第五章粘性流體運動基礎(chǔ)演示文稿

第五章粘性流體運動基礎(chǔ)演示文稿1現(xiàn)在是1頁\一共有86頁\編輯于星期一2優(yōu)選第五章粘性流體運動基礎(chǔ)現(xiàn)在是2頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)應(yīng)力張量

對于運動中的粘性流體，還有一個與流體粘性成正比的粘性應(yīng)力。習慣上將應(yīng)力矢量表示為與之和的形式，即

可分別有沿微元面法向的分量τn和沿切向的分量ττ

，因此的法向和切向分量分別為σn=-p+τn和ττ

。

也可以沿3個坐標軸方向分解，如果取n沿x軸正方向，則應(yīng)力矢量的法向向量記為σxx=-p+τxx，切向分量則有兩個，分別沿y軸和z軸，記為τxy和τxz

?，F(xiàn)在是3頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

對于任意一個應(yīng)力分量τij都有兩個下標：其中第一個下標i代表示作用面的法線方向，第二個下標j代表應(yīng)力分量的投影方向。

可以證明，過一點作3個相互正交的平面，則通過該點的任意方位平面上的應(yīng)力矢量都可用這3個正交平面上的3個應(yīng)力矢量，或它們的9個分量來表示。如取3個正交平面分別與3個坐標平面平行，則9個應(yīng)力分量可表示為數(shù)學上稱這9個分量組成一個二階張量，即應(yīng)力張量。

上述應(yīng)力張量中的非對角線分量，即切向應(yīng)力分量兩兩對應(yīng)相等，即(5-1)現(xiàn)在是4頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

如圖所示，對通過六面體前、后兩表面中心的z軸取矩，六個表面的應(yīng)力分量中只有上下左右表面的4個與z軸垂直的切應(yīng)力有矩。應(yīng)力張量對稱性證明

如圖，在流體中任取一個正六面體，中心點的應(yīng)力由式（5-1）給出，作用于六個表面的應(yīng)力分量由泰勒級數(shù)一階展開表示。現(xiàn)在是5頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

計算力矩需先以應(yīng)力乘以它們的作用面面積，然后再乘以力臂，則對z軸的總力矩平衡式為化簡上式得同樣可推得現(xiàn)在是6頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)本構(gòu)方程

流體中的粘性應(yīng)力來源于流體微元在運動過程中的變形。實驗表明，對于許多經(jīng)常遇到的流體，其內(nèi)部的粘性應(yīng)力與變形率成正比。

粘性應(yīng)力和變形率之間的函數(shù)關(guān)系稱為本構(gòu)方程。

依據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律，當ux=ux(y)，uy=uz=0時有上式中τ是切應(yīng)力，比例系數(shù)μ是流體的動力粘度。

按照應(yīng)力分量的雙下標表示法約定，上式中的切應(yīng)力即τyx，dux/dt即是3.4節(jié)給出的剪切變形率dγxy/dt在一維流動條件下的簡化表示?，F(xiàn)在是7頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

在三維流動條件下，牛頓內(nèi)摩擦定律可推廣為

上式適用0xy平面的剪切變形，對于0yz和0zx平面的剪切變形，則有類似的表示式

猜想法向粘性應(yīng)力τxx應(yīng)表示為(5-2)(5-3)現(xiàn)在是8頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

實際上，τxx的完整表示式為

對于不可壓縮流動(5-4)

式（5-2）、（5-3）和（5-4）一起組成了不可壓縮流動的本構(gòu)方程。現(xiàn)在是9頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)作用于單位體積流體的粘性力

考察左圖中微元六面體沿x方向的粘性合力。右圖示出了所有作用于x方向的粘性應(yīng)力，其代數(shù)和為現(xiàn)在是10頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)整理得現(xiàn)在是11頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

上式除以六面體體積δxδyδz，得作用于單位體積流體粘性力的x方向分量也可以表示為

如果粘度μ為常數(shù)，則μ可以提出到微分號外，上式于是可寫為現(xiàn)在是12頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

對于不可壓縮流動

上式可以簡化為式中為拉普拉斯算符，簡稱拉氏算符同理，單位體積粘性力的y方向和z方向的分量分別為作用于單位體積流體的粘性力可寫為上式成立的條件是不可壓縮流動，粘度μ為常數(shù)。(5-5)現(xiàn)在是13頁\一共有86頁\編輯于星期一§5-2納維—斯托克斯方程

在第4章給出了理想流體流動的歐拉方程上式右側(cè)兩項分別表示單位質(zhì)量流體所受的壓力和重力。由式（5-5），單位質(zhì)量流體所受的粘性力為第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

給歐拉方程右側(cè)添加單位質(zhì)量流體的粘性力，即得到粘度μ為常數(shù)時的不可壓縮粘性流動的運動方程(5-6)式（5-6）分別由C.L.M.H.Navier(1785-1836)，GeorgeG.Stokes(1819-1903)獨立推得，故稱納維—斯托克斯方程，簡稱N-S方程。現(xiàn)在是14頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)等密度流動

如流體密度為常數(shù)，式（5-6）可以進一步簡化。如取坐標系的z軸鉛垂向上，即指向z軸的負方向，則有于是式（5-6）右側(cè)的壓力項和重力項可以合并起來，得到令稱p*為廣義壓強，則式(5-6)可簡寫為(5-7)(5-8)現(xiàn)在是15頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)p*可看作是運動流體的壓強p與靜力學壓強之差的一個度量，－▽p*是作用在單位體積流體上用來加速流體的凈壓力。求解式（5-8）得到p*后，即可利用式（5-7）求出流動的物理壓強p。

式（5-8）在直角坐標系中的分量表示為(5-9)現(xiàn)在是16頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

圓柱坐標系中的N-S方程在r、θ和z方向的分量方程為(5-10)現(xiàn)在是17頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)邊界條件

N-S方程（5-8）有4個自變量x、y、z和t和4個待求變量ux、uy、uz和p*。為求解4個未知量，N-S方程還需要與不可壓縮流體的連續(xù)方程一起求解。N-S方程與連續(xù)方程聯(lián)立后有4個標量方程（N-S方程有3個分量方程），求解4個未知量，方程組封閉。方程中的密度ρ和粘性系數(shù)ν為已知量。

N-S方程與連續(xù)方程是描述流體運動的普遍適用的方程組，要確定某一具體的流動規(guī)律，也就是要找出方程組的一組確定的解，還需要給出邊界條件，即給出流體邊界的形狀，以及在邊界上方程組的解應(yīng)該滿足的條件?，F(xiàn)在是18頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

當粘性流體與固體壁面接觸時，流體與固體接觸時，流體與固體壁面間沒有相對運動，即流體與固體壁面具有相同的速度。式中，為流體的速度，為固體邊界的速度。當固體壁面靜止時(5-11a)(5-11b)

式（5-11）不僅要求流體的法向速度與固體壁面的法向速度相同，而且要求流體滿足粘附條件，即流體沿固體壁面切向沒有滑移。現(xiàn)在是19頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

物體在無界區(qū)域中運動時，如飛機在天空翱翔，潛艇在大洋游弋，需要給出無窮遠處的邊界條件。如果把坐標系取在運動物體上，則在無窮遠處有對于這樣的均勻流動，粘性應(yīng)力為零，在遠離物體處，速度和壓強自動滿足納維—斯托克斯方程和連續(xù)方程。

對于非定常流動，則還需給出在初始時刻流體運動應(yīng)該滿足的初始狀態(tài)，即初始條件。現(xiàn)在是20頁\一共有86頁\編輯于星期一§5-3兩平行平板間的庫埃特—泊肅葉流動第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

本節(jié)研究兩平行平板間的定常層流。如果兩平板間的距離h與板面的線性尺度相比很小，則可認為平板無限大。

設(shè)流體沿x方向流動，y軸垂直于平板（如圖），由于流動定常，，速度分量只有ux不為0，uy=uz=0，流體質(zhì)點都沿x方向做平行直線運動,。現(xiàn)在是21頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

連續(xù)性方程與y和z方向的動量方程可簡化為由后兩式知廣義壓強不依賴于y和z，而只是x的函數(shù)，p*=p*(x)；由連續(xù)方程知，速度ux不依賴于x，考慮到平板在z方向無限延伸，ux也不是z的函數(shù)，于是ux=ux(y)；由于ux沿流動方向為常數(shù)，可推知流體加速度為零。x方向的動量方程可簡化為(5-12)

式（5-12）表示作用于流體的粘性力和壓力處于平衡狀態(tài)?，F(xiàn)在是22頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

由于沒有加速度，作用于該流體微元的壓力和粘性力處于平衡狀態(tài)，列x方向的力平衡式為注意到τ=μdu/dy,代入上式即得式（5-12）。將式（5-12）對y積分兩次，得式中，A、B為積分常數(shù)，需由流動的邊界條件確定。(5-13)現(xiàn)在是23頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)平面泊肅葉流動

前圖的邊界條件為；

代入式（5-13），可得B=0，

將A、B代入式（5-13），并加以整理，可得

兩平行板間的速度分布為拋物線。這種僅由壓強梯度引起的流動稱為平面泊肅葉流動。最大速度在兩板中央，即y=h/2處現(xiàn)在是24頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

作用于上板的切應(yīng)力應(yīng)等于y=h處流體所受切應(yīng)力，但方向相反，即

設(shè)z方向為單位長度，則通過兩板之間的流體體積流量Q可計算為平均速度平均速度與通道中心的最大速度之比現(xiàn)在是25頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

通道內(nèi)的靜壓強p可由p*解出。注意到dp*/dx為常數(shù)，令dp*/dx=G，則有

設(shè)坐標原點處流體靜壓強為p0，即x=y=0，p=p0，可確定上式中c=p0，于是

當x取為常數(shù)，在y方向壓強呈水靜壓分布，取y為常數(shù)，壓強與x成線性分布?，F(xiàn)在是26頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)平面庫埃特流動

如上板以U沿x軸正向運動，下板靜止，沿流動方向的壓強梯度為零，dp*/dx=0，此時兩平板間的流動僅由上板拖動引起，則邊界條件為；式（5-13）的兩個常數(shù)可確定為A=U/h，B=0，于是有現(xiàn)在是27頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

平板間流動速度分布是線性的，這種純剪切流動稱為平面庫埃特流動。上板所受切應(yīng)力，通道的體積流量及平均速度分別為現(xiàn)在是28頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)平面庫埃特-泊肅葉流動

如上板在自身平面內(nèi)以速度U運動，下板靜止，同時沿流動方向存在壓強梯度，此種由平板拖動和壓強梯度共同作用引起的流動稱為平面庫埃特-泊肅葉流動。

由于方程（5-12）是線性的，兩平板間的流動速度可由前兩種流動的速度線性疊加得到，于是(5-14)定義量綱為一的壓強梯度則式（5-14）可寫為現(xiàn)在是29頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)圖.兩平板間的庫埃特-泊肅葉流動現(xiàn)在是30頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)§5-4圓管內(nèi)的泊肅葉流動

圓形截面管是最廣泛應(yīng)用的輸送流體的管道，研究圓管內(nèi)層流具有重要意義。

法國醫(yī)生泊肅葉（，1799-1869）在研究毛細血管內(nèi)的血液流動過程中，首先發(fā)現(xiàn)了流量與壓強變化之間的關(guān)系，因此稱圓管內(nèi)的此類流動為泊肅葉流動。

在直圓管內(nèi)流體質(zhì)點的運動方向平行于管軸線，取圓管軸線為z軸，由對稱性和流體沿軸向流動，則除軸向速度Vz不為零外，徑向和周向速度分量均為零，Vθ=0，Vr=0，。代入不可壓縮連續(xù)性微分方程得現(xiàn)在是31頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)由式（5.15a）和（5.15b），p*=p*(z)?？紤]到流動又是軸對稱的，軸向速度Vz只是r的函數(shù)，Vz=Vz(r)。采用圓柱坐標系，沿流動方向的N-S方程可簡化為或現(xiàn)在是32頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)利用邊界條件r=0處，Vz為有限值和可確定出積分常數(shù)c1=0，上式左端是r的函數(shù)，右端是z的函數(shù)，要使等式成立，必有=常數(shù)。將上式對r積分兩次，得代入速度分布式，可得現(xiàn)在是33頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)通過圓管的總體積流量設(shè)沿管軸線長度L上的壓降為Δp*，則上式可寫為上式稱為泊肅葉公式，式中D=2R，是圓管直徑。通過圓管的流量Q與D4成正比。在給定壓強差的條件下，當冠狀動脈的截面積縮小到原面積的1/2時，通過的血液流量將減少到原來的1/4?，F(xiàn)在是34頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)流量Q除以圓管截面積πR2得截面平均速度在圓管中心速度取最大值平均速度與最大速度之比圓管內(nèi)速度分布也可以量綱為一的形式表示為現(xiàn)在是35頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

對于圖5.12所示坐標系，p*=p+ρgy，令dp*/dz=G，則有如設(shè)z=r=0處p=p0，可確定上式中c=p0，于是

沿流動方向壓強呈線性分布，在垂直于流動方向的截面上壓強呈水靜壓強分布?，F(xiàn)在是36頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

圓管內(nèi)的切應(yīng)力分析如圖所示圓柱狀流體微元。流體微元半徑為r，長為L，由于沒有加速度，作用在圓柱體兩端的壓力差與作用在圓柱體側(cè)表面的粘性力相平衡，即現(xiàn)在是37頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)令r=R，τ=τw，上式化為上兩式相除，得切應(yīng)力成線性分布。沿流動方向壓力梯度為常數(shù)以及橫截面內(nèi)切應(yīng)力成線性分布是通道內(nèi)流動的普遍特征。這一結(jié)論對于湍流也是成立的?，F(xiàn)在是38頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

為表示管內(nèi)流動的平均速度與壓強梯度之間的關(guān)系，習慣上定義一個量綱為一的摩擦因數(shù)知道了f，就很容易求得長L的管道摩擦壓降上式最初由德國水力學家魏斯巴赫(JuliusWeisbach,1806-1858)在1857年提出，一直沿用至今，式中f稱為達西摩擦因數(shù)。將代入上式得壁面切應(yīng)力計算式為現(xiàn)在是39頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)§5-5斯托克斯流動

本節(jié)討論小雷諾數(shù)流動，即粘性流動的特征速度V與特征長度L都非常小，或流體的粘性非常高，雷諾數(shù)Re=VL/ν<<1的流動。

低雷諾數(shù)意味著流動的慣性力遠小于粘性力，加速度項遠小于粘性項，因此可以忽略加速度項，將N-S方程簡化為上式稱為斯托克斯方程，而滿足上式和連續(xù)性方程的流動稱為斯托克斯流動。現(xiàn)在是40頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

粘性流體繞剛性球體的流動是小雷諾數(shù)流動求解的成功范例。設(shè)一半徑為a的剛性圓球以速度U在靜止的粘性流體中做勻速運動。如果取固結(jié)于小球的運動坐標，則圓球運動引起的流動問題就變?yōu)樗俣葹閁的均勻流繞圓球的定常流動問題。

以來流速度U為特征速度，圓球直徑2a為特征長度的雷諾數(shù)Re=2aU/ν<<1，則流動可用斯托克斯方程描述。采用球坐標系較為方便，由于流動的軸對稱性，速度和壓強僅是坐標r和θ的函數(shù)。無窮遠處和球面的邊界條件分別為現(xiàn)在是41頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

對圓球表面積分，可求得剛性球所受阻力為

在小雷諾數(shù)流動中，物體受到的阻力對物體形狀不敏感，一個半徑為a的圓盤垂直或平行于流動方向時，其所受阻力分別為16μUa和(32/3)μUa，考慮到物體形狀和流動方向的巨大差異，上述結(jié)果與上式相差不遠。滿足斯托克斯方程和上述邊界條件的徑向和切向速度分別為相應(yīng)的壓強和切應(yīng)力為現(xiàn)在是42頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)終極沉降速度

灰塵顆粒近似為半徑a的小球，密度為,空氣密度和粘性系數(shù)分別為ρ和μ。

灰塵顆粒除本身重量外，在沉降過程中還受到空氣浮力和斯托克斯阻力作用。顆粒開始時作加速運動，隨著速度增加，阻力也增加，最終重力、浮力和斯托克斯力達到平衡狀態(tài)，灰塵顆粒于是做勻速運動。此時力平衡式為Vt是灰塵顆粒做勻速運動時的速度，稱為終極沉降速度。現(xiàn)在是43頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)§5-6湍流概述

圖示光滑圓管內(nèi)達西摩擦因數(shù)f對雷諾數(shù)ReD=VD/υ的依賴關(guān)系，縱橫坐標均采用對數(shù)尺度。流動的兩種狀態(tài)f-ReD曲線在ReD<ReD,crit和ReD>ReD,crit兩個區(qū)段中表現(xiàn)出不同的特性，是由于粘性流動中存在兩種本質(zhì)上不同的流動狀態(tài)：層流和湍流?，F(xiàn)在是44頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)雷諾（OsborneReynolds，1842-1921，英國工程師兼物理學家，維多利亞大學（曼徹斯特）教授）最早詳細研究了管道中粘性流體的流動狀態(tài)及其影響因素。雷諾實驗層流：指流體中液體質(zhì)點彼此互不混雜，質(zhì)點運動軌跡呈有條不紊的線狀形態(tài)的流動。湍流：又稱紊流，指速度、壓強等流動要素隨時間和空間作隨機變化，質(zhì)點軌跡曲折雜亂、互相混摻的流體運動?，F(xiàn)在是45頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)實驗裝置如圖所示現(xiàn)在是46頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)現(xiàn)在是47頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)下臨界點上臨界點雷諾實驗結(jié)果實驗結(jié)果表明：當流速非常小時，流動成為層流，沿程損失與速度一次方成正比，逐漸加大速度，流動由層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鳎€突然變陡，沿BC向上。在湍流時，沿程損失hf與流速vn成正比，根據(jù)管道內(nèi)壁的相對粗糙情況，n值在1.75~2.0范圍內(nèi)。現(xiàn)在是48頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

下臨界點A和上臨界點B對應(yīng)的流速就分別稱為下臨界流速vcr和上臨界流速。二、層流和湍流的判斷標準

實驗證明，流動狀態(tài)不僅與流速v有關(guān)，還與管徑d，流體密度ρ和流體的粘度μ有關(guān)。取決于無量綱的相似組合參數(shù)雷諾數(shù)，記為Re：

流態(tài)從層流到湍流的過渡稱為轉(zhuǎn)捩。其中：ρ為密度，v是特征速度，d是管徑，μ是動力粘性系數(shù)，ν是運動粘性系數(shù)現(xiàn)在是49頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

對應(yīng)于臨界流速vcr的雷諾數(shù)，用Recr表示。實驗證明，雖然當管徑或流體介質(zhì)不同時，臨界流速vcr不同，但臨界雷諾數(shù)Recr基本保持在一個確定的范圍，即Recr≈2300。屬于層流屬于湍流對圓管流動，流態(tài)的判別條件是：雷諾數(shù)：表征流體運動中慣性力和粘性力相對大小的無量綱數(shù)?，F(xiàn)在是50頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)式中A—是過流斷面面積；χ—表示濕周，即流體與固體邊界相接觸的截面周邊長度。

在流體力學中定義水力半徑為特征長度

在非管道流動中也存在層流與湍流這兩種不同的流態(tài)，從層流到湍流的轉(zhuǎn)捩也與雷諾數(shù)大小有關(guān)其中：L是特征長度，如板長現(xiàn)在是51頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

平面庫埃特流動，以兩板間距h和平板拖動速度U定義雷諾數(shù)，層流向湍流轉(zhuǎn)換的臨界雷諾數(shù)平面流動的臨界雷諾數(shù)

平面泊肅葉流動，臨界雷諾數(shù)為現(xiàn)在是52頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)圓管流動Re數(shù)圓管直徑d為特征長度計算非圓管流動Re數(shù)水力半徑R為特征長度計算在空氣和水中的運動物體或相對運動的物體Re數(shù)物體的特征長度L為特征長度計算不同情況下雷諾數(shù)的計算方法現(xiàn)在是53頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)雷諾數(shù)之所以對粘性流體運動的流態(tài)及其他相關(guān)特性起著重要作用，在于雷諾數(shù)具有很明顯的物理意義。實驗發(fā)現(xiàn)，隨著雷諾數(shù)增加而呈現(xiàn)的不同流態(tài)(層流或湍流)對于流動的摩擦阻力、流動損失、速度分布等影響很大。雷諾數(shù)的物理意義：雷諾數(shù)反映了作用在流體微團上的慣性力與粘性力之比。現(xiàn)在是54頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)慣性力正比于質(zhì)量乘加速度：～ρv2L2粘性力正比于切應(yīng)力乘面積：～μvL因此慣性力與粘性力之比正比于：～雷諾數(shù)正比于慣性力與粘性力之比的說明：現(xiàn)在是55頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)了解雷諾數(shù)的物理意義可幫助我們判斷一個流動中何種因素占主導作用，但要注意不要將雷諾數(shù)的絕對數(shù)值等同于慣性力與粘性力的絕對比值大型民航客機的飛行雷諾數(shù)可達上百萬至幾千萬（106～107）現(xiàn)在是56頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)日本設(shè)計的機械蜻蜓俄羅斯設(shè)計的機械蜻蜓美國設(shè)計的機械蒼蠅

微型飛行器的飛行雷諾數(shù)只有幾百到幾萬的量級（102～104）現(xiàn)在是57頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)空氣中的懸浮塵埃其運動雷諾數(shù)則更低甚至可以小于1需要再次強調(diào)：雷諾數(shù)代表慣性力與粘性力之比只是宏觀量級上的比例關(guān)系，根據(jù)雷諾數(shù)的大小可以判斷流動中何種因素占主導作用，但絕不能認為Re=1表示流動的慣性力與粘性力剛好相等。現(xiàn)在是58頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)圓管中層流與湍流的速度分布對比層流Re<2100湍流Re>4000現(xiàn)在是59頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)平板湍流平板層流

平板上層流與湍流的對比現(xiàn)在是60頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)5.損失隨Re增加而增加隨Re增加轉(zhuǎn)捩時損失增加6.切應(yīng)力牛頓切應(yīng)力牛頓切應(yīng)力和雷諾應(yīng)力圓管道中層流與湍流的區(qū)別層流湍流4.速度分布3.質(zhì)量與動量交換2.外觀1.Re較小較大色線規(guī)則，流動分層，外表光滑流動紊亂、不規(guī)則，外表粗糙流層間只限于分子間的較小的擴散在縱向和橫向存在較大的微團宏觀質(zhì)量、動量交換較尖瘦的拋物線分布，壁面附近速度和梯度都相對較小平均速度是較飽滿的對數(shù)分布，壁面附近速度和梯度相對較大現(xiàn)在是61頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)斯托克斯阻力定律：高雷諾數(shù)時物體受到的流動阻力正比于:ρv2L2

低雷諾數(shù)時物體受到的流動阻力正比于:

μvL微生物在水銀和在酒精中運動阻力對比問題；汽車和飛機作高速運行時，燃料消耗與速度增長不成比例問題；海洋中大生物和微小生物的游動機制問題；工程和生活中的許多現(xiàn)象遵循斯托克斯阻力定律，例如下列問題我們都可以從上述定律得到正確解答：現(xiàn)在是62頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

湍流與層流的基本區(qū)別是湍流的流動參數(shù)，如速度、壓強和溫度等，都隨時間作隨機的不規(guī)則的脈動。湍流的隨機脈動與時間平均現(xiàn)在是63頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

由于湍流脈動的隨機性，在數(shù)學處理上，自然地用統(tǒng)計平均方法。統(tǒng)計平均方法有時間平均法、體積平均法和概率平均法，由于運動參數(shù)隨時間變化容易測定，故常用時均方法，定義如下式中做平均計算的時間間隔T應(yīng)比速度脈動周期大得多，而相對于時均速度的非定常變化的特征時間又非常小。

瞬時速度ux與時均速度之間的差值稱為脈動速度，以表示為現(xiàn)在是64頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

瞬時速度可以表示為時均速度與脈動速度之和

式中為脈動速度。

因湍流具有脈動現(xiàn)象，其瞬時速度總是非定常的。通常講的定常流動與非定常流動在湍流時，是指時均值是否隨時間變化來區(qū)分。脈動速度的時均值。這一結(jié)果對其它運動參數(shù)均適用?，F(xiàn)在是65頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)同樣的，其他物理量（如壓強和溫度等）也可以表示成時均量與脈動量之和的形式

對湍流運動參數(shù)采用時均化后，前面所述的連續(xù)性方程、伯努利方程以及動量方程等仍將適用。如果f和g是兩個獨立的變量，s代表獨立變量x、y、z和t中的一個，則時均運算有以下性質(zhì)可證明

對于湍流，也區(qū)分定常和非定常，當時均速度不隨時間變化時為定常流動，否則為非定常流動。同樣也依據(jù)時均速度與空間坐標的依賴關(guān)系而區(qū)分一維、二維和三維湍流?，F(xiàn)在是66頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

利用時均速度和脈動速度的概念，空間一點的速度矢量可表示為，于是湍動能和湍流強度

對上式作時均，得

即空間一點單位質(zhì)量流體的動能的時均值可分解為平均流動的動能和湍流脈動相對應(yīng)的動能之和，后者稱為湍動能，在直角坐標系中現(xiàn)在是67頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

湍動能是流動的總動能中有多少份額用來產(chǎn)生湍流脈動的一個度量，雖然湍動能通常只占總動能的百分之幾，但湍流脈動速度引起的切應(yīng)力卻遠遠大于流動為層流時的粘性應(yīng)力。

工程上經(jīng)常用湍流度來表示湍流脈動幅度的大小，湍流度定義為

式中，是主流平均速度?，F(xiàn)在是68頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

如果三個脈動速度分量的時均值相同，即，則湍流度可以只用主流方向的脈動速度來計算，即現(xiàn)在是69頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)§5-8圓管湍流

考慮圖所示的圓管湍流，如果取x沿流動方向，y沿徑向，則依據(jù)切應(yīng)力的雙下標表示規(guī)則，有微分方程現(xiàn)在是70頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)如取z沿圓管周向，即θ方向，則有，這是因為沿周向

沒有變化，速度脈動量不會將流體微團輸運到速度更高或更低的區(qū)域；同理可以推斷。于是，當采用時間平均的概念來處理湍流時，圓管內(nèi)某一位置處的總切應(yīng)力可用粘性應(yīng)力和雷諾應(yīng)力表示為

圓管內(nèi)充分發(fā)展湍流的切應(yīng)力分布為(5-15)

將上式代入式（5-15）可得圓管內(nèi)定常湍流沿主流方向的微分方程現(xiàn)在是71頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)圖給出圓管內(nèi)湍流雷諾應(yīng)力的實測結(jié)果。圖中的雷諾數(shù)ReU=UD/υ，U是圓管中心的速度。速度分布現(xiàn)在是72頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

由于流體與管壁間的附著力，緊靠圓管管壁的流體速度為零，在管壁附近的流體速度以很大的速度梯度從零增加到一定值，而且流體受管壁的約束，其脈動程度幾乎等于零，而能反映紊流強弱的混合長度也就非常小，甚至等于零。可以說圓管湍流中靠近管壁這一簿層，流動應(yīng)該是層流流動，其切應(yīng)力主要表現(xiàn)為粘性切應(yīng)力，稱這一簿層為粘性底層或?qū)恿鞯讓踊虮诿鎸?。在粘性底層之外可以分為過渡層和湍流核心區(qū)。

粘性底層通常很簿，大約只有百分之幾毫米，但由于速度梯度du/dy很大，因而影響也極大。在湍流分析中，粘性底層厚度的估算是值得關(guān)注的。

層流的切應(yīng)力可由牛頓內(nèi)摩擦定律給出

現(xiàn)在是73頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

由于粘性底層極簿，

du/dy≈u/y，所以在粘性底層內(nèi)的速度分布近似直線分布

壁面層速度分布可表示為

式中，具有速度的量綱，稱為摩擦速度

可視為距壁面的量綱為一的距離

在中心區(qū)，速度分布則應(yīng)以虧損律的形式表示為

現(xiàn)在是74頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

可證明滿足平滑過渡條件的速度分布函數(shù)必然具有如下對數(shù)形式現(xiàn)在是75頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

在貼近壁面的區(qū)域里，粘性應(yīng)力占主導地位，量綱為一速度呈線性分布

上式適用范圍為0≤y+≤5~7，通常稱這一區(qū)域為粘性底層。y+＞30的區(qū)域為重疊區(qū)，實測數(shù)據(jù)可用對數(shù)關(guān)系式表示在這一區(qū)域，粘性應(yīng)力和湍流附加應(yīng)力都是重要的，盡管湍流附加應(yīng)力要大得多。(5-16)現(xiàn)在是76頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)y+＞5~7和y+≤30之間，稱為緩沖區(qū)。

在管中心，式（5-16）可寫為，再減去式（5-16）

上式稱為速度虧損律，它可以很好地表示管中心區(qū)域的湍流速度分布。現(xiàn)在是77頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

式中指數(shù)n隨著雷諾數(shù)Re而變，見表。當Re在1.1×105左右時，n約等1/7，這就是常用的勃拉休斯（Blasius）1/7次方定律。表5-1指數(shù)n取值Re4.0×1032.3×1041.1×1051.1×1062.0×1063.2×106n1/6.01/6.61/7.01/8.81/101/10

普蘭特—卡門根據(jù)實驗資料又提出了紊流流速分布式的指數(shù)公式現(xiàn)在是78頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)現(xiàn)在是79頁\一共有86頁\編輯于星期一第五章粘性流體運動基礎(chǔ)

對于實際管流，由于任何工業(yè)管道的管壁總是粗糙不平的，設(shè)管道壁面粗糙凸起高度Δ為絕對粗糙度。根據(jù)粘性底層δl與絕對粗糙度的大小比較，將管道分為“水力光滑管”和“水力粗糙管”如圖。

必須指出，水力光滑與水力粗糙并不是單純由壁面的光滑度來確定的，而是根據(jù)粘性底層的厚度與粗糙度的相對關(guān)系來決定。對于確定的管道，在某一雷諾數(shù)時可能是水力光滑管，而在另一雷諾數(shù)時又可能