線性代數(shù)課件52矩陣的相似對(duì)角化

一.引例 0設(shè)矩陣A 0,計(jì)算 1回憶:AT

TkTTk1Tk1

1k k 0 0 0A 0 0 0 1

1 1 A10PP1PP1PP1PP1P10P 0210 0

0

1

1 問題 二.相似的定義與性質(zhì)相似 P1AP

3：AP1BP

BAPD例 設(shè)A~C,B~D,證明

0 0 ~ ~ A~C,B~D存在可逆矩陣P,Q,使P1APC,Q1BQP

0

0 0 0 Q1

B

0~ 0 定理 設(shè)BP1AP,則IIP1P1IAP

IAI

A~ n1，,n是矩陣A的全部特征值I

?

1n的全部特征值是 A的全部特征值是1 證:

設(shè)A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量：P1,Pn1AP11P1,,APnn 1 AP1,,APn1P1,,nPnP,, AP,,P

P1P

AP P1AP

A~ n

設(shè)P1AP AP

nPP1Pn AP,,PP,,P n n1P1,,nPnAP11P1,,APnn PP,P線性無關(guān) P1,Pn是A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量定理

A111,,Ammm,i0i1,,m 證 設(shè)kk

1,,m左乘Aii1,mAAi

j1,,m 0kAi

ki k11mm 0kk km1k

k11mm 0kk km1k

m1 k11,,

0,,0

m1

T

,,互異 k11,,kmm0,,0 0i1,,m

k1km推論1.A的特征值互異A與對(duì)角矩陣相似證:設(shè)是1,,n 1,,n線性無關(guān)A與對(duì)角矩陣相似1,k是矩陣A的不同特征值i1i

11，,1r,,k1

例2.A3IA3I－AI－3A均不可逆證明:(1)A可逆 證:1IA不可逆IAI

I

011A特征值3II3A

3II3

023A的特征值 1IA3 1I3

01A的特征值 AA可逆例2.A3IA3I－AI－3A均不可逆證明:(1)A可逆 ) A~ 13 四.相似對(duì)角化的判定(任一特征值的代數(shù)重?cái)?shù)若iA的ki重特征值iIAXRiIAnki例 2 2 0A 2,B 2,C 0 1

2 解 IA

Adiag1,1,IB

10,

1二重. 2 1 IB 2 0

2 0 R2IBBIC

1211二重R1IC2

2例

1 設(shè)A y~ 0

IA

(1)2(A~

R(1IA) 1 IA 1 1 xy R(1IA)1xyxy a例 已知A 1分析

IA

a

a

a

a1aa a1a,a,

a

k12a;k4a k k

a2 a

11a,2a,3aA

k4a 1

a2 23312a122重特征值12113a0 13AA (A)1;(B) 1 (C) 1(A)1; (A)1(2重 (B)1,

(C)3 (D)525選項(xiàng)(A)中,對(duì)2重特征值1R1IA1 22 例 設(shè)矩陣A

011

IA

2五.五.1 2 1 例

A

0,求A10111 2 1 0 1 1IA 0 3006 3006x

1

1 1 IA 33

0 060 060 x2

0x1,0

令P 110 110 P1AP 1 1 APP1A10P10P1

110 110

1 1

1 01

例 已知矩陣A

向量求A的值并求An. AIA

2

12112重2對(duì)A的2重特征值1:R1IA32 A a2 R1IA32 2

IA

2a

22a

3

2a

A 4 41 01:0,1,

22:1.

1 0 2

3令P,, 1

1 31

3

2n12AP

P

An 2n

1 2

3

32n2 六. P1APB,A與B相似，記為

定理

A~

n

定理