導數(shù)題型分類大全

導數(shù)題型分類（A）題型一：導數(shù)的定義及計算、常見函數(shù)的導數(shù)及運算法則（一）導數(shù)的定義：函數(shù)在處的瞬時變化率稱為函數(shù)在處的導數(shù)，記作或，即如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導數(shù)，此時對于每一個，都對應(yīng)著一個確定的導數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù)。稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，也可記作，即＝＝導數(shù)與導函數(shù)都稱為導數(shù)，這要加以區(qū)分：求一個函數(shù)的導數(shù)，就是求導函數(shù)；求函數(shù)在處的導數(shù)，就是導函數(shù)在處的函數(shù)值，即＝。例1.函數(shù)處的導數(shù)為A，求。例2．。（二）常見基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和運算法則：；；法則1：法則2：法則3：（理）復合函數(shù)的求導：若，則如，_______________;_____________公式的特例：①______;②_______,③_________.題型二：利用導數(shù)幾何意義及求切線方程導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處的導數(shù)是曲線上點()處的切線的斜率.因此，如果存在，則曲線在點（）處的切線方程為______________________例1．若函數(shù)滿足，則的值例2．設(shè)曲線在點處的切線與直線垂直，則．練習題1．曲線在點處的切線方程是2．若曲線在P點處的切線平行于直線，則P點的坐標為（1，0）3．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為4．求下列直線的方程：（注意解的個數(shù)）（1）曲線在P(-1,1)處的切線；（2）曲線過點P(3,5)的切線；解：（1）所以切線方程為（2）顯然點P（3，5）不在曲線上，所以可設(shè)切點為，則①又函數(shù)的導數(shù)為，所以過點的切線的斜率為，又切線過、P(3,5)點，所以有②，由①②聯(lián)立方程組得，，即切點為（1，1）時，切線斜率為；當切點為（5，25）時，切線斜率為；所以所求的切線有兩條，方程分別為5．設(shè)P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為[0，eq\f(π,4)]，則點P橫坐標的取值范圍為()A．[－1，－eq\f(1,2)] B．[－1,0]C．[0,1] D．[eq\f(1,2)，1]6.下列函數(shù)中，在（0，+∞）上為增函數(shù)的是（）=sinxB.C.=ln(1+x)—x7.設(shè)f(x),g(x)是R上的可導函數(shù)，分別為f(x),g(x)的導數(shù)，且，則當a<x<b時，有（）(x)g(b)>f(b)g(x)(x)g(x)>f(b)g(b)(x)g(a)>f(a)g(x)(x)g(x)>f(b)g(a)題型三：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1.設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間（a,b）內(nèi)有導數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)＿＿＿＿，則在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果在這個區(qū)間內(nèi)＿＿＿＿，則是這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法：（1）求導數(shù)；（2）解方程；（3）使不等式成立的區(qū)間就是遞增區(qū)間，使成立的區(qū)間就是遞減區(qū)間3.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在恒成立.例：1.函數(shù)y＝xcosx－sinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（）（A）(，)（B）(，2)（C）(，)（D）(2，3)2.函數(shù)f(x)=xlnx(x>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是_________________.3.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則的取值范圍是________.題型四：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。1．在區(qū)間上的最大值是22．已知函數(shù)處有極大值，則常數(shù)c＝6；3．函數(shù)有極小值－1,極大值3yxO12-14．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)yxO12-1那么函數(shù)f(x)的圖象最有可能的是()yyxO12-2AyxO12-2ByxO12-2CyxO12-2D5.已知函數(shù)有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是（）＜a＜2＜-3或a＞6C.-3＜a＜6＜-1或a＞2作業(yè)和練習：1.已知函數(shù)在區(qū)間（－∞，1）上有最小值，則函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上一定（）A.有最小值B.有最大值C.是減函數(shù)D.是增函數(shù)2．已知函數(shù)在處取得極值，求過點A(0，16)作曲線y=f(x)的切線，求該切線的方程.3．已知函數(shù)（1）求f(x)的最小值（2）若對所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求a的取值范圍.4．已知函數(shù)其中a為大于零的常數(shù).（1）當a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值（2）當時，不等式恒成立，求a的取值范圍.5．已知函數(shù)的切線方程為y=3x+1（Ⅰ）若函數(shù)處有極值，求的表達式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間[－2，1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)b的取值范圍解：（1）由過的切線方程為：①②而過①②故∵③由①②③得a=2，b=－4，c=5∴（2）當又在[－3，1]上最大值是13。（3）y=f(x)在[－2，1]上單調(diào)遞增，又由①知2a+b=0。依題意在[－2，1]上恒有≥0，即①當；②當；③當綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是6．已知三次函數(shù)在和時取極值，且．(1)求函數(shù)的表達式；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3)若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，試求、應(yīng)滿足的條件．解：(1)， 由題意得，是的兩個根，解得，． 再由可得．∴． (2)，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，．∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù)；在區(qū)間上是增函數(shù)．函數(shù)的極大值是，極小值是． (3)函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個單位，向上平移4個單位得到的，所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域為（）．而，∴，即． 于是，函數(shù)在區(qū)間上的值域為．令得或．由的單調(diào)性知，，即．綜上所述，、應(yīng)滿足的條件是：，且． 7．已知函數(shù)，（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅲ)若在上存在一點，使得成立，求的取值范圍8．設(shè)函數(shù)．（1）若的圖象與直線相切，切點橫坐標為２，且在處取極值，求實數(shù)的值；（2）當b=1時，試證明：不論a取何實數(shù)，函數(shù)總有兩個不同的極值點．解：（1）由題意，代入上式，解之得：a=1，b=1．（2）當b=1時，因故方程有兩個不同實根．不妨設(shè)，由可判斷的符號如下：當＞０；當＜０；當＞０因此是極大值點，是極小值點．，當b=1時，不論a取何實數(shù)，函數(shù)總有兩個不同的極值點。題型五：利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象1．如右圖：是f（x）的導函數(shù)，的圖象如右圖所示，則f（x）的圖象只可能是（D）（A）（B）（C）（D）2．函數(shù)(A)xxyo4-424-42-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-42-2-26666yx-4-2o42243．方程(B)A、0B、1C、2D、3※題型六：利用單調(diào)性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍1．設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值.（2）若當時，恒有，試確定a的取值范圍.解：（1）=，令得列表如下：x（-∞，a）a（a，3a）3a（3a，+∞）-0+0-極小極大∴在（a，3a）上單調(diào)遞增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上單調(diào)遞減時，，時，（2）∵，∴對稱軸，∴在[a+1，a+2]上單調(diào)遞減∴，依題，即解得，又∴a的取值范圍是2．已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1時都取得極值（1）求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）若對x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范圍。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：x（－，－）－（－，1）1（1，＋）f（x）＋0－0＋f（x）極大值極小值所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（－，－）與（1，＋），遞減區(qū)間是（－，1）（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，當x＝－時，f（x）＝＋c為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c題型七：利用導數(shù)研究方程的根1．已知平面向量=(,－1).=(,).（1）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使=+(t2－3)，=-k+t，⊥，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t)；(2)據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)－k=0的解的情況.解：(1)∵⊥，∴=0即[+(t2-3)]·(-k+t)=0.整理后得-k+[t-k(t2-3)]+(t2-3)·=0∵=0，=4，=1，∴上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(2)討論方程t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=t(t2-3)與直線y=k的交點個數(shù).于是f′(t)=(t2-1)=(t+1)(t-1).令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當t變化時，f′(t)、f(t)的變化情況如下表：t(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(t)+0-0+F(t)↗極大值↘極小值↗當t=－1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=.當t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=－函數(shù)f(t)=t(t2-3)的圖象如圖13－2－1所示，可觀察出：(1)當k＞或k＜－時,方程f(t)－k=0有且只有一解；(2)當k=或k=－時,方程f(t)－k=0有兩解；(3)當－＜k＜時,方程f(t)－k=0有三解.2．已知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0，4）（I）求的值；（II）若對任意的總有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍。解：（I）又…………4分（II） 且 …………12分題型八：導數(shù)與不等式的綜合1．設(shè)在上是單調(diào)函數(shù).（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)≥1，≥1，且，求證：.解：（1）若在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須這樣的實數(shù)a不存在.故在上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則≤，由于.從而0<a≤3.（2）方法1、可知在上只能為單調(diào)增函數(shù).若1≤，則若1≤矛盾，故只有成立.方法2：設(shè)，兩式相減得≥1,u≥1，，2．已知為實數(shù)，函數(shù)（1）若函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，求的取值范圍（2）若，（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（Ⅱ）證明對任意的，不等式恒成立解：， 函數(shù)的圖象有與軸平行的切線，有實數(shù)解，，所以的取值范圍是，，，由或；由的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間為易知的最大值為，的極小值為，又在上的最大值，最小值對任意，恒有3．已知函數(shù)(1)當時，判斷在定義域上的單調(diào)性;(2)若在上的最小值是，求的值;(3)設(shè)，若在上恒成立，求的取值范圍.題型九：導數(shù)在實際中的應(yīng)用1．請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大解：設(shè)OO1為，則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：，（單位：）故底面正六邊形的面積為：=，（單位：）帳篷的體積為：（單位：）求導得。令，解得（不合題意，舍去），，當時，，為增函數(shù)；當時，，為減函數(shù)?！喈敃r，最大。答：當OO1為時，帳篷的體積最大，最大體積為。2．統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米。（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少最少為多少升解：（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時， 要耗沒（升）。 （II）當速度為千米/小時時，汽車