2023年數(shù)學高考知識點

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軌跡，包含兩個方面的問題：凡在軌跡上的點都符合給定的條件，這叫做軌跡的純粹性(也叫做必要性);凡不在軌跡上的點都不符合給定的條件，也就是符合給定條件的點必在軌跡上，這叫做軌跡的完備性(也叫做充分性)。

一、求動點的軌跡方程的基本步驟。

1.建立適當?shù)淖鴺讼?，設出動點M的坐標;

2.寫出點M的集合;

3.列出方程=0;

4.化簡方程為最簡形式;

5.檢驗。

二、求動點的軌跡方程的常用〔方法〕：求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法和交軌法等。

1.直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。

2.定義法：假如能夠確定動點的軌跡滿意某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

3.相關(guān)點法：用動點Q的坐標x，y表示相關(guān)點P的坐標x0、y0，然后代入點P的坐標(x0，y0)所滿意的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點法。

4.參數(shù)法：當動點坐標x、y之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先查找x、y與某一變數(shù)t的關(guān)系，得再消去參變數(shù)t，得到方程，即為動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。

5.交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

求動點軌跡方程的一般步驟：

①建系——建立適當?shù)淖鴺讼?

②設點——設軌跡上的任一點P(x，y);

③列式——列出動點p所滿意的關(guān)系式;

④代換——依條件的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于X，Y的方程式，并化簡;

⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程。

高考數(shù)學學問點〔總結(jié)〕

遺忘空集致誤

由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=?時也滿意B?A。解含有參數(shù)的集合問題時，要特殊留意當參數(shù)在某個范圍內(nèi)取值時所給的集合可能是空集這種狀況。

忽視集合元素的三性致誤

集合中的元素具有確定性、無序性、互異性，集合元素的三性中互異性對解題的影響最大，特殊是帶有字母參數(shù)的集合，事實上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求。

混淆命題的否認與否命題

命題的“否認”與命題的“否命題”是兩個不同的概念，命題p的否認是否認命題所作的推斷，而“否命題”是對“若p，則q”形式的命題而言，既要否認條件也要否認結(jié)論。

充分條件、必要條件顛倒致誤

對于兩個條件A，B，假如A?B成立，則A是B的充分條件，B是A的必要條件;假如B?A成立，則A是B的必要條件，B是A的充分條件;假如A?B，則A，B互為充分必要條件。解題時最簡單出錯的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問題時肯定要依據(jù)充分條件和必要條件的概念作出精確的推斷。

“或”“且”“非”理解不準致誤

命題p∨q真?p真或q真，命題p∨q假?p假且q假(概括為一真即真);命題p∧q真?p真且q真，命題p∧q假?p假或q假(概括為一假即假);綈p真?p假，綈p假?p真(概括為一真一假)。求參數(shù)取值范圍的題目，也可以把“或”“且”“非”與集合的“并”“交”“補”對應起來進行理解，通過集合的運算求解。

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間理解不準致誤

在討論函數(shù)問題時要時時刻刻想到“函數(shù)的圖像”，學會從函數(shù)圖像上去分析問題、查找解決問題的方法。對于函數(shù)的幾個不同的單調(diào)遞增(減)區(qū)間，切忌使用并集，只要指明這幾個區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即可。

推斷函數(shù)奇偶性忽視定義域致誤

推斷函數(shù)的奇偶性，首先要考慮函數(shù)的定義域，一個函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，假如不具備這個條件，函數(shù)肯定是非奇非偶函數(shù)。

函數(shù)零點定理使用不當致誤

假如函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)的曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，但f(a)f(b)0時，不能否認函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)有零點。函數(shù)的零點有“變號零點”和“不變號零點”，對于“不變號零點”函數(shù)的零點定理是“無能為力”的，在解決函數(shù)的零點問題時要留意這個問題。

三角函數(shù)的單調(diào)性推斷致誤

對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)性，當ω0時，由于內(nèi)層函數(shù)u=ωx+φ是單調(diào)遞增的，所以該函數(shù)的單調(diào)性和y=sinx的單調(diào)性相同，故可完全根據(jù)函數(shù)y=sinx的單調(diào)區(qū)間解決;但當ω0時，內(nèi)層函數(shù)u=ωx+φ是單調(diào)遞減的，此時該函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)y=sinx的單調(diào)性相反，就不能再根據(jù)函數(shù)y=sinx的單調(diào)性解決，一般是依據(jù)三角函數(shù)的奇偶性將內(nèi)層函數(shù)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后再加以解決。對于帶有肯定值的三角函數(shù)應當依據(jù)圖像，從直觀上進行推斷。

忽視零向量致誤

零向量是向量中最特別的向量，規(guī)定零向量的長度為0，其方向是任意的，零向量與任意向量都共線。它在向量中的位置正照實數(shù)中0的位置一樣，但有了它簡單引起一些混淆，略微考慮不到就會出錯，考生應賜予足夠的重視。

向量夾角范圍不清致誤

解題時要全面考慮問題。數(shù)學試題中往往隱含著一些簡單被考生所忽視的因素，能不能在解題時把這些因素考慮到，是解題勝利的關(guān)鍵，如當a·b0時，a與b的夾角不肯定為鈍角，要留意θ=π的狀況。

an與Sn關(guān)系不清致誤

在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項an與其前n項和Sn之間存在以下關(guān)系：an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2。這個關(guān)系對任意數(shù)列都是成立的，但要留意的是這個關(guān)系式是分段的，在n=1和n≥2時這個關(guān)系式具有完全不同的表現(xiàn)形式，這也是解題中常常出錯的一個地方，在使用這個關(guān)系式時要牢牢記住其“分段”的特點。

對數(shù)列的定義、性質(zhì)理解錯誤

等差數(shù)列的前n項和在公差不為零時是關(guān)于n的常數(shù)項為零的二次函數(shù);一般地，有結(jié)論“若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是c=0”;在等差數(shù)列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N_)是等差數(shù)列。

數(shù)列中的最值錯誤

數(shù)列問題中其通項公式、前n項和公式都是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，要擅長從函數(shù)的觀點熟悉和理解數(shù)列問題。數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系是高考的命題重點，解題時要留意把n=1和n≥2分開商量，再看能不能統(tǒng)一。在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點要依據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對稱軸的遠近而定。

錯位相減求和項處理不當致誤

錯位相減求和法的適用條件：數(shù)列是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項的乘積所組成的，求其前n項和。基本方法是設這個和式為Sn，在這個和式兩端同時乘以等比數(shù)列的公比得到另一個和式，這兩個和式錯一位相減，就把問題轉(zhuǎn)化為以求一個等比數(shù)列的前n項和或前n-1項和為主的求和問題.這里最簡單消失問題的就是錯位相減后對剩余項的處理。

不等式性質(zhì)應用不當致誤

在使用不等式的基本性質(zhì)進行推理論證時肯定要精確，特殊是不等式兩端同時乘以或同時除以一個數(shù)式、兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時n次方時，肯定要留意使其能夠這樣做的條件，假如忽視了不等式性質(zhì)成立的前提條件就會消失錯誤。

忽視基本不等式應用條件致誤

利用基本不等式a+b≥2ab以及變式ab≤a+b22等求函數(shù)的最值時，務必留意a，b為正數(shù)(或a，b非負)，ab或a+b其中之一應是定值，特殊要留意等號成立的條件。對形如y=ax+bx(a，b0)的函數(shù)，在應用基本不等式求函數(shù)最值時，肯定要留意ax，bx的符號，必要時要進行分類商量，另外要留意自變量x的取值范圍，在此范圍內(nèi)等號能否取到。

〔高三數(shù)學〕學問點

高考立體幾何試題一般共有4道(選擇、填空題3道，解答題1道)，共計總分27分左右，考查的學問點在20個以內(nèi)。選擇填空題考核立幾中的計算型問題，而解答題著重考查立幾中的規(guī)律推理型問題，當然，二者均應以正確的空間想象為前提。隨著新的課程改革的進一步實施，立體幾何考題正朝著“多一點思索，少一點計算”的進展。從歷年的考題改變看，以簡潔幾何體為載體的線面位置關(guān)系的論證，角與距離的探求是常考常新的熱門話題。

學問整合

1.有關(guān)平行與垂直(線線、線面及面面)的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大量的、反復遇到的，而且是以各種各樣的問題(包括論證、計算角、與距離等)中不行缺少的內(nèi)容，因此在主體幾何的總復習中，首先應從解決“平行與垂直”的有關(guān)問題著手，通過較為基本問題，熟識公理、定理的內(nèi)容和功能，通過對問題的分析與概括，把握立體幾何中解決問題的規(guī)律--充分利用線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)互相轉(zhuǎn)化的思想，以提高〔規(guī)律思維〕力量和空間想象力量。

2.判定兩個平面平行的方法：

(1)依據(jù)定義--證明兩平面沒有公共點;

(2)判定定理--證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面;

(3)證明兩平面同垂直于一條直線。

3.兩個平面平行的主要性質(zhì)：

(1)由定義知：“兩平行平面沒有公共