版可自輯文稿第五章數(shù)列

第五 第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示數(shù)列的定義、分類與通項(xiàng)項(xiàng)與項(xiàng)間的數(shù)列的通項(xiàng)如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示那么這個(gè)叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)．如果已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))anan－1(n≥2)(或前幾項(xiàng)間的關(guān)系可用一個(gè)來表示，那么這個(gè)叫數(shù)列的遞推[試一試已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為1,3,7,15，寫出數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng) 是

則 明確anSn的關(guān) [練一練若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，則此數(shù)列的通項(xiàng)為

解析：由已知

解得 an＝1n＋2

9下列可作為數(shù)列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通項(xiàng)的是

C．a(chǎn)n＝2－sin2 解析：選 由an＝2－sinnπ可得 2根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)1 1 1 1 a，b，a，b，a，b，…(a，b為實(shí)數(shù)9,99,999,9解：(1)各數(shù)都是偶數(shù)，且最小為4，所以通項(xiàng)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1 數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通 這是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是a，偶數(shù)項(xiàng)是b，所以此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)410－1,100－1,1000－1，10000－1an＝10n－1.[類題通法

用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)的技根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)觀察出項(xiàng)與n之間的關(guān)系規(guī)律可使用添項(xiàng)通分分割等辦法轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項(xiàng)來求于正負(fù)符號(hào)變化，可用－1n或－1＋1來調(diào)整．[典例 已知下面數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求{an}的通 [解 a1也適合此等式，∴an＝4n－5.n≥2當(dāng)b＝－1時(shí)，a1適合此等式．b≠－1時(shí)，a1不適合此等式．b＝－1當(dāng)b≠－1時(shí)，an＝[類題通法已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求數(shù)列的通項(xiàng)，其求解過程分為三步n－1Snnan＝Sn－Sn－1(n≥2)n＝1n≥2an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來寫．[針對(duì)訓(xùn)練{an}的通項(xiàng)6解：a1＝S1＝1(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，6a1＝S1>1 an＋1－an－3＝0an>0an＋1＝－an不成立，舍去．因此an＋1－an－3＝0.遞遞 和通確定數(shù)列中的項(xiàng)時(shí)，不如通 直接.歸納起來常角度 1．(2012·大綱卷)已知數(shù)列{a}中，a＝1，前n項(xiàng)和

n＝33解：(1)S2＝4a23(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.33S3＝5a3322(2) n≥2an＝Sn－Sn－1＝3an－3整理得 即∴a

＝.＝.a2a3a4 an－2an－1…aaa a1···aaa123

an－3

n－2＝345

n－3n－2 n＝1綜上可知，{an}的通 角度

2當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1×(3×1＋1)＝2符 2

角度三形如an＋1＝Aan＋B(A≠0A≠1)an3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求an.∴

為等比數(shù)列，公比[類題通法由數(shù)列的遞推求通項(xiàng)時(shí)，若遞推關(guān)系為an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，則可以[課堂練通考點(diǎn) an是

.解析：選 由已知得，數(shù)列可寫成1，2，3，…，故通項(xiàng)為 .

已知數(shù)列{a}的通 是a＝2n，那么這個(gè)數(shù)列是 B．遞減數(shù)C．?dāng)[動(dòng)數(shù) 解析：選 由

- 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n≥2時(shí)，an＝( 解析：選 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則＝22當(dāng)n≥2時(shí) Tn＝n ＝22 已知數(shù)列{an}滿足ast＝asat(s，t∈N*)，且a2＝2，則a8＝ 解析：令s＝t＝2，則a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，則a8＝a2×a4＝8.{bn}的通項(xiàng)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝4也適合，∴{an}的通項(xiàng)是當(dāng)n≥2時(shí)2∴數(shù)列{bn}是公比為112

[課下提升考能

D．1，2，3，…，解析：選C 是選項(xiàng)C、D，故同時(shí)滿足要求的是選項(xiàng)C，故選C.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則a2等于 解析：選A 由題可知Sn＝2(an－1)，所以S1＝a1＝2(a1－1)，解得a1＝2.aS2＝a1＋a2＝2(a2－1)a3．(2014·銀川模擬)設(shè)數(shù)列{a}滿足：a

1

{a}nn

—，記數(shù)列n 1 2解析：選 由a2＝1，a3＝－1，a4＝2可知，數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，從2 前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值為( 解析：選 ∴數(shù)列{an}19為首項(xiàng)，－3設(shè){an}k則有

3≤k≤3nn 一模)已知數(shù)列{an}nSn＝2an－1，則滿足an≤2nn合為 解析：選 因?yàn)閚≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－1，兩式相減得an＝2an－2an－1，所以{an}2的等比數(shù)列，又因?yàn)閍1＝2a1－1，故{an}的通項(xiàng)為n而an≤22n－1≤2n，所以有n＝1,2,3,4.n在數(shù)列

0.08是它的 項(xiàng)，9，8，…，n2解析：令n2＝0.08即2n＝10n＝5(舍去2∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng) 1＋a＋53＋…＋2n3an＋2n－1＝n－13＋＋3，兩式相減得已知數(shù)列{a}a＝1，a＝2

nn

2 解析：將a1＝1，a2＝2代入 得a3＝a＝2，同理可得 ＝1，a8＝2，故數(shù)列{an}6a2答案

9

已知有限數(shù)列5，10，17，26，…， (m≥7，且m∈Nm(1)這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)(2)0.98解：(1)n4,9,16,25，…n的關(guān)系式為(n＋1)2；而每一項(xiàng)的分母恰好比分子大1， n＋1(2)是，因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng) n＋10.98n n＋1n＝6∈N*(n＝－8舍去)，0.986 (2)n∈N*an≤a6a解 (n∈N*，a∈R，且又∵a＝－7，∴an＝1＋ 結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋ 的單調(diào)性∴數(shù)列{an}a5＝21(2)a n－n∈N*an≤a61＋結(jié)合函數(shù) 的單調(diào)性＋

x－

2a的取值范圍為 C．必要條 則

a3＝1a1值 2解析：a2為奇數(shù)時(shí)，a3＝a2－4＝1，a2＝5；當(dāng)a2為偶數(shù)時(shí)，a3＝1a2＝1，a2＝2；2a1為奇數(shù)時(shí)，a2＝a1－2＝5，a1＝7或a2＝a1－2＝2，a1＝4(舍去)；22a1為偶數(shù)時(shí)，a2＝1a1＝5，a1＝10或a2＝1a1＝2，a1＝4.22綜上，a1第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．

Aa，b通項(xiàng)

＝2前n項(xiàng)和

.2234[試一試 解析：選 2．(2013·重慶高考)已知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d≠0，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8＝ d＝2a1＝2定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列等差中：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列前n項(xiàng)和：Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)的推廣若{an}dak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)md的等a1d等基本量，通過建立方程(組)獲得[練一練1．(2013·高考)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝( 解析選A 又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6. 4 4 解析：選 卷Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝( 解析：選C 根據(jù)已知條件，得到am和am＋1，再根據(jù)等差數(shù)列的定義得到公差d，最后建立關(guān)于a1和m的方程組求解．由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差數(shù)列的公差為d＝am＋1－am＝3－2＝1，

得

解得

2已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a1＝1，S2＝a3，則 2 解析：2a1＋d＝a1＋2da1＝1

4(2)若數(shù)列{an}kSk＝－35k解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}d，則an＝a1＋(n－1)d，a1＝1，a3＝－3，又a3＝a1＋2d，所以d＝－2，an＝3－2n.(2)得 Sk＝2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，k＝7k∈N*[類題通法等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差[典例 已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足

1(n≥2n

(1)求證：數(shù)列S[解 (1)證明：當(dāng)n≥2時(shí)由上式Sn－1≠0，則由①式得1－1 1 1 1∴S是等差數(shù)列，其中首項(xiàng)為S＝a＝2 ∴Sn＝1當(dāng)n≥2時(shí) 2n＝1時(shí)，a1＝S1＝12∴an＝ －2nn－1 若將條件改為

， S∴S

∴1－1 1 ∴S是以22 即Sn＝22當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝ － 22 7

n＝1時(shí)，a1＝2故

[類題通法判斷等差數(shù)列的解答題,常用定義法和等差中，而通項(xiàng)法和前n項(xiàng)和an＋1－an＝dan－an－1＝d，但它們的意義不同，后者必須加上“n≥2n＝1時(shí)，a0無定義．[針對(duì)訓(xùn)練

∈N*)，證明：n＝2n ，且(2)

2n＋1－＝1

－2a

＝1 ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2 ＝0，公差為1的等差數(shù)列[典例 {an}的前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn達(dá)到最大的n是 [解析 (1)a1＋a3＋a5＝105?a3＝35，a2＋a4＋a6＝99?a4＝33，則{an}的公差，因此當(dāng)則c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.[答案 [類題通法項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{a}

－a ＝d(m≠n)

和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，SnnnSnnSn＝an2＋bn，通過配方或借助圖像求①a1>0，d<0時(shí)，滿足

mSna1<0，d>0時(shí)，滿足

mSn[針對(duì)訓(xùn)練 C．5或 D．6或解析：選C 由題意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故當(dāng)n＝5或6時(shí)，Sn最大，選C. 解析：a3＋a8＝10[課堂練通考點(diǎn) 解析：選 依題意得由此解得d＝1，a1＝2， 河西口模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}nSn3，則使an>0的最小正整數(shù)n的值是 解析：選 解得n>9，an>0n已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Snn項(xiàng)和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9 ，則 ×2＝k2＝9.k∈N* 依題意得 ∵S

n

二模)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}a2＝4S－2a－1(n∈N*)S {an}n求數(shù)列{an}的通項(xiàng)111解：(1)n＝1時(shí)，a2＝4S－2a111即(a1－1)2＝0222122n＝2時(shí)，a2＝4S－2a－1＝4a＋2a－1＝3＋2a222122a2＝3a2＝－1(舍去(2)a2＝4S－2a

②－①得

＋2a

＋a

即∴數(shù)列{an}12[課下提升考能1．(2013·太原二模)設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項(xiàng)和，若S10＝S11，則a1＝( 解析：選 由S10＝S11，得a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＋a11，即a11＝0，所，解得的值為 解析：選 由Sn－Sn－3＝51得所以an－1＝17，又 調(diào)研)等差數(shù)列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，則{an}的前n項(xiàng)和Sn的最 解析：選 ∴Sn

已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S10>0并且S11＝0，若Sn≤Sk對(duì)n∈N*恒成立，整數(shù)k構(gòu)成的集合為( 解析：選 在等差數(shù)列{an}中，由S10>0，S11＝0得 故可知等差數(shù)列{an}a6＝0，所以S5＝S6≥Sn，其中n∈N*，k＝55．(2014·浙江省名校聯(lián)考)已知每項(xiàng)均大于零的數(shù)列{an}a1＝1n滿足SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1(n∈N*且n≥2)，則a81＝( 解析：CSnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1可得，Sn－Sn－1＝2，∴{Sn}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故Sn＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，∴a81＝S81－S80＝1612－2 22解析：d，∵a3＝a2－4，∴1＋2d＝(1＋d)2－4d2＝4，即d＝±2.由于該數(shù)列為遞增數(shù)列，故d＝2.2答案n7．已知等差數(shù)列{an}中，an≠0n≥2an－1＋an＋1－a2＝0，S2n－1＝38nn n又an－1＋an＋1－a2＝0，nn∴2an－a2＝0n，解得 －10≥0n≤5時(shí)，an≤0，當(dāng)n>5時(shí)，an>0，n9．已知數(shù)列{an}nSnn(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)．1解：(1)n＝1111a2－2a11a1＝3(a1＝－1舍去nn≥2nnn2an＝a2－a2 n即a2－2a n1也即(an－1)2＝a2n1an－1＝an－1an－1＝－an－1，則an＋an－1＝1.所以a2＝－2，這與數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)相，所以an－1＝an－1，因此數(shù)列{an}31(2)由(1)知a1＝3，d＝1，即an＝n＋2.

≤ n無關(guān)的常數(shù))的無窮數(shù)列{bn}(1)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Snn項(xiàng)和：a3＝4，S3＝18解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}a1＋2d＝4，S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝18，解得a1＝8，d＝－2，

4n＝45時(shí)，Sn20，即Sn≤20，故數(shù)列{Sn}適合條件②.為等差數(shù)列”的 充分不必要條 C．充分必要條 2解析：選A 當(dāng)r＝1時(shí)，數(shù)列{an}為等差數(shù)列；由題意a2＝2r，a3＝2r2＋r，2

，

都有T a9 a3 的值 ∴a9＋a3＝a9＋a3

613∵T11＝b613

＝41，∴b答案

第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)ana、G、bGab的等比中項(xiàng)．即：Gab的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.通項(xiàng)前n項(xiàng) 1－q

1－q在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，必須對(duì)q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略＝1這一特殊情形導(dǎo)致解題[試一試1．(2013·江西高考)等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項(xiàng)等于( －3或x＝－1(此時(shí)3x＋3＝0，不合題意，舍去)，故該等比數(shù)列的首項(xiàng)x＝－3，公比 2．(2013·高考)若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝ 前n項(xiàng)和Sn＝ 解析：由題知

答案

q(q是不為零的常數(shù)，n∈N*)?{a}是等比數(shù)列定義：an 通項(xiàng)：an＝cqn－1(c、q均是不為零的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列n1n2nn1n2n等比中：a2＋＝an·a＋(a·a＋·a＋≠0，n∈N*)?{a}是等比數(shù)列n1n2nn1n2nkk1

公比不為－1的等比數(shù)列{an}nSnSn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)qn，當(dāng)公比為－1時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定構(gòu)成等比數(shù)列．方程的思想等比數(shù)列的通項(xiàng)前n項(xiàng)和中聯(lián)系著五個(gè)量qnan，Sn組a1qa1q分類討論思想：在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，必須分類求和，當(dāng)q＝1時(shí)na1q≠1時(shí)，Sn＝1－qa1q[練一練6 622

解析：選 ∵{an}為等比數(shù)列，設(shè)公比為a3a5＝4a2 ∴6＝，即q4＝a442a44422

an＋n這四個(gè)數(shù)列中，是等比數(shù)列的有 B．2C．3 D．4

或或

解析：選 根據(jù)已知條件得 2q＝123 卷Ⅰ)設(shè)首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則( 3 解析：選 由等比數(shù)列前n項(xiàng)和

3．設(shè)等比數(shù)列{an}q<1nSna3＝2，S4＝5S2，求{an}的通解：

1－q 所以

.即q<1q＝－1q＝－2.當(dāng)q＝－1時(shí)，代入①式得a1＝2，通項(xiàng)an＝2×(－1)n－1；2q＝－222通 2[類題通法在涉及等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)要注意對(duì)公比q是否等于1進(jìn)行判斷和討論[典例 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且[解 n∴na－1c1＝a1－1 又 (2)由(1)

在本例條件下，若數(shù)列{bn}b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2),證明{bn}是證明：∵由(2)n≥2 b1＝a1＝1 ∴bn＋1＝1，數(shù)列 [類題通法[針對(duì)訓(xùn)練(2013·遼寧省五校聯(lián)考)已知數(shù)列{a}滿足：a＝1，a ＝p·n1(其中p

判斷數(shù)列an 解：(1)由an＋2＝p·an， ＝p·ancn＝an∵a≠0，∴c1≠0，cn＝p(非零常數(shù)∴數(shù)列

(2)∵數(shù)列{cn}ap即即aan

a

n2-3n+當(dāng)n≥2時(shí) n ·…· an－1

n2-3n+2

[典例 (1)在等比數(shù)列中，已知a

＝243

a9的值為 a18

則n＝( [解析 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，∵a

＝243，a1a15＝a2，∴a8＝3，∴9＝8

(2)設(shè)數(shù)列{an}

18

11a1a2a3＝4＝a3q31111q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14，故選C.[答案 [類題通法[針對(duì)訓(xùn)練設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6∶S3＝1∶2，則S9∶S3等于( 解析：選 由等比數(shù)列的性質(zhì)知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比數(shù)列，于是S6＝1S3代入得 西城區(qū)期末)已知{an}是公比為2的等比數(shù)列，若a3－a1＝6，則 1

解析：∵{an}2的等比數(shù)列，且a3－a1＝6，∴4a1－a1＝6∴1an an 4公比為14

1

1

答案 [課堂練通考點(diǎn)，則的值為 解析：選 {an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公比為 大綱卷)已知數(shù)列{a}

＋a

{a}10等于

2＝－3，則

3＝－4得a1＝4，所以由等比數(shù)列前 式得33．(2014·揚(yáng)州中學(xué)期中)設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，則k＝ 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}qa得a1

＝63，∴2k－1＝63a1a2a3 126498解析：a1，a2，a32,6,18，即{an}23的5．設(shè)數(shù)列{an}nSn，a1＝1，且數(shù)列{Sn}2(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)且數(shù)列{Sn}2n≥2(2)a3，a5，…，a2n＋124

33

[課下提升考能 卷Ⅱ)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝a2＋10a19，則 3 3 9a1＝19

n充分不必要條 C．充要條 解析：選 顯然，n∈N*，an，an＋1，an＋2成等比數(shù)列，則a2＝anan＋2，反3．(2013·鄭州質(zhì)量預(yù)測)在數(shù)列{an}中，an＋1＝can(c為非零常數(shù))，前n項(xiàng)和為Sn＝3n＋k，則實(shí)數(shù)k為( 1862＝18(3＋k)k＝－1S30＝70，那么S40＝( C．150或 D．400或 ，故選 a1，a3，…，a2n－1a2，a4，…，a2n，…是等比數(shù)列C．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列

1 1

An

an為常數(shù)，即Aa3，A3＝a4，….∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…

An＝an＝qan＋1－2an＝0，則S5＝ 解析：an＋2＋an＋1－2an＝0，得anq2＋anq－2an＝0，顯然an≠0，所以q≠1q＝－2.a1＝1

卷Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an＋1，則{an}的通 是 解析：n＝1Sn＝2an＋1a1＝2a1＋1a1＝1n≥2 2a 得到Sn－1＝3an－1＋3，所以an＝Sn－Sn－1＝3 3－3an－1＋3＝3an－3an－1,所以2an－1，所以數(shù)列{an}1為首項(xiàng)，以－28．?dāng)?shù)列{a}a＝2

a，則a ，都有am＝ 前n項(xiàng)和 解析：∵am令m＝1，∴數(shù)列{an}a1＝2q＝2

答案 9．已知數(shù)列{an}nSnn＝1時(shí)，a1＝4a1－3a1＝1.Sn＝4an－3Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，n≥2

n＝3(2)bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，得bn＋1－bn＝4n－＋ ＋33n＝1

為10．(2013·東北三校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}的所有為正數(shù)，首項(xiàng)a1＝1，且a4,3a3，a5成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)(2)數(shù)列{an＋1－λan}nSnSn＝2n－1(n∈N*)λ解：(1)設(shè)數(shù)列{an}q＝－3∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)為(2)λ＝2bn＝0，Sn＝0λ≠2，則bn＝2，數(shù)列{bn}2－λ2

等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，則項(xiàng)數(shù)n為( 解析：

Sn＝15

∴n＝16.2設(shè)f(x)是定義在R不為零的函數(shù)，對(duì)任意x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝1，an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是 2，即 Sn＝1－1n，所以

第四節(jié)數(shù)列求等差數(shù)列的前n 等比數(shù)列的前n 1－q

1－q一些常見數(shù)列的前n(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝21[試一試數(shù)列{an}的通項(xiàng)是

，前n項(xiàng)和為9，則n等于 n＋

如果一個(gè)數(shù)列{an}nnnnn項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的．一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成則求和時(shí)可nan＝(－1)nf(n)類型，[練一練 若數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

1－2

答案[典例 ＝(a

cos

sinx

求數(shù)列{an}的通項(xiàng) [解 (1)由題設(shè)可得f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sinx－an＋2cosn∈N*，f′π＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{ana1＝2，a2＋a4＝8，可得數(shù)列{an}

22[類題通法

(2)通項(xiàng)為[針對(duì)訓(xùn)練

的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}(1)p，q(2)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn的解：(1)a1＝32p＋q＝3a4＝24p＋4q，a5＝25p＋5q，且a1＋a5＝2a4，3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1. (2013·山東高考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(2)若數(shù)列{bn}滿足b1＋b2＋…＋bn＝1－1，n∈N*，求{bn}n [解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為由 n＝1 當(dāng)n≥2時(shí)

1－1＝1

由(1)bn＝2nT＝1＋3＋5

，

＋ 1 3

2n＋2n＋11T＝1＋2＋2＋…＋2

＝3－

2n－1－2n＋1Tn＝3－2n[類題通法

要識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形在寫出“Sn”與“qSn”[針對(duì)訓(xùn)練(2014·武昌聯(lián)考)已知數(shù)列{an}nSnSn＝2an－1；數(shù)列{bn}求數(shù)列bn解：(1)Sn＝2an－1∴數(shù)列{an}12bn－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N*)，得1－1 1∴數(shù)列b1b∴1bnnn

型；n＋k＋角度 形如 S1<kn∈N*kSn解：(1)設(shè)數(shù)列{an}q∵a3－a2＝8a2＝8，∴q＝2.∴an＝2n＋1.(2)∵bn＝log42n＋1＝2 ∵1 ＝41－1

＝41－1＋1－1＋1－1＋…＋1－1

＝41＋1＋1－1－1－1

323 323

n＋3

3<k角度 形如 型n＋k＋記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 A.2A.2B.2C.2D.2解析：選 由f(4)＝2可得4a＝2，解得212f(x)＝x2 n＋1－

n＋1＋S2013＝a1＋a2＋a3＋…＋a2013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(22013)＝2角度 形如an＝ nn3．(2013·江西高考)正項(xiàng)數(shù)列{an}nSnn求數(shù)列{an}的通項(xiàng) 令 n＋1 的前n項(xiàng)和為T n nn∈N*Tn<5解：(1)S2－(n2＋n－1)S 得由于數(shù)列{an}a1＝S1＝2，n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.綜上可知，數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝2n.(2) 1 n＋1 n＋1 1 ，則b 2 n＋2 4n T＝11－1＋1－1＋1－1

＝11＋1 <11＋1＝5 [類題通法

等．如：若{a}是等差數(shù)列，則

1 1 1 11 1

anan ＋[課堂練通考點(diǎn)數(shù)列11，31，51，71，…，(2n－1)＋1，…的前n項(xiàng)和Sn的值等于

——2

1解析：選 該數(shù)列的通 為an＝(2n－1)＋1，則 解析：選B an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，結(jié)果相加可得故選若數(shù)列{an}的通項(xiàng)是an＝(－1)n·(3n－2)，則 — 解析：選 記bn＝3n－2，則數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以 ＋nn前n項(xiàng)和 a解析：設(shè)等比數(shù)列{an}q，則a1q＝3.故bn＝log3an＝n，所以 ＝1－1

1

1 n則數(shù)列

n1－＋

-＋…＋

答案

n5．(2014·惠州調(diào)研)已知向量p＝(a2n)，向量q＝(2n＋1，－a 直，且 n求數(shù)列{an}的通項(xiàng)若數(shù)列{bn}bn＝log2an＋1，求數(shù)列{an·bn}n解：(1)pq∴2＋annn1＝0，即∴an＝2，∴{an}1為首項(xiàng)，2 ①－②得

[課下提升考能數(shù)列{1＋2n－1}的前n項(xiàng)和為 解析：選 由題意得

＝n＋2n－1 已知等差數(shù)列{an}nSn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列aa＋100

nn 解析：選

1

nn＋1＝n－n n∴數(shù)列aa＋100nn 1 1 1 東城一模)f(n)＝n2cosnπan＝f(n)＋f(n＋1) D．10解析：選 f(n)＝n2cos

得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－6n，則{|an|}的前n項(xiàng)和Tn＝( C. D. 解析：選C ∵由Sn＝n2－6n得{an}是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為－5，公差為2.∴n≤3時(shí)，an<0，n>3∴Tn＝ 已知數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝ (n∈N*)，a1＝－2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2013＝ 2 2 ＝－1×1007＋1007×1006×－1＋1×1

1006×1

＝－12

1

× 答案：－的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為2n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

7．(2013·江西高考)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a2－(2n－1)a (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng) ，求數(shù)列{bn}的前nnnnnn解：(1)a2－(2n－1)a－2n＝0，得(a－2n)(annnn由于{an}(2)由 得b ＝11－1

T＝11－1＋1－1＋…＋1－1＋1－12 2

11－1 .2 .2

若數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝n，寫出數(shù)列{an}的“生成數(shù)列”{bn}的通項(xiàng)已知數(shù)列{dn}dn＝2n＋n，求數(shù)列{dn}的“生成數(shù)列”{pn}n解：(1)n≥2時(shí)，bn＝an＋an－1＝2n－1，當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝a1＝1適合上式，b＝0時(shí)，qn＝4n－2b≠0q1＝c1＝2＋b，q2＝6＋2b，q3＝10＋2b，此時(shí)q2－q1≠q3－q2，n>1又n＝1時(shí)，T1＝3，適合上式，∴Tn＝3·2n＋n2－4. 項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列kPnDn(0，n2＋1)CnDnkn，求k11 1

∴P (2)∵Cnx

y＝

Dn(0，n2＋1)∴Cn∴ ＝1 － ∴1＋1＋…＋

－

＝11－ ＝1－

2．已知數(shù)列{an}nSn＝3n，數(shù)列{bn}b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)ncn＝an·bn，求數(shù)列{cn}nn當(dāng)n＝1時(shí)，2×31－1＝2≠S1＝a1＝3，(3)

n≥2 ＝(n－2)×3n－2 bn，an，bn＋1成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng) 1 1 (2)設(shè)Sn＝＋＋…＋，試比較2Sn與2－n

解：(1)nbn，an，bn＋1成等比數(shù)列，2可得a1＝b1b2＝3，a2＝b2b3＝6，解得b1＝2，b2＝3222∴bn＝2

(2)由(1)可得

1－1

∴S＝

1－1

＝1－2∴2Sn＝2－4

又

n＝1,2

；當(dāng)n≥3時(shí)

第五節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng) (1)求{an}的通項(xiàng)[解 (1)設(shè){an}的公差為d，由題意得a2于是d(2a1＋25d)＝0.a1＝25d＝0(舍去)(2)由(1)故{a3n－2}25，公差為－6 [類題通法[針對(duì)訓(xùn)練(2)求{bn}nSn及{an}∴bn＋1－bn＝log2an＝log2q∴數(shù)列{bn}(2)設(shè)數(shù)列{bn}

股東們分紅500萬元．該企業(yè)2010年年底分紅后的為1000萬元．(1)求該企業(yè)2014年年底分紅后的(2)求該企業(yè)從哪一年開始年底分紅后的超過32500萬元 設(shè)an為(2010＋n)年年底分紅后的，其中n∈N*，a1＝2×1000－500＝1a2＝2×1500－500＝2即數(shù)列{an－500}a1－500＝10002∴an－500＝1∴an＝1(1)a4＝1000×24－1＋500＝8∴該企業(yè)2014年年底分紅后的為8500萬元(2)an>325002n－1>32∴該企業(yè)從2017年開始年底分紅后的超過32500萬元[類題通法

[針對(duì)訓(xùn)練某企業(yè)在第1年初一臺(tái)價(jià)值為120萬元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過程中逐年減少．從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%.則第n年初M的價(jià)值an＝ 解析：n≤6時(shí)，數(shù)列{an}公差為－10n≥7時(shí)，數(shù)列{an}a6434a6＝70

角度 數(shù)列與不等式的交2 2nSn；數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1＝8nTnTn＝nλ·bn＋1(λ為常λ≠1)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)及λ的值(2)比較1＋1＋1＋…＋1與1Sn 即1－1a12＝a 2 22設(shè){bn}

解得 或 (舍

(2)由(1) 又T＝4n2＋4n，1 ＝11－1 ∴1＋1＋…＋

1－1

n＝11－1n4 n＋14由①②可知1＋1＋…＋11 [類題通法

Tn<2S角度 數(shù)列與函數(shù)的交 高考)設(shè)函數(shù)(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)

sinx(2)設(shè){xn}nSn2解：(1)f′(x)＝1＋cos2得cosx＝－1，解得 2π 2kπ±3xnf(x)n33

3角度 數(shù)列與解析幾何的交2在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝2An(an，an＋1)y2－x2＝1上，數(shù)列{bn}中，點(diǎn)(bn，Tn)y＝－1x＋1Tn是數(shù)列{bn}n項(xiàng)和．2求數(shù)列{an}的通項(xiàng)解：(1)Any2－x2＝1∴數(shù)列{an}212(2)證明：∵點(diǎn)(bn，Tn)y＝－1x＋122 22 2 2n＝1233 [課堂練通考點(diǎn)n已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}滿足：an＋1＋an－1＝a2(n≥2)，等比數(shù)列{bn}n A．－1或 B．0或 nn解析：選C 解得an＝2(n≥2)(由于數(shù)列{an}每項(xiàng)都是正數(shù))，又bn＋1bn－1＝b2＝2bn(n≥2)，nn

m所有可能的取值為)

an(n)a6＝1a1＝45 解析由題意知等差數(shù)列{an}的公差 ，解得4．(2013·江西高考)某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于 解析：設(shè)每天植樹的棵數(shù)組成的數(shù)列為2

≥10025＝32,26＝64，n∈N*

5．已知數(shù)列{an}nSnSn＝n2，數(shù)列{bn}求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)b若數(shù)列{cn}cn＝a，求數(shù)列{cn}nbn解：(1)∵數(shù)列{an}nSnn≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1亦滿足上式，又?jǐn)?shù)列{bn}b(2)cn＝abn

[課下提升考能1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an－1(a≠0)，則數(shù)列{an}( BC解析：選 即an＝2．(2013·遼寧高考)d>0的等差數(shù)列{an} ＝3n－12nan＝3n2－12np2則滿足已知，但an＝1＋1p3an＋3nd＝4dn＋a1－d p43．(2013·湖南省五市十校聯(lián)合檢測)f(x)是定義在(0，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)，且x，yf(x·y)＝f(x)＋f(y)，若數(shù)列{an}nSnf(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N*)an為() 解析：選 由題意知n＝12是首項(xiàng)為2數(shù)列的第2012項(xiàng)與5的差即a2012－5＝( 018×2 B．2018×2009×2 D．1009×2解析：選 結(jié)合圖形可知，該數(shù)列的第n項(xiàng)an＝2＋3＋4＋…＋n＋2.所以a24＋5＋…＋2014＝4×2

2011×2

2011×1009. 植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10 解析：2×(0＋10＋20＋…＋190)2和為2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(減少了680米)；依次進(jìn)行，顯然當(dāng)放在中間的第10、11個(gè)坑時(shí)，路程和最小，為2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2000米．答案：2數(shù)列{bn}為“凸數(shù)列”，且b1＝1，b2＝－2，則數(shù)列{bn}的前2013項(xiàng)和為 解析：由“凸數(shù)列”3，b7＝1，b8＝－2，…，故數(shù)列{bn}是周期為6的周期數(shù)列，又0，故數(shù)列{bn}2013S2 )數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差數(shù)列{bn}滿足b3＝3，b5＝9.分別求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)

(n (n∈N)

解：(1)∴cn＝3n＝n ∴cn＋1－cn＝3n＋13333 8．(2013·惠州調(diào)研)已知點(diǎn)，3f(x)＝a(a>0a≠1)＋求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)若數(shù)列{cn}cn＝bn·1n，求數(shù)列{cn}n 1若數(shù)列bb＋nTnTn>2009nnn333

99a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－2 ∴a1＝ ＝－

- 2 - ∵Sn－Sn－1＝( Sn－1)( Sn－1)＝ Sn－1(n≥2)，bn>0，∴ ∴數(shù)列{Sn}11n≥2時(shí)，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1；又b1＝c＝1滿足bn＝2n－1，(2)∵cn＝b

3

-化簡得，2R-

3

33 3

∴Rn＝1－3n(3)由(1)知Tn＝1＋1＋1＋…＋

＝1＋1＋1

＝11－1＋11－1＋11－1