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第三講分離變量法第1頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一例如:若u1(x,t)是方程的解,而u2(x,t)是方程的解,則對于任意的常數(shù)C1、C2,函數(shù)是方程的解。典型例子:聲學中把弦線振動時所發(fā)出的復雜的聲音分解成各種單音的疊加。第2頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一2.傅立葉級數(shù)若f(x)是以2l為周期的函數(shù),在[-l,l]上滿足Dirichlet條件,即在上只有有限多個第一類間斷點和有限多個極值點,則在[-l,l]上f可以展開成Foureir級數(shù)第3頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一當f為奇函數(shù)時,當f為偶函數(shù)時,第4頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一3.常系數(shù)二階線性常微分方程的通解(1).當k1,k2為實數(shù)且k1≠k2時,(2).當k1=k2=k時,(3).當k1=,k2=特征方程:第5頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一§3-1有界弦的自由振動——齊次弦振動方程的初邊值問題我們設想先求出足夠多的變量分離形式的非平凡(即不恒為零)的特解u(x,t)=X(x)T(t),然后把這些特解疊加得到問題的最終解以下我們詳細介紹如何運用這一思想求解初邊值問題:3.1第6頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一設將上式分離變量,有:在(3.2)式中,左邊僅是t的函數(shù),右邊僅是x的函數(shù),左右兩端要相等,只有等于同一個常數(shù)才可能。記這個常數(shù)為-λ(其值待定),就得到:帶入方程(3.1),得到:Sturm-Liouville方程第7頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一情況A當λ<0時,方程(3.4)的通解為這樣方程(3.2)就被分離為兩個常微分方程,可以通過求解這兩個方程來決定X(x)和T(t),從而得到方程(3.1)的特解X(x)T(t)。為了使此解是滿足齊次邊界條件的非平凡解,就必須找出方程(3.4)的滿足邊界條件X(0)=0,X(l)=0的非平凡解。由常微分方程理論可知,方程(3.4)的通解隨λ>0,λ=0以及λ<0而不同,下面分以上三種情況討論。X(0)=0,X(l)=0Sturm-Liouville問題特征值問題:尋找λ值使S-L問題有非零解。特征方程的實根:第8頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一要使它滿足邊界條件X(0)=0和X(l)=0,就必有從而推知C1=C2=0。故在λ<0的情況下不可能得到非平凡解。(齊次線性代數(shù)方程組系數(shù)行列式不為零)情況B當λ=0時,方程(3.4)的通解為要使它滿足邊界條件X(0)=0和X(l)=0,X(x)也必恒為零。第9頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一情況C當λ>0時,方程(3.4)的通解為要使此解滿足邊界條件X(0)=0,則C1=0。為了使C2≠0,就必須有于是可以確定λ的取值為這樣就找到了一族非零解:再由X(l)=0,可知特征值特征函數(shù)第10頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一數(shù)學上,稱(3.5)右端的函數(shù)為常微分方程(3.4)滿足邊界條件X(0)=0和X(l)=0的固有函數(shù)(或特征函數(shù)),而λ=k2π2/l2稱為相應的固有值或特征值。例題第11頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一將固有值λk帶入方程(3.3)中,可求得其通解為上式中Ak,Bk

為任意待定常數(shù)。這樣我們就得到了方程(3.1)滿足邊界條件u(0,t)=0和u(l,t)=0的分離變量形式的特解:特征方程的實根:第12頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一現(xiàn)在我們設法作出這種特解的適當?shù)木€性組合,以得出初邊值問題的解。也就是說,要確定出常數(shù)Ak

和Bk

使?jié)M足初始條件第13頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一在(3.6)式中的級數(shù)可以逐項求導時,我們得到:結合初始條件,應有觀察發(fā)現(xiàn)Ak

和Bkkπa/l分別是φ(x)和ψ(x)在區(qū)間[0,l]上正弦展開的傅立葉級數(shù)的系數(shù),即第14頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一前面的推導說明了初邊值問題如果有解,那么它的解可以表示為(2.24)式的級數(shù)形式,現(xiàn)在的問題是:什么條件下,初邊值問題的解一定存在?定理:若函數(shù)φ(x)在求解區(qū)域內具有三階連續(xù)偏導數(shù),ψ(x)在求解區(qū)域內具有二階連續(xù)偏導數(shù),并且則弦振動方程的初邊值問題(3.1)的解是存在的,它可以由級數(shù)(3.6)給出,Ak和Bk

由(3.7)式確定。通常我們稱(3.8)式為相容性條件。將由(3.7)式表示的Ak,Bk

代入(3.6)式中,就得到了用級數(shù)形式表示的初邊值問題(3.1)的解。第15頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一的平均收斂極限,當n很大時,因為方程和邊界條件都已滿足,初始條件也近似得到了滿足,由此可以把un(x,t)看成問題的近似解。如果φ(x)和ψ(x)不滿足以上定理的條件,我們可以把φ(x)和ψ(x)看成函數(shù)列第16頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一例1:求下解問題解:此題屬于有界弦的振動,且根據(jù)上述,可知:第17頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一其中:例2,例3第18頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一比較波動方程熱傳導方程位勢方程第19頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一§3-2有界桿上的熱傳導問題初邊值問題的分離變量法在前一章中,我們用分離變量法求得了波動方程初邊值問題的解。這一方法對熱傳導方程的初邊值問題也是適用的。以下以熱傳導方程在邊界上分別取第一和第三邊界條件的初邊值問題為例詳細討論其求解過程。利用分離變量法求解如下的初邊值問題第20頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一其中h為正的常數(shù)。用分離變量法求解,令u(x,t)=X(x)T(t),這里X(x)和T(t)分別表示僅與x有關和僅與t有關的函數(shù),把它代入方程(3.14)得到這個等式只有在兩邊均等于常數(shù)時才能成立。令該常數(shù)為-λ,則有首先考慮方程(3.19)的求解。根據(jù)邊界條件(3.16)和(3.17),X(x)應當滿足邊界條件第21頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一對于邊值問題(3.19)和(3.20),通過與前一章類似的討論可得:(1)當λ<0或λ=0時,只有平凡解X=0(2)當λ>0時,利用邊界條件X(0)=0得A=0,于是由(3.20)的第二個邊界條件可以得到為了使X(x)為非平凡解,λ應滿足即λ是以下超越方程的正解:第22頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一令則(3.19)式變?yōu)槔脠D解法或數(shù)值解法可以得出這個方程的根。由右圖可知,方程有可列舉的無窮多個正根υk>0(k=1,2,…),滿足(k-1/2)π<υk<kπ。因此,特征值問題(3.19)和(3.20)存在無窮多個固有值:以及固有函數(shù):第23頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一把前面得到的代入方程(3.18)可得于是我們得到一列可分離變量的特解由于方程(3.14)和邊界條件(3.16)和(3.17)都是齊次的,所以可以利用疊加原理構造級數(shù)形式的解以下的任務是利用初始條件(3.15)來決定常數(shù)Ak,為了使在t=0時u(x,t)取到初值φ(x),應成立第24頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一為了確定系數(shù)Ak,須先證明固有函數(shù)系在[0,l]上正交。設固有函數(shù)Xn和Xm分別對應于不同的固有值λn和λm,即以Xn和Xm分別乘以上面第一和第二式,相減后在[0,l]積分,利用Xn和Xm都滿足邊界條件(3.20),就得到由于λn和λm不等,故得到固有函數(shù)系的正交性:于是在(3.23)兩邊乘以

再進行積分,利用固有函數(shù)系的正交性得:第25頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一記那么有將其代入(3.22)式就得到了初邊值問題(3.14)至(3.17)的形式解為從(3.24)式來看,由于存在因子,因此級數(shù)(3.24)可以很快收斂。這個特點也使得解的存在條件要比波動方程更寬松,僅需φ(x)一階連續(xù)可導且第26頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一例題第27頁,共31頁,2023年,2月20日,星期一例2:求定解問題解:沒有現(xiàn)成的公式可套,直接采用分離變量法求解(1)分離變量:則有

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