四川孰眉第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期4月月考試題文

PAGEPAGE9四川省峨眉第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期4月月考試題文 本試題卷分第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）兩部分.第一部分1至2頁(yè)，第二部分3至4頁(yè).考生作答時(shí)，須將答案答在答題卡上，在本試題卷.草稿紙上答題無(wú)效.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共50分）注意事項(xiàng)： 1．選擇題必須用2B鉛筆將答案標(biāo)號(hào)填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上. 2．第一部分共12小題，每小題5分，共60分.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.eq\f(1＋2i,1－2i)＝()A.－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)iB.－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)iC.－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i D.－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i2．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．43.設(shè)x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，則復(fù)數(shù)z＝x＋yi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知函數(shù)f(x)＝logax(a>0且a≠1),若f′(1)＝－1,則a＝()A．eB.eq\f(1,e2)C.eq\f(1,e)D.eq\f(1,2)5.已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，則eq\f(a＋i2020,1＋i)＝()A．1B．0C．1＋i D．1－i6．f(x)＝x(2020＋lnx)，若f′(x0)＝2021，則x0等于()A．1B．ln2C．e D．e27．函數(shù)f(x)＝x3－x2在區(qū)間[－1,2]上的最小值是為()A．0B.－2C.－ D.－48．已知函數(shù)f(x)＝xlnx，則f(x)()A．在(0，＋∞)上單調(diào)遞增B．在(0，＋∞)上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞增9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為()A．24＋2eq\r(5)B．24＋4eq\r(5)C．20＋4eq\r(5) D．20＋2eq\r(5)10.正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AE與CD所成角的正切值()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(7),2)11．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2021(x)＝()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．sinx＋cosx D．－sinx＋cosx12．已知函數(shù)f(x)＝x(x－m)2在x＝1處取得極小值,則實(shí)數(shù)m＝()A．0B．1C．2D．3第二部分（非選擇題90分）注意事項(xiàng)： 1．考生須用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答，作圖題可先用鉛筆畫(huà)線(xiàn)，確認(rèn)后用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚，答在試題卷上無(wú)效. 2．本部分共11小題，共100分.二、填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線(xiàn)上.13．已知函數(shù)f(x)＝x2－x,則f′(x)＝_______．14.設(shè)z＝eq\f(1－i,1＋i)，則|z|＝_______．15.曲線(xiàn)y＝(ax＋1)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)的斜率為－2，則a＝________.16.若冪函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)g(x)＝exf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______．三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟.17．（本題10分）(1)已知曲線(xiàn)y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).求曲線(xiàn)在點(diǎn)P(1,2)處的切線(xiàn)方程；(2)若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)x2＋ax＋4恰在[－1,4]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的值為?18．（本題12分）設(shè)f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，定義域（0，+）其中a∈R，曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)與y軸相交于點(diǎn)(0,6)．(1)確定a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．19．（本題12分）已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c在點(diǎn)P(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為y＝－3x＋1.(1)若函數(shù)f(x)在x＝－2時(shí)有極值，求f(x)的解析式；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．20.（本題12分）峨眉山市某商場(chǎng)銷(xiāo)售脆紅李的經(jīng)驗(yàn)表明，該脆紅李每日的銷(xiāo)售量y(單位：千克)與銷(xiāo)售價(jià)格x(單位：元/千克)滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a為常數(shù)，已知銷(xiāo)售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出脆紅李11千克．(1)求a的值；(2)若脆紅李的成本為3元/千克，試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售脆紅李所獲得的利潤(rùn)最大．21.（本題12分）如圖，三角形所在的平面與長(zhǎng)方形所在的平面垂直，，，．（1）證明：平面；（2）證明：；（3）求點(diǎn)到平面的距離．22.（本題12分）已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2＋ax.(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的最小值；(2)若函數(shù)g(x)＝eq\f(x,ex)，對(duì)?x1∈，?x2∈，使f′(x1)≤g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2022屆高二下期4月月考數(shù)學(xué)試卷文科答案 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.1.eq\f(1＋2i,1－2i)＝()A.－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)iB.－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)iC.－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i D.－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i解析：選Beq\f(1＋2i,1－2i)＝eq\f(1＋2i2,1－2i1＋2i)＝eq\f(－3＋4i,5)＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i.2．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(A)A．1B．2C．3D．4解析：選A3.設(shè)x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，則復(fù)數(shù)z＝x＋yi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選D.由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2x＋3y，,y－1＝2y＋1，))所以x＝4，y＝－2，所以復(fù)數(shù)z＝4－2i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選D.4．已知函數(shù)f(x)＝logax(a>0且a≠1),若f′(1)＝－1,則a＝(C)A．eB.eq\f(1,e2)C.eq\f(1,e)D.eq\f(1,2)解析：選C因?yàn)閒′(x)＝eq\f(1,xlna),所以f′(1)＝eq\f(1,lna)＝－1,所以lna＝－1,所以a＝eq\f(1,e).5.已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，則eq\f(a＋i2020,1＋i)＝(D)A．1B．0C．1＋i D．1－i解析：(1)z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，則有a2－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，則有eq\f(1＋i2020,1＋i)＝eq\f(1＋1,1＋i)＝eq\f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝1－i.6．f(x)＝x(2020＋lnx)，若f′(x0)＝2021，則x0等于(A)A．1B．ln2C．e D．e2解析：選Af′(x)＝2020＋lnx＋x×eq\f(1,x)＝2021＋lnx，故由f′(x0)＝2021，得2021＋lnx0＝2021，則lnx0＝0，解得x0＝1.7．函數(shù)f(x)＝x3－x2在區(qū)間[－1,2]上的最小值是為(D)A．0B.－2C.－ D.－4解析：f′(x)＝3x2－2x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(2,3).∵f(－1)＝－2，f(0)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝－，f(2)＝－4，∴函數(shù)f(x)＝x3－x2在區(qū)間[－1,2]上的最小值是－4.8．已知函數(shù)f(x)＝xlnx，則f(x)(C)A．在(0，＋∞)上單調(diào)遞增B．在(0，＋∞)上單調(diào)遞減C．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上單調(diào)遞減D．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上單調(diào)遞增解析：選C因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝xlnx的定義域?yàn)?0，＋∞)、所以f′(x)＝lnx＋1(x＞0)，當(dāng)f′(x)＞0時(shí)，解得x＞eq\f(1,e)，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))；當(dāng)f′(x)＜0時(shí)，解得0＜x＜eq\f(1,e)，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為(A)A．24＋2eq\r(5)B．24＋4eq\r(5)C．20＋4eq\r(5) D．20＋2eq\r(5)[解析](1)如圖所示，三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體是長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,3的長(zhǎng)方體去掉一個(gè)三棱柱后的棱柱ABIE-DCMH，則該幾何體的表面積S＝(2×2)×5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×2＋2×1＋2×eq\r(5)＝24＋2eq\r(5).10.正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AE與CD所成角的正切值()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(7),2)解析：如圖，連接BE，因?yàn)锳B∥CD，所以異面直線(xiàn)AE與CD所成的角等于相交直線(xiàn)AE與AB所成的角，即∠EAB.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝eq\r(5).又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).故選C.11．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2021(x)＝(C)A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．sinx＋cosx D．－sinx＋cosx解析：選C∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，…，∴fn(x)的解析式以4為周期重復(fù)出現(xiàn)，∵2021＝4×505＋1，∴f2021(x)＝f1(x)＝sinx+cosx.12．已知函數(shù)f(x)＝x(x－m)2在x＝1處取得極小值,則實(shí)數(shù)m＝()A．0B．1C．2D．3解析：選Bf(x)＝x(x2－2mx＋m2)＝x3－2mx2＋m2x,所以f′(x)＝3x2－4mx＋m2＝(x－m)(3x－m)．由f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.當(dāng)m＝3時(shí),f′(x)＝3(x－1)(x－3),當(dāng)1<x<3時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x<1或x>3時(shí),f′(x)>0,此時(shí)在x＝1處取得極大值,不合題意,∴m＝1,此時(shí)f′(x)＝(x－1)(3x－1),當(dāng)eq\f(1,3)<x<1時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x<eq\f(1,3)或x>1時(shí),f′(x)>0,此時(shí)在x＝1處取得極小值．選B.二、填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線(xiàn)上.13．已知函數(shù)f(x)＝x2－x,則f′(x)＝_______．解析：f′(x)＝2x－1.14.設(shè)z＝eq\f(1－i,1＋i)，則|z|＝_______．解析：∵z＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝i，∴|z|＝1.15.曲線(xiàn)y＝(ax＋1)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)的斜率為－2，則a＝________.∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，解得a＝－3.16.若冪函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(1,2)))，則函數(shù)g(x)＝exf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______．解析：設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xa，因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(1,2)))，所以eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))a，a＝2，所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，則g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)，令g′(x)＜0，得－2＜x＜0，故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－2,0)．三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟.17．（本題10分）(1)已知曲線(xiàn)y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).求曲線(xiàn)在點(diǎn)P(1,2)處的切線(xiàn)方程；(2)若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)x2＋ax＋4恰在[－1,4]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的值為?解(1)∵P(1,2)在曲線(xiàn)y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)上，且y′＝x2，2分∴在點(diǎn)P(1,2)處的切線(xiàn)的斜率為y′|x＝1＝14分∴曲線(xiàn)在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)方程為y－2＝1(x－1)，即x－y+1＝05分(2)f′(x)＝x2－3x＋a，7分且f(x)恰在[－1，4]上單調(diào)遞減，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0，8分因此－1，4是方程f′(x)＝0的兩根，則a＝(－1)×4＝－410分18．（本題12分）設(shè)f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，定義域（0，+）其中a∈R，曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)與y軸相交于點(diǎn)(0,6)．(1)確定a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．解(1)因?yàn)閒(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋eq\f(6,x)2分令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，4分所以曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為y－16a＝(6－8a)(x－1)，5分由點(diǎn)(0,6)在切線(xiàn)上，可得6－16a＝8a－6，解得a＝eq\f(1,2)6分(2)由(1)知，f(x)＝eq\f(1,2)(x－5)2＋6lnx(x>0)，f′(x)＝x－5＋eq\f(6,x)＝eq\f(x－2x－3,x)7分令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝38分當(dāng)0<x<2或x>3時(shí)，f′(x)>0，故f(x)的遞增區(qū)間是(0,2)，(3，＋∞)；當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f′(x)＜0，故f(x)的遞減區(qū)間是(2,3)．10分由此可知f(x)在x＝2處取得極大值f(2)＝eq\f(9,2)＋6ln2，在x＝3處取得極小值f(3)＝2＋6ln312分19．（本題12分）已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c在點(diǎn)P(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為y＝－3x＋1.(1)若函數(shù)f(x)在x＝－2時(shí)有極值，求f(x)的解析式；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，2分函數(shù)f(x)在x＝1處的切線(xiàn)斜率為－3，所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3，即2a＋b＝0①，3分又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1②4分函數(shù)f(x)在x＝－2時(shí)有極值，所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0③，5分由①②③解得a＝－2，b＝4，c＝－3，所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－36分(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上單調(diào)遞增，所以f′(x)＝－3x2－bx＋b在區(qū)間[－2,0]上的值恒大于或等于零，8分則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－2＝－12＋2b＋b≥0，,f′0＝b≥0，))10分（列對(duì)一個(gè)給一分）得b≥4，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是[4，＋∞)．12分20.（本題12分）峨眉山市某商場(chǎng)銷(xiāo)售脆紅李的經(jīng)驗(yàn)表明，該脆紅李每日的銷(xiāo)售量y(單位：千克)與銷(xiāo)售價(jià)格x(單位：元/千克)滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a為常數(shù)，已知銷(xiāo)售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出脆紅李11千克．(1)求a的值；(2)若脆紅李的成本為3元/千克，試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售脆紅李所獲得的利潤(rùn)最大．解(1)因?yàn)閤＝5時(shí)，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝22分(2)由(1)知，該商品每日的銷(xiāo)售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2.所以商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)f(x)＝(x－3)[eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜64分從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)＝30(x－4)(x－6)．6分于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減（若沒(méi)有例表，求出單調(diào)遞增或單調(diào)遞減范圍各給2分），表中有一處錯(cuò)扣一分10分由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大12分21.（本題12分）如圖，三角形所在的平面與長(zhǎng)方形所在的平面垂直，，，．（1）證明：平面；（2）證明：；（3）求點(diǎn)到平面的距離．解析：（1）因?yàn)樗倪呅问情L(zhǎng)方形，所以，2