橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)(1)第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F、F的距離之和為常數(shù)2a(2a>|FF|)的動(dòng)點(diǎn)P的1222軌跡叫橢圓,其中兩個(gè)定點(diǎn)F、F叫橢圓的焦點(diǎn).FFP121212(2)橢圓的第二定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)F與定直線l(定點(diǎn)F不在定直線l上)的距離之比是常(利用第二定義,可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化).2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0)a標(biāo)準(zhǔn)方程參數(shù)關(guān)系焦點(diǎn)焦距范圍頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性離心率(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b)性質(zhì)22P(x0,y0)與橢圓x2+y2=1(a>b>0)的位置關(guān)系:a2b2aba2b2a2b2橢圓上;標(biāo)分別是(-4,0)、(4，0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離35⑵兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0，－2)和(0,2)且過(guò)(-)x它的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1⑵因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為2222y2x2所以所求標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1yx235∴可設(shè)所求方程+=1，后將點(diǎn)()的坐標(biāo)代入可求出a，從而求aa242,2∴所求橢圓的方程為：.x∴所求橢圓方程為：+=1(5)∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：ABABOCx∵P(0，－10)在橢圓上，∴a＝10.∴－c－(－10)＝2，故c=8.y2x2∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1.程yy (y≠0)(特別強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn))yyA2A所示的平面直角坐標(biāo)系，M為重心，則|MB|+|MC|=×3EMMBOCxBOCx圓，故所求橢圓方程為+=1(y≠0)x2x題4。已知x軸上的一定點(diǎn)A(1,0)，Q為橢圓+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程4yx2xQ因?yàn)辄c(diǎn)Q為橢圓+y2=1上的點(diǎn)，QM4M-2OA2x-242223解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，則A的坐標(biāo)為(x,0)B的坐標(biāo)為(0,y)2y552525B4xyx552525B42525OAx所以點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2=494r＝8r＝8分析：由兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對(duì)值根據(jù)圖形，MxMQMPPOQx9練根據(jù)條件對(duì)一些點(diǎn)進(jìn)行取舍.依題意得.=，依題意得.=，xx9PF2A2yOF1xPF2A2yOF1x說(shuō)明：方程x2+y2=1對(duì)應(yīng)的橢圓與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，而此兩交點(diǎn)為(0，－6)與題8．P為橢圓+=1上的點(diǎn)，且P與F,F的連線互相垂直，求P25912xxy500161644444444題9．橢圓x2+y2=1上不同三點(diǎn)A(x,y),B(4,9),C(x,y)與焦點(diǎn)F(4,0)的距離成25911522等差數(shù)列，求證x+x=844證明：由題意，得(5+x)+(5+x)＝2(5+4)x+x=844515251222與此橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切b焦半徑FP是圓O的直徑，1PF2aPFPF則由a2=2=1=OO知，兩圓半徑之差等于圓心距，2221所以，以線段FP為直徑的圓與此橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切2PF2121PF|的等差中項(xiàng).212選題意圖：綜合考查數(shù)列與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用等比定理進(jìn)行解題.解：(1)由題設(shè)|PF|＋|PF|＝2|FF|＝4121233y43(2)設(shè)∠FPF=9，則∠PFF＝60°－θ21FFPFPFPF1OF2xFFPF+PF和點(diǎn)Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓方程.2mn①mnmn422解①②得2222243則1+1則1+1=1，①4343①－②，得+=0.x_x4y+y1212343∴直線l的方程為y－1=－(x－1)，4(1)求橢圓方程；(2)求m的取值范圍．[解析](1)由題意可知橢圓C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，可設(shè)C:y2+x2=1(a>b>0)a2b22a212〈|(y＝kx＋m得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0(*)|lx1x2＝－3x－2kmm2－1112－2m2m2＝4時(shí)，上式不成立；m2≠4時(shí)，k2＝4m2－1，容易驗(yàn)證k2>2m2－2成立，所以(*)成立11即所求m的取值范圍為(－1，－2)∪(2，1)(y+2)j，b=xi+(y－2)j，且|a|+|b|=8.(1)求點(diǎn)M(x，y)的軌跡C的方程.(2)過(guò)點(diǎn)(0，3)作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)OP=OA+OB，是否存在這lOAPBl存在，試說(shuō)明理(1)解法一：∵a=xi+(y+2)j，b=xi+(y－2)j，且|a|+|b|=8，∴點(diǎn)M(x，y)到兩個(gè)定點(diǎn)F1(0，－2)，F(xiàn)2(0，2)的距離之和為8.兩邊平方，得y(2)∵l過(guò)y軸上的點(diǎn)(0，3)，332118k552118k55kk45∴存在直線l：y=±x+3，使得四邊形OAPB是矩形.4橢圓作業(yè)則△MNF2的周長(zhǎng)為ABC解析：利用橢圓的定義易知B正確.x2A.B.22x411173yPCAOBxQ3yPCAOBxQ3C.D.2aaaaaa16D長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)A的小球(小球的半徑不計(jì))，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是[解析]按小球的運(yùn)行路徑分三種情況:x2y21.已知F、F為橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)若1225912ABF4a=20，：AB=82解析：橢圓方程化為x2+y2=1.22 k2焦點(diǎn)在y軸上，則>2，即k<1.k25945225解析：由橢圓方程可得a=5，b=3，c=4，e=，準(zhǔn)線方程為x=±=±.5442554解析：利用橢圓的兩個(gè)定義結(jié)合勾股定理來(lái)求．259解析：利用第二定義.案：ac或a、c用同一個(gè)量表示.本題沒(méi)有a解：設(shè)橢圓方程為x2+y2=1(a＞b＞0)，F(xiàn)1(－c，0)，c2=a2－b2，aa即－=.∴aaca2b225167則PF+PF+PF+PF+PF+PF+PF=________________1234567[解析]由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知：PF+PF=PF+PF=PF+PF=2a=35．1726351.設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為42－4，求此橢圓方程.【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)a,b,c的式子“描述”出來(lái)(b=c4442圓上的點(diǎn)的最短距離是3，求這個(gè)橢圓方程.la=2c|lc=3129912圓上的點(diǎn)的最短距離是3，求這個(gè)橢圓方程.y424222169【解題思路】把動(dòng)點(diǎn)到直線的距離表示為某個(gè)變量的函數(shù)題21。已知橢圓x2+y2=1(a>b>0)與過(guò)點(diǎn)A(2，0)，B(0，1)的直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=．求橢圓方程22由已知a2-b2=3亭a2=4b2①a2212ab2(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)C是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于△ABC，求的值。[解析](1)∵點(diǎn)M是線段PB的中點(diǎn)CAB2(2)∵點(diǎn)C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)xoyxBAOxB122若以MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn),則OM」ON若以MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn),則OM」ON,所以xx+yy=0,1212121212122題24。如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲線E過(guò)點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P2(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；(2)設(shè)直線l的斜率為k，若∠MBN為鈍角，求k的取值范圍。(1，0)x2(2)直線MN的方程為y=k(x+1),設(shè)M(x,y),設(shè)M(x,y,),N(x,y)111122(y=k(x+1)由〈得(1+2k2)x2+4k2x+2(k21)=0x2+2y22=0∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根MBN7k2777777綜上所述，k的取值范圍是(7,0)(0,7)771橢圓+=1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則PA.5B.6