第三章流體運動理論與動力學(xué)基礎(chǔ)演示文稿

第三章流體運動理論與動力學(xué)基礎(chǔ)演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有131頁\編輯于星期一優(yōu)選第三章流體運動理論與動力學(xué)基礎(chǔ)現(xiàn)在是2頁\一共有131頁\編輯于星期一

2）基本內(nèi)容（1）正確使用流體流動的連續(xù)性方程式；（2）弄清流體流動的基本規(guī)律——伯努利方程，得出比較符合客觀實際的計算公式；掌握伯努利方程的物理意義、幾何意義、使用條件及其應(yīng)用（3）動量方程的應(yīng)用2．重點、難點重點：連續(xù)性方程、伯努利方程和動量方程。難點：應(yīng)用三大方程聯(lián)立求解工程實際問題?，F(xiàn)在是3頁\一共有131頁\編輯于星期一一、流體運動要素

Conception：表征流體運動狀態(tài)的物理量，一般包括等。研究流體的運動規(guī)律，就是要確定這些運動要素。

1）每一運動要素都隨空間與時間在變化；

2）各要素之間存在著本質(zhì)聯(lián)系。§3.1流體運動的描述方法**流場——充滿運動的連續(xù)流體的空間。在流場中，每個流體質(zhì)點均有確定的運動要素?，F(xiàn)在是4頁\一共有131頁\編輯于星期一拉格朗日，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1736年1月25日生于意大利西北部的都靈，1813年4月10日卒于巴黎。19歲就在都靈的皇家炮兵學(xué)校當(dāng)數(shù)學(xué)教授。在探討“等周問題”的過程中，他用純分析的方法發(fā)展了歐拉所開創(chuàng)的變分法，為變分法奠定了理論基礎(chǔ)。他的論著使他成為當(dāng)時歐洲公認(rèn)的第一流數(shù)學(xué)家。

1766年德國的腓特烈大帝向拉格朗日發(fā)出邀請說，在“歐洲最大的王”的宮廷中應(yīng)有“歐洲最大的數(shù)學(xué)家”。于是他應(yīng)邀去柏林，居住達(dá)二十年之久。在此期間他完成了《分析力學(xué)》一書，建立起完整和諧的力學(xué)體系。

1786年，他接受法王路易十六的邀請，定居巴黎，直至去世。

近百余年來，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。現(xiàn)在是5頁\一共有131頁\編輯于星期一歐拉(Euler)，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國彼得堡去逝。歐拉出生於牧師家庭，自幼受父親的教育。13歲時入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲碩士學(xué)位。

歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個物理的領(lǐng)域。他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法等的課本，《無窮小分析引論》、《微分學(xué)原理》、《積分學(xué)原理》等都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。

歐拉對數(shù)學(xué)的研究如此廣泛，因此在許多數(shù)學(xué)的分支中也可經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理。

現(xiàn)在是6頁\一共有131頁\編輯于星期一1).方法概要1、拉格朗日法2).研究對象

流體質(zhì)點

著眼于流體各質(zhì)點的運動情況，研究各質(zhì)點的運動歷程，通過綜合所有被研究流體質(zhì)點的運動情況來獲得整個流體運動的規(guī)律。（“跟蹤”的方法）拉格朗日法是將流場中每一流體質(zhì)點作為研究對象，研究每一個流體質(zhì)點在運動過程中的位置、速度、加速度及密度、重度、壓強等物理量隨時間的變化規(guī)律。然后將所有質(zhì)點的這些資料綜合起來，便得到了整個流體的運動規(guī)律。即將整個流體的運動看作許多流體質(zhì)點運動的總和。質(zhì)點的運動要素是初始點坐標(biāo)和時間的函數(shù)。用于研究流體的波動和震蕩等

二、研究流體運動的兩種方法現(xiàn)在是7頁\一共有131頁\編輯于星期一

拉格朗日方法又稱隨體法，是從分析流場中個別流體質(zhì)點著手來研究整個流體運動的。這種研究方法，最基本的參數(shù)是流體質(zhì)點的位移，在某一時刻，任一流體質(zhì)點的位置可表示為：

X=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t)(3-1)

式中a、b、c為初始時刻任意流體質(zhì)點的坐標(biāo)，即不同的a、b、c代表不同的流體質(zhì)點。對于某個確定的流體質(zhì)點，a、b、c為常數(shù)，而t為變量，則得到流體質(zhì)點的運動規(guī)律。對于某個確定的時刻，t為常數(shù)，而a、b、c為變量，得到某一時刻不同流體質(zhì)點的位置分布。通常稱a、b、c為拉格朗日變量，它不是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而是流體質(zhì)點標(biāo)號?，F(xiàn)在是8頁\一共有131頁\編輯于星期一

將式（3-1）對時間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得任意流體質(zhì)點的速度和加速度為：

(3-2)

(3-3)同樣，流體的密度、壓強和溫度也可寫成a、b、c、的函數(shù)，即ρ=ρ（a，b，c，），P=P(a，b，c，)，t=t(a，b，c，)。現(xiàn)在是9頁\一共有131頁\編輯于星期一1).方法概要2、歐拉法

著眼于流場中各空間點時的運動情況，通過綜合流場中所有被研究空間點上流體質(zhì)點的運動變化規(guī)律，來獲得整個流場的運動特性。2).研究對象

流場流場：充滿運動流體的空間。（“站崗”的方法）歐拉法是以流場中每一空間位置作為研究對現(xiàn)在是10頁\一共有131頁\編輯于星期一3).運動描述流速場：壓強場：密度場：其他物理量（N）場：(3-4)現(xiàn)在是11頁\一共有131頁\編輯于星期一4).加速度及其他物理量的時間變化率（1）加速度或(3-5)現(xiàn)在是12頁\一共有131頁\編輯于星期一4).加速度及其他物理量的時間變化率（續(xù)）（1）加速度當(dāng)?shù)丶铀俣取１硎就ㄟ^固定空間點的流體質(zhì)點速度隨時間的變化率；遷移加速度。表示流體質(zhì)點所在空間位置的變化所引起的速度變化率?，F(xiàn)在是13頁\一共有131頁\編輯于星期一（2）其他物理量的時間變化率密度：現(xiàn)在是14頁\一共有131頁\編輯于星期一三、兩種方法的比較在研究工程流體力學(xué)時主要采用歐拉法。

由上述可知，采用歐拉法描述流體的流動，常常比采用拉格朗日法優(yōu)越，其原因有三。一是利用歐拉法得到的是場，便于采用場論這一數(shù)學(xué)工具來研究。二是采用歐拉法，加速度是一階導(dǎo)數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二階導(dǎo)數(shù)，所得的運動微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數(shù)學(xué)上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易。三是在工程實際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點的來龍去脈。基于上述三點原因，歐拉法在流體力學(xué)研究中廣泛被采用。當(dāng)然拉格朗日法在研究爆炸現(xiàn)象以及計算流體力學(xué)的某些問題中還是方便的?，F(xiàn)在是15頁\一共有131頁\編輯于星期一【例3-1】已知用拉格朗日變量表示得速度分布為u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0時，x=a，

y=b。求（1）t=3時質(zhì)點分布；（2）a=2，b=2質(zhì)點的運動規(guī)律；（3）質(zhì)點加速度。

【解】根據(jù)（3-2）式得將上式積分，得上式中c1、c2為積分常數(shù)，它仍是拉格朗日變量的函數(shù)。利用t=0時，x=a，y=b得c1=-2，c2=-2現(xiàn)在是16頁\一共有131頁\編輯于星期一X=(a+2)et-2t-2y=(b+2)et-2t-2

（1）將t=3代入上式得

X=(a+2)e3-8y=(b+2)e3-8

（2）a=2，b=2時

x=4et-2t-2y=4et-2t-2(3)現(xiàn)在是17頁\一共有131頁\編輯于星期一【例3-2】在任意時刻，流體質(zhì)點的位置是x=5t2，其跡線為雙曲線xy=25。質(zhì)點速度和加速度在x和y方向的分量為多少？

【解】根據(jù)式（3-4）得由式（3-5）得現(xiàn)在是18頁\一共有131頁\編輯于星期一§3.2流場的基本概念按照流體性質(zhì)分：理想流體的流動和粘性流體的流動不可壓縮流體的流動和不可壓縮流體的流動按照流動狀態(tài)分：恒定流動和非恒定流動有旋流動和無旋流動層流流動和紊流流動按照流動空間的坐標(biāo)數(shù)目分：一維流動、二維流動和三維流動現(xiàn)在是19頁\一共有131頁\編輯于星期一一、恒定流動和非恒定流動1.恒定流動流動參量不隨時間變化的流動。特點：流場內(nèi)的速度、壓強、密度等參量只是坐標(biāo)的函數(shù)，而與時間無關(guān)。即：現(xiàn)在是20頁\一共有131頁\編輯于星期一2.非恒定流動流動參量隨時間變化的流動。特點：流場內(nèi)的速度、壓強、密度等參量不僅是坐標(biāo)的函數(shù)，而且與時間有關(guān)。即：現(xiàn)在是21頁\一共有131頁\編輯于星期一二、一維流動、二維流動和三維流動流動參量是幾個坐標(biāo)變量的函數(shù)，即為幾維流動。一維流動二維流動三維流動1.定義2.實際流體力學(xué)問題均為三元流動。工程中一般根據(jù)具體情況加以簡化。

現(xiàn)在是22頁\一共有131頁\編輯于星期一一）、跡線流體質(zhì)點的運動軌跡。是拉格朗日方法研究的內(nèi)容。1.定義跡線：某一液體質(zhì)點在運動過程中，不同時刻所流經(jīng)的空間點所連成的線稱為跡線，即液體質(zhì)點運動時所走過的軌跡線。三、流線和跡線——跡線微分方程，是自變量。(3-6)現(xiàn)在是23頁\一共有131頁\編輯于星期一二）、流線在同一瞬間，位于某條線上每一個流體微團(tuán)的速度矢量都與此線在該點的切線重合，則這條線稱為流線。適于歐拉方法。1.定義u21uu2133u6545u46u流線現(xiàn)在是24頁\一共有131頁\編輯于星期一2.流線微分方程u21uu2133u6545u46u流線(3-7)現(xiàn)在是25頁\一共有131頁\編輯于星期一3.流線的性質(zhì)（1）流線彼此不能相交。（2）流線是一條光滑的曲線，不可能出現(xiàn)折點。（3）恒定流動時流線形狀不變，非恒定流動時流線形狀發(fā)生變化。v1v2s1s2交點v1v2折點s現(xiàn)在是26頁\一共有131頁\編輯于星期一【例3-3】有一流場，其流速分布規(guī)律為：u=-ky，v=kx，w=0，試求其流線方程。

【解】由于w=0，所以是二維流動，二維流動的流線方程微分為將兩個分速度代入流線微分方程得到：

xdx+ydy=0

即積分上式得到x2+y2=c

即流線簇是以坐標(biāo)原點為圓心的同心圓。現(xiàn)在是27頁\一共有131頁\編輯于星期一一）、流管流束1.流管流束流管：在流場內(nèi)任意作一封閉曲線（不是流線），通過封閉曲線上所有各點作流線，所形成的一個封閉的管狀曲面稱為流管。流束：流管內(nèi)部的流體稱為流束。封閉曲線無限小時所形成的流管四、流管流束流量現(xiàn)在是28頁\一共有131頁\編輯于星期一2.微元流管微元流管：封閉曲線無限小時所形成的流管微元流管的極限為流線現(xiàn)在是29頁\一共有131頁\編輯于星期一

任何一個實際水流都具有一定規(guī)模的邊界，這種有一定大小尺寸的實際水流稱為總流?？偭骺梢钥醋魇怯蔁o限多個微小流束所組成。

3、總流現(xiàn)在是30頁\一共有131頁\編輯于星期一4、過水?dāng)嗝?/p>

與微小流束或總流的流線成正交的橫斷面稱為過水?dāng)嗝?。該面積dA或A稱為過水面積，單位m2。注意：過水?dāng)嗝婵蔀槠矫嬉部蔀榍妗，F(xiàn)在是31頁\一共有131頁\編輯于星期一5、流量

單位時間內(nèi)通過某一過水?dāng)嗝娴囊后w體積稱為流量。流量常用的單位為米３／秒（m3/s），符號Ｑ表示。

——微小流束流量dQ總流流量6、斷面平均流速

總流過水?dāng)嗝嫔系钠骄魉佴停且粋€想象的流速，如果過水?dāng)嗝嫔细鼽c的流速都相等并等于ν，此時所通過的流量與實際上流速為不均勻分布時所通過的流量相等，則流速ν就稱為斷面平均流速。

現(xiàn)在是32頁\一共有131頁\編輯于星期一

由此可見，通過總流過水?dāng)嗝娴牧髁康扔跀嗝嫫骄魉倥c過水?dāng)嗝婷娣e的乘積，也即過水?dāng)嗝嫔细鼽c水流均以同一平均流速運動。引入斷面平均流速的概念，可以使水流運動的分析得到簡化。現(xiàn)在是33頁\一共有131頁\編輯于星期一五、均勻流與非均勻流一）、

均勻流：當(dāng)水流的流線為相互平行的直線時，該水流稱為均勻流。

均勻流具有以下特性：

1．均勻流的過水?dāng)嗝鏋槠矫?，且過水?dāng)嗝娴男螤詈统叽缪爻滩蛔儭?/p>

2．均勻流中，同一流線上不同點的流速應(yīng)相等，從而各過水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植枷嗤瑪嗝嫫骄魉傧嗟取?/p>

3．均勻流過水?dāng)嗝嫔系膭铀畨簭姺植家?guī)律與靜水壓強分布規(guī)律相同，即在同一過水?dāng)嗝嫔细鼽c測壓管水頭為一常數(shù)?，F(xiàn)在是34頁\一共有131頁\編輯于星期一二）、非均勻流

若水流的流線不是相互平行的直線該水流稱為非均勻流按照流線不平行和彎曲的程度，分為漸變流、急變流兩種類型：

1．漸變流

當(dāng)水流的流線雖然不是相互平行直線，但幾乎近于平行直線時稱為漸變流（緩變流）。漸變流的極限情況就是均勻流。

2．急變流

若水流的流線之間夾角很大或者流線的曲率半徑很小，這種水流稱為急變流。注意：漸變流動水壓強服從靜水壓強分布；而急變流動水壓強分布特性復(fù)雜?，F(xiàn)在是35頁\一共有131頁\編輯于星期一

漸變流和急變流通常邊界近于平行直線時水流往往是漸變流。管道轉(zhuǎn)彎、斷面突擴(kuò)或收縮水工建筑物引起水面突變水流為急變流。現(xiàn)在是36頁\一共有131頁\編輯于星期一六、濕周水力半徑1.濕周在有效截面上，流體同固體邊界接觸部分的周長2.水力半徑R=2R=AB+BC+CDABCD=ABCABC有效截面積與濕周之比稱為水力半徑現(xiàn)在是37頁\一共有131頁\編輯于星期一

連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。我們認(rèn)為流體是連續(xù)介質(zhì)，它在流動時連續(xù)地充滿整個流場。在這個前提下，當(dāng)研究流體經(jīng)過流場中某一任意指定的空間封閉曲面時，可以斷定：若在某一定時間內(nèi)，流出的流體質(zhì)量和流入的流體質(zhì)量不相等時，則這封閉曲面內(nèi)一定會有流體密度的變化，以便使流體仍然充滿整個封閉曲面內(nèi)的空間；如果流體是不可壓縮的，則流出的流體質(zhì)量必然等于流入的流體質(zhì)量。上述結(jié)論可以用數(shù)學(xué)分析表達(dá)成微分方程，稱為連續(xù)性方程。§3.3連續(xù)性方程現(xiàn)在是38頁\一共有131頁\編輯于星期一

一、直角坐標(biāo)系下連續(xù)性微分方程式設(shè)在流場中任取一個微元平行六面體，其邊長分別為dx、dy和dz，如圖所示。假設(shè)微元平行六面體形心的坐標(biāo)為x、y、z，在某一瞬時t經(jīng)過形心的流體質(zhì)點沿各坐標(biāo)軸的速度分量為u、v、w，流體的密度為ρ?，F(xiàn)討論流體經(jīng)六面體各面的流動情況。先分析x軸方向，由式歐拉法可知，u和ρ都是坐標(biāo)和時間的連續(xù)函數(shù)，即u=u(x，y，z，t)和ρ=ρ(x，y，z，t)。根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，略去高于一階的無窮小量，得在d時間內(nèi)，沿軸方向從左邊微元面積dydz流入的流體質(zhì)量為現(xiàn)在是39頁\一共有131頁\編輯于星期一圖流場中的微元平行六面體現(xiàn)在是40頁\一共有131頁\編輯于星期一

同理可得在dt時間內(nèi)從右邊微元面積dydz流出的流體質(zhì)量為

上述兩者之差為在dt時間內(nèi)沿x軸方向流體質(zhì)量的變化，即

現(xiàn)在是41頁\一共有131頁\編輯于星期一

同理可得，在dt時間內(nèi)沿y軸和z軸方向流體質(zhì)量的變化分別為：因此，在dt時間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為由于流體是作為連續(xù)介質(zhì)來研究的，所以上式所表示的六面體內(nèi)流體質(zhì)量的總變化，唯一的可能是因為六面體內(nèi)流體密度的變化而引起的。因此上式應(yīng)和由于流體密度的變化而產(chǎn)生的六面體內(nèi)的流體質(zhì)量變化相等。設(shè)開始瞬時流體的密度為ρ，經(jīng)過dt時間后的密度為現(xiàn)在是42頁\一共有131頁\編輯于星期一

則可求出在dt時間內(nèi)，六面體內(nèi)因密度的變化而引起的質(zhì)量變化為根據(jù)連續(xù)性條件，經(jīng)簡化得到式為可壓縮流體非定常三維流動的連續(xù)性方程。若流體是定常流動，則，上式成為式為可壓縮流體定常三維流動的連續(xù)性方程。若流體是不可壓縮的，不論是定?；蚍嵌ǔＡ鲃应丫?3-8)(3-9)現(xiàn)在是43頁\一共有131頁\編輯于星期一

為常數(shù)，故上式成為上式為不可壓縮流體三維流動的連續(xù)性的方程。它的物理意義是：在同一時間內(nèi)通過流場中任一封閉表面的體積流量等于零，也就是說，在同一時間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等。在流體力學(xué)中時常討論所謂平面（二維）流動，即平行任何一個坐標(biāo)平面的流動。若這種流動的流動參數(shù)（如速度、壓強）只沿x、y兩個坐標(biāo)軸方向發(fā)生變化，則上式可以寫成由于在推導(dǎo)上述連續(xù)性方程時，沒有涉及作用力的問題，所以不論是對理想流體還是實際流體都是適用的。(3-10)(3-11)現(xiàn)在是44頁\一共有131頁\編輯于星期一

二、微元流束和總流的連續(xù)性方程

在工程上和自然界中，流體流動多數(shù)都是在某些周界所限定的空間內(nèi)沿某一方向流動，即一維流動的問題，所謂一維流動是指流動參數(shù)僅在一個方向上有顯著的變化，而在其它兩個方向上的變化非常微小，可忽略不計。例如在管道中流動的流體就符合這個條件。在流場中取一微元流束。假定流體的運動是連續(xù)的、定常的，則微元流管的形狀不隨時間而改變。又根據(jù)流管的特性，流體質(zhì)點不能穿過流管表面，因此在單位時間內(nèi)通過微元流管的任一有效截面的流體質(zhì)量都應(yīng)相等，即

ρ1V1dA1=ρ2V2dA2=ρVdA=常數(shù)式中dA1

、dA2—分別為1、2兩個有效截面的面積，m2；現(xiàn)在是45頁\一共有131頁\編輯于星期一圖流場中的微元流束現(xiàn)在是46頁\一共有131頁\編輯于星期一V1

、V2—分別為dA1和dA2上的流速，也稱為真實流速，m/s；

ρ1

、ρ2—分別為和處的流體密度，kg/m3。對于由無限多微元流束所組成的總流（例如流體在管道中的流動），可對式進(jìn)行積分得

式中A1

和A2—分別為總流1和2兩個有效截面的面積，m2。為一維流動積分形式總流的連續(xù)性方程。設(shè)和是總流兩個有效截面l和2上的平均流速，則上式可寫成

(3-12)(3-13)現(xiàn)在是47頁\一共有131頁\編輯于星期一

式中ρ1和ρ2—分別代表截面和上的平均密度，kg/m3。

(3-13)式表示當(dāng)流動為可壓縮流體定常流體動時，沿流動方向的質(zhì)量流量為一個常數(shù)。對不可壓縮均質(zhì)流體常數(shù)，則上式成為

(3-14)式為不可壓縮流體一維定常流動的總流連續(xù)性方程。該式說明一維總流在定常流動條件下，沿流動方向的體積流量為一個常數(shù)，平均流速與有效截面面積成反比，即有效截面面積大的地方平均流速小，有效截面面積小的地方平均流速就大。(3-14)現(xiàn)在是48頁\一共有131頁\編輯于星期一【例3-4】假設(shè)有一不可壓縮流體三維流動，其速度分布規(guī)律為）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。試分析該流動是否連續(xù)。

【解】根據(jù)(3-10)式

所以故此流動不連續(xù)。不滿足連續(xù)性方程的流動是不存在的

現(xiàn)在是49頁\一共有131頁\編輯于星期一【例3-5】有一不可壓縮流體平面流動，其速度分布規(guī)律為u=x2siny，v=2xcosy，試分析該流動是否連續(xù)。

【解】根據(jù)(3-10)式所以

故此流動是連續(xù)的?，F(xiàn)在是50頁\一共有131頁\編輯于星期一【例3-6】有一輸水管道，如圖所示。水自截面1-1流向截面2-2。測得截面1-1的水流平均流速m/s，已知d1=0.5m，d2=1m，試求截面2-2處的平均流速為多少？

【解】由(3-14)式得

(m/s)現(xiàn)在是51頁\一共有131頁\編輯于星期一圖輸水管道現(xiàn)在是52頁\一共有131頁\編輯于星期一一、連續(xù)方程（積分形式）本質(zhì)：質(zhì)量守恒定律單位質(zhì)量系統(tǒng)的質(zhì)量總結(jié)現(xiàn)在是53頁\一共有131頁\編輯于星期一二、連續(xù)方程的其它形式定常流動：定常流動條件下，通過控制面的流體質(zhì)量等于零一維定常流：不可壓縮一維定常流：在定常流動條件下，通過流管的任意有效截面的質(zhì)量流量是常量。在定常流動條件下，通過流管的任意有效截面的體積流量是常量?，F(xiàn)在是54頁\一共有131頁\編輯于星期一

在流動的理想流體中，取出一個微元平行六面體的微團(tuán)，它的各邊長度分別為dx、dy和dz，如圖所示。由于是理想流體，沒有黏性，運動時不產(chǎn)生內(nèi)摩擦力，所以作用在流體微團(tuán)上的外力只有質(zhì)量力和壓強。該壓強與靜壓強一樣，垂直向內(nèi)，作用在流體微團(tuán)的表面上。假設(shè)六面體形心的坐標(biāo)為x、y、z，壓強為p。先分析x方向的運動，在垂直于x軸的左右兩個平面中心點上的壓強各等于由于是微元面積，所以這些壓強可以作為各表面上的§3.4恒定總流的伯努利方程現(xiàn)在是55頁\一共有131頁\編輯于星期一圖推導(dǎo)歐拉運動微分方程用圖現(xiàn)在是56頁\一共有131頁\編輯于星期一

平均壓強。設(shè)在六面體形心上的單位質(zhì)量的質(zhì)量力分量為fx、fy和fz

，則作用在微元平行六面體的流體微團(tuán)上的質(zhì)量力在軸方向的分量為fxρdxdydz

又流體微團(tuán)的加速度在x軸上的投影為，則根據(jù)牛頓第二定律得x軸方向的運動微分方程將上式各項除以流體微團(tuán)的流體質(zhì)量ρdxdydz，化簡后得：同理

(3-16)(3-15)現(xiàn)在是57頁\一共有131頁\編輯于星期一

這就是理想流體的運動微分方程，早在1755年就為。對于靜止的流體u=v=w=0，則由式可以直接得出流體平衡微分方程，即歐拉平衡微分方程式（2-3）。因此歐拉平衡微分方程只是歐拉運動微分方程的一個特例。如果把加速度寫成展開式，可將歐拉運動微分方程寫成如下形式

(3-17)現(xiàn)在是58頁\一共有131頁\編輯于星期一

在一般情況下，作用在流體上的質(zhì)量力fx、fy和fz

是已知的，對理想不可壓縮流體其密度ρ為一常數(shù)。在這種情況下，上式中有四個未知數(shù)u、v、w和p，而上式中有三個方程，再加上不可壓縮流體的連續(xù)性方程，就從理論上提供了求解這四個未知數(shù)的可能性?，F(xiàn)在是59頁\一共有131頁\編輯于星期一

一、理想流體微元流束的伯努利方程理想流體的運動微分方程上式只有在少數(shù)特殊情況下才能求解。在下列幾個假定條件下：

(1)不可壓縮理想流體的定常流動；

(2)沿同一微元流束（也就是沿流線）積分；

(3)質(zhì)量力只有重力。即可求得理想流體微元流束的伯努利方程。假定流體是定常流動，則有，現(xiàn)在是60頁\一共有131頁\編輯于星期一

因此式可寫成

(3-18)

假如流體微團(tuán)沿流線的微小位移ds在三個坐標(biāo)軸上的投影為dx、dy和dz?，F(xiàn)用dx、dy和dz分別乘以式（3-18）的第一式、第二式和第三式，則可得到現(xiàn)在是61頁\一共有131頁\編輯于星期一(3-19)

由流線微分方程有

udy=vdxydz=wdywdx=udz

將式（3-19）代入式（3-18）中的對應(yīng)項，則得(3-20)現(xiàn)在是62頁\一共有131頁\編輯于星期一(3-21)將式（3-21）的三個方程相加，得到

由于式（3-22）中的dx、dy和dz是流體微團(tuán)沿流線微小位移ds的三個分量，所以要沿流線（或微元流束）進(jìn)行積分。(3-22)現(xiàn)在是63頁\一共有131頁\編輯于星期一

式（3-22)中的假設(shè)質(zhì)量力只有重力，fx=0，fy=0，fz=-g，即z軸垂直向上，oxy為水平面。則式(3-22)可寫成

又假設(shè)為不可壓縮均質(zhì)流體，即ρ=常數(shù)，積分后得

或式（3-23）稱為理想流體微元流束的伯努利方程。方程右邊的常數(shù)對不同的流線有不同的值。該方程的適用范圍(3-23)現(xiàn)在是64頁\一共有131頁\編輯于星期一

是：理想不可壓縮均質(zhì)流體在重力作用下作定常流動，并沿同一流線（或微元流束）。若1、2為同一條流線（或微元流束）上的任意兩點，則式（3-23）也可寫成在特殊情況下，絕對靜止流體V=0，由式(3-24)可以得到靜力學(xué)基本方程

二、方程的物理意義和幾何意義為了進(jìn)一步理解理想流體微元流束的伯努利方程，現(xiàn)來敘述該方程的物理意義和幾何意義。

1、物理意義理想流體微元流束的伯努利方程式（3-24）中，左端(3-24)現(xiàn)在是65頁\一共有131頁\編輯于星期一

前兩項的物理意義，在靜力學(xué)中已有闡述，即第一項z表示單位重量流體所具有的位勢能；第二項p/(ρg)表示單位重量流體的壓強勢能；第三項V2/(2g)理解如下：由物理學(xué)可知，質(zhì)量為m的物體以速度V運動時，所具有的動能為Mv2/2，則單位重量流體所具有的動能為V2/(2g)即(mV2/2)/(mg)=V2/(2g)。所以該項的物理意義為單位重量流體具有的動能。位勢能、壓強勢能和動能之和稱為機械能。因此，伯努利方程可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動時，沿同一流線（或微元流束）上各點的單位重量流體所具有的位勢能、壓強勢能和動能之和保持不變，即機械能是一常數(shù)，但位勢能、壓強勢能和動能三種能量之間可以相互轉(zhuǎn)換，所以伯努利方程是能量守恒定律在流體力學(xué)中的一種特殊表現(xiàn)形式。現(xiàn)在是66頁\一共有131頁\編輯于星期一2、幾何意義圖理想流體微元流束的伯努利方程式（3-24）中，左端前兩項的幾何意義，同樣在靜力學(xué)中已有闡述，即第一項z表示單位重量流體的位置水頭，第二項p/(ρg)表示單位重量流體的壓強水頭，第三項V2/(2g)與前兩項一樣也具有長度的量綱。它表示所研究流體由于具有速度V，在無阻力的情況下，單位重量流體所能垂直上升的最大高度，稱之為速度水頭。位置水頭、壓強水頭和速度水頭之和稱為總水頭。由于它們都表示某一高度，所以可用幾何圖形表示它們之間的關(guān)系，如圖所示。因此伯努利方程也可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動時，沿同一流線(或微元流束)上各點的單位重量流體所具有的位置水頭、壓強水頭和速度水頭之和保持不變，即總水頭是一常數(shù)。現(xiàn)在是67頁\一共有131頁\編輯于星期一圖總水頭線和靜水頭線現(xiàn)在是68頁\一共有131頁\編輯于星期一皮托管測速儀在工程實際中，常常需要來測量某管道中流體流速的大小，然后求出管道的平均流速，從而得到管道中的流量，要測量管道中流體的速度，可采用皮托管來進(jìn)行，其測量原理如圖所示。在液體管道的某一截面處裝有一個測壓管和一根兩端理想流體恒定元流能量方程的應(yīng)用現(xiàn)在是69頁\一共有131頁\編輯于星期一VBAZZ

皮托管測速原理圖現(xiàn)在是70頁\一共有131頁\編輯于星期一

開口彎成直角的玻璃管（稱為測速管）。將測速管（又稱皮托管）的一端正對著來流方向，另一端垂直向上，這時測速管中上升的液柱比測壓管內(nèi)的液柱高h(yuǎn)。這是由于當(dāng)液流流到測速管入口前的A點處，液流受到阻擋，流速變?yōu)榱?，則在測速管入口形成一個駐點A。駐點A的壓強PA稱為全壓，在入口前同一水平流線未受擾動處（例如B點）的液體壓強為PB，速度為V。應(yīng)用伯努利方程于同一流線上的Ｂ、Ａ兩點，則有則

現(xiàn)在是71頁\一共有131頁\編輯于星期一

上式表明，只要測量出流體的運動全壓和靜壓水頭的差值h，就可以確定流體的流動速度。由于流體的特性，以及皮托管本身對流動的干擾，實際流速比用該式計算出的要小，因此，實際流速為

式中ψ—流速修正系數(shù)，一般由實驗確定，ψ=0.97。如果測定氣體的流速，則無法直接用皮托管和靜壓管測量出氣柱差來，必須把兩根管子連接到一個Ｕ形差壓計上，從差壓計上的液面差來求得流速，如圖所示，則則得

現(xiàn)在是72頁\一共有131頁\編輯于星期一圖用皮托管和靜壓管測量氣體流速現(xiàn)在是73頁\一共有131頁\編輯于星期一

考慮到實際情況，

在工程應(yīng)用中多將靜壓管和皮托管組合成一件，稱為皮托—靜壓管，又稱動壓管，習(xí)慣上常簡稱它為皮托管，其示意圖如圖所示。圖中1點為總壓測點，2點為靜壓測點，將總靜壓孔的通路分別連接于差壓計的兩端，則差壓計的指示為總壓和靜壓的差值，從而可由上式求得測點的流速。皮托-靜壓管的構(gòu)造及使用方法。現(xiàn)在是74頁\一共有131頁\編輯于星期一圖皮托-靜壓管現(xiàn)在是75頁\一共有131頁\編輯于星期一

實際液體恒定元流的能量方程式——單位重量液體從斷面1-1流至斷面2-2所損失的能量，稱為水頭損失。0012現(xiàn)在是76頁\一共有131頁\編輯于星期一

將構(gòu)成總流的所有微小流束的能量方程式疊加起來，即為總流的能量方程式。均勻流或漸變流過水?dāng)嗝嫔蟿幽苄拚禂?shù),1.05~1.1取平均的hwV→u，§3.5實際液體恒定總流的能量方程現(xiàn)在是77頁\一共有131頁\編輯于星期一200112

實際液體恒定總流的能量方程式表明：水流總是從水頭大處流向水頭小處；或水流總是從單位機械能大處流向單位機械能小處。

總水頭線測壓管水頭線

實際液體總流的總水頭線必定是一條逐漸下降的線，而測壓管水頭線則可能是下降的線也可能是上升的線甚至可能是一條水平線。水力坡度J——單位長度流程上的水頭損失，測管坡度方程式的物理意義：現(xiàn)在是78頁\一共有131頁\編輯于星期一應(yīng)用能量方程式的條件：（1）恒定流；（2）質(zhì)量力只有重力；

(3)不可壓縮流體；（4）在所選取的兩個過水?dāng)嗝嫔希鲬?yīng)符合漸變流的條件，但所取的兩個斷面之間，水流可以不是漸變流；（5）在所取的兩個過水?dāng)嗝嬷g，流量保持不變，其間沒有流量加入或分出。若有分支，則應(yīng)對第一支水流建立能量方程式，例如圖示有支流的情況下,能量方程為：（6）流程中途沒有能量H輸入或輸出。若有，則能量方程式應(yīng)為：Q1Q2Q3112233現(xiàn)在是79頁\一共有131頁\編輯于星期一應(yīng)用能量方程式的注意點：（1）選取高程基準(zhǔn)面；（2）選取兩過流斷面；所選斷面上水流應(yīng)符合漸變流的條件，但兩個斷面之間，水流可以不是漸變流。（3）選取計算代表點；（4）選取壓強的計算基準(zhǔn)；（5）方程中各項單位的統(tǒng)一。能量方程式的應(yīng)用現(xiàn)在是80頁\一共有131頁\編輯于星期一

例1.如圖所示，一等直徑的輸水管，管徑為d=100mm，水箱水位恒定，水箱水面至管道出口形心點的高度為H=2m，若不水流運動的水頭損失，求管道中的輸水流量。H分析：Q=VA；A=πd2/4所以需要用能量方程式求出V；221100解：對1-1、2-2斷面列能量方程式：其中：所以有：可解得：則：答：該輸水管中的輸水流量為0.049m3/s?，F(xiàn)在是81頁\一共有131頁\編輯于星期一文丘里流量計（文丘里量水槽）1122收縮段喉管擴(kuò)散段hh1h2h1h2B1B2111222h以管軸線為高程基準(zhǔn)面，暫不計水頭損失，對1-1、2-2斷面列能量方程式：整理得：由連續(xù)性方程式可得：或代入能量方程式，整理得：則當(dāng)水管直徑及喉管直徑確定后，K為一定值，可以預(yù)先算出來。若考慮水頭損失，實際流量會減小，則μ稱為文丘里管的流量系數(shù)，一般約為0.95~0.98現(xiàn)在是82頁\一共有131頁\編輯于星期一

伯努利方程應(yīng)用時特別注意的幾個問題伯努利方程是流體力學(xué)的基本方程之一，與連續(xù)性方程和流體靜力學(xué)方程聯(lián)立，可以全面地解決一維流動的流速(或流量)和壓強的計算問題，用這些方程求解一維流動問題時，應(yīng)注意下面幾點：文丘里流量計實驗現(xiàn)在是83頁\一共有131頁\編輯于星期一

(1)弄清題意，看清已知什么，求解什么，是簡單的流動問題，還是既有流動問題又有流體靜力學(xué)問題。

(2)選好有效截面，選擇合適的有效截面，應(yīng)包括問題中所求的參數(shù)，同時使已知參數(shù)盡可能多。通常對于從大容器流出，流入大氣或者從一個大容器流入另一個大容器，有效截面通常選在大容器的自由液面或者大氣出口截面，因為該有效截面的壓強為大氣壓強，對于大容器自由液面，速度可以視為零來處理。

(3)選好基準(zhǔn)面，基準(zhǔn)面原則上可以選在任何位置，但選擇得當(dāng)，可使解題大大簡化，通常選在管軸線的水平面或自由液面，要注意的是，基準(zhǔn)面必須選為水平面。

(4)求解流量時，一般要結(jié)合一維流動的連續(xù)性方程求解。伯努利方程的p1和p2應(yīng)為同一度量單位，同為絕對壓強或者同為相對壓強，p1和p2的問題與靜力學(xué)中的處理完全相同。

(5)有效截面上的參數(shù)，如速度、位置高度和壓強應(yīng)為同一點的，絕對不許在式中取有效截面上Ａ點的壓強，又取同一有效截面上另一點Ｂ的速度?，F(xiàn)在是84頁\一共有131頁\編輯于星期一【例題】有一貯水裝置如圖所示，貯水池足夠大，當(dāng)閥門關(guān)閉時，壓強計讀數(shù)為2.8個大氣壓強。而當(dāng)將閥門全開，水從管中流出時，壓強計讀數(shù)是0.6個大氣壓強，試求當(dāng)水管直徑d=12cm時，通過出口的體積流量(不計流動損失)。

現(xiàn)在是85頁\一共有131頁\編輯于星期一【解】當(dāng)閥門全開時列1-l、2-2截面的伯努利方程

當(dāng)閥門關(guān)閉時，根據(jù)壓強計的讀數(shù)，應(yīng)用流體靜力學(xué)基本方程求出Ｈ值現(xiàn)在是86頁\一共有131頁\編輯于星期一

則代入到上式（m/s）所以管內(nèi)流量

（m3/s）現(xiàn)在是87頁\一共有131頁\編輯于星期一【例題】水流通過如圖所示管路流入大氣，已知：Ｕ形測壓管中水銀柱高差Δh=0.2m，h1=0.72mH2O，管徑d1=0.1m，管嘴出口直徑d2=0.05m，不計管中水頭損失，試求管中流量qv?，F(xiàn)在是88頁\一共有131頁\編輯于星期一【解】首先計算1-1斷面管路中心的壓強。因為A-B為等壓面，列等壓面方程得：

則

(mH2O)

列1-1和2-2斷面的伯努利方程現(xiàn)在是89頁\一共有131頁\編輯于星期一

由連續(xù)性方程：

將已知數(shù)據(jù)代入上式，得

（m/s）管中流量（m3/s）現(xiàn)在是90頁\一共有131頁\編輯于星期一[例題]一救火水龍帶，噴嘴和泵的相對位置如圖所示。泵出口壓力（A點壓力）為2個大氣壓（表壓），泵排出管斷面直徑為50mm；噴嘴出口C的直徑20mm；水龍帶的水頭損失設(shè)為0.5m；噴嘴水頭損失為0.1m。試求噴嘴出口流速、泵的排量及B點壓力。泵

例題示意圖現(xiàn)在是91頁\一共有131頁\編輯于星期一[解]取A、C兩斷面寫能量方程：

通過A點的水平面為基準(zhǔn)面，則；（在大氣中）；水的重度重力加速度；水柱，即

將各量代入能量方程后，得現(xiàn)在是92頁\一共有131頁\編輯于星期一解得噴嘴出口流速為。而泵的排量為為計算B點壓力，取B、C兩斷面計算，即

通過B點作水平面基準(zhǔn)面，則代入方程得解得壓力現(xiàn)在是93頁\一共有131頁\編輯于星期一【例題】風(fēng)管直徑D=100mm,空氣重度，在直徑d＝50mm的喉部裝一細(xì)管與水池相連，高差H=150mm,當(dāng)汞測壓計中讀數(shù)時，開始從水池中將水吸入管中，問此時空氣流量為多大？現(xiàn)在是94頁\一共有131頁\編輯于星期一現(xiàn)在是95頁\一共有131頁\編輯于星期一例題a：注液瓶為了使下部管口的出流量不隨時間而變，在上部瓶塞中插人通氣管，試分析出流量恒定的原理和調(diào)節(jié)。 調(diào)節(jié):水面不低于通氣管下端處，即水面高度不小于a，流量恒定。

原理：出流時，水面下降，但通氣管下端處的壓強維持為大氣壓，即通過該處的水平面維持為零壓面，由，因為不變，所以流量恒定。 現(xiàn)在是96頁\一共有131頁\編輯于星期一例題b：煙囪直徑d=1.2m,通過煙氣流量,煙氣密度，空氣密度，煙囪的壓強損失

了，為了保證進(jìn)口斷面的負(fù)壓不小于10mm水柱，試計算煙囪的最小高度H。（設(shè)進(jìn)口斷面處的煙氣速度）解：以進(jìn)口為1－1斷面，出口為2－2斷面，過1－1形心的水平面為基準(zhǔn)面，列氣體能量方程：

(1)

由題意又

代人(1)式,有

其中

代人得

（煙囪的最小高度） 現(xiàn)在是97頁\一共有131頁\編輯于星期一例題c:水由水箱經(jīng)一噴口無損失地水平射出，沖擊在一塊鉛直平板上，平板封蓋著另一油箱的短管出口。兩個出口的中心線重合，其液位高分別為h1

和h2，且h1=1.6m，兩出口直徑分別為d1=25mm,d2=50mm，當(dāng)油液的相對密度為0.85時，不使油液泄漏的高度h2應(yīng)是多大（平板重量不計）？解：建立水箱液面與噴口的能量方程，按照題意有，則水射流的速度為

取圖示射流邊界為控制體，根據(jù)動量原理，平板對射流的作用力為此力即為射流對平板的作用力P1，此外，平板另一側(cè)所受到的靜止油液的總壓力為P2，為保持平板對油箱短管的密封作用，須使平板在水平方向保持靜止?fàn)顟B(tài)，根據(jù)水平方向力的作用情況，則有即現(xiàn)在是98頁\一共有131頁\編輯于星期一例題d：設(shè)管路中有一段水平（xoy

平面內(nèi)）放置的變管徑彎管，如圖所示。已知流量，過流斷面1－1上的流速分布為，形心處相對壓強，管徑；過流斷面2－2上的流速分布為，管徑，若不計能量損失，試求過流斷面形心處相對壓強。[注：動能修正系數(shù)不等于1.0]?，F(xiàn)在是99頁\一共有131頁\編輯于星期一解：列1－1、2－2斷面總流伯努利方程

（1）

代人（1）式

得 現(xiàn)在是100頁\一共有131頁\編輯于星期一現(xiàn)在是101頁\一共有131頁\編輯于星期一§3.5恒定總流的動量方程

動量方程推倒

動量方程是動量守恒定律在流體力學(xué)中的具體表達(dá)。本節(jié)討論流體作定常流動時的動量變化和作用在流體上的外力之間的關(guān)系。一般力學(xué)中動量定理表述為：物體動量的時間變化率等于作用在該物體上的所有外力的矢量和。在此先建立控制體的概念：所謂控制體是空間的一個固定不變的區(qū)域，它的邊界面稱為控制面?，F(xiàn)在是102頁\一共有131頁\編輯于星期一

如圖，現(xiàn)以總流的一段管段為例。取斷面1和2以及其間管壁表面所組成的封閉曲面為控制面，內(nèi)部的空間為控制體。流體從控制面1流入控制體，從控制面2流出，管壁可看成流管，無流體進(jìn)出。在t時刻流段所具有的動量為經(jīng)過dt時段后，流段移動到，這時流段所具有的動量為對定常流有

現(xiàn)在是103頁\一共有131頁\編輯于星期一

所以在此流段的總流中任取一元流，設(shè)進(jìn)、出口斷面1-1和2-2上的過水面積為dA1、dA2，則

令動量修正系數(shù)，則上式可進(jìn)一步寫成其中。將這些關(guān)系代入動量定理的表達(dá)式中，可得現(xiàn)在是104頁\一共有131頁\編輯于星期一

上式為恒定流總流動量方程。它是矢量方程，實際上常用三個坐標(biāo)軸上的投影式表示，即

應(yīng)用動量方程解題時要注意以下幾點：動量方程是一個矢量方程，經(jīng)常使用投影式。注意外力、速度和方向問題，它們與坐標(biāo)方向一致時為正，反之為負(fù)。在考慮外力時注意控制體外的流體通過進(jìn)口斷面和出口斷現(xiàn)在是105頁\一共有131頁\編輯于星期一

面對控制體內(nèi)流體的作用力。外力中包含了壁面對流體作用力，而求解問題中往往需要確定流體作用在壁面上的力，這兩個力按牛頓第三定理。動量修正系數(shù)在計算要求精度不高時，常取1。現(xiàn)在是106頁\一共有131頁\編輯于星期一適用條件：不可壓縮液體、恒定流、過水?dāng)嗝鏋榫鶆蛄骰驖u變流過水?dāng)嗝?、無支流的匯入與分出。如圖所示的一分叉管路，動量方程式應(yīng)為：v3112233ρQ3ρQ1

ρQ2v1v2現(xiàn)在是107頁\一共有131頁\編輯于星期一應(yīng)用動量方程式解決問題的步驟：１．取控制體；２．正確分析受力，未知力設(shè)定方向；３．建立坐標(biāo)系４．右側(cè)為(下游斷面的動量)-(上游斷面的動量)1122FP1FP2FRFGxzy現(xiàn)在是108頁\一共有131頁\編輯于星期一動量方程式在工程中的應(yīng)用彎管內(nèi)水流對管壁的作用力水流對建筑物的作用力射流對平面壁的沖擊力現(xiàn)在是109頁\一共有131頁\編輯于星期一彎管內(nèi)水流對管壁的作用力管軸水平放置管軸豎直放置1122P1=p1A1P2=p2A·2RGxzyV1V2RzRx沿x方向列動量方程為：沿z方向列動量方程為：沿x方向列動量方程為：沿y方向列動量方程為：P1=p1A1P2=p2A·2RV1V2RyRxxy現(xiàn)在是110頁\一共有131頁\編輯于星期一例題一變徑彎管，軸線位于同一水平面，轉(zhuǎn)角，直徑由dA＝200mm變?yōu)?/p>

dB＝150mm，在流量時，壓強，求流對AB

段彎管的作用力。不計彎管段的水頭損失。解：求解流體與邊界的作用力問題，一般需要聯(lián)合使用連續(xù)性方程，能量方程和動量方程。例題附圖現(xiàn)在是111頁\一共有131頁\編輯于星期一現(xiàn)在是112頁\一共有131頁\編輯于星期一現(xiàn)在是113頁\一共有131頁\編輯于星期一水流對建筑物的作用力FP1122xFP1=ρgbh12/2FP2=ρgbh22/2FR沿x方向列動量方程為：現(xiàn)在是114頁\一共有131頁\編輯于星期一射流對平面壁的沖擊力FPV000VV1122FRV0VVx沿x方向列動量方程為：整理得：現(xiàn)在是115頁\一共有131頁\編輯于星期一例：設(shè)有一股自噴嘴以速度v0噴射出來的水流，沖擊在一個與水流方向成α角的固定平面壁上，當(dāng)水流沖擊到平面壁后，分成兩面股水流流出沖擊區(qū)，若不計重量（流動在一個水平面上），并忽略水流沿平面壁流動時的摩擦阻力，試推求射流施加于平面壁上的壓力FP，并求出Q1和Q2各為多少？FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿y方向列動量方程為：現(xiàn)在是116頁\一共有131頁\編輯于星期一對0-0、1-1斷面列能量方程為：可得：同理有：依據(jù)連續(xù)性方程有：FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿x方向列動量方程為：整理得：所以：現(xiàn)在是117頁\一共有131頁\編輯于星期一FP1=p1A1FP2=p2A·2FRV1V