版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
第五 第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示數(shù)列的定義、分類與通項(xiàng)項(xiàng)與項(xiàng)間的數(shù)列的通項(xiàng)如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示那么這個(gè)叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng).如果已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))anan-1(n≥2)(或前幾項(xiàng)間的關(guān)系可用一個(gè)來表示,那么這個(gè)叫數(shù)列的遞推[試一試已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為1,3,7,15,寫出數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng) 是
則 明確anSn的關(guān) [練一練若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S=n2-10n(n=1,2,3,…),則此數(shù)列的通項(xiàng)為
解析:由已知
解得 an=1n+2
9下列可作為數(shù)列{an}:1,2,1,2,1,2,…的通項(xiàng)的是
C.a(chǎn)n=2-sin2 解析:選 由an=2-sinnπ可得 2根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)1 1 1 1 a,b,a,b,a,b,…(a,b為實(shí)數(shù)9,99,999,9解:(1)各數(shù)都是偶數(shù),且最小為4,所以通項(xiàng)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1 數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通 這是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列,奇數(shù)項(xiàng)是a,偶數(shù)項(xiàng)是b,所以此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)410-1,100-1,1000-1,10000-1an=10n-1.[類題通法
用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)的技根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)觀察出項(xiàng)與n之間的關(guān)系規(guī)律可使用添項(xiàng)通分分割等辦法轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項(xiàng)來求于正負(fù)符號(hào)變化,可用-1n或-1+1來調(diào)整.[典例 已知下面數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,求{an}的通 [解 a1也適合此等式,∴an=4n-5.n≥2當(dāng)b=-1時(shí),a1適合此等式.b≠-1時(shí),a1不適合此等式.b=-1當(dāng)b≠-1時(shí),an=[類題通法已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,求數(shù)列的通項(xiàng),其求解過程分為三步n-1Snnan=Sn-Sn-1(n≥2)n=1n≥2an的表達(dá)式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項(xiàng)合寫;如果不符合,則應(yīng)該分n=1與n≥2兩段來寫.[針對(duì)訓(xùn)練{an}的通項(xiàng)6解:a1=S1=1(a1+1)(a1+2),解得a1=1或a1=2,6a1=S1>1 an+1-an-3=0an>0an+1=-an不成立,舍去.因此an+1-an-3=0.遞遞 和通確定數(shù)列中的項(xiàng)時(shí),不如通 直接.歸納起來常角度 1.(2012·大綱卷)已知數(shù)列{a}中,a=1,前n項(xiàng)和
n=33解:(1)S2=4a23(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3.33S3=5a3322(2) n≥2an=Sn-Sn-1=3an-3整理得 即∴a
=.=.a2a3a4 an-2an-1…aaa a1···aaa123
an-3
n-2=345
n-3n-2 n=1綜上可知,{an}的通 角度
2當(dāng)n=1時(shí),a1=1×(3×1+1)=2符 2
角度三形如an+1=Aan+B(A≠0A≠1)an3.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+2,求an.∴
為等比數(shù)列,公比[類題通法由數(shù)列的遞推求通項(xiàng)時(shí),若遞推關(guān)系為an+1=an+f(n)或an+1=f(n)·an,則可以[課堂練通考點(diǎn) an是
.解析:選 由已知得,數(shù)列可寫成1,2,3,…,故通項(xiàng)為 .
已知數(shù)列{a}的通 是a=2n,那么這個(gè)數(shù)列是 B.遞減數(shù)C.?dāng)[動(dòng)數(shù) 解析:選 由
- 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為n2,那么當(dāng)n≥2時(shí),an=( 解析:選 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn,則=22當(dāng)n≥2時(shí) Tn=n =22 已知數(shù)列{an}滿足ast=asat(s,t∈N*),且a2=2,則a8= 解析:令s=t=2,則a4=a2×a2=4,令s=2,t=4,則a8=a2×a4=8.{bn}的通項(xiàng)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=4也適合,∴{an}的通項(xiàng)是當(dāng)n≥2時(shí)2∴數(shù)列{bn}是公比為112
[課下提升考能
D.1,2,3,…,解析:選C 是選項(xiàng)C、D,故同時(shí)滿足要求的是選項(xiàng)C,故選C.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2(an-1),則a2等于 解析:選A 由題可知Sn=2(an-1),所以S1=a1=2(a1-1),解得a1=2.aS2=a1+a2=2(a2-1)a3.(2014·銀川模擬)設(shè)數(shù)列{a}滿足:a
1
{a}nn
—,記數(shù)列n 1 2解析:選 由a2=1,a3=-1,a4=2可知,數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列,從2 前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí),n的值為( 解析:選 ∴數(shù)列{an}19為首項(xiàng),-3設(shè){an}k則有
3≤k≤3nn 一模)已知數(shù)列{an}nSn=2an-1,則滿足an≤2nn合為 解析:選 因?yàn)閚≥2時(shí),Sn-1=2an-1-1,兩式相減得an=2an-2an-1,所以{an}2的等比數(shù)列,又因?yàn)閍1=2a1-1,故{an}的通項(xiàng)為n而an≤22n-1≤2n,所以有n=1,2,3,4.n在數(shù)列
0.08是它的 項(xiàng),9,8,…,n2解析:令n2=0.08即2n=10n=5(舍去2∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng) 1+a+53+…+2n3an+2n-1=n-13++3,兩式相減得已知數(shù)列{a}a=1,a=2
nn
2 解析:將a1=1,a2=2代入 得a3=a=2,同理可得 =1,a8=2,故數(shù)列{an}6a2答案
9
已知有限數(shù)列5,10,17,26,…, (m≥7,且m∈Nm(1)這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)(2)0.98解:(1)n4,9,16,25,…n的關(guān)系式為(n+1)2;而每一項(xiàng)的分母恰好比分子大1, n+1(2)是,因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng) n+10.98n n+1n=6∈N*(n=-8舍去),0.986 (2)n∈N*an≤a6a解 (n∈N*,a∈R,且又∵a=-7,∴an=1+ 結(jié)合函數(shù)f(x)=1+ 的單調(diào)性∴數(shù)列{an}a5=21(2)a n-n∈N*an≤a61+結(jié)合函數(shù) 的單調(diào)性+
x-
2a的取值范圍為 C.必要條 則
a3=1a1值 2解析:a2為奇數(shù)時(shí),a3=a2-4=1,a2=5;當(dāng)a2為偶數(shù)時(shí),a3=1a2=1,a2=2;2a1為奇數(shù)時(shí),a2=a1-2=5,a1=7或a2=a1-2=2,a1=4(舍去);22a1為偶數(shù)時(shí),a2=1a1=5,a1=10或a2=1a1=2,a1=4.22綜上,a1第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)an+1-an=d(n∈N*,d為常數(shù)).
Aa,b通項(xiàng)
=2前n項(xiàng)和
.2234[試一試 解析:選 2.(2013·重慶高考)已知{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d≠0,Sn為其前n項(xiàng)和,若a1,a2,a5成等比數(shù)列,則S8= d=2a1=2定義法:an+1-an=d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列等差中:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng):an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列前n項(xiàng)和:Sn=An2+Bn(A、B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)的推廣若{an}dak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)md的等a1d等基本量,通過建立方程(組)獲得[練一練1.(2013·高考)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S8=4a3,a7=-2,則a9=( 解析選A 又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6. 4 4 解析:選 卷Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=( 解析:選C 根據(jù)已知條件,得到am和am+1,再根據(jù)等差數(shù)列的定義得到公差d,最后建立關(guān)于a1和m的方程組求解.由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以等差數(shù)列的公差為d=am+1-am=3-2=1,
得
解得
2已知{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若a1=1,S2=a3,則 2 解析:2a1+d=a1+2da1=1
4(2)若數(shù)列{an}kSk=-35k解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}d,則an=a1+(n-1)d,a1=1,a3=-3,又a3=a1+2d,所以d=-2,an=3-2n.(2)得 Sk=2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,k=7k∈N*[類題通法等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,知其中三個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和在解題中起到變量代換的作用,而a1和d是等差[典例 已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足
1(n≥2n
(1)求證:數(shù)列S[解 (1)證明:當(dāng)n≥2時(shí)由上式Sn-1≠0,則由①式得1-1 1 1 1∴S是等差數(shù)列,其中首項(xiàng)為S=a=2 ∴Sn=1當(dāng)n≥2時(shí) 2n=1時(shí),a1=S1=12∴an= -2nn-1 若將條件改為
, S∴S
∴1-1 1 ∴S是以22 即Sn=22當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1= - 22 7
n=1時(shí),a1=2故
[類題通法判斷等差數(shù)列的解答題,常用定義法和等差中,而通項(xiàng)法和前n項(xiàng)和an+1-an=dan-an-1=d,但它們的意義不同,后者必須加上“n≥2n=1時(shí),a0無定義.[針對(duì)訓(xùn)練
∈N*),證明:n=2n ,且(2)
2n+1-=1
-2a
=1 ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2 =0,公差為1的等差數(shù)列[典例 {an}的前n項(xiàng)和為Sn,則使得Sn達(dá)到最大的n是 [解析 (1)a1+a3+a5=105?a3=35,a2+a4+a6=99?a4=33,則{an}的公差,因此當(dāng)則c5=2c3-c1=2×21-7=35.[答案 [類題通法項(xiàng)的性質(zhì):在等差數(shù)列{a}
-a =d(m≠n)
和的性質(zhì):在等差數(shù)列{an}中,SnnnSnnSn=an2+bn,通過配方或借助圖像求①a1>0,d<0時(shí),滿足
mSna1<0,d>0時(shí),滿足
mSn[針對(duì)訓(xùn)練 C.5或 D.6或解析:選C 由題意得S6=6a1+15d=5a1+10d,所以a6=0,故當(dāng)n=5或6時(shí),Sn最大,選C. 解析:a3+a8=10[課堂練通考點(diǎn) 解析:選 依題意得由此解得d=1,a1=2, 河西口模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}nSn3,則使an>0的最小正整數(shù)n的值是 解析:選 解得n>9,an>0n已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Snn項(xiàng)和,a7-a5=4,a11=21,Sk=9 ,則 ×2=k2=9.k∈N* 依題意得 ∵S
n
二模)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}a2=4S-2a-1(n∈N*)S {an}n求數(shù)列{an}的通項(xiàng)111解:(1)n=1時(shí),a2=4S-2a111即(a1-1)2=0222122n=2時(shí),a2=4S-2a-1=4a+2a-1=3+2a222122a2=3a2=-1(舍去(2)a2=4S-2a
②-①得
+2a
+a
即∴數(shù)列{an}12[課下提升考能1.(2013·太原二模)設(shè){an}為等差數(shù)列,公差d=-2,Sn為其前n項(xiàng)和,若S10=S11,則a1=( 解析:選 由S10=S11,得a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11,即a11=0,所,解得的值為 解析:選 由Sn-Sn-3=51得所以an-1=17,又 調(diào)研)等差數(shù)列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,則{an}的前n項(xiàng)和Sn的最 解析:選 ∴Sn
已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S10>0并且S11=0,若Sn≤Sk對(duì)n∈N*恒成立,整數(shù)k構(gòu)成的集合為( 解析:選 在等差數(shù)列{an}中,由S10>0,S11=0得 故可知等差數(shù)列{an}a6=0,所以S5=S6≥Sn,其中n∈N*,k=55.(2014·浙江省名校聯(lián)考)已知每項(xiàng)均大于零的數(shù)列{an}a1=1n滿足SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1(n∈N*且n≥2),則a81=( 解析:CSnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1可得,Sn-Sn-1=2,∴{Sn}是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,故Sn=2n-1,Sn=(2n-1)2,∴a81=S81-S80=1612-2 22解析:d,∵a3=a2-4,∴1+2d=(1+d)2-4d2=4,即d=±2.由于該數(shù)列為遞增數(shù)列,故d=2.2答案n7.已知等差數(shù)列{an}中,an≠0n≥2an-1+an+1-a2=0,S2n-1=38nn n又an-1+an+1-a2=0,nn∴2an-a2=0n,解得 -10≥0n≤5時(shí),an≤0,當(dāng)n>5時(shí),an>0,n9.已知數(shù)列{an}nSnn(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng).1解:(1)n=1111a2-2a11a1=3(a1=-1舍去nn≥2nnn2an=a2-a2 n即a2-2a n1也即(an-1)2=a2n1an-1=an-1an-1=-an-1,則an+an-1=1.所以a2=-2,這與數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)相,所以an-1=an-1,因此數(shù)列{an}31(2)由(1)知a1=3,d=1,即an=n+2.
≤ n無關(guān)的常數(shù))的無窮數(shù)列{bn}(1)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Snn項(xiàng)和:a3=4,S3=18解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}a1+2d=4,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=18,解得a1=8,d=-2,
4n=45時(shí),Sn20,即Sn≤20,故數(shù)列{Sn}適合條件②.為等差數(shù)列”的 充分不必要條 C.充分必要條 2解析:選A 當(dāng)r=1時(shí),數(shù)列{an}為等差數(shù)列;由題意a2=2r,a3=2r2+r,2
,
都有T a9 a3 的值 ∴a9+a3=a9+a3
613∵T11=b613
=41,∴b答案
第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)ana、G、bGab的等比中項(xiàng).即:Gab的等比中項(xiàng)?a,G,b成等比數(shù)列?G2=ab.通項(xiàng)前n項(xiàng) 1-q
1-q在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí),必須對(duì)q=1與q≠1分類討論,防止因忽略=1這一特殊情形導(dǎo)致解題[試一試1.(2013·江西高考)等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,…的第四項(xiàng)等于( -3或x=-1(此時(shí)3x+3=0,不合題意,舍去),故該等比數(shù)列的首項(xiàng)x=-3,公比 2.(2013·高考)若等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q= 前n項(xiàng)和Sn= 解析:由題知
答案
q(q是不為零的常數(shù),n∈N*)?{a}是等比數(shù)列定義:an 通項(xiàng):an=cqn-1(c、q均是不為零的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列n1n2nn1n2n等比中:a2+=an·a+(a·a+·a+≠0,n∈N*)?{a}是等比數(shù)列n1n2nn1n2nkk1
公比不為-1的等比數(shù)列{an}nSnSn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)qn,當(dāng)公比為-1時(shí),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不一定構(gòu)成等比數(shù)列.方程的思想等比數(shù)列的通項(xiàng)前n項(xiàng)和中聯(lián)系著五個(gè)量qnan,Sn組a1qa1q分類討論思想:在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí),必須分類求和,當(dāng)q=1時(shí)na1q≠1時(shí),Sn=1-qa1q[練一練6 622
解析:選 ∵{an}為等比數(shù)列,設(shè)公比為a3a5=4a2 ∴6=,即q4=a442a44422
an+n這四個(gè)數(shù)列中,是等比數(shù)列的有 B.2C.3 D.4
或或
解析:選 根據(jù)已知條件得 2q=123 卷Ⅰ)設(shè)首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則( 3 解析:選 由等比數(shù)列前n項(xiàng)和
3.設(shè)等比數(shù)列{an}q<1nSna3=2,S4=5S2,求{an}的通解:
1-q 所以
.即q<1q=-1q=-2.當(dāng)q=-1時(shí),代入①式得a1=2,通項(xiàng)an=2×(-1)n-1;2q=-222通 2[類題通法在涉及等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)要注意對(duì)公比q是否等于1進(jìn)行判斷和討論[典例 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且[解 n∴na-1c1=a1-1 又 (2)由(1)
在本例條件下,若數(shù)列{bn}b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),證明{bn}是證明:∵由(2)n≥2 b1=a1=1 ∴bn+1=1,數(shù)列 [類題通法[針對(duì)訓(xùn)練(2013·遼寧省五校聯(lián)考)已知數(shù)列{a}滿足:a=1,a =p·n1(其中p
判斷數(shù)列an 解:(1)由an+2=p·an, =p·ancn=an∵a≠0,∴c1≠0,cn=p(非零常數(shù)∴數(shù)列
(2)∵數(shù)列{cn}ap即即aan
a
n2-3n+當(dāng)n≥2時(shí) n ·…· an-1
n2-3n+2
[典例 (1)在等比數(shù)列中,已知a
=243
a9的值為 a18
則n=( [解析 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,∵a
=243,a1a15=a2,∴a8=3,∴9=8
(2)設(shè)數(shù)列{an}
18
11a1a2a3=4=a3q31111q3n-6=81=34=q36,所以n=14,故選C.[答案 [類題通法[針對(duì)訓(xùn)練設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S6∶S3=1∶2,則S9∶S3等于( 解析:選 由等比數(shù)列的性質(zhì)知S3,S6-S3,S9-S6仍成等比數(shù)列,于是S6=1S3代入得 西城區(qū)期末)已知{an}是公比為2的等比數(shù)列,若a3-a1=6,則 1
解析:∵{an}2的等比數(shù)列,且a3-a1=6,∴4a1-a1=6∴1an an 4公比為14
1
1
答案 [課堂練通考點(diǎn),則的值為 解析:選 {an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,設(shè)公比為 大綱卷)已知數(shù)列{a}
+a
{a}10等于
2=-3,則
3=-4得a1=4,所以由等比數(shù)列前 式得33.(2014·揚(yáng)州中學(xué)期中)設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,a3=4,Sk=63,則k= 解析:設(shè)等比數(shù)列{an}qa得a1
=63,∴2k-1=63a1a2a3 126498解析:a1,a2,a32,6,18,即{an}23的5.設(shè)數(shù)列{an}nSn,a1=1,且數(shù)列{Sn}2(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)且數(shù)列{Sn}2n≥2(2)a3,a5,…,a2n+124
33
[課下提升考能 卷Ⅱ)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=a2+10a19,則 3 3 9a1=19
n充分不必要條 C.充要條 解析:選 顯然,n∈N*,an,an+1,an+2成等比數(shù)列,則a2=anan+2,反3.(2013·鄭州質(zhì)量預(yù)測)在數(shù)列{an}中,an+1=can(c為非零常數(shù)),前n項(xiàng)和為Sn=3n+k,則實(shí)數(shù)k為( 1862=18(3+k)k=-1S30=70,那么S40=( C.150或 D.400或 ,故選 a1,a3,…,a2n-1a2,a4,…,a2n,…是等比數(shù)列C.a(chǎn)1,a3,…,a2n-1a2,a4,…,a2n,…均是等比數(shù)列
1 1
An
an為常數(shù),即Aa3,A3=a4,….∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…
An=an=qan+1-2an=0,則S5= 解析:an+2+an+1-2an=0,得anq2+anq-2an=0,顯然an≠0,所以q≠1q=-2.a1=1
卷Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an+1,則{an}的通 是 解析:n=1Sn=2an+1a1=2a1+1a1=1n≥2 2a 得到Sn-1=3an-1+3,所以an=Sn-Sn-1=3 3-3an-1+3=3an-3an-1,所以2an-1,所以數(shù)列{an}1為首項(xiàng),以-28.?dāng)?shù)列{a}a=2
a,則a ,都有am= 前n項(xiàng)和 解析:∵am令m=1,∴數(shù)列{an}a1=2q=2
答案 9.已知數(shù)列{an}nSnn=1時(shí),a1=4a1-3a1=1.Sn=4an-3Sn-1=4an-1-3(n≥2),n≥2
n=3(2)bn+1=an+bn(n∈N*),得bn+1-bn=4n-+ +33n=1
為10.(2013·東北三校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}的所有為正數(shù),首項(xiàng)a1=1,且a4,3a3,a5成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)(2)數(shù)列{an+1-λan}nSnSn=2n-1(n∈N*)λ解:(1)設(shè)數(shù)列{an}q=-3∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)為(2)λ=2bn=0,Sn=0λ≠2,則bn=2,數(shù)列{bn}2-λ2
等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1+a2+a3+a4=1,a5+a6+a7+a8=2,Sn=15,則項(xiàng)數(shù)n為( 解析:
Sn=15
∴n=16.2設(shè)f(x)是定義在R不為零的函數(shù),對(duì)任意x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=1,an=f(n)(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是 2,即 Sn=1-1n,所以
第四節(jié)數(shù)列求等差數(shù)列的前n 等比數(shù)列的前n 1-q
1-q一些常見數(shù)列的前n(1)1+2+3+4+…+n=21[試一試數(shù)列{an}的通項(xiàng)是
,前n項(xiàng)和為9,則n等于 n+
如果一個(gè)數(shù)列{an}nnnnn項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的.一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成則求和時(shí)可nan=(-1)nf(n)類型,[練一練 若數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=2n+2n-1,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和
1-2
答案[典例 =(a
cos
sinx
求數(shù)列{an}的通項(xiàng) [解 (1)由題設(shè)可得f′(x)=an-an+1+an+2-an+1sinx-an+2cosn∈N*,f′π=an-an+1+an+2-an+1=0,即an+1-an=an+2-an+1,故{ana1=2,a2+a4=8,可得數(shù)列{an}
22[類題通法
(2)通項(xiàng)為[針對(duì)訓(xùn)練
的數(shù)列,其中數(shù)列{bn},{cn}(1)p,q(2)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn的解:(1)a1=32p+q=3a4=24p+4q,a5=25p+5q,且a1+a5=2a4,3+25p+5q=25p+8q,解得p=1,q=1. (2013·山東高考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(2)若數(shù)列{bn}滿足b1+b2+…+bn=1-1,n∈N*,求{bn}n [解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為由 n=1 當(dāng)n≥2時(shí)
1-1=1
由(1)bn=2nT=1+3+5
,
+ 1 3
2n+2n+11T=1+2+2+…+2
=3-
2n-1-2n+1Tn=3-2n[類題通法
要識(shí)別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形在寫出“Sn”與“qSn”[針對(duì)訓(xùn)練(2014·武昌聯(lián)考)已知數(shù)列{an}nSnSn=2an-1;數(shù)列{bn}求數(shù)列bn解:(1)Sn=2an-1∴數(shù)列{an}12bn-1-bn=bnbn-1(n≥2,n∈N*),得1-1 1∴數(shù)列b1b∴1bnnn
型;n+k+角度 形如 S1<kn∈N*kSn解:(1)設(shè)數(shù)列{an}q∵a3-a2=8a2=8,∴q=2.∴an=2n+1.(2)∵bn=log42n+1=2 ∵1 =41-1
=41-1+1-1+1-1+…+1-1
=41+1+1-1-1-1
323 323
n+3
3<k角度 形如 型n+k+記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2 A.2A.2B.2C.2D.2解析:選 由f(4)=2可得4a=2,解得212f(x)=x2 n+1-
n+1+S2013=a1+a2+a3+…+a2013=(2-1)+(3-2)+(4-3)+…+(22013)=2角度 形如an= nn3.(2013·江西高考)正項(xiàng)數(shù)列{an}nSnn求數(shù)列{an}的通項(xiàng) 令 n+1 的前n項(xiàng)和為T n nn∈N*Tn<5解:(1)S2-(n2+n-1)S 得由于數(shù)列{an}a1=S1=2,n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.綜上可知,數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=2n.(2) 1 n+1 n+1 1 ,則b 2 n+2 4n T=11-1+1-1+1-1
=11+1 <11+1=5 [類題通法
等.如:若{a}是等差數(shù)列,則
1 1 1 11 1
anan +[課堂練通考點(diǎn)數(shù)列11,31,51,71,…,(2n-1)+1,…的前n項(xiàng)和Sn的值等于
——2
1解析:選 該數(shù)列的通 為an=(2n-1)+1,則 解析:選B an=(-1)n(2n-1)+(2n+1),取n=1,5,9及n=2,6,10,結(jié)果相加可得故選若數(shù)列{an}的通項(xiàng)是an=(-1)n·(3n-2),則 — 解析:選 記bn=3n-2,則數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,所以 +nn前n項(xiàng)和 a解析:設(shè)等比數(shù)列{an}q,則a1q=3.故bn=log3an=n,所以 =1-1
1
1 n則數(shù)列
n1-+
-+…+
答案
n5.(2014·惠州調(diào)研)已知向量p=(a2n),向量q=(2n+1,-a 直,且 n求數(shù)列{an}的通項(xiàng)若數(shù)列{bn}bn=log2an+1,求數(shù)列{an·bn}n解:(1)pq∴2+annn1=0,即∴an=2,∴{an}1為首項(xiàng),2 ①-②得
[課下提升考能數(shù)列{1+2n-1}的前n項(xiàng)和為 解析:選 由題意得
=n+2n-1 已知等差數(shù)列{an}nSn,a5=5,S5=15,則數(shù)列aa+100
nn 解析:選
1
nn+1=n-n n∴數(shù)列aa+100nn 1 1 1 東城一模)f(n)=n2cosnπan=f(n)+f(n+1) D.10解析:選 f(n)=n2cos
得a1+a2+a3+…+a100=3+(-5)+7+(-9)+…+199+(-201)=50×(-2)=-100.4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-6n,則{|an|}的前n項(xiàng)和Tn=( C. D. 解析:選C ∵由Sn=n2-6n得{an}是等差數(shù)列,且首項(xiàng)為-5,公差為2.∴n≤3時(shí),an<0,n>3∴Tn= 已知數(shù)列{an}滿足an+an+1= (n∈N*),a1=-2,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S2013= 2 2 =-1×1007+1007×1006×-1+1×1
1006×1
=-12
1
× 答案:-的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為2n,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和
7.(2013·江西高考)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足:a2-(2n-1)a (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng) ,求數(shù)列{bn}的前nnnnnn解:(1)a2-(2n-1)a-2n=0,得(a-2n)(annnn由于{an}(2)由 得b =11-1
T=11-1+1-1+…+1-1+1-12 2
11-1 .2 .2
若數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=n,寫出數(shù)列{an}的“生成數(shù)列”{bn}的通項(xiàng)已知數(shù)列{dn}dn=2n+n,求數(shù)列{dn}的“生成數(shù)列”{pn}n解:(1)n≥2時(shí),bn=an+an-1=2n-1,當(dāng)n=1時(shí),b1=a1=1適合上式,b=0時(shí),qn=4n-2b≠0q1=c1=2+b,q2=6+2b,q3=10+2b,此時(shí)q2-q1≠q3-q2,n>1又n=1時(shí),T1=3,適合上式,∴Tn=3·2n+n2-4. 項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列kPnDn(0,n2+1)CnDnkn,求k11 1
∴P (2)∵Cnx
y=
Dn(0,n2+1)∴Cn∴ =1 - ∴1+1+…+
-
=11- =1-
2.已知數(shù)列{an}nSn=3n,數(shù)列{bn}b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)ncn=an·bn,求數(shù)列{cn}nn當(dāng)n=1時(shí),2×31-1=2≠S1=a1=3,(3)
n≥2 =(n-2)×3n-2 bn,an,bn+1成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng) 1 1 (2)設(shè)Sn=++…+,試比較2Sn與2-n
解:(1)nbn,an,bn+1成等比數(shù)列,2可得a1=b1b2=3,a2=b2b3=6,解得b1=2,b2=3222∴bn=2
(2)由(1)可得
1-1
∴S=
1-1
=1-2∴2Sn=2-4
又
n=1,2
;當(dāng)n≥3時(shí)
第五節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng) (1)求{an}的通項(xiàng)[解 (1)設(shè){an}的公差為d,由題意得a2于是d(2a1+25d)=0.a1=25d=0(舍去)(2)由(1)故{a3n-2}25,公差為-6 [類題通法[針對(duì)訓(xùn)練(2)求{bn}nSn及{an}∴bn+1-bn=log2an=log2q∴數(shù)列{bn}(2)設(shè)數(shù)列{bn}
股東們分紅500萬元.該企業(yè)2010年年底分紅后的為1000萬元.(1)求該企業(yè)2014年年底分紅后的(2)求該企業(yè)從哪一年開始年底分紅后的超過32500萬元 設(shè)an為(2010+n)年年底分紅后的,其中n∈N*,a1=2×1000-500=1a2=2×1500-500=2即數(shù)列{an-500}a1-500=10002∴an-500=1∴an=1(1)a4=1000×24-1+500=8∴該企業(yè)2014年年底分紅后的為8500萬元(2)an>325002n-1>32∴該企業(yè)從2017年開始年底分紅后的超過32500萬元[類題通法
[針對(duì)訓(xùn)練某企業(yè)在第1年初一臺(tái)價(jià)值為120萬元的設(shè)備M,M的價(jià)值在使用過程中逐年減少.從第2年到第6年,每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬元;從第7年開始,每年初M的價(jià)值為上年初的75%.則第n年初M的價(jià)值an= 解析:n≤6時(shí),數(shù)列{an}公差為-10n≥7時(shí),數(shù)列{an}a6434a6=70
角度 數(shù)列與不等式的交2 2nSn;數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1=8nTnTn=nλ·bn+1(λ為常λ≠1).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)及λ的值(2)比較1+1+1+…+1與1Sn 即1-1a12=a 2 22設(shè){bn}
解得 或 (舍
(2)由(1) 又T=4n2+4n,1 =11-1 ∴1+1+…+
1-1
n=11-1n4 n+14由①②可知1+1+…+11 [類題通法
Tn<2S角度 數(shù)列與函數(shù)的交 高考)設(shè)函數(shù)(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)
sinx(2)設(shè){xn}nSn2解:(1)f′(x)=1+cos2得cosx=-1,解得 2π 2kπ±3xnf(x)n33
3角度 數(shù)列與解析幾何的交2在正項(xiàng)數(shù)列{an}中,a1=2An(an,an+1)y2-x2=1上,數(shù)列{bn}中,點(diǎn)(bn,Tn)y=-1x+1Tn是數(shù)列{bn}n項(xiàng)和.2求數(shù)列{an}的通項(xiàng)解:(1)Any2-x2=1∴數(shù)列{an}212(2)證明:∵點(diǎn)(bn,Tn)y=-1x+122 22 2 2n=1233 [課堂練通考點(diǎn)n已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}滿足:an+1+an-1=a2(n≥2),等比數(shù)列{bn}n A.-1或 B.0或 nn解析:選C 解得an=2(n≥2)(由于數(shù)列{an}每項(xiàng)都是正數(shù)),又bn+1bn-1=b2=2bn(n≥2),nn
m所有可能的取值為)
an(n)a6=1a1=45 解析由題意知等差數(shù)列{an}的公差 ,解得4.(2013·江西高考)某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于 解析:設(shè)每天植樹的棵數(shù)組成的數(shù)列為2
≥10025=32,26=64,n∈N*
5.已知數(shù)列{an}nSnSn=n2,數(shù)列{bn}求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)b若數(shù)列{cn}cn=a,求數(shù)列{cn}nbn解:(1)∵數(shù)列{an}nSnn≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1亦滿足上式,又?jǐn)?shù)列{bn}b(2)cn=abn
[課下提升考能1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an-1(a≠0),則數(shù)列{an}( BC解析:選 即an=2.(2013·遼寧高考)d>0的等差數(shù)列{an} =3n-12nan=3n2-12np2則滿足已知,但an=1+1p3an+3nd=4dn+a1-d p43.(2013·湖南省五市十校聯(lián)合檢測)f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù),且x,yf(x·y)=f(x)+f(y),若數(shù)列{an}nSnf(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*)an為() 解析:選 由題意知n=12是首項(xiàng)為2數(shù)列的第2012項(xiàng)與5的差即a2012-5=( 018×2 B.2018×2009×2 D.1009×2解析:選 結(jié)合圖形可知,該數(shù)列的第n項(xiàng)an=2+3+4+…+n+2.所以a24+5+…+2014=4×2
2011×2
2011×1009. 植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距10 解析:2×(0+10+20+…+190)2和為2×(20+10+0+10+20+…+170)(減少了680米);依次進(jìn)行,顯然當(dāng)放在中間的第10、11個(gè)坑時(shí),路程和最小,為2×(90+80+…+0+10+20+…+100)=2000米.答案:2數(shù)列{bn}為“凸數(shù)列”,且b1=1,b2=-2,則數(shù)列{bn}的前2013項(xiàng)和為 解析:由“凸數(shù)列”3,b7=1,b8=-2,…,故數(shù)列{bn}是周期為6的周期數(shù)列,又0,故數(shù)列{bn}2013S2 )數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差數(shù)列{bn}滿足b3=3,b5=9.分別求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)
(n (n∈N)
解:(1)∴cn=3n=n ∴cn+1-cn=3n+13333 8.(2013·惠州調(diào)研)已知點(diǎn),3f(x)=a(a>0a≠1)+求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)若數(shù)列{cn}cn=bn·1n,求數(shù)列{cn}n 1若數(shù)列bb+nTnTn>2009nnn333
99a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-2 ∴a1= =-
- 2 - ∵Sn-Sn-1=( Sn-1)( Sn-1)= Sn-1(n≥2),bn>0,∴ ∴數(shù)列{Sn}11n≥2時(shí),bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1;又b1=c=1滿足bn=2n-1,(2)∵cn=b
3
-化簡得,2R-
3
33 3
∴Rn=1-3n(3)由(1)知Tn=1+1+1+…+
=1+1+1
=11-1+11-1+11-1
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- GB/T 30519-2024輕質(zhì)石油餾分和產(chǎn)品中烴族組成和苯含量的測定多維氣相色譜法
- 果品綜合檢測成本控制分析
- 國旗下講話稿刻苦學(xué)習(xí)3篇
- 軍訓(xùn)期間的感受200字(17篇)
- 無編站骨干選拔理論考試(戰(zhàn)訓(xùn)業(yè)務(wù)理論)練習(xí)測試卷
- 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提高第一輪專題復(fù)習(xí)專題04數(shù)列求通項(xiàng)(隔項(xiàng)等差(等比)數(shù)列)(典型題型歸類訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)
- 教育教學(xué)設(shè)施和生活安全管理制度(4篇)
- 廣東各地英語語法填空匯編
- 高中語法講解與練習(xí)之直接引語與間接引語
- 第4章 人群健康研究課件
- 貴州貴州貴陽龍洞堡國際機(jī)場股份有限公司招聘真題
- 第八屆全國醫(yī)藥行業(yè)特有職業(yè)技能競賽(中藥調(diào)劑員)考試題及答案
- GB/T 44413-2024城市軌道交通分類
- 2022年遼寧省中考語文現(xiàn)代文閱讀之說明文閱讀5篇
- 2023年湖北省黃石市中考語文真題(解析版)
- 2024至2030年中國真空絕熱板行業(yè)深度調(diào)研及投資戰(zhàn)略分析報(bào)告
- 液壓電氣基礎(chǔ)知識(shí)單選題100道及答案
- 門窗加工生產(chǎn)項(xiàng)目智能制造方案
- 2024年甘肅慶陽市林業(yè)和草原局招聘專職聘用制護(hù)林員57人歷年高頻考題難、易錯(cuò)點(diǎn)模擬試題(共500題)附帶答案詳解
- 華北電力大學(xué)(保定)
- 少先隊(duì)員代表大會(huì)提案登記表
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論