經(jīng)典控制理論第五章

經(jīng)典控制理論第五章第1頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二具體步驟：1.開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)分解；2.確定一階環(huán)節(jié)、二階環(huán)節(jié)的交接頻率，將各交接頻率標(biāo)注在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)軸的軸上；3.繪制低頻段漸近線特性，在頻段內(nèi)，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)幅頻漸近線特性的斜率取決于，因而直線斜率為。4.在頻段，系統(tǒng)幅頻漸近線表現(xiàn)為分段折線。每?jī)蓚€(gè)相鄰交接頻率之間為直線，在每個(gè)交接頻率點(diǎn)處，斜率發(fā)生變化，變化規(guī)律取決于該交接頻率對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)種類。第2頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二Bode圖的繪制例一系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為求得頻率特性為第3頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第4頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二繪制步驟：確定交接頻率

標(biāo)在角頻率ω軸上。在ω＝1處，量出幅值20lgK，其中K為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大系數(shù)。（上圖中的A點(diǎn)）通過(guò)A點(diǎn)作一條-20vdB/十倍頻的直線，其中v為系統(tǒng)的無(wú)差階數(shù)（對(duì)于本例，v=1），直到第一個(gè)交接頻率

(圖中B點(diǎn)）。如果，則低頻漸進(jìn)線的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)A點(diǎn)。第5頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二以后每遇到一個(gè)交接頻率，就改變一次漸進(jìn)線斜率。每當(dāng)遇到環(huán)節(jié)的交接頻率時(shí)，漸進(jìn)線斜率增加-20dB/十倍頻；每當(dāng)遇到環(huán)節(jié)的交接頻率時(shí)，斜率增加+20dB/十倍頻；每當(dāng)遇到環(huán)節(jié)的交接頻率時(shí)，斜率增加-40dB/十倍頻。第6頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二繪出用漸進(jìn)線表示的對(duì)數(shù)幅頻特性以后，如果需要，可以進(jìn)行修正。通常只需在交接頻率處以及交接頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。對(duì)于一階項(xiàng)，在交接頻率處的修正值為±3dB；在交接頻率的二倍頻和1/2倍頻處的修正值為±1dB。對(duì)于二階項(xiàng)，在交接頻率處的修正值可由公式求出。

系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)通過(guò)0分貝線，即

時(shí)的頻率稱為穿越頻率。穿越頻率是開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性的一個(gè)很重要的參量。第7頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二繪制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)相頻特性時(shí)，可分環(huán)節(jié)繪出各分量的對(duì)數(shù)相頻特性，然后將各分量的縱坐標(biāo)相加，就可以得到系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性。

第8頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二系統(tǒng)類型與開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性不同類型的系統(tǒng)，低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性顯著不同。0型系統(tǒng)1型系統(tǒng)

2型系統(tǒng)

第9頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二0型系統(tǒng)

0型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性有如下形式

第10頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示

第11頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

這一特性的特點(diǎn)：

在低頻段，斜率為0dB/十倍頻；低頻段的幅值為20lgKk，由之可以確定穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。第12頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二1型系統(tǒng)

1型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性有如下形式

第13頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示

第14頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

這一特性的特點(diǎn)：

在低頻段的漸進(jìn)線斜率為-20dB/十倍頻；低頻漸進(jìn)線（或其延長(zhǎng)線）與0分貝的交點(diǎn)為ωk=Kk，由之可以確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)kv=Kk

；低頻漸進(jìn)線（或其延長(zhǎng)線）在ω=1時(shí)的幅值為20lgKkdB。第15頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2型系統(tǒng)

2型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性有如下形式

第16頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示

第17頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

這一特性的特點(diǎn)：

低頻漸進(jìn)線的斜率為-40dB/十倍頻；低頻漸進(jìn)線（或其延長(zhǎng)線）與0分貝的交點(diǎn)為，由之可以確定加速度誤差系數(shù)ka=Kk

；低頻漸進(jìn)線（或其延長(zhǎng)線）在ω=1時(shí)的幅值為20lgKkdB。第18頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性。解系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性系統(tǒng)由5個(gè)典型環(huán)節(jié)組成:

轉(zhuǎn)折頻率

；且時(shí)L(ω)=20lgK=20dB或

L(ω)=0作對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線。過(guò)ω=1，L(ω)=20dB或ω=10，L(ω)=0dB作一條斜率為-20dB/dec直線作為低頻段直線；

第19頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

過(guò)第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率后，特性斜率按環(huán)節(jié)性質(zhì)變化，對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線，如圖所示。在各轉(zhuǎn)折頻率附近按誤差曲線加以修正，得對(duì)數(shù)幅頻特性的精確曲線，如圖虛線所示。

對(duì)數(shù)頻率特性

第20頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

本節(jié)介紹另一種重要且實(shí)用的方法——乃奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)，是由H.Nyquist于1932年提出的。

這一判據(jù)是利用開(kāi)環(huán)系統(tǒng)幅相頻率特性（乃氏圖），來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的理論基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)理論中的幅角定理，也稱映射定理。

5-4

頻率域的穩(wěn)定判據(jù)

第21頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

當(dāng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s平面的原點(diǎn)及虛軸上無(wú)極點(diǎn)時(shí)，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可表示為：當(dāng)ω從-∞→+∞變化時(shí)的Nyquist曲線G(jω)H(jω)，逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)的次數(shù)N，等于系統(tǒng)G(s)H(s)位于右半s平面的極點(diǎn)數(shù)P，即N=P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,否則(N≠P)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)右極點(diǎn)數(shù)Z=P-N

。由Nyquist曲線G(jω)H(jω)(ω從0→+∞)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的Nyquist判據(jù)為G(jω)H(jω)曲線(ω：0→+∞)逆時(shí)針包圍(-1，j0)的次數(shù)為。

第22頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第23頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二極坐標(biāo)圖例已知單位反饋系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半平面，開(kāi)環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖如下圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

系統(tǒng)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，即P=0，從圖中看到ω由-∞→+∞變化時(shí)，G(jω)H(jω)曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，即N=0，Z=P-N=0，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第24頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例單位反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為作出ω=0→+∞變化時(shí)G(jω)曲線如下圖所示，鏡像對(duì)稱得ω：-∞→0變化時(shí)G(jω)如圖中虛線所示。系統(tǒng)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定，有一個(gè)位于s平面的右極點(diǎn)，即P=1。

第25頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二極坐標(biāo)圖

從G(jω)曲線看出，當(dāng)K>1時(shí)，Nyquist曲線逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)一圈，即N=1，Z=P-N=0則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)K<1時(shí)，Nyquist曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，N=0，Z=P-N=1則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)有一個(gè)右極點(diǎn)。第26頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的頻率特性為第27頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

作出ω=0+→+∞變化時(shí)G(jω)

的曲線如右圖所示，根據(jù)鏡像對(duì)稱得ω=-∞→0-變化時(shí)G(jω)

的曲線，如圖所示，從ω=0-到ω=0+以無(wú)限大為半徑順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)π，得封閉曲線(或輔助圓)，如圖所示。

圖5-34例5-8的極坐標(biāo)曲線第28頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

從圖看出：當(dāng)ω由-∞→+∞變化時(shí)，當(dāng)時(shí)，G(jω)

(ω從-∞→+∞)曲線順時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)兩圈，即N=-2，而開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即P=0，所以閉環(huán)系統(tǒng)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)Z=P-N=2閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)閉環(huán)右極點(diǎn)。

當(dāng)時(shí)，G(jω)

(ω從-∞→+∞)曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)，G(jω)

(ω從-∞→+∞)曲線穿越(-1，j0)點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。第29頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二臨界放大倍數(shù)第30頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二應(yīng)用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就是看開(kāi)環(huán)頻率特性曲線對(duì)負(fù)實(shí)軸上(-1,-∞)區(qū)段的穿越情況。穿越伴隨著相角增加故稱之為正穿越，記作N+，穿越伴隨著相角減小，稱為負(fù)穿越，記作N-，如下圖所示。由此，Nyquist判據(jù)可描述為：當(dāng)ω由-∞→+∞變化時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性曲線在負(fù)實(shí)軸上(-1，-∞)區(qū)段的正穿越次數(shù)N+與負(fù)穿越次數(shù)N-之差等于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)P時(shí)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

第31頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二N+-N_=P

頻率特性曲線第32頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二Nyquist對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

對(duì)數(shù)幅相頻率特性的穩(wěn)定判據(jù)，實(shí)際上是Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的另一種形式，即利用開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）來(lái)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而Bode圖又可通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得，因此在工程上獲得了廣泛的應(yīng)用。

Nyquist圖與Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如下圖所示。采用對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）時(shí)，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可表述為:

第33頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二當(dāng)ω由0→+∞變化時(shí)，在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線L(ω)≥0的頻段內(nèi)，相頻特性曲線對(duì)-180°線的正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差為P/2

（P為s平面右半平面開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。Nyquist圖和Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系第34頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第35頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解作出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖如下圖(a)所示，輔助圓如圖中虛線所示。系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖)如下圖(b)所示，極坐標(biāo)圖中的輔助圓，幅值為無(wú)窮大，相角由對(duì)應(yīng)于圖(b)中虛線。由圖可知，N+-N-=-1，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定P=0，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)Z=P-2N=2。且從圖中可以看出，不論K如第36頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二何變化，開(kāi)環(huán)頻率特性上的穿越次數(shù)卻不變化，系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，表明系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。帶積分環(huán)節(jié)的的開(kāi)環(huán)頻率特性第37頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二奈氏穩(wěn)定判據(jù)

如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：當(dāng)ω由-∞

變到+∞

時(shí)，開(kāi)環(huán)頻率特性在復(fù)數(shù)平面的軌跡不包圍（-1,j0）這一點(diǎn)。

如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)特征方程式有P個(gè)根在右半s平面上，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)ω由-∞

變到+∞

時(shí)，開(kāi)環(huán)頻率特性的軌跡在復(fù)平面上應(yīng)逆時(shí)針圍繞(-1,j0)點(diǎn)轉(zhuǎn)N=P圈。否則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。閉環(huán)系統(tǒng)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)Z=P-N。第38頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二最小相角系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)G(jw)曲線過(guò)(-1,j0)點(diǎn)，

該點(diǎn)：同時(shí)成立-110j臨界穩(wěn)定的特點(diǎn)第39頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二ba-110jr1/h若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖：a點(diǎn)：但b點(diǎn)：但若a點(diǎn)沿著單位圓順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)r角，則同時(shí)成立。若b點(diǎn)沿著負(fù)實(shí)軸向左移動(dòng)到(-1,j0)點(diǎn)，則同時(shí)成立定義相角裕度為a點(diǎn)截止頻率定義幅值裕度為b點(diǎn)為交界頻率5-5穩(wěn)定裕度的定義第40頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二穩(wěn)定裕度第41頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性

從Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)沒(méi)有右半平面的極點(diǎn)且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點(diǎn)越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低，這就是通常所說(shuō)的相對(duì)穩(wěn)定性通過(guò)奈氏曲線對(duì)點(diǎn)(-1,j0)的靠近程度來(lái)度量其定量表示為相角裕量和增益裕度第42頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

增益裕度h表示系統(tǒng)到達(dá)臨界狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)增益所允許增大的倍數(shù)。系統(tǒng)的相角裕度或相角裕量為使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)，尚可增加的滯后相角。兩種情況對(duì)應(yīng)的頻率分別為。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定：h>1，>0。第43頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例。已知單位反饋系統(tǒng)設(shè)K分別為4和10，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性第44頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二可分別作出K=4和K=10的開(kāi)環(huán)幅相曲線。有奈氏判據(jù)知：K=4時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，K=10時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，。第45頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第46頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第47頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第48頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二系統(tǒng)暫態(tài)特性和

開(kāi)環(huán)頻率特性的關(guān)系開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的基本性質(zhì)系統(tǒng)暫態(tài)特性和開(kāi)環(huán)頻率特性的關(guān)系第49頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的基本性質(zhì)波德定理(適用于最小相位系統(tǒng)）波德第一定理指出，對(duì)數(shù)幅頻特性漸進(jìn)線的斜率與相角位移有對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如對(duì)數(shù)幅頻特性斜率為-20NdB/十倍頻，對(duì)應(yīng)于相角位移。在某一頻率時(shí)的相角位移，當(dāng)然是由整個(gè)頻率范圍內(nèi)的對(duì)數(shù)幅頻特性斜率來(lái)確定的，但是，在這一頻率時(shí)的對(duì)數(shù)幅頻特性斜率，對(duì)確定時(shí)的相角位移，起的作用最大。離這一頻率越遠(yuǎn)的幅頻特性斜率，起的作用越小。

第50頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二波德第二定理指出，對(duì)于一個(gè)線性最小相位系統(tǒng)，幅頻特性和相頻特性之間的關(guān)系是唯一的。當(dāng)給定了某一頻率范圍的對(duì)數(shù)幅頻特性時(shí)，在這一頻率范圍的相頻特性也就確定了。反過(guò)來(lái)說(shuō)，給定了某一頻率范圍的相角位移，那么，這一頻率范圍的對(duì)數(shù)幅頻特性也就確定了。可以分別給定某一個(gè)頻率范圍的對(duì)數(shù)幅頻特性和其余頻率范圍的相頻特性，這時(shí)，這一頻率范圍的相角位移和其余頻率范圍的對(duì)數(shù)幅頻特性也就確定了。

第51頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率和相頻特性的關(guān)系第52頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二低頻段和高頻段特性斜率對(duì)穩(wěn)定裕量的影響低頻段特性第53頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二虛線幅頻特性：實(shí)線的頻率特性：第54頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二高頻段特性第55頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二實(shí)線相當(dāng)于虛線串聯(lián)了一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，頻率特性第56頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二放大系數(shù)的變化對(duì)相位裕量的影響之一第57頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二放大系數(shù)的變化對(duì)相位裕量的影響之二第58頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二放大系數(shù)的變化對(duì)相位裕量的影響之三第59頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

結(jié)論穿過(guò)的幅頻特性斜率以-20dB/十倍頻為宜，一般最大不超過(guò)-30dB/十倍頻。低頻段和高頻段可以有更大的斜率。低頻段有斜率更大的線段可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)；高頻段有斜率更大的線段可以更好地排除高頻干擾。中頻段的截止頻率的選擇，決定于系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)速度的要求。中頻段的長(zhǎng)度對(duì)相位裕量有很大影響，中頻段越長(zhǎng)，相位裕量越大。第60頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二系統(tǒng)暫態(tài)特性和開(kāi)環(huán)頻率特性的關(guān)系相位裕量和超調(diào)量之間的關(guān)系

以二階系統(tǒng)為例二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型式為

第61頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為開(kāi)環(huán)頻率特性為

第62頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二相位裕量和超調(diào)量之間的關(guān)系為

第63頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

與的關(guān)系圖如下

第64頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二相位裕量和調(diào)節(jié)時(shí)間之間的關(guān)系

第65頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

與的關(guān)系圖如下

第66頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

由二階系統(tǒng)可以看出，調(diào)節(jié)時(shí)間與相位裕度有關(guān)。如果兩個(gè)系統(tǒng)，其相同，那么它們的超調(diào)量大致是相同的，但是它們的暫態(tài)時(shí)間與成反比。截止頻率越大的系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時(shí)間越短。所以在對(duì)數(shù)頻率特性中是一個(gè)重要的參數(shù)，它不僅影響系統(tǒng)的相位裕度，也影響系統(tǒng)的暫態(tài)時(shí)間。第67頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二5-6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)主要內(nèi)容

由開(kāi)環(huán)頻率特性求取閉環(huán)頻率特性

等M圓（等幅值軌跡）

等N圓（等相角軌跡）

利用等M圓和等N圓求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性

非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性第68頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二由開(kāi)環(huán)頻率特性求取閉環(huán)頻率特性單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性

第69頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二等M圓（等幅值軌跡）定義設(shè)開(kāi)環(huán)頻率特性

G(jω)為

G(jω)=p(ω)+jθ(ω)=x+jy

令則整理得：(1-M2)x2+(1-M2)y2-2M2x=M2

第70頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二當(dāng)M=1時(shí)，由上式可求得x=-1/2，這是通過(guò)點(diǎn)（-1/2，j0）且與虛軸平行的一條直線

當(dāng)M≠1時(shí)，由上式可化為對(duì)于給定的M值（等M值），上式是一個(gè)圓方程式，圓心在處，半徑。所以在G(jω)平面上，等M軌跡是一簇圓，見(jiàn)下圖第71頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二等M圓第72頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二分析:1.當(dāng)M>1時(shí)，隨著M值的增大，等M圓半徑愈來(lái)愈小，最后收斂于（-1,j0）點(diǎn)，且這些圓均在M=1直線的左側(cè);2.當(dāng)M<1時(shí)，隨著M值的減小，M圓半徑也愈來(lái)愈小，最后收斂于原點(diǎn)，而且這些圓都在M=1直線的右側(cè);3.當(dāng)M=1時(shí)，它是通過(guò)（-1/2，0j）點(diǎn)平行于虛軸的一條直線。等M圓既對(duì)稱于M=1的直線，又對(duì)稱于實(shí)軸。第73頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二等N圓（等相角軌跡）定義：閉環(huán)頻率特性的相角ψm為：令整理得：第74頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

當(dāng)給定N值(等N值)時(shí)，上式為圓的方程，圓心在處，半徑為,稱為等N圓，見(jiàn)下圖。第75頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二等N圓第76頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二1.等N圓實(shí)際上是等相角正切的圓，當(dāng)相角增加±180°時(shí)，其正切相同，因而在同一個(gè)圓上；2.所有等N圓均通過(guò)原點(diǎn)和（-1,j0）點(diǎn)；3.對(duì)于等N圓，并不是一個(gè)完整的圓，而只是一段圓弧。第77頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二利用等M圓和等N圓求

單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性意義：有了等M圓和等N圓圖，就可由開(kāi)環(huán)頻率特性求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性和相頻特性。具體方法：將開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖G(jω)疊加在等M圓線上，如圖(a)所示。G(jω)曲線與等M圓相交于ω1，ω2，ω3...第78頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（a）等M圓（b）等N圓第79頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二在ω=ω1

處，G(jω)曲線與M=1.1的等M圓相交表明在ω1頻率下，閉環(huán)系統(tǒng)的幅值為M(ω1)=1.1依此類推。從圖上還可看出，M=2的等M圓正好與G(jω)曲線相切，切點(diǎn)處的M值最大，即為閉環(huán)系統(tǒng)的諧振峰值Mr，而切點(diǎn)處的頻率即為諧振頻率ωr

。此外，G(jω)曲線與M=0.707的等M圓交點(diǎn)處的頻率為閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬頻率ωb

，0＜ω＜ωb

稱為閉環(huán)系統(tǒng)的頻帶寬度。第80頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

同樣，將開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖G(jω)疊加在等N圓線上，如圖(b)所示。G(jω)曲線與等N圓相交于ω1，ω2，ω3...

如ω=ω1處，G(jω)曲線與-10°的等N圓相交，表明在這個(gè)頻率處，閉環(huán)系統(tǒng)的相角為-10°，依此類推得閉環(huán)相頻特性。第81頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性

思路：上面介紹的等M圓和等N圓求取閉環(huán)頻率特性的方法，適用于單位反饋系統(tǒng)。對(duì)于一般的反饋系統(tǒng)，如下圖(a)所示，則可等效成如下圖(b)所示的結(jié)構(gòu)圖，其中單位反饋部分的閉環(huán)頻率特性可按上述方法求取，再與頻率特性1/H(jω)相乘，便可得到總的閉環(huán)頻率特性第82頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二非單位反饋控制系統(tǒng)第83頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二尼科爾斯圖線

由于繪制開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性比繪制開(kāi)環(huán)幅相頻率特性簡(jiǎn)單的多；另外，改變開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)時(shí)，幅相頻率特性的形狀發(fā)生變化，必須重新繪制。而對(duì)數(shù)幅頻特性只是上下移動(dòng)，更方便。將等M圓和等N圓繪于對(duì)數(shù)幅相坐標(biāo)中，可以提供這一方便條件。在對(duì)數(shù)幅相平面上，由等M圓和等N圓軌跡構(gòu)成的曲線簇稱為尼科爾斯圖線。見(jiàn)下圖。第84頁(yè)，共99頁(yè)，2023年，2月20日，星期二圖中橫坐標(biāo)為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的相角，以普通比例尺標(biāo)度；縱坐標(biāo)