福建省廈門(mén)市中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案解析

試卷第=page22頁(yè)，總=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat2頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat22頁(yè)福建省廈門(mén)市中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案解析一、單選題1．若直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，那么的值等于()A．1 B． C． D．【答案】D【解析】直接利用直線(xiàn)垂直的性質(zhì)列方程求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】對(duì)直線(xiàn)位置關(guān)系的考查是熱點(diǎn)命題方向之一，這類(lèi)問(wèn)題以簡(jiǎn)單題為主，主要考查兩直線(xiàn)垂直與兩直線(xiàn)平行兩種特殊關(guān)系：在斜率存在的前提下，（1）（）；（2）（），這類(lèi)問(wèn)題盡管簡(jiǎn)單卻容易出錯(cuò)，特別是容易遺忘斜率不存在的情況，這一點(diǎn)一定不能掉以輕心.2．設(shè)m、n表示不同直線(xiàn)，、表示不同平面，下列命題正確的是（）A．若m‖，m‖n，則n‖B．若m，n，m‖，n‖，則‖C．若，m，mn，則n‖D．若，m，n‖m，n，則n‖【答案】D【解析】試題分析：A中n有可能在平面內(nèi)；B中m,n不一定是相交直線(xiàn)；C中n有可能在平面內(nèi)，只有D正確.【考點(diǎn)】本小題主要考查空間中直線(xiàn)、平面間的位置關(guān)系，考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題，要緊扣相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理，定理中的條件缺一不可.3．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，已知，則此三角形的解的情況是（）A．無(wú)解 B．一解 C．兩解 D．無(wú)法確定【答案】B【解析】由正弦定理判斷，需結(jié)合三角形的性質(zhì)．【詳解】由正弦定理，又∵，∴，一定是銳角，∴只有一解．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形，結(jié)合大邊對(duì)大角的性質(zhì)知本題中角是銳角，只有一解．4．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)四棱錐挖掉半個(gè)圓錐所得，故利用棱錐的體積減去半個(gè)圓錐的體積，就可求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)四棱錐挖掉半個(gè)圓錐所得，故其體積為.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)，考查不規(guī)則幾何體體積的求解方法，屬于基礎(chǔ)題.5．在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由對(duì)稱(chēng)性先求點(diǎn)C的坐標(biāo)為，再根據(jù)空間中兩點(diǎn)之間距離公式計(jì)算．【詳解】由對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，結(jié)合空間中兩點(diǎn)之間距離公式可得：.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間中對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系及兩點(diǎn)間距離公式，屬于基礎(chǔ)題．6．如圖，為了估測(cè)某塔的高度，在塔底和（與塔底同一水平面）處進(jìn)行測(cè)量，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，且兩點(diǎn)相距，由點(diǎn)看的張角為150°，則塔的高度（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：首先設(shè)出CD的長(zhǎng)度，然后利用空間幾何關(guān)系整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：設(shè)，在中，由可得：，同理可得：，在△ABD中，由余弦定理可得：，即：，解得：，即塔的高度.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等.7．設(shè)圓（x－3）2＋（y＋5）2＝r2（r>0）上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)4x－3y－2＝0的距離等于1，則圓半徑r的取值范圍是（）A．3<r<5 B．4<r<6 C．r>4 D．r>5【答案】B【解析】圓心C（3，－5），半徑為r，圓心C到直線(xiàn)4x－3y－2＝0的距離d＝，由于圓C上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)4x－3y－2＝0的距離等于1，則d－1<r<d＋1，所以4<r<6.【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.二、多選題8．下面四個(gè)正方體圖形中，、為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，、、分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對(duì)每個(gè)圖形進(jìn)行分析，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理對(duì)A判斷．由線(xiàn)面平行判定定理對(duì)D判斷，由線(xiàn)面相交的定義對(duì)B，C判斷．【詳解】（下面說(shuō)明只寫(xiě)主要條件，其他略）A如圖連接，可得，從而得平面，平面，于是有平面平面，∴平面，B．如圖連接交于點(diǎn)，連接，易知在底面正方形中不是中點(diǎn)（實(shí)際上是四等分點(diǎn)中靠近的一個(gè)），而是中點(diǎn)，因此與不平行，在平面內(nèi)，與必相交，此交點(diǎn)也是直線(xiàn)與平面的公共點(diǎn)，直線(xiàn)與平面相交而不平行，C.如圖，連接，正方體中有，因此在平面內(nèi)，直線(xiàn)與平面相交而不平行，D.如圖，連接，可得，，即，直線(xiàn)與平面平行，故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì)定理，掌握證明線(xiàn)面平行的方法是解題基礎(chǔ)．9．集合，，其中，若中有且僅有一個(gè)元素，則的值是（）.A．3 B．5 C．7 D．9【答案】AC【解析】題意說(shuō)明兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)圓相切（外切和內(nèi)切）時(shí)，只有一個(gè)公共點(diǎn)．【詳解】圓的圓心是，半徑為，圓圓心是，半徑為，，當(dāng)，時(shí)，兩圓外切，當(dāng)，時(shí)，兩圓內(nèi)切，它們都只有一個(gè)公共點(diǎn)．故選：AC．【點(diǎn)睛】本題考查集合與集合的關(guān)系，解題關(guān)鍵是確定集合中的元素，本題實(shí)質(zhì)是考查圓與圓的位置關(guān)系．三、填空題10．直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】4【解析】求出圓心到直線(xiàn)的距離，由勾股定理計(jì)算出弦長(zhǎng)．【詳解】圓的圓心是，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為，∴弦長(zhǎng)為．故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，解題方法是幾何法：求出圓心到弦所在直線(xiàn)距離，由勾股定理計(jì)算出弦長(zhǎng)．11．一個(gè)直六棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則它的外接球的表面積為_(kāi)_________．【答案】【解析】直六棱柱的外接球的直徑為直六棱柱中最長(zhǎng)的對(duì)角線(xiàn)，∵一個(gè)直六棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，∴直六棱柱的外接球的直徑為5，∴外接球的半徑為，∴外接球的表面積為故答案為25π．點(diǎn)睛：本題考查球的體積和表面積，確定直六棱柱的外接球的直徑為直六棱柱中最長(zhǎng)的對(duì)角線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，正方體，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面的中心，是上的任意一點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成的角大小為_(kāi)_________.【答案】90°【解析】是動(dòng)直線(xiàn)，因此猜想這個(gè)角可能是90°，為此證明平面，把平面在正方體中補(bǔ)全(如圖)，即可證．【詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，顯然，，∴共面，∵平面，平面，∴，在正方形中，易得，∴，∴，∴，又，∴平面，，則平面，∴，∴直線(xiàn)與所成的角為90°．故答案為：90°．【點(diǎn)睛】本題考查求異面直線(xiàn)所成的角，考查證明線(xiàn)面垂直．掌握線(xiàn)面垂直的判定定理是解題關(guān)鍵．13．過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓C：（x﹣1）2+y2＝4交于A、B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，直線(xiàn)l的方程為_(kāi)____．【答案】2x﹣4y+3＝0【解析】要∠ACB最小則分析可得圓心C到直線(xiàn)l的距離最大,此時(shí)直線(xiàn)l與直線(xiàn)垂直,即可算出的斜率求得直線(xiàn)l的方程.【詳解】由題得,當(dāng)∠ACB最小時(shí),直線(xiàn)l與直線(xiàn)垂直,此時(shí),又,故,又直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn),所以,即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)求最值的問(wèn)題一般為圓心到定點(diǎn)與直線(xiàn)垂直時(shí)取得最值.同時(shí)也考查了線(xiàn)線(xiàn)垂直時(shí)斜率之積為-1,以及用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程的方法.14．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則最大角的余弦值為_(kāi)_________．【答案】【解析】分析：首先設(shè)出邊長(zhǎng)，然后結(jié)合余弦定理整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：不妨設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)，由大邊對(duì)大角結(jié)合余弦定理可得最大角的余弦值為：.點(diǎn)睛：本題主要考查解三角形的方法，余弦定理的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅提出原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.其中“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高.原理的意思是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截，若所截的兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)平面內(nèi)，若函數(shù)的圖象與軸圍成一個(gè)封閉區(qū)域，將區(qū)域沿軸的正方向上移4個(gè)單位，得到幾何體如圖一.現(xiàn)有一個(gè)與之等高的圓柱如圖二，其底面積與區(qū)域面積相等，則此圓柱的體積為_(kāi)_________．【答案】【解析】分析：首先確定底面積，然后結(jié)合柱體的體積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可知，圖一中底面積是由一個(gè)四分之一圓與一個(gè)直角三角形組成的圖形，由可知，該四分之一圓的半徑為2，其面積為：,由，令可得，由可得，則直角三角形與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，直角三角形的面積，結(jié)合題意可得：區(qū)域A的面積，即圓柱的底面積：，結(jié)合祖暅原理可得，此圓柱的體積.點(diǎn)睛：本題主要考查柱體的體積公式及其應(yīng)用，直線(xiàn)方程、圓的方程的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.四、解答題16．在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）若，，求角；（2）若，的面積為，求的值.【答案】(1);(2)67.【解析】分析：（1）利用正弦定理邊化角可得，則，利用正弦定理有，則.（2）由題意結(jié)合面積公式可得，結(jié)合余弦定理可得.詳解：（1）∵，∴，∴，∴，根據(jù)正弦定理，得，即，因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，根?jù)余弦定理得，，即，所以.點(diǎn)睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問(wèn)題時(shí)，注意角的限制范圍．17．如圖，是正方形，是該正方形的中心，是平面外一點(diǎn)，底面，是的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【解析】（1）連接，證明后即得線(xiàn)面平行；（2）可證明平面，然后得面面垂直．【詳解】（1）如圖，連接，∵分別是中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面；（2）∵，底面，底面，∴，又正方形中，，∴平面，而平面，∴平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查證明線(xiàn)面平行和面面垂直，掌握線(xiàn)面平行和面面垂直的判定定理是解題關(guān)鍵．18．已知圓，（Ⅰ）若直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（1，0），且與圓相切，求的方程；（Ⅱ）若圓的半徑為3，圓心在直線(xiàn)：上，且與圓外切，求圓的方程．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）此問(wèn)注意直線(xiàn)斜率不存在的情況，應(yīng)分斜率是否存在進(jìn)行討論，當(dāng)斜率存在時(shí)由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求出直線(xiàn)斜率；(Ⅱ)先設(shè)出圓心坐標(biāo)，然后由兩圓外切，知圓心距等于兩半徑之和，從而求出圓心D的坐標(biāo)，寫(xiě)出圓D方程.試題解析：（Ⅰ）①若直線(xiàn)的斜率不存在，即直線(xiàn)是，符合題意．②若直線(xiàn)斜率存在，設(shè)直線(xiàn)為，即．由題意知，圓心（3，4）到已知直線(xiàn)的距離等于半徑2，即解之得．所求直線(xiàn)方程是，．（Ⅱ）依題意設(shè)，又已知圓的圓心，由兩圓外切，可知∴可知＝，解得，∴，∴所求圓的方程為．【考點(diǎn)】1.直線(xiàn)與圓相切；2.兩圓相外切；3.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.19．如圖，已知△中，∠=90°，，且=1，=2，△繞旋轉(zhuǎn)至，使點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離=．（1）求證：⊥平面；（2）求二面角的大??；（3）求異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）60°；（3）．【解析】【詳解】（1）∵CD⊥AB，∴CD⊥A′D，CD⊥DB，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥BA′．又在△A′DB中，A′D=1，DB=2，A′B=，∴∠BA′D=90°，即BA′⊥A′D，∴BA′⊥平面A′CD．（2）∵CD⊥DB，CD⊥A′D，∴∠BDA′是二面角A′—CD—B的平面角．又Rt△A′BD中，A′D=1，BD=2，∴∠A′DB=60°，即二面角A′—CD—B為60°．（3）過(guò)A′作A′E∥BD，在平面A′BD中作DE⊥A′E于E，連CE，則∠CA′E為A′C與BD所成角．∵CD⊥平面A′BD，DE⊥A′E，∴A′E⊥CE．∵EA′∥AB，∠A′DB=60°，∴∠DA′E=60°，又A′D=1，∠DEA′=90°，∴A′E=又∵在Rt△ACB中，AC==∴A′C=AC=∴cos∠CA′E===,即A′C與BD所成角的余弦值為．20．如圖，在中，，，點(diǎn)在線(xiàn)段上．(Ⅰ)若，求的長(zhǎng)；（Ⅱ）若，的面積為，求的值．【答案】(1)；(2).【解析】【詳解】（I）在三角形中，∵，∴．在中，由正弦定理得，又，，．∴．（II）∵，∴，，又，∴，∵，∴，∵，，，∴，在中，由余弦定理得．∴，∴．21．已知圓：，一動(dòng)直線(xiàn)l過(guò)與圓相交于.兩點(diǎn)，是中點(diǎn)，l與直線(xiàn)m：相交于.（1）求證：當(dāng)l與m垂直時(shí)，l必過(guò)圓心；（2）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；（3）探索是否與直線(xiàn)l的傾斜角有關(guān)，若無(wú)關(guān)，請(qǐng)求出其值；若有關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或（3）見(jiàn)解析【解析】（1）由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，根據(jù)兩直線(xiàn)垂直時(shí)斜率的乘積為﹣1，由直線(xiàn)m的斜率求出直線(xiàn)l的斜率，根據(jù)點(diǎn)A和圓心坐標(biāo)求出直線(xiàn)AC的斜率，得到直線(xiàn)AC的斜率與直線(xiàn)l的斜率相等，所以得到直線(xiàn)l過(guò)圓心；（2）分兩種情況：①當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，求出直線(xiàn)l的方程；②當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程，根據(jù)勾股定理求出CM的長(zhǎng)，然后利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線(xiàn)l的距離d，讓d等于CM，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程即可；（3）根據(jù)CM⊥MN，得到?等于0，利用平面向量的加法法則化簡(jiǎn)等于?，也分兩種情況：當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，求得N的坐標(biāo)，分別表示出和，求出兩向量的數(shù)量積，得到其值為常數(shù)；當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)l的方程，與直線(xiàn)m的方程聯(lián)立即可求出N的坐標(biāo)，分別表示出和，求出兩向量的數(shù)