內(nèi)放一個(gè)玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范圍是___________.