2022年武漢大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題(解析版)-2023修改整理

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦2022年武漢大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題(解析版)1.對于數(shù)列{un}，若存在常數(shù)M>0，對隨意的n∈N*，恒有

|un+1－un|+|un－un－1|+…+|u2－u1|≤M，

則稱數(shù)列{un}為B—數(shù)列.

(1)首項為1，公比為q(|q|b>0)的左、右焦點，A、B分離是橢圓E的左、右頂點，D(1，0)為線段OF2的中點，且AF2→+5BF2→=0.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若M為橢圓上的動點(異于點A、B)，銜接MF1并延伸交橢

圓E于點N，銜接MD、ND并分離延伸交橢圓E于點P、Q，

銜接PQ.設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分離為k1、k2，試問是

否存在常數(shù)λ，使得k1+λk2=0恒成立?若存在，求出λ的值；

若不存在，說明理由.

【解析】(1)易知c=2，由于AF2→+5BF2→，即a+c=5(a－c)，解得：a=3，所以：b2=a2－c2=5.

所以：橢圓E的方程為x29+y2

5

=1.(2)設(shè)直線MN的方程為x=ty－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

所以：直線MP的方程為y=y1x1－1

(x－1)，聯(lián)立橢圓方程和直線方程可得：

?????x29+y25=1，y1x－(x1－1)y－y1=0，

消去y得：(5－x1)x2－(9－x21)x+9x1－5x21=0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：xP=

9－5x15－x1，于是P?????9－5x15－x1，4y15－x1，同理可得：Q???

??9－5x25－x2，4y25－x2，所以：k2=－2825t=－2825k1，即：k1+2528

k2=0所以：存在λ=2528

滿足題意.3.已知函數(shù)f(x)=lnx－ax+ax

，其中a為常數(shù).(1)若f(x)的圖象在x=1處的切線經(jīng)過點(3，4)，求a的值；

(2)若00；

(3)當(dāng)函數(shù)f(x)存在三個不同的零點時，求a的取值范圍.

【解析】(1)f′(x)=1x－a－ax2，所以f′(1)=1－2a，由于切點坐標(biāo)為(1，0)，所以k=2，所以：1－2a=2，解得：a=－12

.(2)證實：原題即證2lna－ln2－a32+2a

>0對隨意的a∈(0，1)成立.令g(a)=2lna－ln2－a32+2a，所以：g′(a)=2a－3a22－2a2=4a－3a4－42a2

，令h(a)=4a－3a4－4，則h′(a)=4－12a3，則h(a)在?????0，133單調(diào)遞增，在???

??133，1上單調(diào)遞減，而h(a)max=h???

??133=39－4g(1)=－ln2+32

>0.(3)明顯x=1是函數(shù)的一個零點，則只需a=

xlnxx2－1

有兩個不等的實數(shù)解即可.令g(x)=xlnxx2－1

，x>0且x≠1.則g′(x)=－(x2+1)????lnx－x2－1x2+1(x2－1)2，令φ(x)=lnx－x2－1x2+1

，則φ′(x)=1x－4x(x2+1)2=(x2－1)2x(x2+1)

2>0，

于是φ(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，同時注重到φ(1)=0.

所以g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)單調(diào)遞減.

由于limx→1xlnxx2－1=limx→1lnxx－1x=limx→11x1+1x2=limx→1xx2+1=12，又由于lim

x→0xlnxx2－1=limx→0lnxx－1x=limx→0x1+x2=0，limx→+∞xlnxx2－1=limx→01x+1x=0，所以：0.4.設(shè)非負(fù)實數(shù)x、y、z滿足xy+yz+zx=1，求證：1x+y+1y+z+1z+x≥52

.【解析】證實：因為對稱性，不妨設(shè)x≥y≥z，設(shè)y+z=a，則ax=1－yz≤1，所以：x≤1a

，令1x+y+1y+z+1z+x=2x+ax2+1+1a

=f(x)，所以：f′(x)=－2(x2+1)2(x2+ax－1)=2(yz－x2)(x2+1)20，使得f′(x)=h(x)(x2－ax++1)，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a).

(1)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+b+2x+1

(x>1)，其中b為常數(shù)；①求證函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a)；

②求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2)，給定x1，x2∈(1，+∞)，x11，β>1，若|g(α)－g(β)|0

恒成立，h(x)=1x(x+1)2

>0恒成立.②由①知，f′(x)=x2－bx+1x(x+1)2

，當(dāng)b≤2時，f′(x)≥0恒成立，此時f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞增，當(dāng)b>2時，f′(x)在(