一道廣東高考數(shù)學(xué)壓軸題的分析

本文格式為Word版，下載可任意編輯——一道廣東高考數(shù)學(xué)壓軸題的分析一道廣東高考數(shù)學(xué)壓軸題的分析

馬敏李耀光何小亞

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院510631

一、壓軸題

(2023年理科卷第20題，14分)已知雙曲線x2/2?y2?1的左、右頂點分別為A1，A2，點

P(x1,y1)，Q(x1,?y1)是雙曲線上不同的兩個動點。(1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程；(2)

若過點H(0,h)(h?1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且l1?l2，求h的值。

二、得分狀況統(tǒng)計

隨機選取290300萬份樣卷進行統(tǒng)計，考生平均得分1.47分，標(biāo)準(zhǔn)差2.17。表1列出了各分數(shù)段的得分人數(shù)及百分比例，1～2分段考察直線A1P與A2Q的方程表示；3～4分段為求解直線A1P與A2Q的交點(以下稱為M)坐標(biāo)或從整體上利用該交點的條件性質(zhì)；5～6分數(shù)考察軌跡E的方程表示；8～10分段和11～13分段為分別求解當(dāng)直線l1和l2與軌跡E在同時相切或同時相交條件下的h值；14分段為求解當(dāng)軌跡E與直線l1相切(或相交)，但與l2相交(或相切)條件下的h值。

表1各分數(shù)段得分人數(shù)及百分比例

得分人數(shù)01～23～4379745～7135188～1011～131148954141315326573987比例(%)52.79525.48613.0814.65663.9580.0190.0045三、解法分析第(1)問考察直線方程的基本概念和基本公式，考察方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。第(2)問考察直線與圓錐曲線等知識，考察數(shù)形結(jié)合、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證、運算求解和數(shù)學(xué)探究等能力。

1.第(1)問的解法差異主要表達在對交點M的運算處理和對軌跡E的條件探究方面，有以下三種常見解法。

解法1：由題設(shè)知|x1|?2,A1(2,0),A2(2,0),則直線A1P和A2Q的方程分別為可求得M的坐標(biāo)為x?2/x1,y?2y1/x1,轉(zhuǎn)化y?y1(x?2)/(x1?2)和y??y1(x?2)/(x1?2)，

為式(1)：x1?2/x,y1?2y/x,則x?0,且由|x1|?2知|x|?2。又點P(x1,y1)在雙曲線

22x2/2?y2?1(以下稱為C)上,得x1/2?y1?1，把(1)式代入此方程并整理，得軌跡E的方程為

x2/2?y2?1,x?0且x??2。

解法2：與解法1的不同之處是，不直接求出M的坐標(biāo)，而是注意到點P(x1,y1)在C上,y1與

22x1有函數(shù)關(guān)系式(1)：y1?(x1?2)/2。在得到直線A1P和A2Q的方程后，相乘得到方程

y2??y12(x2?2)/(x12?2)，將(1)式代入此方程并整理，即可得軌跡E的方程。

但解法2對軌跡E的限制性條件探究提出了更高的要求，雖然點A1，A2比較簡單排除，然而要排除點(0,1)和(0,?1)，看似簡單而實屬不易！破解的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)雙曲線有一個特征：當(dāng)直線l

1

經(jīng)過雙曲線的頂點A，且與雙曲線的漸近線平行時，l與雙曲線有且只有一個交點，就是A本身。發(fā)現(xiàn)了這一特征，再運用斜率關(guān)系簡單驗證，軌跡E不能經(jīng)過點(0,1)和(0,-1)。

解法3：利用三點共線模型，求得直線A1P和A2Q的方程分別為y/(x?2)?y1/(x1?2)和y/(x?2)??y1/(x1?2)，其余與解法2基本一致。

2.第(2)問中“過點H的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點〞，可分為三種情形：情形①，直線l1和l2與軌跡E都相切。情形②，軌跡E與過點A1的直線l1和過點A2直線l2同時相交。情形③，軌跡E與直線l1(或l2)相交，而與直線l2(或l1)相切。解法的差異主要在于對直線方程的不同設(shè)定方式和對直線與曲線相切時的直線斜率的不同求解方法。

解法1：情形①，設(shè)過點H的直線為y?kx?h,代入曲線x2/2?y2?1，用判別式法得

h2?2k2?1?0，再由l1?l2,得k1?k2?(1?h2)/2??1，于是h?3。情形②，由l1?l2知A1H?A2H,

得h/2?(?h/2)??1,于是h?2。情形③，易知l1的斜率k1?h/2，設(shè)l2的方程為y?kx?h,類似情形①可得h2?2k2?1?0,取k??h2?1/2，再由l1?l2,得k?k1??1,則h?(1?17)/2。根據(jù)圖形的對稱性，當(dāng)軌跡E與l2相交，而與l1相切時，h值保持不變。經(jīng)驗證，符合條件的h值為3，2或(1?17)/2。

解法2：與解法(1)的不同之處是，在情形①和情形③中用導(dǎo)數(shù)思想求軌跡E的切線斜率，在情形②中用直徑所對的圓周角為直角這一性質(zhì)。情形①，設(shè)直線l1、l2與軌跡E分別相切于點

22(x2,y2)和(?x2,y2)，則x2/2?y2?1且y2?0。對曲線x2/2?y2?1兩邊的x求導(dǎo)，則l1、l2的斜率

22?4y2分別為k1??x2/2y2和k2?x2/2y2，并由l1?l2知k1?k2??1，則x2。點H在

22l1:y?y2??x2(x?x2)/2y2上，則2y2h?x2?2y2，這就可求得h?3。情形②，以線段A1A2為直徑

的圓與y軸正半軸的交點為H(0,2),這時A1H?A2H,且A1H、A2H所在的直線l1、l2與軌跡E分

22/2?y0?1，別僅有一個交點，所以h?2符合題意。情形③，設(shè)軌跡E與l2的切點為(x0,y0),則x0由斜率關(guān)系得(y0?h)/x0??x0/2y0和?x0/2y0?h/2??1，這就可得到h?(1?17)/2。此外，情形①還有兩種常見的做法，一是設(shè)l1的方程為y?kx?h，由l1?l2知l2的方程應(yīng)為

y??x/k?h。二是注意到中心在原點的橢圓與l1、l2都相切，且l1?l2時，l1、l2的斜率分別為1和-1，于是直接設(shè)l1:y?x?h，再利用判別式法求解。

四、教學(xué)啟示

1.概念、原理的本質(zhì)理解是基礎(chǔ)的核心

從評卷結(jié)果來看，竟然有52.795%的理科生不能正確求出雙曲線C的頂點坐標(biāo)，或在已知直線l1過點P(x1,y1)和A1(?2,0)，直線l2過點Q(x1,?y1)和A2(2,0)的條件下，不能正確列出直線l1或

2

l2的方程！以前壓軸題得分低，教師們歸因于前面的題量大和難度大。但在今年的選擇題、填空

題和前面的四道大題都不難的狀況下，還是有超過一半的理科生未能了解雙曲線的基本概念和基本性質(zhì)，也沒有把握好直線方程的概念與性質(zhì)。原因是學(xué)生沒有從心理上去建構(gòu)、體驗并獲得這些概念和公式的生成過程，而是死記硬背或依靠“題海戰(zhàn)術(shù)〞去生搬硬套，出現(xiàn)如雙曲線C的頂

（?3,0）點坐標(biāo)為、(?5,0)；直線A1P的方程為y?y1x/(x1?2)、y?(x1?2)/[y1(x?2)]等錯

誤結(jié)果。因此，對新課程中基本的數(shù)學(xué)概念、原理，教師應(yīng)舍得花時間去“大講、特講〞，花力氣去“講清、講透〞，而不應(yīng)只顧教學(xué)速度去讓學(xué)生“淺嘗輒止〞。假使將概念教學(xué)真正落到實處，則全省還有153265個學(xué)生可能至少增加1至2分，從而使該題的平均得分提高到1.999至2.527分。

2.教材的教學(xué)價值需要重視

這道壓軸題可以看作是新課標(biāo)數(shù)學(xué)教材選修1-1(人教社2023年版)第58頁練習(xí)3“求以橢圓

x2/8?y2/5?1的焦點為頂點，以橢圓的頂點為焦點的雙曲線方程〞的轉(zhuǎn)化、延伸和擴展，只是它

改變了外在的建構(gòu)方向(從雙曲線到橢圓)，增加了建構(gòu)的中間元素(如直線)，但并未改變考察直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的思想意圖。

教材中的例題、練習(xí)、習(xí)題等，多數(shù)是一些最基本、最核心、最重要的內(nèi)容，但大量高三數(shù)學(xué)教師就是看不起教材，熱衷于一些復(fù)習(xí)資料、模擬題，甚至是一些超綱的、生編硬造技巧的高考題。但是，近四年，特別是2023、2023、2023年的廣東數(shù)學(xué)高考題說明，猜題、押題沒有用，回歸課本、基礎(chǔ)是正道。那種“在一年半載內(nèi)講完全部教材〞的做法，使得教材的培養(yǎng)功能大打折扣。

教材中有大量例題和習(xí)題蘊含著重要的數(shù)學(xué)思維方法，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生通過“假使、列舉、比較、替代、想象、組合、類比〞等問題探究方法(何小亞，教育戰(zhàn)爭與數(shù)學(xué)教育的出路，數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2023)，不斷提出新問題并加以解決，既能有效穩(wěn)定基礎(chǔ)知識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，又能充分利用教材，發(fā)揮教材的擴張效應(yīng)。

3.教好問題解決

這道題的壓軸效果很明顯，主要表達在：第(1)問中對軌跡E的限制性條件探究。在29多萬份樣卷中，答對(x?0且x??2)的人數(shù)比例不超過5.332%；第(2)問中的11～13分段和14分段。從表1可知，8～10分段的人數(shù)比例是11～13分段的約208倍，更是14分段的約880倍。這說明學(xué)生更熟悉情形①，由于僅需代數(shù)知識就能快速找到對應(yīng)的解決圖式，即“分別建立兩個方程組，判別式?等于零〞，而情形②需要學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想，作出圖象并進行觀測、推理和判斷；情形③則是問題探究方法中“組合〞思想的運用。這道題通過創(chuàng)設(shè)多條解題路徑，使不同思維層次的學(xué)生都有表