6年高考4年模擬統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例

第十一章統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例

第一部分六年高考薈萃

2010年高考題

一、選擇題

1.（2010陜西文）4.如圖，樣本A和B分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別

為巧和4,樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別

為sA和sB,則

[B]

XX

(A)A>B,SA>SB

XX

(B)A<B,SA>SB

XX

(C)A>B,SA<SB

XX

(D)A<B,SA<SB

解析：本題考查樣本分析中兩個(gè)特征數(shù)的作用

巧viov's；A的取值波動(dòng)程度顯然大于B,所以sA>sB

2.（2010重慶文）（5）某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老

年職工150人，為了了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本.若樣

本中的青年職工為7人，則樣本容量為

(A)7(B)15(C)25(D)35

【答案】B

_7

解析：青年職工、中年職工、老年職工三層之比為7:5:3,所以樣本容量為彳=15

15

3.（2010山東文）（6）在某項(xiàng)體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)如下：

90899095939493

去掉■■個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為

（A）92,2（B）92,2.8

（C）93,2（D）93,2.8

答案：B

4.(2010廣東理)7.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3.1),且尸(2WX<4)=0.6826,則

p(X>4)=()

A、0.1588B、0.1587C、0.1586DO.1585

7.B.P(3<X<4)=^P(2<X<4)=0.3413,

P(X>4)=0.5-P(2<X<4)=0.5-0.3413=0.1587.

5.(2010四川文)(4)一個(gè)單位有職工800人，期中具有高級(jí)職稱的160人，具有中級(jí)職

稱的320人，具有初級(jí)職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分

層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是

(4)12,24,15,9(6)9,12,12,7(08,15,12,5(0)8,16,10,6

解析：因?yàn)椤?匕0=」1-

80020

故各層中依次抽取的人數(shù)分別是咽=8,—

16.

2020

答案：D

6.(2010山東理)(8)某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須

排在第四位、節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序

的編排方案共有

(A)36種(B)42種(C)48種(D)54種

【答案】B

【解析】分兩類：第一類：甲排在第一位，共有A：=24種排法；第二類：甲排在第二位，共有A1A；=18

沖排法，所以共有編排方案24+18=42種，故選B.

【命題意圖】本題考查排列組合的基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類與分步計(jì)數(shù)原理.

7.(2010山東理)

(6)樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a,0,1,2,3,,若該樣本的平均值為1,則樣本方差為

(A)/(B)[(O&(叨

【答案】D

【解析】由題意知g(a+0+l+2+3)=L解得a=-l,所以樣本方差為

S2=l[<-l-l)2+(0-l)2+(l-l)2+(2-1)2+(3-1)2]故選D.

【命題意圖】本題考查用樣本的平均數(shù)、方差來估計(jì)總體的平均數(shù)、方差，屬基礎(chǔ)題,熟記樣本的平均數(shù)、75

差公式杲解答好本題的關(guān)律..

8.(2010山東理)

⑸已知隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(0,若P(Z>2)=0.023,則P(-2WZW2)=

(A庶煦(B)0.625(C)0.954(D)0.977

【答案】C

【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量J服從正態(tài)分布N(0,〃)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0■又P&>2)=0.023，所以

P((<-2)=0.023，所以P(-2P"2)=l-P(^>2)-P(^<-2)=1-2x0.023=0.954,^C.

【命題意圖】本題考查正態(tài)分布的基礎(chǔ)知識(shí)，掌握其基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本題的關(guān)鍵.

9.(2010湖北理)6.將參加夏令營的600名學(xué)生編號(hào)為：001,002,……600,采用系統(tǒng)

抽樣方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003.這600名學(xué)生分住在三個(gè)

營區(qū)，從001到300在第I營區(qū)，從301到495住在第H營區(qū)，從496至|600在第HI營區(qū)，

三個(gè)營區(qū)被抽中的人數(shù)一次為

A.26,16,8,B.25,17,8

C.25,16,9D.24,17,9

6.【答案】B

【解析】依題意可知，在隨機(jī)抽樣中，首次抽到003號(hào)，以后每隔1】個(gè)號(hào)抽到一個(gè)人，

則分別是0。3、015s02A039…”?構(gòu)成以3為首項(xiàng)，12為公差的等差數(shù)列，故

可分別求出在001到300中有25人，在301至495號(hào)中共有17人，則496到

60Q中有$人，所以B正確

二、填空題

1.(2010安徽文)(14)某地有居民100000戶，其中普通家庭99000戶，高收入家庭1000

戶.從普通家庭中以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式抽取990戶，從高收入家庭中以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式

抽取100戶進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)共有120戶家庭擁有3套或3套以上住房，其中普通家庭50

戶，高收人家庭70戶.依據(jù)這些數(shù)據(jù)并結(jié)合所掌握的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，你認(rèn)為該地?fù)碛?套或3

套以上住房的家庭所占比例的合理估計(jì)是.

【答案】5.7%

【解析】該地?fù)碛?套或3套以上住房的家庭可以估計(jì)有：

99000x—+1000x—=5700戶，所以所占比例的合理估計(jì)是

990100

57004-100000=5.7%.

【方法總結(jié)】本題分層抽樣問題，首先根據(jù)擁有3套或3套以上住房的家庭所占的比例，

得出100000戶，居民中擁有3套或3套以上住房的戶數(shù)，它除以100000得到的值，為

該地?fù)碛?套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估計(jì).

2.（2010浙江文）（11）在如圖所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是

叫_乙

829

9I3|45

25!4826

7H55,3?

616k

【答案】4546

（2010北京理）（11）從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué),

將他們的身高（單位:厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方

圖（如圖）。由圖中數(shù)據(jù)可知@=o若要從身

高在[120,130),[130,140),[140,150]三組內(nèi)

的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng),

則從身高在［140,150］內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)

為_________

【答案】0.0303

3.（2010福建文）14.將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖。若

第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2：3：4：6：4：1,且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27,

則n等于。

【答案】60

【解析】設(shè)第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率分別為2x,3x,4x,6x,4x,x，則

1234

2x+3x+4x+6x+4x+x=1,解導(dǎo)x=一,所以前三組數(shù)據(jù)的頻率分別是二?，二＞

20202020

2n3〃4/?

故前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于——+—+——=27,解得n=60。

202020

【命題意圖】本小題考查頻率分布直方圖的基礎(chǔ)知識(shí)，熟練基本公式是解答好本題的關(guān)鍵。

4.（2010江蘇卷）4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，

從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度

是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間［5,40］中，其

頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有—

根在棉花纖維的長度小于20mm。

【解析】考查頻率分布直方圖的知識(shí)。

100X（0.001+0.001+0.004）X5=30

三、解答題

1.（2010湖南文）17.（本小題滿分12分）

為了對(duì)某課題進(jìn)行研究，用分層抽樣方法從三所高校A,B,C的相關(guān)人員中，抽取若干人

組成研究小組、有關(guān)數(shù)據(jù)見下表（單位：人）

高校相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)

A18X

B362

C54y

(I)求x,y;

(II)若從高校B、C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這二人都來自高校C的概率。

解（I）由題意可得，奇=奈=彌所以x=i”3.

（口）記從高校B抽取的2人為名,從高校C抽取的3人為q,c?c,.則從高校

B,C抽取的5人中選2人作專題發(fā)聲的基本事件有

（4，b?）,（4,q）,（A，C2）,（a，c,）.（6j,q）,

（Aj,Cj）,（Aj,Cj）,（Cj,Cj）,（c,,Cj）,（Cj,Cj）

共10種.

設(shè)選中的2人都來自高校C的事件為X,則X包含的基本事件有（C..C,）.

（。，6）,（備工,）共3種?因此尸（刀）=吉?

故選中的2人都來自高校C的慨率為皋.

2.（2010陜西文）19（本小題滿分12分）

為了解學(xué)生身高情況，某校以10%的比例對(duì)全校700名學(xué)生按性別進(jìn)行出樣檢查，測(cè)得身

（1）估計(jì)該校男生的人數(shù)；

（11）估計(jì)該校學(xué)生身高在170'185cm之間的概率：

（W）從樣本中身高在180~190cm之間的男生中任選2人，求至少有1人身高在185190cm

之間的概率。

解（1）樣本中男生人數(shù)為40,由分層出樣比例為10%估計(jì)全校男生人數(shù)為400。

（U）有統(tǒng)計(jì)圖知，樣本中身高在170~185cm之間的學(xué)生有14+13+4+3+1=35人，樣本容

f=~=0.5,

量為70,所以樣本中學(xué)生身高在170T85cm之間的頻率,70故有f估

計(jì)該校學(xué)生身高在170~180cm之間的概率,=0'S?

（UI）樣本中身高在180185cm之間的男生有4人，設(shè)其編號(hào)為①，②，③，④，

樣本中身高在185~190cm之間的男生有2人，設(shè)其編號(hào)為⑤?⑥，

故從樣本中身高在180、190cm之間的男生中任選2人得所有可能結(jié)果數(shù)為15,求至少有1

人身高在185190cm之間的可能結(jié)果數(shù)為9,因此，所求概率0

3.（2010遼寧文）（18）（本小題滿分12分）

為了比較注射A,B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做實(shí)驗(yàn)，將這200

只家兔隨機(jī)地分成兩組。每組100只，其中一組注射藥物A,另一組注射藥物B。下表

1和表2分別是注射藥物A和藥物B后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。（皰疹面積單位：，）

衰I：注射用物A筋皮膚瓶松面粉的菽數(shù)分布*

皰疹面積[60,65)[65,70)(70.75)(75.80)

30402010

________|

?2＞注射藥物B后皮帙皰疹面積的題數(shù)分布表

冠珍面枳(60.65)(65.70)[70,75)”80)(80.85)

頻數(shù)1025205015

（I）完成下面頻率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大小;

（II）完成下面2x2列聯(lián)表，并回答能否有99.9%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰

疹面枳與注射藥物B后的皰疹面積有差異”。

表3：

他在面枳不小于70mm

瓶存面積小尸70nlm'合計(jì)

注射約物Aa-b=

注射芻分7d=

n?

合計(jì)_

____________________

n{ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+4)

P(K’-女)|0.1000.0500.0250.0100.001

kj2.7063.S415.0246.63510.828

解：

(I)

圖1注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖圖2注射藥物B后皮膚皰疹面積的

頻率分布直方圖

可以看出注射藥物A后的皰疹面積的中位數(shù)在65至70之間，而注射藥物B后的皰疹

面積的中位數(shù)在70至75之間，所以注射藥物A后皰疹面積的中位數(shù)小于注射藥物B

后皰疹面枳的中位數(shù)。

(II)表3

皰疹面積小于70機(jī)〃/皰疹面積不小于10mm2合計(jì)

注射藥物Aa=70b=30100

注射藥物8c=35J=65100

合計(jì)10595n=200

K、200x(70x65-35x30)2/4.56

100x100x105x95

由于K2>10.828,所以有99.9%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物

B后的皰疹面積有差異”.

4.(2010遼寧理)(18)(本小題滿分12分)

為了比較注射A,B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗(yàn)，將這

200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A,另一組注射藥物B。

(I)甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同組的概率；

(II)下表1和表2分別是注射藥物A和B后的試驗(yàn)結(jié)果.(皰疹面積單位：mm2)

表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表

表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表

皰痹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)

頻數(shù)1025203015

(i)完成卜一面頻率分布宜方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大小;

3

^

3

606570758085皰摩面積

圖I注射藥物A后皮膚皰聲面積的頻率分布直方圖ffill注射藥物B后皮膚皰理面積的嫉率分布直方圖

(ii)完成下面2X2列聯(lián)表，并回答能否有99.9%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面

積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.

皰痹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計(jì)

注射藥物Aa=b=

注射藥物Bc=d=

合計(jì)71=

______Mad_A)’______

附：K2

(a+bXc+dXa+cXb+d)

表3：

解:

(I)甲、乙兩只家兔分在不同組的概率為

2C"00

4分

'C罌199

(II)(i)

圖I注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖圖n注射藥物B后皮膚皰疹面積的

頻率分布直方圖

可以看出注射藥物A后的皰疹面積的中位數(shù)在65至70之間，而注射藥物B后的皰疹

面積的中位數(shù)在70至75之間，所以注射藥物A后皰疹面積的中位數(shù)小于注射藥物B后皰

疹面積的中位數(shù)。8分

(ii)表3：

皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計(jì)

注射藥物Aa=70b=3O100

注射藥物Bc=35d=65100

合計(jì)10595n=200

小200x(70x65—35x30)2

K~=-----------------------------?24.56

100x100x105x95

由于^>10.828,所以有99.9%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積丁?注射藥物B

后的皰疹面積有差異”。……12分

5.（2010安徽文）18、（本小題滿分13分）

某市2010年4月1日―4月30日對(duì)空氣污染指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如下（主要污染物為可吸

入顆粒物）：

61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,

77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,

（I）完成頻率分布表；

（II）作出頻率分布直方圖；

（III）根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在0~50之間時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)：在5「100之間時(shí)，為良；

在101150之間時(shí)，為輕微污染；在151~200之間時(shí)，為輕度污染。

請(qǐng)你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)該市的空氣質(zhì)量給出一個(gè)簡(jiǎn)短評(píng)價(jià).

【命題意圖】本題考查頻數(shù)，頻率及頻率分布直方圖，考查運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問

題的能力，數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)用意識(shí).

【解題指導(dǎo)】（1）首先根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)完成頻率分布表，作出頻率分布直方圖，根據(jù)污

染指數(shù)，確定空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕微污染、輕度污染的天數(shù)。

解：（I）頻率分布表:（D）頻率分布直方圖:

分組頻敷頻率

[41,51)22

30

1

[51,61)1

30

4

[61,71)4

30

[71,81)66

30

10

[81,91)10

30

5

[91,101)5空氣污染指數(shù)

30

[101,111)22

^0

（III）答對(duì)下述兩條中的一條即可：

（1）該市一個(gè)月中空氣污染指數(shù)有2天處于優(yōu)的水平，占當(dāng)月天數(shù)的有26天處于

15

良的水平，占當(dāng)月天數(shù)的一13，處于優(yōu)或良的天數(shù)共有28天，占當(dāng)月天數(shù)的1上4。

1515

說明該市空氣質(zhì)量基本良好。

（2）輕微污染有2天，占當(dāng)月天數(shù)的，。污染指數(shù)在80以上的接近輕微污染的天數(shù)有

15天，加上處于輕微污染的天數(shù)，共有17天，占當(dāng)月天數(shù)的」17，超過50%,說明

30

該市空氣質(zhì)量有待進(jìn)一步改善。

【規(guī)律總結(jié)】在頻率分布表中，頻數(shù)的和等于樣本容量，頻率的和等于1,每一小組的頻

率等于這一組的頻數(shù)除以樣本容量.頻率分布直方圖中，小矩形的高等于每一組的頻率/組

距，它們與頻數(shù)成正比，小矩形的面積等于這一組的頻率.對(duì)于開放性問題的回答，要選擇

適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)特征進(jìn)行考察，根據(jù)數(shù)據(jù)特征分析得出實(shí)際問題的結(jié)論.

6.（2010天津文）（18）（本小題滿分12分）

有編號(hào)為A|,A2,...A）0的io個(gè)零件，測(cè)量其直徑（單位：cm）,得到下面數(shù)據(jù):

其中直徑在區(qū)間［1.48,1.52］內(nèi)的零件為一等品。

(I)從上述10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)，求這個(gè)零件為一等品的概率；

(II)從一等品零件中，隨機(jī)抽取2個(gè).

(i)用零件的編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果；

(ii)求這2個(gè)零件直徑相等的概率。本小題主要考查用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的

基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力及運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單的

實(shí)際問題的能力。滿分12分

【解析】(I)解：由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6個(gè).設(shè)“從10個(gè)零件中，隨機(jī)抽

63

取一個(gè)為一等品”為事件A,則P(A)=10=5.

(ID(i)解：一等品零件的編號(hào)為4,4,43，44,4，&.從這6個(gè)一等品零件中

隨機(jī)抽取2個(gè)，所有可能的結(jié)果有：

{&,4},{AM},{44}{4,4},{A4}{4,&}

，，，

{4,4},{a‘A}{4,A>},{A'4}‘{A'A}{4,AJ"AI'A},{a,4}{4,A}#

有15種.

(ii)解：“從一等品零件中，隨機(jī)抽取的2個(gè)零件直徑相等”(記為事件B)的所有

可能結(jié)果有：{4，A4},{A],A6},{A4,4},他出「他人卜他出},共有6種.

_6_2

所以P(B)=155.

7.(2010廣東理)17.(本小題滿分12分)

某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情

況,隨即抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本算出

他們的重量(單位：克)重量的分組區(qū)間為

(490,495],(495,500],……(510,515),

由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖4所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過505圖4

克的產(chǎn)品數(shù)量.

(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)Y為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的

分布列.

（3）從流水線上任取5件產(chǎn)品，求恰有2件產(chǎn)品合格的重量超過505克的概率.

解：（1）重壁超過1k克的產(chǎn)品數(shù)量是

40x（0.05x5+0.01x5）=40x0.3=12件.

夕Y的分布列為

Y01

p

C或%

^40

|3）從流水線上任取5件產(chǎn)品，求恰有2件產(chǎn)品合格的重量超過505克的概率是

28x27x2612x11

/無_3x2x1'云1-21x11_231

或-40*39x38x37x36-37x19-703

5x4x3x2xl

8.（2010湖北文）17.（本小題滿分12分）

為了了解一個(gè)小水庫中養(yǎng)殖的魚有關(guān)情況，從這個(gè)水庫中多個(gè)不同位置捕撈出100條

魚，稱得每條魚的質(zhì)量（單位：千克），并將所得數(shù)據(jù)分組，畫出頻率分布直方圖（如圖所

示）

（I）在答題卡上的表格中填寫相應(yīng)的頻率；

（II）估計(jì)數(shù)據(jù)落在（1.15,1.30）中的概率為多少;

（III）將上面捕撈的100條魚分別作一記號(hào)后再放回水庫，兒

天后再從水庫的多處不同位置捕撈出120條魚，其中帶有記號(hào)

的魚有6條，請(qǐng)根據(jù)這一情況來估計(jì)該水庫中魚的總條數(shù)。

P17.本小題主芟考直續(xù)索分布直方圖、然數(shù)、概率等基本微念加總體分布的信計(jì)算燒計(jì)方法.

P（濡分】2分）

pM：<I>根摳柒率分布日方圖可知.航率=#n?ix（效率/阻距），故可得下表

分綱軟率

[J.00,1.05)0.05

[1.05.1.10)0.20

[I.IO,1.15)0.28

[I.IS,l.2O)O.M

[1.20,1.25)0.15

[1.25,1.30)_002

（H）O.3（HO.I5+O.O2*O.47,所以故據(jù)落在“』5,1.30）中的概率妁為0.47.

（Hl）空吧.2000,所以水杵中他的急條數(shù)妁為2000條.

9.（2010湖南理）17.（本小題滿分12分）

圖4是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量（單位：噸）的頻率分布直方圖

（I）求直方圖中x的值

（II）若將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用

水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

(I)依題意及頻率分布直方圖知，0.02+0.1+X+0.37+0.39=L解得x=0.12,

(H)由題意知，X~8(3,0.1),“

因此"

P(AT=0)=Cfx0.93=0,729.J(X=l)=C^x0.1x0.92=0,243^

P(X=2)=C；X0.12X0.9=0,027,P{X=3)=CfxO.l3=0,00R'

故隨機(jī)變量X的分布列為"

XQ1。2?3-

P「0.72%0.243。0.027/0003

X的數(shù)學(xué)期望為EX=3x0.1=0.3~

【命題意圖】本題猾查頻率分布?方圖、二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變鬣的分布列與數(shù)學(xué)期暨.

屬中檔題+

10.（2010安徽理）21、（本小題滿分13分）

品酒師需定期接受酒味鑒別功能測(cè)試，一種通常采用的測(cè)試方法如下：拿出〃瓶外觀

相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時(shí)間，等其記憶

淡忘之后，再讓其品嘗這“瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測(cè)試。根據(jù)

一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評(píng)為。

現(xiàn)設(shè)〃=4,分別以q,%,%，4表示第一次排序時(shí)被排為1，2,3,4的四種酒在第二次

排序時(shí)的序號(hào)，并令

X—11—<7]|+12—%|+13—q|+林—^41,

則X是對(duì)兩次排序的偏離程度的一種描述。

(I)寫出X的可能值集合；

(H)假設(shè)4,4，%，%等可能地為1,2,3,4的各種排列，求X的分布列；

(III)某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測(cè)試中，都有XV2,

(i)試按(II)中的結(jié)果，計(jì)算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率(假定各輪測(cè)試相互獨(dú)立)；

(ii)你認(rèn)為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由。

(21)(本小題滿分13分)本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，考查在復(fù)雜場(chǎng)合下進(jìn)行計(jì)數(shù)的能力.通

過設(shè)置密切貼近生產(chǎn)、生活實(shí)際的問題情境，考查概率思想在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，考查抽象概括能

力、應(yīng)用與創(chuàng)新意識(shí).

解：(I)X的可能值集合為10,2,4,6.8).

在1,2,3,4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個(gè)，所以%,%中的奇數(shù)個(gè)數(shù)等于句中的偶數(shù)個(gè)數(shù)，因

此!1-aJ+|3-%|與|+14-aj的奇偶性相同，從而X=(|l-a,|+口-%|)+

(12-七|)必為偶數(shù).

X的值非負(fù)，且易知其值不大于8.

容易舉出使得X的值等于0,2,4,6,8各值的排列的例子.

(H)可用列表或樹狀圖列出1,2,3,4的一共24種排列，計(jì)算每種排列下的X值,在等可能的假

定下，得到

02468

p_3__7__9_±

2424242424

(此⑴首先尸(XW2)=P(X=O)+尸(X=2)=a=/，將三輪測(cè)試都有XW2的概率記做p,由上

述結(jié)果和獨(dú)立性假設(shè)，得

11

P=F=21?

(ii)由于2=志<嬴是一個(gè)很小的慨率，這表明如果僅憑隨機(jī)猜測(cè)得到三輪測(cè)試都有XW2的結(jié)

果的可能性很小，所以我們認(rèn)為該品酒師確實(shí)有良好的味覺鑒別功能，不是靠隨機(jī)猜測(cè).

2009年高考題

一、選擇題

1.(2009山東卷理)某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè).右圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的

產(chǎn)品凈重(單位：克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品

凈重的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98),[98,100),

[100,102),[102,104),[104,106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于

100克的個(gè)數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于98克并且

小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是().

A.90B.75C.60D.45

答案A

解析產(chǎn)品凈重小于100克的概率為(0.050+0.100)X2=0.300,

已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36,設(shè)樣本容量為n,

則—=0.300，所以〃=120,凈重大于或等于98克并且小于

n

104克的產(chǎn)品的概率為(0.100+0.150+0.125)X2=0.75,所以樣本

中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是

120X0.75=90.故選A.

【命題立意】:本題考查了統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí),讀懂頻率分布直方圖，會(huì)計(jì)算概率以及樣本中

有關(guān)的數(shù)據(jù).

2.(2009四川卷文)設(shè)矩形的長為4,寬為b,其比滿足匕：a=------?0.618.這種

2

矩形給人以美感，稱為黃金矩形。黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中。下面是某工藝品廠

隨機(jī)抽取兩個(gè)批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本：

甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639

乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620

根據(jù)上述兩個(gè)樣本來估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確結(jié)論是

A.甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近

B.乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近

C.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同

D.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定

答案A

解析甲批次的平均數(shù)為0.617,乙批次的平均數(shù)為0.613

3.（2009寧夏海南卷理）對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)理力爭(zhēng)（為，%）（i=l,2,…，10）,得散

點(diǎn)圖1;對(duì)變量u有觀測(cè)數(shù)據(jù)（%,%）（i=l,2,…，10），得散點(diǎn)圖2.由這兩個(gè)散

點(diǎn)圖可以判斷。

圖2

A.變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B.變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

C.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

答案C

解析由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷，變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)，選C.

4.（2009四川卷文）設(shè)矩形的長為。，寬為6,其比滿足6:。=41二1。0.618,這種

2

矩形給人以美感，稱為黃金矩形。黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中。下面是某工藝品J

隨機(jī)抽取兩個(gè)批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本：

甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639

乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620

根據(jù)上述兩個(gè)樣本來估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確結(jié)論是

A.甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近

B.乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近

C.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同

D.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定

答案A

解析甲批次的平均數(shù)為0.617,乙批次的平均數(shù)為0.613

備考提示用以上各數(shù)據(jù)與0.618（或0.6）的差進(jìn)行計(jì)算，以減少計(jì)算量，說明多思則

少算。

5.（2009陜西卷文）某單位共有老、中、青職工430人,其中青年職工160人，中年職工人

數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍。為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽

取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為

A.9B.18C.27D.36

答案B

解析由比例可得該單位老年職工共有90人，用分層抽樣的比例應(yīng)抽取18人.

6.（2009福建卷文）一個(gè)容量100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與?各組的頻數(shù)如下表

組別（0,10]（20,20]（20,30）（30,40）（40,50]（50,60]（60,70]

頻數(shù)1213241516137

則樣本數(shù)據(jù)落在（10,40）上的頻率為

A.0.13B.0.39C.0.52D.0.64

答案C

解析由題意可知頻數(shù)在（10,40]的有：13+24+15=52,由頻率=頻數(shù)十總數(shù)可得0.52.

7.（2009上海卷理）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒有

發(fā)生在規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”。根據(jù)過去

10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是

A.甲地：總體均值為3,中位數(shù)為4B.乙地：總體均值為1,總體方差大于0

C.丙地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3D.丁地：總體均值為2,總體方差為3

答案D

解析根據(jù)信息可知，連續(xù)10天內(nèi)，每天的新增疑似病例不能仃超過7的數(shù)，選項(xiàng)A

中，中位數(shù)為4,可能存在大于7的數(shù)；同理，在選項(xiàng)C中也有可能：選項(xiàng)B中的總體

方差大于0,敘述不明確，如果數(shù)目太大，也有可能存在大于7的數(shù)；選項(xiàng)D中，根據(jù)

方差公式，如果有大于7的數(shù)存在，那么方差不會(huì)為3,故答案選D.

二、填空題

8.（2009年廣東卷文）某單位200名職工的年齡分布情況如圖2,現(xiàn)要從中抽取40名職工作

樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機(jī)按1—200編號(hào)，并按編號(hào)順序平均分為40組（1

一5號(hào)，6—10號(hào)…，196-200號(hào)）.若第5組抽出的號(hào)碼為22,則第8組抽出的號(hào)碼應(yīng)

是。若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽取人.

圖2

答案37,20

解析由分組可知,抽號(hào)的間隔為5,又因?yàn)榈?組抽出的號(hào)碼為22,所以第6組抽出的號(hào)

碼為27,第7組抽出的號(hào)碼為32,第8組抽出的號(hào)碼為37.

40

40歲以下年齡段的職工數(shù)為200x0.5=100,則應(yīng)抽取的人數(shù)為——xlOO=20人.

200

9.（2009浙江卷文）某個(gè)容量為100的樣本的頻率分布

直

方圖如下，則在區(qū)間［4,5）上的數(shù)據(jù)的頻攀

為.

答案30

解析對(duì)于在區(qū)間［4,5］的頻率/組距的數(shù)值為0.3,

而

總數(shù)為100,因此頻數(shù)為30.

【命題意圖】此題考查了頻率分布直方圖，通過設(shè)問既考查了設(shè)圖能力，也考查了運(yùn)用

圖表解決實(shí)際問題的水平和能力

10.（2009江蘇卷）某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有5名編號(hào)為1,2,3,4,5的學(xué)生進(jìn)行投籃練

習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如下表:

學(xué)生1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)

甲班67787

乙班67679

則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為S2=

2

答案-

5

解析考查統(tǒng)計(jì)中的平均值與方差的運(yùn)算.

甲班的方差較小，數(shù)據(jù)的平均值為7,

故方差八（6-7）2+。2+。2+（8-7）2+。2二

55

11.（2009遼寧卷理）某企業(yè)有3個(gè)分廠生產(chǎn)同，種電子產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之

比為1：2：1,用分層抽樣方法（每個(gè)分廠的產(chǎn)品為一層）從3個(gè)分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)

品

中共取100件作使用壽命的測(cè)試，由所得的測(cè)試結(jié)果算得從第一、二、三分廠取出的

產(chǎn)

品的使用壽命的平均值分別為980h,1020h,1032h,則抽取的100件產(chǎn)品的使用壽命

的平均值為h.

答案1013

-980x1+1020x2+1032x1

解析x=--------------------=1013

4

12.（2009湖北卷文）下圖是樣本容量為200的頻率分布

直方圖.

根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計(jì)，樣本數(shù)據(jù)落在［6,

10］內(nèi)的頻數(shù)為,數(shù)據(jù)落在（2,10）內(nèi)的概

率約為o

答案64

解析觀察直方圖易得頻數(shù)為200x0.08x4=64,

頻率為0.1x4=0.4

13.（2009湖南卷文）一個(gè)總體分為A,B兩層,用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量

10的樣本.已知B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為—,則總體中的個(gè)體數(shù)為_______.

12―

答案120

解析設(shè)總體中的個(gè)體數(shù)為X,則W=_lnx=］20.

x12

14.（2009湖南卷理）一個(gè)總體分為A,B兩層，其個(gè)體數(shù)之比為4：1,用分層抽樣方法從總

體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，已