理工類專業(yè)課復(fù)習(xí)資料-數(shù)學(xué)分析知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1章實(shí)數(shù)集與函數(shù)數(shù)集”上的(后繼課《復(fù)變函數(shù)》研究的是定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù))．為此，我1、實(shí)數(shù)|也可以用有限十進(jìn)小數(shù)或無(wú)限十進(jìn)小數(shù)來(lái)表示.l.對(duì)于正有限小數(shù)x=aaaa0x=aaaa其中22.0012.009999；32.9999下，大小的比較ak=bk,k=0,1,，則稱x與y相等，記為x=y；若a0>b0或存在非負(fù)整數(shù)l，akbkklalblxyyx，分別記為x>y或y<x．對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)x、y，若按上述規(guī)定分別有x=y或x>y，則分別稱為x=y與x<y(或y>x)．2)實(shí)數(shù)比較大小的等價(jià)條件(通過(guò)有限小數(shù)來(lái)比較)．定義2(不足近似與過(guò)剩近似)：x定義2(不足近似與過(guò)剩近似)：x=aaa為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱有理數(shù)xn=a0.a1an為實(shí)數(shù)x的n位不足近似；xn=xn+稱為實(shí)數(shù)x的n位過(guò)剩近于負(fù)實(shí)數(shù)x=a0.a1 剩近似xn=a0.a1an.于負(fù)實(shí)數(shù)x=a0.a1 剩近似xn=a0.a1an. xn當(dāng)n增大時(shí)不增，即有x0>x1>x2>．命題：記x=a0.a1an，y=b0.b1bn為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則x>y的等價(jià)條件nynyn3差、積、商(除數(shù)不為0)仍是實(shí)數(shù)．VabR,b>a>0不3n=N使得na>b．5)稠密性：兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)之間總有另一個(gè)實(shí)數(shù)．R與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．等式實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值的定義為|a|=〈(a,a>0．a(chǎn)ba|b|；b|b|4個(gè)重要不等式Vaaan=R+,記1G(ai)=G(ai)=n=|nai|,(幾何平均值)\i=1)H(ai)===.(調(diào)和平均值)aa2+…+annaiai當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)成立.Vx有不等式(1+x)n>1+nx,n=N.對(duì)Vh>0,由二項(xiàng)展開(kāi)式hn上式右端任何一項(xiàng).[練習(xí)]P4．5(一實(shí)數(shù)及其性質(zhì)5教學(xué)目的：使學(xué)生掌握確界原理，建立起實(shí)數(shù)確界的清晰概念.證明中正確地加以運(yùn)用.用教學(xué)重點(diǎn)：確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)(確界原理).教學(xué)難點(diǎn)：確界的定義及其應(yīng)用.教學(xué)方法：講授為主.思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具體問(wèn)題引出一般的結(jié)論：一的術(shù)語(yǔ)和工具.3、由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理(確界原理).1、區(qū)間(用來(lái)表示變量的變化范圍)6(有限區(qū)間設(shè)a,b仁R且a想b.區(qū)間〈，其中l(wèi)無(wú)限區(qū)間||||合稱為點(diǎn)a的6鄰域，記作U(a;6)，或簡(jiǎn)記為U(a)，即其中a稱為該鄰域的中心，6稱為該鄰域的半徑.(2)點(diǎn)a的空心6鄰域(3)a的6右鄰域和點(diǎn)a的空心6右鄰域(4)點(diǎn)a的6左鄰域和點(diǎn)a的空心6左鄰域7(1)(1)無(wú)界集EyEyy=,x=(0,1)卜也是無(wú)界數(shù)集.注：1)上(下)界若存在，不唯一；2)上(下)界與S的關(guān)系如何？看下例：有無(wú)窮多個(gè)).確界與確界原理8有x共n(即n是S的上界);(2)對(duì)任何a<n，存在x0=S，使得x0>a(即命題1M=supE充要條件1)Vx=E,x共M；2)Vc>o,3x0=S,使得x0>M-c.與M是上界中最小的一個(gè)矛盾.充分性(用反證法)，設(shè)M不是E的上確界，即3M0是上界，但M>M0.盾.上確界與下確界統(tǒng)稱為確界.lnJ注：非空有界數(shù)集的上(或下)確界是唯一的.命題3：設(shè)數(shù)集A有上(下)確界，則這上(下)確界必是唯一的.upAnsupAnnnnn=supA不Vx=A有x共nn,=supA不對(duì)n<n,，3x0=A使n<x0，矛盾.9(n)(n)1n=Z+\n+1)n=Z+\(n)(n)1n=Z+\n+1)n=Z+\n+1)2SA有S事A.則有supS>supA,infS三infA..supAysupAB界,不supA三infB.B證明：Vx=S,有x=A或x=B,由infA和infB分別是A和B的下界,有fA釋.2.確界與最值的關(guān)系:設(shè)E為數(shù)集.(1)E的最值必屬于E,但確界未必,確界是一種臨界點(diǎn).(2)非空有界數(shù)集必有確界(見(jiàn)下面的確界原理),但未必有最值.(3)若maxE存在,必有maxE=supE.對(duì)下確界有類似的結(jié)論.4.確界原理:Th1.1(確界原理).設(shè)S非空的數(shù)集.若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界.個(gè)整數(shù)p，使得p不是E上界，而p+1是E的上界.然后我們遍查p.1,p.2,…,p.9和p+1，我們可以找到一個(gè)q0，0共q0共9，使得p.q0不是E上界，p.(q0+1)是E上界，如果再找第二位小數(shù)q1，…,如此下去，最后得到p.q0q1q2…，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，即為E的上確界.的元素都為非負(fù)數(shù)，則存在非負(fù)整數(shù)n，使得1)Vx=S，有x>n；2)存在x1=S，有x共n+1；xS使得x2共n.n1+．n1)對(duì)任何x=S，有x>n.n1n2；1)對(duì)任何x=S，x>n.n1n2…nk_；2)存在xk=S，xk共n.n1n2…nk．因此得到n=n.n1n2…nk…．以下證明n=infS． (ⅰ)對(duì)任意x=S，x>n； 教學(xué)目的：使學(xué)生深刻理解函數(shù)概念.(1)深刻理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉(2)牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象.會(huì)求初等函數(shù)的存在域，會(huì)分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的概念.教學(xué)難點(diǎn)：初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析.教學(xué)方法：課堂講授，輔以提問(wèn)、練習(xí)、部分內(nèi)容可自學(xué).將對(duì)此作進(jìn)一步討論.1．定義1設(shè)D,M仁R，如果存在對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)Vx=D，存在唯一的一個(gè)數(shù)y=M與之對(duì)應(yīng)，則稱f是定義在數(shù)集D上的函數(shù)，記作f:DMx|y.數(shù)集D稱為函數(shù)f的定義域，x所對(duì)應(yīng)的y，稱為f在點(diǎn)x的函數(shù)值，記為f(x).全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)f的值域，記作f(D).即f(D)=y|y=f(x),x=D}.(1)函數(shù)定義的記號(hào)中“f:DM”表示按法則f建立D到M的函數(shù)關(guān)系，x|y表示這兩個(gè)數(shù)集中元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也記作x|f(x).習(xí)慣上稱(2)函數(shù)有三個(gè)要素，即定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域.當(dāng)對(duì)應(yīng)法則和定義域然確定下來(lái).因此，函數(shù)的基本要素為兩個(gè)：定義域和對(duì)應(yīng)法yf(x),x=D.義域和對(duì)應(yīng)法則.fx1,x=R,g(x)=1,x=R\0}.(不相同，對(duì)應(yīng)法則相同，定Qx|x|,x=R,(x)=,x=R.(相同，只是對(duì)應(yīng)法則的表達(dá)形式不同).(3)函數(shù)用公式法(解析法)表示時(shí)，函數(shù)的定義域常取使該運(yùn)算式子有意義的自變量的全體，通常稱為存在域(自然定義域).此時(shí)，函數(shù)的記號(hào)中的定義域可省略不寫(xiě)，而只用對(duì)應(yīng)法則f來(lái)表示一個(gè)函數(shù).即“函數(shù)y=f(x)”或“函數(shù)f”.(4)“映射”的觀點(diǎn)來(lái)看，函數(shù)f本質(zhì)上是映射，對(duì)于a=D，f(a)稱為映射f下a的象.a稱為f(a)的原象.R(x)=〈qqqR(x)=〈qqq數(shù)為多值函數(shù).本書(shū)中只討論單值函數(shù)(簡(jiǎn)稱函數(shù)).示方法1主要方法：解析法(公式法)、列表法(表格法)和圖象法(圖示法).2可用“特殊方法”來(lái)表示的函數(shù).函數(shù)：在定義域的不同部分用不同的公式來(lái)表示.(1x,>(借助于sgnx可表示f(x)=|x|,即f(x)=|x|=xsgnx).函數(shù)不是分段函數(shù))例1)y=[x](取整函數(shù))是一條大鋸，畫(huà)出圖看一看.2)狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)(1,當(dāng)x為有理數(shù),l0,當(dāng)x為無(wú)理數(shù),D(xl0,當(dāng)x為無(wú)理數(shù),沒(méi)有最小周期，事實(shí)上任一有理數(shù)都是它的周期.3)黎曼(Riemman)函數(shù)xpxpq=N+,為既約分?jǐn)?shù)),函數(shù)的四則運(yùn)算給定兩個(gè)函數(shù)f,x=D1,g,x=D2，記D=D1D2，并設(shè)D豐0，定義f與g在F(x)=f(x)+g(x),x=D；G(x)=f(x)-g(x),x=D；H(x)=f(x)g(x),x=D.v=gtJ|2.v=gtJ|2.上定義f與g上定義f與g的商運(yùn)算如下；L(x)=,x=D.g(x)注：1)若D=D1D2=0，則f與g不能進(jìn)行四則運(yùn)算.2)為敘述方便，函數(shù)f與g的和、差、積、商常分別寫(xiě)為：ff+g,f-g,fg,.g1．引言在有些實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的自變量與因變量通過(guò)另外一些變量才建立起它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.E=mvE=mv|122抽去該問(wèn)題的實(shí)際意義，我們得到兩個(gè)函數(shù)f(v)=mv2,v=gt，把v(t)代2入f，即得122f(v(t))=mgt.2y=f(u)=arcsinu,u=D=[-1,1],u=g(x)=2+x2,x=E=R.的定義域的交集不空(從而引出下面定義).2．定義(復(fù)合函數(shù))設(shè)有兩個(gè)函數(shù)y=f(u),u=D,u=g(x),x=E，值u，而u又通過(guò)f對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)值y，這就確定了一個(gè)定義在E上的函數(shù)，它以x為自變量，y因變量，記作y=f(g(x)),x=E或y=(fg)(x),x=E.簡(jiǎn)記為fg.稱為函數(shù)f和g的復(fù)合函數(shù)，并稱f為外函數(shù)，g為內(nèi)函數(shù)，u為中間變量.量例y=f(u)=u,u=g(x)=1-x2.求(fog)(x)=f[g(x).]并求定義域.域例⑴f1(-x)=x2+x+1,f(x)=_______________.\x)x\x)xf(x)=()A.x2,B.x2+1,C.x2-2,D.x2+2.R進(jìn)行復(fù)合，求復(fù)合函數(shù).4說(shuō)明例如：y=siunv=，復(fù)合成：定義域的變化.①y=loga,x=(0,1))y=logau,u=,z=1-x2.對(duì)于f來(lái)講是自變量，但對(duì)t來(lái)講，u是因變量.習(xí)慣上說(shuō)函數(shù)y=f(x)中x是自變量，y是因變量，是基于y隨x的變化現(xiàn)時(shí)變化.但有時(shí)我們不僅要研究y隨x的變化狀況，也要研究x隨y的變化的狀況.對(duì)此，我們引入反函數(shù)的概念.定義設(shè)f:X)R是一函數(shù)，如果Vx1，x2=X,由(或由f(x1)=f(x2)不x1=x2)，則稱f在X上是1-1的.若f:X)Y，Y=f(X)，稱f為滿的.若f:X)Y是滿的1-1的，則稱f為1-1對(duì)應(yīng).f:X)R是1-1的意味著y=f(x)對(duì)固定y至多有一個(gè)解x，f:X)Y是1-1的意味著對(duì)y=Y，y=f(x)有且僅有一個(gè)解x.定義設(shè)f:X)Y是1-1對(duì)應(yīng).Vy=Y,由y=f(x)唯一確定一個(gè)x=X,由這種對(duì)應(yīng)法則所確定的函數(shù)稱為y=f(x)的反函數(shù)，記為x=f-1(y).恰為原函數(shù)的值域和定義域f:X)Yf-1:Y)Xf-1of=I:X)X(恒等變換)fof-1=I:Y)Y(恒等變換)(f-1)-1=f:X)Y從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒(méi)什么別，作為函數(shù)，習(xí)慣yyy=f(x)的圖形是關(guān)于對(duì)角線y=x對(duì)稱的.但1-1對(duì)應(yīng)的函數(shù)(有反函數(shù))不一定是嚴(yán)格單調(diào)的，看下面例子(xf(x)=〈,l3-x,它的反函數(shù)即為它自己.0x：0x1.確定f:X)Y的定義域X和值域Y，考慮1-1對(duì)應(yīng)條件.固定y=Y，解方程f(x)=y得出x=f-1(y).y=f(x)06y=f(x)2.按習(xí)慣，自變量x、因變量y互換，得y=f1(x).y=f(x)06y=f(x)例求y=sh(x)=：RR的反函數(shù).解固定y，為解y=，令ex=z，方程變?yōu)?zy=z21z22zy1=0z=yy2+1 z=yy2+1得x=ln(y+，即y=ln(x+=sh1(x)，稱為反雙曲正弦.定理給定函數(shù)y=f(x)，其定義域和值域分別記為X和Y，若在Y上存在函數(shù)g(y)，使得g(f(x))=x,則有g(shù)(y)=f1(y).x應(yīng)就行了；二是要證g(y)=f1(y).證要證y=f(x)的反函數(shù)存在，只要證f(x)是X到Y(jié)的1-1對(duì)應(yīng).Vx1，x2=X，若f(x1)=f(x2)，則由定理?xiàng)l件，我們有g(shù)(f(x1))=x1g(f(x2))=x2x1=x2，即f:XY是1-1對(duì)應(yīng).再證g(y)=f1(y).Vy=Y，3x=X，使得y=f(x).由反函數(shù)定義x=f1(y)，再由定理?xiàng)l件g(y)=g(f(x))=x.g(y)=f1(y)例f:RR，若f(f(x))存在唯一(3|)不動(dòng)點(diǎn)，則f(x)也3|不動(dòng)點(diǎn).證存在性，設(shè)x*=f[f(x*)]，f(x*)=fof[f(x*)]，即f(x)是f*of的不動(dòng)點(diǎn)，由唯一性f(x*)=x*，即存在f(x)的不動(dòng)點(diǎn)x*.唯一性：設(shè)x=f(x)，x=f(x)=f(f(x))，說(shuō)明x是fof的不動(dòng)點(diǎn)，由唯一性，x=x*.從映射的觀點(diǎn)看函數(shù).設(shè)函數(shù)y=f(x),x=D.滿足：對(duì)于值域f(D)中的每一個(gè)值y，D中有且只有一個(gè)值x，使得f(x)=y，則按此對(duì)應(yīng)法則得到一個(gè)定義在f(D)上數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為f的反函數(shù)，記作f1:f(D)D,(y|x)或x=f1(y),yf(D).3、注釋a)并不是任何函數(shù)都有反函數(shù)，從映射的觀點(diǎn)看，函數(shù)f有反函數(shù)，意味著f是D與f(D)之間的一個(gè)一一映射，稱f1為映射f的逆映射，它把f(D)D；b)函數(shù)f與f1互為反函數(shù)，并有:f1(f(x))=x,xD,f(f1(x))=y,yf(D).c)在反函數(shù)的表示x=f1(y),yf(D)中，是以y為自變量，x為因變量.函數(shù)f1可以改寫(xiě)為y=f1(x),xf(D).法則相同，僅是所用變量的記號(hào)不同而已.但它們的圖形在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出時(shí)有所差別.1.基本初等函數(shù)(6類)常量函數(shù)y=C(C為常數(shù))；指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a1)；對(duì)數(shù)函數(shù)y=loagx>0a,；ysinxycsy,tg=x；反三角函數(shù)y=arcsxi=,axrycoasrc,=tgx.學(xué)數(shù)學(xué)課程中只給了有理指數(shù)乘冪的定義.下面我們借助于確界來(lái)定義無(wú)理性質(zhì). 這樣解決了中學(xué)數(shù)學(xué)僅對(duì)有理數(shù)x定義ax的缺陷．2．初等函數(shù)定義3．由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)在有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)，xxxx取整函數(shù)等都是非初等函數(shù).例2．求下列函數(shù)的定義域.(1)y(1)y=；(2)y=ln|sinx|.x-13.初等函數(shù)的幾個(gè)特例:設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都是初等函數(shù),則(1)f(x)是初等函數(shù),因?yàn)閒(x)=.Cxmaxfxgxfxgx+f(x)-g(x)],0(x)=min懇f(x),g(x)}=[f(x)+g(x)-f(x)-g(x)].(3)冪指函數(shù)(f(x))g(x)(f(x)>0)是初等函數(shù),因?yàn)?f(x))g(x)=eln(f(x))g(x)=eg(x)lnf(x).[作業(yè)]P15：3；4:(2)、(3)；5:(2)；7:(3)；11教學(xué)目的：熟悉與初等函數(shù)性態(tài)有關(guān)的一些常見(jiàn)術(shù)語(yǔ).會(huì)求一些簡(jiǎn)單周期函數(shù)的周期.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的有界性、單調(diào)性.教學(xué)難點(diǎn)：周期函數(shù)周期的計(jì)算、驗(yàn)證.數(shù)講授，其余的列出自學(xué)題綱，供學(xué)生自學(xué)完成.單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)與周期函數(shù).其中，有些概念在中學(xué)里已經(jīng)敘述過(guò)，因此，這里只是簡(jiǎn)單地提一下.與“有界集”的定義類似，先談?wù)動(dòng)猩辖绾瘮?shù)和有下界函數(shù).fD的函數(shù)，若存在數(shù)M(L)，使得對(duì)每一個(gè)xD有f(x)M(f(x)>L)，則稱f為D上的有上(下)界函數(shù)，M(L)稱為f在D上的一個(gè)上(下)界.注：(1)f在D上有上(下)界，意味著值域f(D)是一個(gè)有上(下)界的(2)又若M(L)為f在D上的一個(gè)上(下)界，則任何大于M(小于L)的數(shù)也是f在D上的上(下)界.所以，函數(shù)的上(下)界若存在，則不是(3)任給一個(gè)函數(shù)，不一定有上(下)界；(4)由(1)及“有界集”定義，可類比給出“有界函數(shù)”定義：定義2設(shè)f為定義在D上的函數(shù).若存在正數(shù)M，使得對(duì)每一個(gè)xD有|f(x)|M，則稱f為D上的有界函數(shù).注：(1)幾何意義：f為D上的有界函數(shù)，則f的圖象完全落在y=M和(3)關(guān)于函數(shù)f在D上無(wú)上界、無(wú)下界或無(wú)界的定義.VxX,mf(x)M.證明如果f:X有界，按定義3M>0，VxX有f(x)M，即5=sin2t,不fx=t共26-M共f(x)共M,取m5=sin2t,不fx=t共26f(x)共M0，即3M0>0，使得對(duì)Vx=X有f(x)共M0，即f:X)有界.例2．證明f(x)=為(0,1]上的無(wú)上界函數(shù).例3．設(shè)f,g為D上的有界函數(shù).證明：(1)x=Dx=Dx=Dx=Dx=Dx=Dx=Dx=Dx=Df(x)f(x)=在R內(nèi)有界.5x5x5x5解法一由xx2xx26x26：對(duì)Vx=R,總有f(x)共3,即f(x)在R內(nèi)有界.解法二令y=,不關(guān)于x的二次方程2yx2-5x+3y=0有實(shí)數(shù)根.根2\22)ttx2\22) 5x253tgt5sint1f(x)=2=2 5x253tgt5sint1f(x)=2=2=2=2=()526 5 則稱f為D上的增函數(shù)；若f(x1)<f(x2)，則稱f為D上的嚴(yán)格增函數(shù).(2)若減函數(shù).證明：設(shè)x1<x2，x-x=(x1-x2)(x+x1x2+x)故x-x<0即得證.；更準(zhǔn)確地講：嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于x軸的直線至多有一個(gè)交點(diǎn).這一特征保證了它必有反函數(shù).fff在其定義域f(D)上也是嚴(yán)格增(減)函數(shù).證明：設(shè)f在D上嚴(yán)格增函數(shù).對(duì)Vy=f(D),有x=D,使f(x)=y.下面證明這樣的x只有一個(gè).事實(shí)上，對(duì)于D內(nèi)任一x1士x,由于f在D上嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)x1<x時(shí)f(x1)<y，當(dāng)x1>x時(shí)f(x1)>y，總之f(x1)士y.即Vy=f(D),都只存在唯一的一x=D,使得f(x)=y，從而結(jié)論：函數(shù)的反函數(shù)與討論的自變量的變化范圍有關(guān).例8證明：y=ax當(dāng)a>1時(shí)在R上嚴(yán)格增，當(dāng)0<a<1時(shí)在R上嚴(yán)格遞減.函數(shù)和偶函數(shù)x=D有(1)f(-x)=-f(x)，則稱f為D上的奇函數(shù)；(2)f(-x)=f(x)，則稱f為D上的偶函數(shù).注：(1)從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(中心對(duì)稱)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；(2)奇偶性的前提是定義域?qū)ΨQ，因此f(x)=x,x=[0,1]沒(méi)有必要討論奇偶性.(奇函數(shù):y=sinx；；|非奇非偶函數(shù):y=sinx+cosx設(shè)f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，若存在裝>0，使得對(duì)一切x=D有(1)若裝是f的周期，則n裝(n=N+)也是f的周期，所以周期若存在，則函數(shù)f的所有周期中有一個(gè)最小的周期，則稱此最小周期為f的“基本周期”，(2)任給一個(gè)函數(shù)不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1)y=x+1，不是周期函數(shù)；2)y=C(C為常數(shù))，任何正數(shù)都是它的周期.列極限為了掌握變量的變化規(guī)律，往往需要從它的變化過(guò)程來(lái)判斷它的變化趨勢(shì).，一直無(wú)盡地變234n周段的長(zhǎng)度.然而，要定義這種從多邊形到圓的過(guò)渡就要求人們?cè)谟^念上，在思考方法上來(lái)一個(gè)突破.個(gè)“曲”字上面.在這里我們面臨著“曲”與“直”這樣一對(duì)矛盾.辯證唯物主義認(rèn)為，在一定條件下，曲與直的矛盾可以相互轉(zhuǎn)化.整個(gè)圓周似地“以直代曲”，即以弦代替圓弧.小段，代替圓而先考慮其內(nèi)接正n邊形.易知，正n邊形周長(zhǎng)為nnln=2nRsin顯然，這個(gè)ln不會(huì)等于l.然而，從幾何直觀上可以看出，只要正n邊形的邊數(shù)不斷增加.這些正多邊形的周長(zhǎng)將隨著邊數(shù)的增加而不斷地接近于圓周長(zhǎng).n越大，近似程度越高.周長(zhǎng)的近似值，而不是精確值.問(wèn)題并沒(méi)有最后解決.nn即圓周長(zhǎng)是其內(nèi)接正多邊形周長(zhǎng)的極限.這種方法是我國(guó)劉微(張晉)早在思想在于“極限”.除之以外，象曲邊梯形面積的計(jì)算均源于“極限”思想.所以，我們有必要對(duì)極限作深入研究.cN確表述數(shù)列不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述.教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限的概念.cN應(yīng)用.教學(xué)方法：講授為主.若函數(shù)f的定義域?yàn)槿w正整數(shù)集合N+，則稱f:N+)R為數(shù)列.3)不嚴(yán)格的說(shuō)法：說(shuō)f(n)是一個(gè)數(shù)列. lnJ234lnJ435極限出如下(單位為尺)；l2nJl2nl2nJl2nJ2nlnJlnJn)的\n)n1111,23,1111a，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)a稱為它的極限.不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂的數(shù)列，或稱為發(fā)散數(shù)列.析.小，只要n充分大.任給無(wú)論多么小的正數(shù)G，都會(huì)存在數(shù)列的一項(xiàng)aN，從該項(xiàng)之后(n>N)，\n)nN\n)nN綜上所述，數(shù)列〈1+卜的通項(xiàng)1+隨n的無(wú)限增大，1+無(wú)限接近于1，lnJnnlim|lim|=1或n)的,1+)1.n)w并記作liman=a或an)a(n)w)n)w(讀作:當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí),an的極限等于a或an趨于a).由于n限于取正整n)wn)wan)a(n)w).]只要n>()p,取N=|()P|+12L2」gGn)wn)wGGn)wnann)wn)wn)w4nn)w4nn注意到對(duì)任何正整數(shù)k,n>2k時(shí)有n_k>,就有nnn_1)(n_2)27(n_1)(n_2)27.n227nn.n)wnaananBernoulli有nnn_1個(gè)nnn例7limnn=1.n)w證二：n=(nn)n=1(+nn_1)n>n(n_1)(nn_1)22! 不nn_1>nnnn)wn-4 3n21212n2-4n2-4n 3n2n-4 3n2n-4住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得過(guò)份.an被確定下來(lái)，以便依靠它來(lái)求出N；③c的多值性.c既是任意小的正N使得當(dāng)n>N時(shí),有|an-a|<c,則N=101或更大的數(shù)時(shí)此不等式自然成立.所以有N個(gè)(有限個(gè)).反之，任給c>0，若在U(a;c)之外數(shù)列懇an}中nNan一a|<c，由此寫(xiě)出數(shù)列極限的一種等價(jià)定義(鄰域定義)：去掉或改變它的有限項(xiàng)的數(shù)值，對(duì)收斂性和極限都不會(huì)發(fā)生影響.n)wn)wn)wn)wn)wlimzn=an)w數(shù)列：n)wn)wP教學(xué)目的：熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)；掌握求數(shù)列極限的常用方法.保些定理求某些收斂數(shù)列的極限.教學(xué)重點(diǎn)：迫斂性定理及四則運(yùn)算法則及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限的計(jì)算.教學(xué)方法：講練結(jié)合.n)wnan)w題.還需要對(duì)數(shù)列的性質(zhì)作進(jìn)一步討論.性質(zhì)證一：假設(shè)a與b都是數(shù)列{an}的極限，則由極限定義，對(duì)Vc>0，|a-b|=|(an-b)-(an-a)|共|an-a|+|an-b|<2c又3N2=，當(dāng)n>N2時(shí)有an-b<c不an>b-c=Mmaxaaa|,…,|aN|)注：①有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件，如{(-1)n}必須用取定c，不能用任給c，否則N隨c在變，找到的M也隨c在變，界M的意義就不明確了.(1)若a>b，則存在N使得當(dāng)n>N時(shí)有an>bnNnNanbnab式性質(zhì))證明：(1)取c=>0，則存在N1，當(dāng)n>N1時(shí)|an-a|<bnb(2)(反證)如a<b，則由⑴知必3N當(dāng)n>N時(shí)an>bn這與已知矛盾an>bn？a0，N1，當(dāng)nN1時(shí)有an2an即liman0a若a0，則0，N2，當(dāng)nN2時(shí)有|ana|a|ana|也都收斂，且(anbn)anbn，anbnanbn特別地，cancan，c為常數(shù)如再有bn0則{}也收斂，且證明：由于anbnan(1)bn，an，故只須證關(guān)于和積與倒數(shù)運(yùn)算的結(jié)論即可.當(dāng)nN2時(shí)bnb取Nmax(N1,N2)，則當(dāng)nN時(shí)上兩式同時(shí)成立.(1)|anbnab||(ana)bna(bnb)||ana||bn||a||bnb|Mn有|bn|M故當(dāng)nN時(shí)，有|anbnab|(M|a|)(2)bnb0取N=max(N0,N2)，則當(dāng)n>N時(shí)有bnb|bnb|k|b|k|b|11由c的任意性得lim=n)wbnbNNxxk)=xxk)，k=1k=1NNnxk)=nxk).k=1k=1ww但將上述N換成w，一般不成立.事實(shí)上x(chóng)或n本身也是一種極限，兩kk=1種極限交換次序是個(gè)非常敏感的話題，是高等分析中心課題，一般都不能交換，在一定條件下才能交換，具體什么條件，到后面我們會(huì)系統(tǒng)研究這個(gè)問(wèn)題.nN時(shí)有l(wèi)NN取N0=max(N1,N2,N)，則當(dāng)n>N0時(shí)以上兩式與已知條件中的不等式同時(shí)法.n)wn)w：k使得ka，從而當(dāng)nk時(shí)有0……0……n!12kk1nk!n0由推論即可得結(jié)論aaamm個(gè)正數(shù)，證明naa…amax(a1,a2,…,am)證明：設(shè)Amax(a1,a2,…am)，則AnnmAm1nm1，由迫斂性得結(jié)論.nhn0.由此例也看出由xnznyn和xnayn,也推出zna.nn1(hn)n1nhnhn2…h(huán)nnhn2(n3)，0hn2 n1兩邊夾推出hn0，即nn1.在求數(shù)列的極限時(shí)，常需要使用極限的四則運(yùn)算法則.下舉幾例；例3：求極限limn3nn9解limn4n26n1lim43n2n9n3limaa)nn43.n)wn)w1-a1-an)wnnn)wnn)wnn)wnn)wnn)wn)wnn)wn)wn(分子分母最高次數(shù)相同，為最高次系數(shù)之比即：有理式的極限〈l分子最高次低于分母最高次，則為0如lim=2n)w3n-10n-73 111例7：limn(-n) 111n)wn)w+n)w+11+12是我們是從“整個(gè)”數(shù)列的特征角度對(duì)數(shù)列進(jìn)行研究.那么，如果“整體無(wú)序要講的“子列”.n1,n2n1,n2,,nk,N，使得當(dāng)k>N時(shí)有ak-a<c.由于nk>k,故當(dāng)k>N時(shí)有nk>N，從而也有 ank-a<c，這就證明了{(lán)ank}收斂(且與{an}有相同的極限)．k)wk)wk)wlima2k=limak)wk)wk)w 又{a6k-3}既是{a2k-1}又是{a3k}的子列，同樣可得a2k-1=a3k.(10) (9)式與(10)式給出k)wk)wlima2k=limak)wk)wan斂．教學(xué)目的：使學(xué)生掌握判斷數(shù)列極限存在的常用工具.教學(xué)難點(diǎn)：相關(guān)定理的應(yīng)用.教學(xué)方法：講練結(jié)合.限(極限的存在性問(wèn)題)；若有極限，再考慮如何計(jì)算些極限(極限值的計(jì)算問(wèn)本節(jié)將重點(diǎn)討論極限的存在性問(wèn)題.證，根本的辦法是直接從數(shù)列本身的特征來(lái)作出判斷.又an}隨n的增大(減少)而增大(減少)，它就有可能與其上界(或下界)非常接近，從而有可能存在極限(或收斂).為了說(shuō)明這一點(diǎn)，先給出具有上述特征的數(shù)列一個(gè)名稱——單調(diào)數(shù)列.減)數(shù)列.遞增和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列．又有界，就可以了.此即下面的極限存在的判斷方法.定理(單調(diào)有界定理)在實(shí)數(shù)系中，有界且單調(diào)數(shù)列必有極限.an沿?cái)?shù)軸移向無(wú)窮遠(yuǎn)；(2)an無(wú)限趨于某一個(gè)定點(diǎn)A，即an)A(n)w).證明：不妨設(shè){an}單調(diào)增加有上界，把{an}看作集合，有確界原理，sup{an}=p存在nn證明：從該數(shù)列的構(gòu)造，顯見(jiàn)它是單調(diào)增加的，下面來(lái)證它是有界的. aa aannlannNcncn，設(shè)為Aanann議n)w求limxnn)w法,亦即迭代法).注意到對(duì)Vn,有xn>a,有n)wlimxn=an)w準(zhǔn)則.存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n,m>N時(shí)有|an-am|<c.時(shí)有|an-a|<c/2不當(dāng)n,m>N時(shí)有|an-am|共|am-a|+|an-a|<cmVnanMVc>0，3N1，n,m>N1不|an-am|<c/23K，k>K不|ank-a|<c/2anaananN+1|+|anN+1-a|<c/2+c/2=cCauchy列、基本列(滿足Cauchy收斂準(zhǔn)則的數(shù)列)|an+P_an|<c小于預(yù)先給定的任意小正數(shù).或者，形象地說(shuō)，收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面越是“擠”在一起.c)Cauchy準(zhǔn)則把c_N定義中an與a的之差換成an與am之差.其好處在于無(wú)需借助數(shù)列以外的數(shù)a，只要根據(jù)數(shù)列本身的特征就可以鑒別其(收)斂(發(fā))散性.不|an+p_an|共|an+p_an+p_1|+|an+p_1_an+p_2|+…+|an+1_an| clnq)cnN任給自然數(shù)p有|an+p_an|<<c.故由Cauchy收斂準(zhǔn)則知數(shù)列{xn}收斂.cVNmNnNaman|>c0111111m mmmmmmnaman-1/2=1/2m022例5證明:任一無(wú)限十進(jìn)小數(shù)a=0.b1b2…bn…0(<a<1)的不足近似值10,10102,,1010210n,b1b1+b2…b1+b2+10,10102,,1010210n,n)的\n)n)的\n)n)的\n)n)的\n)n)的\n)證明留在下節(jié)進(jìn)行.lim(|1-1)|3nn)的\2n).n)”\2n+1).(P383(4)提示：考慮bn=,用雙逼原理可求得bn)1,)|l\n)J|nnn2!\n)3!\n)\n)n!\n)\n)\n) n;(n+1)!\n+1)\n+1)\n)\n+1)\n)\n+1)\n)\n+1).綜上,數(shù)列{xn}單調(diào)有界.|1+1|1+1|\n)(1)nn n 為證{xn}上方有界,考慮數(shù)列yn=1+n+1.可類證yn↘.事實(shí)上,nnnn2\n+2n)nnnn2\n+2n)顯然有xn<yn.不Vn,有xn<yn三…三y1=4.即數(shù)列{yn}有上界.證法三(利用均值不等式)在均值不等式n三n三xai,(ai>0)中,令nxn-1x不xn-1三xn,即xn↗.n1|l\n)J|n1|l\n)J|ain不1_n↘.不xn<<4.證法四(仍利用均值不等式)n有界性證法可參閱上述各證法.用兩則”.(n+1)bn.bn[(n+1)a_nb]<an+1,(0共a<b,n為正整數(shù))取a=1,b=1+1,又有(|1+1)|n.1<1對(duì)Vn成立，不(|1+1)|n<2,不2n\2n)2\2n)x2n=1+2n<4.又由x2n_1<x2n,不xn<4.l第三章函數(shù)極限數(shù)列極限是函數(shù)極限的特例.通過(guò)數(shù)列極限的學(xué)習(xí).應(yīng)有一種基本的觀念：“極限是研究變量的變化趨勢(shì)的”或說(shuō)：“極限是研究變量的變化過(guò)程，并通過(guò)變化的過(guò)程來(lái)把握變化的結(jié)f:N+)R(n)an);或f(n)=an,n=N+或f(n)=an.研究數(shù)列懇an}的極限，即是研究當(dāng)自變量n)+w時(shí)，函數(shù)f(n)變化趨勢(shì).fnn只能取正整數(shù)！因此自變量的可能變化趨勢(shì)只有一種，即n)+w.但是，如果代之正整數(shù)變量n而考慮一般的變量為x=R，那么情況又如何呢？具體地說(shuō)，此時(shí)自變量x可能的變化趨勢(shì)是否了僅限于x)+w為此，考慮下列函數(shù):f(x)=〈l0,x=0.xwfx，也可考慮自變量x)_w時(shí)，f(x)的變化趨勢(shì)；還可考慮自變量x)w時(shí)，f(x)的變化趨勢(shì)；還可考慮自變量x)a時(shí)，f(x)的變化趨勢(shì),各類極限的性質(zhì)、運(yùn)算、證明方法上都類似于數(shù)列的極限.面，我們就依次討論這些極限.教學(xué)要求：掌握當(dāng)x)x0；x)w；x)+w；x)_w；x)x；x)x_0時(shí)函數(shù)極限的分析定義，并且會(huì)用函數(shù)極限的分析定義證明和計(jì)算較簡(jiǎn)單的函數(shù)極本節(jié)的重點(diǎn)是各種函數(shù)極限的分析定義．對(duì)多數(shù)學(xué)生要求主要掌握當(dāng)x)x0時(shí)函數(shù)極限的分析定義，并用函數(shù)極限的分析定義求函設(shè)函數(shù)定義在[a,+w)上，類似于數(shù)列情形，我們研究當(dāng)自變量x)+w時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能否無(wú)限地接近于某個(gè)定數(shù)A.這種情形能否出現(xiàn)呢？回答是可能此性質(zhì).例如f(x)=,x無(wú)限增大時(shí)，f(x)無(wú)限地接近于0；g(x)=arctgx,x無(wú)限增f(x)，g(x)這樣當(dāng)x)+w時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值無(wú)限地接近于某個(gè)定數(shù)A的函數(shù)稱為“當(dāng)x)+w時(shí)有極限A”.[問(wèn)題]如何給出它的精確定義呢?類似于數(shù)列,當(dāng)x)+w時(shí)函數(shù)極限的精確定義如下.2.x)+w時(shí)函數(shù)極限的定義c正數(shù)M(>a)，使得當(dāng)x>M時(shí)有|f(x)一A|<c,則稱函數(shù)f當(dāng)x)+w時(shí)以A為limf(x)=A或f(x))A(x)+w).x)+w正數(shù)M的作用與數(shù)列極限定義中N相類似，表明x充分大的程度；但這里所考慮的是比M大的所有實(shí)數(shù)x，而不僅僅是正整數(shù)n.(2)limf(x)=A的鄰域描述：Vc,3U(+w),當(dāng)x=U(+w)時(shí)，x)+wf(x)=U(cA (3)limf(x)=A的幾何意義：對(duì)Vc，就有y=A+c和y=A一c兩條直線，x)+w在直線x=M的右方，曲線y=f(x)全部落在這個(gè)帶形區(qū)域內(nèi).落在這個(gè)更窄的帶形區(qū)域內(nèi).(4)現(xiàn)記f為定義在U(_w)或U(w)上的函數(shù)，當(dāng)x)_w或x)w時(shí)，若函數(shù)值f(x)能無(wú)限地接近于常數(shù)A，則稱f當(dāng)x)_w或x)w時(shí)時(shí)以A為極limfx或f(x))A(x)_w)，x)_wlifmx=()或f(x))A(x)w).x)wlimfx一Vc>0,3M>0,當(dāng)x<_M時(shí)，|f(x)_A|<c，x)_wlimf(x)=A一Vc>0,3M>0,當(dāng)|x|>M時(shí)，|f(x)_A|<c.x)w(5)推論：設(shè)f(x)為定義在U(w)上的函數(shù)，則lifmx=()一limf(x)=limf(x)=A.x)wx)+wx)_w4．利用limf(x)＝A的定義驗(yàn)證極限等式舉例x)+w例1證明lim1=0.x)wx例2證明1)limarctgx=_幾；2)limarctgx=幾.x)_w2x)+w2二、x)x0時(shí)函數(shù)的極限上節(jié)討論的函數(shù)f當(dāng)x)+w時(shí)的極限，是假定f為定義在[a,+w)上的函數(shù)，這事實(shí)上是U(+w)，即f為定義在U(+w)上，考慮x)+w時(shí)f(x)是否趨于某個(gè)定數(shù)A.本節(jié)假定f為定義在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域U0(x0)內(nèi)的函數(shù)，.現(xiàn)在討論當(dāng)x)x0(x才x0)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能否趨于某個(gè)定數(shù)A數(shù)列.例1f(x)=1(x才0).(f(x)是定義在U0(0)上的函數(shù)，當(dāng)x)0時(shí)，f(x))1)x2-4例2f(x)=.(f(x)是定義在U0(2)上的函數(shù)，當(dāng)xx2-4x-2f(x))4)例3f(x)=.(f(x)是定義在U0(0)上的函數(shù)，當(dāng)x)0時(shí)，f(x))?)A函數(shù)卻無(wú)此性質(zhì).所以有必要來(lái)研究當(dāng)x)x0(x豐x0)fx的變化趨勢(shì).我們稱上述的第一類函數(shù)f(x)為當(dāng)x)x0時(shí)以A為極限，記作x)x0和數(shù)列極限的描述性說(shuō)法一樣，這是一種描述性的說(shuō)法.不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定“當(dāng)自變量x越來(lái)越接近于x0時(shí)，函數(shù)值f(x)越來(lái)越接近于一個(gè)定數(shù)A”)只要x充分接近x0，函數(shù)值f(x)和A的相差就會(huì)相當(dāng)小)欲使|f(x)-A|都有|f(x)-A|<c.此即limfx(=)A.x)x02、x)x0(x豐x0)時(shí)函數(shù)極限的c-6定義定義2設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域U0(x0;6,)內(nèi)有定義，A為定Ac稱函數(shù)f當(dāng)x趨于x0時(shí)以A為極限(或稱A為x)x0時(shí)f(x)的極限)，記作limfx(=)A或(f(x))A(x)x0).x)x0(2)c是表示函數(shù)f(x)與A的接近程度的.為了說(shuō)明函數(shù)f(x)在x)x0的過(guò)程中，能夠任意地接近于A，c必須是任意的.這即c的第一個(gè)特性——任意找6，使得當(dāng)0<|x-x0|<6時(shí)|f(x)-A|<c成立.這即c的第二特性——暫時(shí)固定(|f(x)-A|<c一|f(x)-A|共c)(3)6是表示x與x0的接近程度，它相當(dāng)于數(shù)列極限的c-N定義中的N.定義中是要求由0<|x-x0|<6推出|f(x)-A|<c即可，故若6滿足此要求，則 23性——多值性.f在x0處的函數(shù)值是否存在，或者取什么樣的值.這是因?yàn)?，?duì)于函數(shù)極限我們所研究的是當(dāng)x趨于x0的過(guò)程中函數(shù)的變化趨勢(shì)，與函數(shù)在該處的函數(shù)值無(wú)關(guān).(5)定義中的不等式0<|x-x0|<6一x=06x,；fxAcfxUAcVcxUx，都有f(x)=U(A;c)一Vc>0,36>0，使得f(U0(x0,6))仁U(A;c).(6)c-6定義的幾何意義.例1．設(shè)f(x)=x2-4，證明：limf(x)=4.x-2x)2例2．設(shè)f(x)=1(x才0)，討論x)0時(shí)f(x)的極限.limsinx=sinx0；2)limcosx=cosx0.x)x0x)x0x)x0limxxx|<1).x)x0例6．證明limC=C,limx=x0.x)x0x)x0xax.axax.a就遠(yuǎn)離零點(diǎn)了.Vc>0,取6=min(,c)，則當(dāng)0<x-a<6時(shí),有例8．證明limx=a.x)a x)ax)a證lim=2.x)wx-2x>42xx>3xx>42xx>3x+4 x2-2 4-2=2.xx2-22x2-7x+352(x-1)(x-3)52x-1552x-12x-1.xx2x2_7x+352x_11x2x2_7x+352x_11練習(xí)：1)證明limx3_1=3;2)證明lim6x+5=6.x)1x_1x)+wx某些點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)的解析式不同，如有定義，如義(討論方法)，而要從這些點(diǎn)的某一側(cè)來(lái)討論.如討論f1(x)在x)0時(shí)的極限.側(cè)極限”的概念.的定義Vc>0,36(<6,)>0，使得當(dāng)x0<x<x0+6時(shí)有|f(x)_A|<c,則稱數(shù)A為函數(shù)f當(dāng)x趨于x0時(shí)的右極限，記作limf(x)=A或f(x))A(x)x0+)或f(x0+0)=A.x)xAx)x0_f(x))A(x)x0_)或f(x0_0)=A).注：右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.fxxsgnxx、右極限.4．函數(shù)極限limf(x)與limf(x),limf(x)的關(guān)系.x)x0x)x0+x)x0_定理3.1limf(x)=A一limf(x)=limf(x)=A.x)x0x)x0+x)x0_x)x0+0.故limx)x0+0.同理當(dāng)0<x0_x<6時(shí)，也有f(x)_A<c,故x0f(x)=A.有f(x)_A<c,又由x0f(x)=A,362>0,使得當(dāng)0<x0_x<62時(shí)，有 fxAcminxx0<6時(shí)，有f(x)_A<c，故x)x0.limf(xx)x0